平面与平面垂直的性质整体设计教课剖析空间中平面与平面之间的地点关系中，垂直是一种特别重要的地点关系，它不单应用较多，并且是空间问题平面化的模范. 空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特色：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2) 它常常又是一个复杂问题的初步，即先由面面垂直转变成线面垂直，不然没法解决问题 . 所以，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理 .三维目标1.研究平面与平面垂直的性质定理，进一步培育学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用，培育学生的推理能力.3.经过平面与平面垂直的性质定理的学习, 培育学生转变的思想 .要点难点教课要点 : 平面与平面垂直的性质定理.教课难点 : 平面与平面性质定理的应用.课时安排1 课时教课过程复习（1）面面垂直的定义.假如两个订交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面相互垂直.（2）面面垂直的判断定理.两个平面垂直的判断定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.两个平面垂直的判断定理符号表述为：ABα⊥β . AB两个平面垂直的判断定理图形表述为：图 1导入新课思路 1. ( 情境导入 )黑板所在平面与地面所在平面垂直，你可否在黑板上画一条直线与地面垂直？思路 2. ( 案例导入 )如图 2，长方体 ABCD— A′B′ C′ D′中，平面 A′ ADD′与平面 ABCD垂直 , 直线 A′ A 垂直于其交线 AD.平面 A′ ADD′内的直线 A′ A与平面 ABCD垂直吗？图 2推动新课新知研究提出问题①如图 3, 若α⊥β , α∩β =CD,ABα ,AB⊥ CD,AB∩ CD=B.请同学们议论直线AB与平面β的地点关系.图 3②用三种语言描绘平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.③设平面α⊥平面β , 点 P∈α ,P ∈ a,a ⊥β , 请同学们议论直线 a 与平面α的关系 .④剖析平面与平面垂直的性质定理的特色，议论应用定理的难点.⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.活动 : 问题①指引学生作图或借助模型研究得出直线AB 与平面β的关系 .问题②指引学生进行语言变换 .问题③指引学生作图或借助模型研究得出直线 a 与平面α的关系 .问题④指引学生回想立体几何的中心，以及平面与平面垂直的性质定理的特色.问题⑤指引学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.议论结果：①经过学生作图或借助模型研究得出直线AB与平面β垂直 , 如图3.②两个平面垂直的性质定理用文字语言描绘为：假如两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直的性质定理用图形语言描绘为：如图 4.图 4AB两个平面垂直的性质定理用符号语言描绘为：CD AB⊥β .AB CDAB CD B两个平面垂直的性质定理证明过程以下：图 5如图 5，已知α⊥β , α∩β =a,ABα，AB⊥ a于 B.求证： AB⊥β .证明：在平面β内作 BE⊥ CD垂足为 B, 则∠ ABE就是二面角α CDβ的平面角 .由α⊥β, 可知AB⊥BE. 又AB⊥CD，BE与CD是β内两条订交直线, ∴AB⊥β . ③问题③也是论述面面垂直的性质，变成文字表达为：求证：假如两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 . 下边给出证明 .如图 6, 已知α⊥β， P∈α， P∈ a， a⊥β . 求证： aα .图 6证明：设α∩β =c ，过点 P 在平面α内作直线b⊥ c，∵α⊥β , ∴ b⊥β . 而 a⊥β， P∈ a,∵经过一点只好有一条直线与平面β垂直, ∴直线 a 应与直线 b 重合 . 那么 aα.利用“同一法” 证明问题，主假如在按一般门路不易达成问题的情况下所采纳的一种数学方法，这里要求做到两点. 一是作出切合题意的直线b，不易想到，二是证明直线 b 和直线 a 重合，相对简单些 . 点 P 的地点由投影所给的图及证明过程可知，能够在交线上，也能够不在交线上 .④我以为立体几何的中心是：直线与平面垂直，由于立体几何的几乎全部问题都是环绕它睁开的，比如它不单是线线垂直与面面垂直相互转变的桥梁，并且由它还能够转变成线线平行，即便作线面角和二面角的平面角也离不开它. 两个平面垂直的性质定理的特色就是帮我们找平面的垂线，所以它是立体几何中最重要的定理.⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立刻在一个平面内作交线的垂线” .应用示例思路 1例 1如图7，已知α⊥β，a⊥β ,aα,试判断直线 a 与平面α的地点关系.图 7解: 在α内作垂直于α与β交线的垂线b,∵α⊥β ,∴b⊥β .∵a⊥β ,∴a∥ b.∵aα ,∴a∥α .变式训练如图 8, 已知平面α交平面β于直线 a. α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线 b. 求证：(1)a ⊥γ； (2)b ⊥γ .图8图9证明：如图 9,(1)设α∩γ =AB，β∩γ =AC.在γ内任取一点 P并在γ内作直线 PM⊥ AB， PN⊥ AC.∵γ⊥α，∴ PM⊥α . 而 aα，∴ PM⊥ a.同理 ,PN⊥ a. 又 PMγ，PNγ，∴ a⊥γ .(2) 在 a 上任取点Q，过 b 与 Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2. ∵ b∥α，∴ b∥ a1 .同理 ,b ∥ a2.∵a1、 a2同过 Q且平行于 b，∴ a1、 a2重合 .又 aα， a2β，∴ a 、 a 都是α、β的交线，即都重合于 a.112∵b∥ a1，∴ b∥ a. 而 a⊥γ，∴ b⊥γ .评论：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转变成线面垂直，见到面面垂直第一考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立刻在一个平面内作交线的垂线”.例 2如图 10，四棱锥 P— ABCD的底面是 AB=2， BC= 2的矩形，侧面 PAB是等边三角形，且侧面 PAB⊥底面 ABCD.图10图11（1）证明侧面 PAB⊥侧面 PBC；（2）求侧棱 PC与底面 ABCD所成的角；（3）求直线 AB与平面 PCD的距离 .（1）证明：在矩形 ABCD中， BC⊥ AB,又∵面 PAB⊥底面 ABCD,侧面 PAB∩底面 ABCD=AB,∴ BC⊥侧面 PAB.又∵ BC侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.（2）解：如图 11, 取 AB中点 E，连结 PE、 CE,又∵△ PAB是等边三角形, ∴ PE⊥ AB.又∵侧面PAB⊥底面 ABCD，∴ PE⊥面 ABCD.∴∠ PCE为侧棱 PC与底面 ABCD所成角 .PE=3BA=3,CE=BE2BC2=3, 2在 Rt △ PEC中，∠ PCE=45°为所求 .（3）解：在矩形 ABCD中， AB∥CD,∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴ AB∥侧面PCD.取 CD中点 F，连结 EF、 PF，则 EF⊥ AB.又∵ PE⊥ AB,∴ AB⊥平面 PEF.又∵ AB∥CD,∴CD ⊥平面 PEF. ∴平面 PCD ⊥平面 PEF. 作 EG ⊥ PF ，垂足为 G ，则 EG ⊥平面 PCD.在 Rt △ PEF 中， EG=PEEC30为所求.PF5变式训练如图 12，斜三棱柱 ABC — A 1B 1C 1 的棱长都是 a ，侧棱与底面成 60°角，侧面 BCC 1B 1⊥面 ABC.求平面 AB 1C 1 与底面 ABC 所成二面角的大小 .图 12活动 : 请同学考虑面 BB 1C 1C ⊥面 ABC 及棱长相等两个条件，师生共同达成表述过程，并作出相应协助线 .解： ∵面 ABC ∥面 A 1B 1C 1，则面 BB 1C 1C ∩面 ABC=BC, 面 BB 1C 1C ∩面 A 1B 1C 1=B 1C 1, ∴ BC ∥ B 1C 1，则 B 1C 1∥面 ABC. 设所求两面交线为AE ，即二面角的棱为 AE,则 B 1C 1∥ AE ，即 BC ∥ AE.过 C 1 作 C 1D ⊥ BC 于 D ，∵面 BB 1C 1C ⊥面 ABC,∴C 1D ⊥面 ABC ， C 1D ⊥ BC.又∠ C 1CD=60°,CC 1=a, 故 CD=a, 即 D 为 BC 的中点 .2又△ ABC 是等边三角形 , ∴ BC ⊥AD. 那么有 BC ⊥面 DAC 1, 即 AE ⊥面 DAC 1. 故 AE ⊥ AD ， AE ⊥ AC 1,∠C 1AD 就是所求二面角的平面角 . ∵C 1D=3 a ， AD=3 a ， C 1D ⊥ AD,故∠ C 1AD=45° .22评论 : 利用平面与平面垂直的性质定理 , 找出平面的垂线是解决问题的要点.思路 2例 1如图 13，把等腰直角三角形ABC 沿斜边 AB 旋转至△ ABD 的地点，使 CD=AC,图 13（ 1）求证：平面 ABD ⊥平面 ABC ； （ 2）求二面角 CBDA 的余弦值 .（ 1）证明： ( 证法一 ): 由题设 , 知 AD=CD=BD,作 DO ⊥平面 ABC ， O 为垂足，则 OA=OB=OC.∴O ∈ AB ，即 O ∈平面 ABD.∴OD 平面 ABD.∴平面 ABD ⊥平面 ABC. ( 证法二 ): 取 AB 中点 O ，连结 OD 、 OC,则有 OD ⊥ AB ， OC ⊥ AB ，即∠ COD 是二面角 CABD 的平面角 .设 AC=a ，则 OC=OD= 2a ,2又 CD=AD=AC,∴ CD=a.∴△ COD 是直角三角形，即∠ COD=90° . ∴二面角是直二面角，即平面ABD ⊥平面 ABC.（2）解 : 取 BD 的中点 E ，连结 CE 、 OE 、 OC,∵△ BCD 为正三角形，∴ C E ⊥ BD. 又△ BOD 为等腰直角三角形 , ∴ OE ⊥ BD.∴∠ OEC 为二面角 CBDA 的平面角 . 同（ 1）可证 OC ⊥平面 ABD,∴OC ⊥ OE.∴△ COE 为直角三角形 .设 BC=a ，则 CE=3a ，OE=1a, ∴ cos ∠ OEC=OE3即为所求.22CE3变式训练如图 14，在矩形 ABCD 中， AB=33,BC=3，沿对角线 BD 把△ BCD 折起，使 C 移到 C ′，且C ′在面 ABC 内的射影 O 恰巧落在 AB 上.图 14（ 1）求证： AC ′⊥ BC ′；（ 2）求 AB 与平面 BC ′ D 所成的角的正弦值； （ 3）求二面角 C ′ BDA 的正切值 .（ 1）证明： 由题意 , 知 C ′ O ⊥面 ABD,∵ C ′ O ABC ′, ∴面 ABC ′⊥面 ABD.又∵ AD ⊥ AB,面 ABC ′∩面 ABD=AB,∴ AD ⊥面 ABC ′ . ∴ AD ⊥BC ′ . ∵BC ′⊥ C ′ D, ∴ BC ′⊥面 AC ′ D. ∴ BC ′⊥ AC ′ .(2) 解 : ∵ BC ′⊥面 AC ′D,BC ′ 面 BC ′ D,∴面 AC ′ D ⊥面 BC ′D.作 AH ⊥ C ′D 于 H, 则 AH ⊥面 BC ′ D, 连结 BH,则 BH 为 AB 在面 BC ′ D 上的射影 , ∴∠ ABH 为 AB 与面 BC ′ D 所成的角 .又在 Rt △ AC ′ D 中 ,C ′ D=33,AD=3, ∴ AC ′ =3 2 . ∴ AH= 6 .∴sin ∠ ABH=AH2, 即 AB 与平面 BC ′ D 所成角的正弦值为2 . AB33(3) 解 : 过 O 作 OG ⊥ BD 于 G,连结 C ′ G,则 C ′ G ⊥ BD,则∠ C ′ GO 为二面角 C ′ BDA 的平面角 .AC' BC'6 ,在 Rt △ AC ′ B 中 ,C ′O=AB在 Rt △ BC ′ D 中 ,C ′G=BC ' C ' D 3 3.∴OG= C G2 C 2=3. ∴ tan ∠ C′ GO=C 'O2 2 , 2OG即二面角 C′ BDA的正切值为2 2 .评论 : 直线与平面垂直是立体几何的中心, 它是证明垂直问题和求二面角的基础, 所以利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线, 就显得特别重要了 .例 2 如图 15, 三棱柱 ABC— A1B1C1中，∠ BAC=90°， AB=BB1=1，直线 B1C 与平面 ABC成 30°角，求二面角 BB1CA的正弦值 .图 15活动 : 能够知道，平面 ABC与平面 BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性质来找寻从一个半平面到另一个半平面的垂线 .解：由直三棱柱性质得平面 ABC⊥平面 BCC1B1，过 A 作 AN⊥平面 BCC1B1，垂足为 N，则 AN⊥平面BCC1B1（AN即为我们要找的垂线）, 在平面BCB1内过N 作NQ⊥棱B1C，垂足为Q，连结QA，则∠ NQA即为二面角的平面角 .∵AB1在平面 ABC内的射影为AB， CA⊥ AB，∴CA⊥ B1A.AB=BB1=1，得 AB1=2 .∵直线 B1C 与平面 ABC成 30°角，∴∠ B1CB=30°， B1C=2.在 Rt △ B1AC中，由勾股定理 , 得 AC= 2 . ∴ AQ=1.在 Rt △ BAC中， AB=1， AC= 2，得 AN= 6 . 3AN6sin ∠ AQN==,即二面角6BBCA的正弦值为.13变式训练如图 16，边长为 2 的等边△ PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面， BC=22 ，M 为 BC的中点 .(1)证明： AM⊥ PM；(2)求二面角 PAMD的大小 .图16图17(1) 证明： 如图 17, 取 CD 的中点 E ，连结 PE 、 EM 、 EA,∵△ PCD 为正三角形 ,∴PE ⊥ CD ，PE=PDsin ∠ PDE=2sin60° = 3 .∵平面 PCD ⊥平面 ABCD,∴ PE ⊥平面 ABCD. ∵四边形 ABCD 是矩形 ,∴△ ADE 、△ ECM 、△ ABM 均为直角三角形 .由勾股定理可求得EM= 3 ， AM= 6 ， AE=3,222∴EM+AM=AE. ∴AM ⊥ EM.又 EM 是 PM 在平面 ABCD 上的射影 , ∴∠ AME=90°. ∴ AM ⊥ PM. (2) 解 : 由 (1) 可知 EM ⊥AM ， PM ⊥AM,∴∠ PME 是二面角 PAMD 的平面角 . ∴tan ∠ PME=PE3=1. ∴∠ PME=45° .EM3∴二面角 PAMD 为 45° .知能训练课本本节练习 . 拓展提高(2007 全国高考 , 理 18) 如图 18, 在三棱锥 S — ABC 中 , 侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形 ,∠ B AC=90°,O 为 BC 中点 . (1) 证明 SO ⊥平面 ABC;(2) 求二面角 ASCB 的余弦值 .图18 图19(1) 证明： 如图 19, 由题设 , 知 AB=AC=SB=SC=SA 连.接 OA,△ ABC 为等腰直角三角形 , 所以2 SA, 且 AO ⊥ BC.又△ SBC 为等腰三角形2OA=OB=OC= , 故 SO ⊥ BC,且 SO=SA.22222进而 OA+SO=SA. 所以△ SOA 为直角三角形 ,SO ⊥ AO. 又 AO ∩ BC=O,所以 SO ⊥平面 ABC.(2) 解 : 如图 19, 取 SC 中点 M,连结 AM 、 OM,由(1), 知 SO=OC,SA=AC,得 OM⊥ SC,AM⊥SC.所以∠ OMA为二面角 ASCB的平面角 .由 AO⊥ BC,AO⊥ SO,SO∩ BC=O,得 AO⊥平面 SBC.3SA,故所以 AO⊥ OM.又 AM=2sin ∠ AMO=AO2 6 .AM33所以二面角 ASCB的余弦值为 3 .3讲堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，而后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等 .思想方法总结：转变思想，即把面面关系转变成线面关系，把空间问题转变成平面问题.作业课本习题 2.3 B组 3、4.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，特别是线面垂直问题是立体几何的核心，一个立体几何问题可否解决常常取决于可否作出平面的垂线；面面垂直的性质定理恰巧能解决这个问题，所以它是高考考察的要点，本节不单采纳了大批经典好题，还采纳了大批的 2007 高考模拟试题以及最新 2007 全国各地高考真题，相信能够帮助大家解决立体几何中的要点难点问题 .。
