高等数学第三章 要求与练习(含答案)

第三章 线性方程组1． 用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=ìï++-+=-ïï-+--=íï-++-=ïï++-+=-î 124512345123451234523213322)23452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï--+-=ïí-+-+=ïï-+-+=î 1234234124234234433)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=ìï-+=-ïí+++=ïï-++=-î 123412341234123434570233204)411131607230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï-+-=ïí+-+=ïï-++=-î 123412341234123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï-+-=ïí+-+=-ïï-+-=î 12341234123412341232313216)23122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=ìï++-=ïï+++=íï++-=ïï++=î解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812--éùéùêúêú----êúêúêúêú®------êúêú-----êúêúêúêú-----ëûëû102101100101003212000212002000002000000000000000011100010000--éùéùêúêú---êúêúêúêú®®--êúêúêúêúêúêú---ëûëû因为()()45rank A rank B ==<所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1415324122200x x x x x x x -=ìï+=-ïí-=ïï-+=î 解得123451022x k x k x x k x k=+ìï=ïï=íï=ïï=--î 其中k 为任意常数.2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有120321120321113132033451234527074125996162250276111616--éùéùêúêú------êúêú®êúêú----êúêú---ëûëû 120321120321033451033451252982529800110011333333003325297000001--éùéùêúêú------êúêú®®êúêú--êúêúêúêú--êúêúëûëû因为()4()3rank A rank A =>=所以原方程无解.3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有1234412344011130111313011053530731307313----éùéùêúêú----êúêú®êúêú--êúêú----ëûëû1012210008011130100300201200201200482400080---éùéùêúêú--êúêú®®êúêúêúêú--ëûëû因为(()4rank A rank A ==所以方程组有惟一解，且其解为12348360x x x x =-ìï=ïí=ïï=î 4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有34571789233223324111316411131672137213--éùéùêúêú----êúêú®êúêú--êúêú--ëûëû 17891789017192001719200171920000003438400000--éùéùêúêú----êúêú®®êúêú-êúêú--ëûëû即原方程组德同解方程组为123423478901719200x x x x x x x +-+=ìí-+-=î由此可解得1122123142313171719201717x k k x k k x k x k ì=-ïïï=-íï=ïï=î 其中12,k k 是任意常数g5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有2111121111322327001451121300122113440025--éùéùêúêú---êúêú®êúêú---êúêú---ëûëû 21111211117001470014100002100002100300001--éùéùêúêú--êúêú®®êúêúêúêú---ëûëû 因为()4()3rank A rank A =¹=所以原方程组无解.6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有12311354023211125202231112311122211453025520255202éùéùêúêú-êúêúêúêú®êúêú-êúêúêúêúëûëû2020000000552020570211611010015555101001010000000-éùéùêúêúêúêúêúêú®®-----êúêúêúêú--êúêúêúêúëûëû即原方程组的同解方程组为23341357261550x x x x x x +=ìïï-+=-íï-+=ïî 解之得123427551655x k x k x k x k =ìïï=-ïí=ïï=-+ïî其中k 是任意常数.2.把向量b 表成1234,,,a a a a 的线性组合.12341)(1,2,1,1)(1,1,1,1),(1,1,1,1)(1,1,1,1),(1,1,1,1)b a a a a ===--=--=--12342)(0,0,0,1)(1,1,0,1),(2,1,3,1)(1,1,0,0),(0,1,1,1)b a a a a =====--解 1）设有线性关系11223344k k k k b a a a a =+++代入所给向量，可得线性方程组12341234123412341211k k k k k k k k k k k k k k k k +++=ìï+--=ïí-+-=ïï--+=î 解之，得15,4k = 21,4k = 31,4k =- 414k =-因此123451114444b a a a a =+--2）同理可得13b a a =-3.证明：如果向量组12,,,r a a a L 线性无关，而12,,,,r a a a b L 线性相关，则向量可由12,,,r a a a L 线性表出.证 由题设，可以找到不全为零的数121,,,r k k k +L 使112210r r r k k k k a a a b +++++=L显然10r k +¹.事实上，若10r k +=，而12,,,r k k k L 不全为零，使11220r r k k k a a a +++=L成立，这与12,,,r a a a L 线性无关的假设矛盾，即证10r k +¹.故11rii i r k k b a =+=-å即向量b 可由12,,,r a a a L 线性表出.4.12(,,,)(1,2,,)i i i in i n a a a a ==L L ，证明：如果0ij a ¹，那么12,,,n a a a L 线性无关.证 设有线性关系11220n n k k k a a a +++=L代入分量，可得方程组111212112122221122000n n n nn n nn n k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L L 由于0ij a ¹，故齐次线性方程组只有零解，从而12,,,n a a a L 线性无关.5.设12,,,r t t t L 是互不相同的数，r n £.证明：1(1,,,)(1,2,,)n i i i t t i r a -==L L是线性无关的.证 设有线性关系11220r r k k k a a a +++=L则1211221111122000r r rn n n r rk k k t k t k t k t k t k t k ---+++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L 1）当r n =时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即122221211112111()0nn j i i jn n n nt t t t t t t t t t t <---=-¹ÕL LL M M O M L所以方程组有惟一的零解，这就是说12,,,r a a a L 线性无关.2）当r n <时，令21111121222221(1,,,,)(1,,,,)(1,,,,)r r r r r r rt t t t t t t t t b b b ---ì=ï=ïíïï=îL L L L L L L L L L L 则由上面1)的证明可知12,,,r b b b L 是线性无关的.而12,,,r a a a L 是12,,,r b b b L 延长的向量，所以12,,,r a a a L 也线性无关.6.设123,,a a a 线性无关，证明122331,,a a a a a a +++也线性无关. 证 设由线性关系112223331()()()0k k k a a a a a a +++++=则131122233()()()0k k k k k k a a a +++++=再由题设知123,,a a a 线性无关，所以13122300k k k k k k +=ìï+=íï+=î 解得1230k k k ===所以122331,,a a a a a a +++线性无关.7.已知12,,,s a a a L 的秩为r ，证明：12,,,s a a a L 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证 设12,,,i i ir a a a L 是12,,,s a a a L 中任意r 个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量(1,2,,)j j s a =L 都可由12,,,i i ir a a a L 线性表出就可以了.事实上，向量组12,,,,i i ir j a a a a L 是线性相关的，否则原向量组的秩大于r ，矛盾.这说明j a 可由12,,,i i ir a a a L 线性表出，再由j a 的任意性，即证.8.设12,,,s a a a L 的秩为r ，12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 中的r 个向量，使得12,,,s a a a L 中每个向量都可被它们线性表出，证明：12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 的一个极大线性无关组.证 由题设知12,,,r i i i a a a L 与12,,,s a a a L 等价，所以12,,,r i i i a a a L 的秩与12,,,s a a a L 的秩相等，且等于r .又因为12,,,r i i i a a a L 线性无关，故而12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 的一个极大线性无关组.9.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组.证 将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ）表示.若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组.否则，向量组（Ⅰ）至少有一个向量a 不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将a 添加到向量组（Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ），且向量组（Ⅲ）是线性无关的.进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ）中去，得到向量组（Ⅳ）.继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组.10.设向量组为1(1,1,2,4)a =-，2(0,3,1,2)a =，3(3,0,7,14)a =4(1,1,2,0)a =-，5(2,1,5,6)a =1） 证明：12,a a 线性无关.2） 把12,a a 扩充成一极大线性无关组.证 1）由于12,a a 的对应分量不成比例，因而12,a a 线性无关. 2）因为3123a a a =+，且由1122440k k k a a a ++=可解得1240k k k ===所以124,,a a a 线性无关.再令112244550k k k k a a a a +++=代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即1245,,,a a a a 线性相关，所以5a 可由124,,a a a 线性表出.这意味着124,,a a a 就是原向量组的一个极大线性无关组.注 此题也可将1245,,,a a a a 排成54´的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论.11.用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：12341)(6,4,1,2),(1,0,2,3,4)(1,4,9,16,22),(7,1,0,1,3)a a a a =-=-=--=-，123452)(1,1,2,4),(0,3,1,2)(3,0,7,14),(1,1,2,0)(2,1,5,6)a a a a a =-===-=解 1）设12346411210234149162271013A a a a a -éùéùêúêú-êúêú==êúêú--êúêú-êúëûëû 对矩阵A 作行初等变换，可得0411192600102341023404111926004569980114223101142231A --éùéùêúêú-êúêú®®êúêú---êúêú----ëûëû 所以1234,,,a a a a 的秩为3，且234,,a a a 即为所求极大线性无关组.3） 同理可得124,,a a a 为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3. 12.证明：如果向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出，那么（Ⅰ） 的秩不超过（Ⅱ）的秩.证 由题设，向量组（Ⅰ）的极大线性无关组也可由向量组（Ⅱ）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（Ⅰ）的秩不超过向量组（Ⅱ）的秩.13.设12,,,n a a a L 是一组维向量，已知单位向量12,,,n e e e L 可被它们线性表出，证明：12,,,n a a a L 线性无关.证 设12,,,n a a a L 的秩为r n £，而12,,,n e e e L 的秩为n . 由题设及上题结果知n r £从而r n =.故12,,,n a a a L 线性无关.14.设12,,,n a a a L 是一组n 维向量，证明：12,,,n a a a L 线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可被它们线性表出.证 必要性.设12,,,n a a a L 线性无关，但是1n +个n 维向量12,,,,n a a a b L 必线性相关，于是对任意n 维向量b ，它必可由12,,,n a a a L 线性表出.充分性.任意n 维向量可由12,,,n a a a L 线性表出，特别单位向量12,,,n e e e L 可由12,,,n a a a L 线性表出，于是由上题结果，即证12,,,n a a a L 线性无关.15.证明：方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L 对任何12,,,n b b b L 都有解的充分必要条件是系数行列式0ij a ¹.证 充分性.由克拉默来姆法则即证.下证必要性.记1212(,,,)(1,2,,)(,,,)i i i ni n i n b b b a a a a b ===L L L则原方程组可表示为1122n n x x x b a a a =+++L由题设知，任意向量b 都可由线性12,,,n a a a L 表出，因此由上题结果可知12,,,n a a a L 线性无关.进而，下述线性关系12220n n k k k a a a +++=L仅有惟一零解，故必须有0ij A a =¹，即证.16.已知12,,,r a a a L 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 有相同的秩，证明： 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 等价.证 由于12,,,r a a a L 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 有相同的秩，因此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等.这样12,,,r a a a L 的极大线性无关组也必为121,,,,,,r r s a a a a a +L L 的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组.另一方面，因为它们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价. 17.设123213,,,r r b a a a b a a a =+++=+++L L L 121r r b a a a -=+++L证明：12,,,r b b b L 与12,,,r a a a L 具有相同的秩.证 只要证明两向量组等价即可.由题设，知12,,,r b b b L 可由12,,,r a a a L 线性表出.现在把这些等式统统加起来，可得12121()1r r r b b b a a a +++=+++-L L 于是121111(1)1111i i r r r r r a b b b b =+++-++----L L (1,2,,)i r =L即证12,,,r a a a L 也可由12,,,r b b b L 线性表出，从而向量组12,,,r b b b L 与12,,,r a a a L 等价.18.计算下列矩阵的秩：1）01112022200111111011-éùêú--êúêú--êú-ëû 2）11210224203061103001-éùêú--êúêú-êúëû3）141268261042191776341353015205éùêúêúêúêúëû 4）10014010250013612314324563277éùêúêúêúêúêúêúëû5）1010011000011000011001011éùêúêúêúêúêúêúëû解 1）秩为4.2）秩为3. 3）秩为2. 4）秩为3. 5）秩为5.19.讨论,,a b l 取什么值时，下列方程有解，并求解.1）12212321231x x x x x x x x x l l l l lì++=ï++=íï++=î 2）122123123(3)(1)23(1)(3)3x x x x x x x x x l l l l l l l l +++=ìï+-+=íï++++=î3）1221231234324ax x x x bx x x bx x ++=ìï++=íï++=î解 1）因为方程组的系数行列式21111(1)(2)11D l l l l l==-+所以当1l =时，原方程组与方程1221x x x ++=同解，故原方程组有无穷多解，且其解为11221321x k k x k x k=--ìï=íï=î 其中12,k k 为任意常数.当2l =-时，原方程组无解.当1l ¹且2l ¹-时，原方程组有惟一解.且12231212(1)2x x x l l l l l +ì=-ï+ïï=í+ïï+=ï=î2）因为方程组的系数行列式231211(1)333D l l l l l l l l +=-=-++所以当0l =时，原方程组的系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为2与3，所以无解.当1l =时，A 的秩为2，A 的秩为3，故原方程组也无解. 当0l ¹，且1l ¹时，方程组有唯一解321232232323159(1)129(1)43129(1)x x x l l l l l l l l l l l l l l ì+-+=ï-ïï-+ï=í-ïï--+=ï-ïî3) 因为方程组的系数行列式1111(1)121a Db b a b ==--所以当0D ¹时，即1a ¹且0b ¹时，方程组有惟一解，且为12321(1)1124(1)b x b a x b ab b x b a -ì=ï-ïï=íï+-ï=ï-î当0D =时1o若0b =，这时系数矩阵A 的秩为2，而它的增广矩阵A 的秩为3，故原方程组无解。

一 点 的 个 , 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 如 存 着 x0的 个 域 对 这 域 的 任 点 ,除 点 0外 f (x) < f (x0 )均 立就 何 x 了 x , 成 , 称 f (x0)是 数 (x)的 个 大 ; 函 f 一 极 值 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 如 存 着 x0的 个 域 对 这 域 的 何 x 了 x , 任 点 ,除 点 0外 f (x) > f (x0 )均 立就 成 , 称 f (x0)是 数 (x)的 个 小 . 函 f 一 极 值
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当

河北科技大学《高等数学》（上册）第三章一. 单项选择题1. 函数()sin f x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内 【 D 】 A.有最大值 B.有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又无最小值2. 函数()y f x =在0x 处取得极大值，则必有 【D 】 A.0()0f x '= B.0()0f x ''<C.0()0f x '=且0()0f x ''<D.0()0f x '=或0()f x '不存在3.对函数38y x =+在区间[0,1]上应用拉格朗日中值定理时，所得中间值ξ为【 B】 A.3C.13 D.13-4. 曲线233y x x =-的拐点为 【 C】 A.(2,1) B.(2,1)- C.(1,2) D.(1,2)-5. 已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则 【 B】 A.3a =-，0b =，且1x =为函数()f x 的极小值点B.0a =，3b =-，且1x =为函数()f x 的极小值点C.3a =-，0b =，且1x =为函数()f x 的极大值点D.0a =，3b =-，且1x =为函数()f x 的极大值点6. 曲线324x y x +=的图形应为 【 D】 A.在(,0)-∞和(0,)+∞内凸 B.在(,0)-∞内凹，在(0,)+∞内凸C.在(,0)-∞内凸，在(0,)+∞内凹D.在(,0)-∞和(0,)+∞内凹7. 函数32()23f x x x =-的极小值为 【 A 】A.1-B.1C.0D.不存在8.使函数()=f x 【 A 】A.[0,1]B. [1,2]C. [1,1]-D. [2,2]-9. 设函数()f x 的导函数()(1)(21)f x x x '=-+，则在区间1(,1)2内，()f x 单调【 B 】 A.增加，曲线()y f x =为凹的 B.减少，曲线()y f x =为凹的C.减少，曲线()y f x =为凸的D.增加，曲线()y f x =为凸的二、填空题1. 设()f x 在[,]a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()()f b f a e e -= _.2.2x y =的麦克劳林公式中n x 项的系数为 .3.曲线y =的拐点坐标为 .三. 计算下列各题1. 求43()21f x x x =-+的凹凸区间与拐点.2. 求.函数23()(5)f x x x =-的极值.3. 求函数3210496y x x x=-+的单调区间和极值. 4.求极限10lim (,,3→⎛⎫++ ⎪⎝⎭x x x x x a b c a b c 均大于零且不为1). 5.确定,,a b c 的值，使得32y x ax bx c =+++有拐点(1,1)-，且在0x =处有极值.四. 证明题1. 证明，当0x ≥时，(1)ln(1)arctan x x x ++≥.2.证明：当0x >时，2ln(1)2x x x -<+. 3. 证明：当02x π<<时，31tan 3x x x >+.4.证明：当0>x 时，ln(1).1<+<+x x x x5.设(),()f x g x 二阶可导且0()(),(0)(0),(0)(0).x f x g x f g f g ''''''>>==时 证明：0()().x f x g x >>时恒有五.证明题1. 已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =.证明：（1）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=-；（2）存在不同的两点,(0,1)ηζ∈，使得()()1f f ηζ''=.2. 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且在不同的点处存在相等的最 大值，且()()f a g a =，()()f b g b =，证明：（1）存在(,)a b η∈，使得()()f g ηη=； （2）存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.3. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点(0,(0))A f 与点(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<.证明：（1）在(0,1)内至少存在两点1ξ，2ξ，使得12()()f f ξξ''=；（2）在(0,1)内至少存在一点η，使得()0f η''=.4.设函数()f x 处处可导，1x 和2x 是函数的两个零点，且12x x <。

例 4 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 在区间[3 ，4] 上的最大值和最小值． 解 因为函数 f (x) 2x3 3x2 12x 在区间 [3，4] 上连续，所以在该区间上一定存在最大值和 最小 值． 该函数的导数为 f (x) 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1) ，令 f (x) 0 ，得驻点 x1 2 ， x2 1 ． 因为 f (2) 20， f (1) 7 ， f (3) 9， f (4) 128 ，
arcsin x arccos x π ． 2
（二）柯西中值定理
定理1（拉格朗日中值定理） 如果函数 f(x)和F(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）对任一x属于(a,b)，F,(x)≠0
那么，在开区间（a,b）内至少存在一点ξ，使得
f (b) f (a) f (ξ ) F (b) F (a) F (ξ )
第四节
曲率
一、曲率的概念与曲率的计算公式
（一）曲率的概念
如图 3-11 所示设 A ，B 是光滑曲线 L 上的两点，弧段 AB 的长度为 | s | ，曲线 L 在 A 点处的 切线倾斜角为 .
记 K ，称 K 为弧段 AB 的平均曲率． s
记 K lim ，称 K 为曲线 L 在点 A 处的曲率． s0 s
定理1 设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和 二阶导数，那么
（1）若在(a,b)内f,,(x)＞0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的； （2）若在(a,b)内f,,(x)＜0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的．
例 5 判定曲线 y ln x 的凹凸性． 解 函数 y ln x 的定义域为 (0 ， ) ，其导数为