【精品】2016年湖南省邵阳市洞口一中高一上学期期末数学试卷

湖南省邵阳县一中2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题（扫描版，无答案）
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湖南省省级示范性高中———洞口三中高一数学上学期期末统测试题(内容为必修三和必修四)方锦昌 fangjingchang2022@163 :139********考生注意:1、 本试卷共有三道大题,总分150分,测试时量为120分钟.2、 考生作答时,选择题和非选择题均答在做题卷上,在试题卷上作答无效.3、 测试结束后,只交做题卷.请你沉着细心地作答,发挥自己应有的水平,祝你胜利！一、 选择题：〔每题5分,共50分〕1、 cos(-30°)的值为：A 、 - 3 2B 、 3 2C 、-12D 、 122、 函数y=cos(π2- x)的单调递减区间为： A 、[2k π,〔2k+1〕π]〔k ∈z 〕； B 、[〔2k-1〕π,2k π]〔k ∈z 〕C 、[2k π-π2,2k π+π2]〔k ∈z 〕D 、[2k π+π2,2k π+3π2]〔k ∈z 〕 3、函数y=sin(2x+52)的图象的一条对称轴方程为： A 、x= 5π4 B 、x= -π2 C 、 x= π8 D 、x= π44、化简→AB+→CA+→BD+→DC+→AD 后结果为：A 、→ADB 、→AC C 、→ABD 、→05、|→a |=|→b |≠0且→a 与→b 不共线,那么→a +→b 与→a -→b 的关系为：A 、相等B 、相交但不垂直C 、平行D 、垂直6、将一枚均匀硬币先后抛两次,恰好有一次出现正面的概率为：A 、12B 、14C 、34D 、137、算法的三种根本逻辑结构是：A 、顺序结构、条件结构、循环结构B 、顺序结构、流程结构、循环结构C 、顺序结构、分支结构、流程结构D 、流程结构、循环结构、分支结构8、点M 〔3,-2〕,N 〔-5,-1〕,且→MP=12→MN,那么点P 的坐标为： A 、〔-8,1〕 B 、 〔1,32〕 C 、 〔-1,-32〕 D 、 〔8,-1〕 9、点O 是△ABC 内一点,且→OA •→OB =→OB •→OC=→OC •→OA,那么点O 为△ABC 的：A 、内心B 、外心C 、 重心D 、 垂心10、观察如下图的流程图,假设输入的x=1()93log ,那么输出的y 的值为： A 、1()93log B 、2 C 、 -3 D 、3二、填空题：〔每题5分,共25分〕 11、函数y=2sin(π2x - π6)(x ∈R)的最小正周期为_____ 12、|→a |=|→b |=2,且→a 与→b 的夹角 =π3,那么→a •→a +→a •→b =____ 13、→a =(2,1),→b =(-3,4),那么(3→a +4→b )•(→a -→b )=_______14、将二进制数〔101101〕2化为十进制的数为_______15、某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆、6000辆、2000辆,为检查该公司的产品质量,现用分层抽样的方法,抽取46辆进行检测,那么这三种型号的轿车依次应抽取_______________三、 解做题：〔共75分〕16、函数y= -3sin2x+a(x ∈R)的最大值为8；〔1〕求a 之值；〔2〕、求函数f(x)的最小值；〔3〕、写出取得最大值和最小值时相应的x 之值.17、sin α = cos2α,α∈(0,2π),求tan α之值.18、某射手在一次射击中命中9环的概率为0.28,命中8环的概率为0.19,不够8环的概率为0.29,求该射手在一次射击中命中9环或10环的概率.19、在△ABC 中,→AB=〔2,3〕,→AC=(1,k),且△ABC 为直角三角形,求k 的值.20、函数f(x)=→a •→b ,且→a =(2cosx,1),→b =(cosx,sinx),x ∈[-π3,π3],求f(x)的最值. 21、△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C,向量→m =(sinB,1-cosB)与向量→n =(2,0)的夹角的余弦值为12, 〔1〕、求角B 的大小；〔2〕求sinA+sinC 的取值范围.参考答案：一、选择题：B D B A D ； A A C D D二、填空题：〔11〕、4 〔12〕、6 〔13〕、-87 〔14〕、45 〔15〕、6、30、10三、解做题：16题： 〔1〕a=5; 〔2〕、最小值为2；〔3〕、取得最大值时的相应的x 的集合为{x|x=k π-π4,k ∈Z},取得最小值时的相应的x 的集合为{x|x=k π+π4,k ∈Z} 17题、± 3 318题：0.5219题、-23；113； 3±13 220、最大值为178,最小值为-121、B=2π3；所求取值范围为〔 3 2 ,1]。

2016-2017学年湖南省永州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）下列关系正确的是（）A．0=∅B．1∈{1}C．∅={0}D．0⊆{0，1}2．（5.00分）空间直角坐标系Oxyz中的点P（1，2，3）在xOy平面内射影是Q，则点Q的坐标为（）A．（1，2，0）B．（0，0，3）C．（1，0，3）D．（0，2，3）3．（5.00分）设函数，则f（﹣2）+f（1）=（）A．1 B．2 C．4 D．54．（5.00分）如图，△A'O'B'为水平放置的△AOB的直观图，且O'A'=2，O'B'=3，则△AOB的周长为（）A．12 B．10 C．8 D．75．（5.00分）某人开车去上班，开始匀速前行，后来为了赶时间加速前行，则下列图象与描述的事件最吻合的是（）A． B． C．D．6．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．2πB．4πC．5πD．6π7．（5.00分）若a=40.5，b=logπ3，c=logπ4，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b8．（5.00分）若直线（a﹣1）x﹣2y+1=0与直线x﹣ay+1=0平行，则a=（）A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．9．（5.00分）已知直线m，n是平面α，β外的两条直线，且m∥α，n⊥β，α⊥β，则（）A．m∥n B．m⊥n C．n∥αD．n⊥α10．（5.00分）已知点P（a，b）关于直线l的对称点为Q（3﹣b，3﹣a），则直线l的方程是（）A．x+y﹣3=0 B．x+y+b﹣a=0 C．x+y﹣a﹣b=0 D．x﹣y+3=011．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，有以下四个推断：（1）f（0）=0；（2）若f（﹣2）=1，则f（2）=1；（3）若f（x）在[1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数；（4）若f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣m，则f（x）在（﹣∞，0）上有最大值m．其中推断正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5.00分）《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f（x）=x2﹣2x+2，在上任取三个不同的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），均存在以f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m的取值范围为（）A．[0，1]B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知集合A={0，2，3}，B={2，a2+1}，且B⊆A，则实数a=．14．（5.00分）20160﹣log3=．15．（5.00分）若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y=9相切，则圆C 的标准方程为．16．（5.00分）在四面体S﹣ABC中，若，，，则这个四面体的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）已知函数的定义域为A，且B={x|x＞4}．（1）求集合A；（2）求A∪（∁U B）．18．（12.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=12，BC=10，AA1=8，过点A1、D1的平面α与棱AB和CD分别交于点E、F，四边形A1EFD1为正方形．（1）在图中请画出这个正方形（注意虚实线，不必写作法），并求AE的长；（2）问平面α右侧部分是什么几何体，并求其体积．19．（12.00分）一片森林原有面积为a，现计划每年采伐一些树木，且每年采伐的森林面积占上一年底森林面积的百分比为q，即第x（x∈N）年底的剩余森林面积为y=a（1﹣q）x，x与y的部分对应值如表：x012y a（1）求原有森林面积a和每年采伐森林面积的百分比q；（2）问经过多少年后，剩余的森林面积开始小于原来的．（注：lg2≈0.301，lg3≈0.477）20．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=1，，点E为棱PC的中点．（1）求直线BE与AD所成角的大小；（2）证明：BE⊥DC．21．（12.00分）如图，圆C：x2+y2+2x﹣3=0内有一点P（﹣2，1），AB为过点P 且倾斜角为α的弦．（1）当α=135°时，求AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程；（3）若圆C上的动点M与两个定点O（0，0），R（a，0）（a≠0）的距离之比恒为定值λ（λ≠1），求实数a的值．22．（12.00分）已知函数f（x）=|x2﹣1|+（k+4）x，g（x）=x2﹣4x．（1）若函数f（x）的图象过点（1，0），求k的值；（2）若函数y=g（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D 的长度为7﹣2t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（区间[p，q]的长度为q﹣p）；（3）若关于x的方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上有两个不同的x1，x2解，求k的取值范围．2016-2017学年湖南省永州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）下列关系正确的是（）A．0=∅B．1∈{1}C．∅={0}D．0⊆{0，1}【解答】解：对于A：0是一个元素，∅是一个集合，元素与集合是属于（∈）或者不属于（∉）关系二者必居其一，A不对．对于B：1是一个元素，{1}是一个集合，1∈{1}，∴B对．对于C：∅是一个集合，没有任何元素，{0}是一个集合，有一个元素0，∴C不对．对于D：0是一个元素，{0，1}是一个集合，元素与集合是属于（∈）或者不属于（∉）关系二者必居其一，D不对，故选：B．2．（5.00分）空间直角坐标系Oxyz中的点P（1，2，3）在xOy平面内射影是Q，则点Q的坐标为（）A．（1，2，0）B．（0，0，3）C．（1，0，3）D．（0，2，3）【解答】解：∵空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，2，3）在xOy平面内射影是Q，∴点Q的坐标为（1，2，0）．故选：A．3．（5.00分）设函数，则f（﹣2）+f（1）=（）A．1 B．2 C．4 D．5【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）=2﹣（﹣2）=4，f（1）==1，∴f（﹣2）+f（1）=4+1=5．故选：D．4．（5.00分）如图，△A'O'B'为水平放置的△AOB的直观图，且O'A'=2，O'B'=3，则△AOB的周长为（）A．12 B．10 C．8 D．7【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B=3，高OA=2O'A'=4，AB=5，∴直角三角形OAB的周长为3+4+5=12．故选：A．5．（5.00分）某人开车去上班，开始匀速前行，后来为了赶时间加速前行，则下列图象与描述的事件最吻合的是（）A． B． C．D．【解答】解：某人开车去上班，开始匀速前行，路程与时间是一次函数关系，所以A，D不正确；后来为了赶时间加速前行，路程与时间是二次函数关系，开口向上，所以C不正确，B正确；故选：B．6．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．2πB．4πC．5πD．6π【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是圆柱，底面直径为2，故半径r=1，高h=2，故该几何体的表面积S=2πr（r+h）=6π，故选：D．7．（5.00分）若a=40.5，b=logπ3，c=logπ4，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：∵a=40.5=2，b=logπ3∈（0，1），c=logπ4∈（1，2），故选：C．8．（5.00分）若直线（a﹣1）x﹣2y+1=0与直线x﹣ay+1=0平行，则a=（）A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．【解答】解：∵两条直线平行，∴≠（a≠0），解得a=﹣1．故选：B．9．（5.00分）已知直线m，n是平面α，β外的两条直线，且m∥α，n⊥β，α⊥β，则（）A．m∥n B．m⊥n C．n∥αD．n⊥α【解答】解：用排除法，如图，做出长方体ABCD﹣A1B1C1D1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，令面ADD1A1为α，面ABCD为β，下面判断以下四个命题：对于A，直线CB1为m，则m∥α，若CC1为n，则n⊥β，显然m∥n是假命题；对于B，此命题和上一命题是一样的，所以也是假命题；对于D，直线CB1为m，则m∥α，若CC1为n，则n⊥β，显然n⊥α是假命题；故选：C．10．（5.00分）已知点P（a，b）关于直线l的对称点为Q（3﹣b，3﹣a），则直线l的方程是（）A．x+y﹣3=0 B．x+y+b﹣a=0 C．x+y﹣a﹣b=0 D．x﹣y+3=0【解答】解：点P（a，b）关于直线l的对称点为Q（3﹣b，3﹣a），可得中点坐标为（，）斜率，∴直线l的斜率k l=﹣1，故得y﹣=﹣1（x﹣）．整理得：x+y﹣3=0．故选：A．11．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，有以下四个推断：（1）f（0）=0；（2）若f（﹣2）=1，则f（2）=1；（3）若f（x）在[1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数；（4）若f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣m，则f（x）在（﹣∞，0）上有最大值m．其中推断正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），其图象关于原点对称，在对称区间单调性相异；对于（1），f（﹣0）=﹣f（0）⇒f（0）=0，故正确；对于（2），f（﹣2）=﹣f（2）⇒f（2）=﹣1，故错；对于（3），因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f（x）在[1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数，故错；对于（4），其图象关于原点对称，f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣m，则f（x）在（﹣∞，0）上有最大值m，故正确；故选：B．12．（5.00分）《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f（x）=x2﹣2x+2，在上任取三个不同的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），均存在以f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m的取值范围为（）A．[0，1]B．C．D．【解答】解：由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，∵f（x）=x2﹣2x+2=2，∴x=0或2，∴m2﹣m+2≤2，∴0≤m≤1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知集合A={0，2，3}，B={2，a2+1}，且B⊆A，则实数a=．【解答】解：集合A={0，2，3}，B={2，a2+1}，∵B⊆A，∴a2+1=3或a2+1=0不成立，解得：a=．故答案为．14．（5.00分）20160﹣log3=2﹣log32．【解答】解：20160﹣log3=1﹣=1+=2﹣log32．故答案为：2﹣log32．15．（5.00分）若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y=9相切，则圆C 的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心C坐标为（a，b），半径为r，则其标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，圆C经过坐标原点和点（6，0），则有a2+b2=r2，①，（6﹣a）2+b2=r2，②，又由圆C与直线y=9相切，则r=|6﹣x|，③，联立①、②、③可得，故圆C的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，故答案为：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．16．（5.00分）在四面体S﹣ABC中，若，，，则这个四面体的外接球的表面积为14π．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC中，，，，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为，，，则长方体的对角线长等于三棱锥S﹣ABC外接球的直径．设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2+y2=13，y2+z2=10，x2+z2=5，∴x2+y2+z2=14∴三棱锥S﹣ABC外接球的直径为，∴三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为4=14π．故答案为14π．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）已知函数的定义域为A，且B={x|x＞4}．（1）求集合A；（2）求A∪（∁U B）．【解答】解：（1）由函数的定义域为A，得，解得2≤x＜5；∴集合A={x|2≤x＜5}；（2）∵集合B={x|x＞4}，∴∁U B={x|x≤4}，∴A∪（∁U B）={x|x＜5}．（写成A=[2，5），A∪（C U B）=（﹣∞，5）均不扣分）．18．（12.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=12，BC=10，AA1=8，过点A1、D1的平面α与棱AB和CD分别交于点E、F，四边形A1EFD1为正方形．（1）在图中请画出这个正方形（注意虚实线，不必写作法），并求AE的长；（2）问平面α右侧部分是什么几何体，并求其体积．【解答】解：（1）交线围成的正方形A1EFD1如图所示（不分实虚线的酌情给分）…（3分）∵A1D1=A1E=10，A1A=8，在Rt△A1AE中，由勾股定理知AE=6．…（6分）（2）几何体是以A1EBB1和为底面的直四棱柱，（棱柱或四棱柱均不扣分）由棱柱体积公式得．…（12分）（由体积之差法也不扣分）19．（12.00分）一片森林原有面积为a，现计划每年采伐一些树木，且每年采伐的森林面积占上一年底森林面积的百分比为q，即第x（x∈N）年底的剩余森林面积为y=a（1﹣q）x，x与y的部分对应值如表：x012y a（1）求原有森林面积a和每年采伐森林面积的百分比q；（2）问经过多少年后，剩余的森林面积开始小于原来的．（注：lg2≈0.301，lg3≈0.477）【解答】解：（1）由题意知，，解得．…（5分）（2）由题意得，，要使剩余森林面积开始小于原来的，则，即，…（7分）两边取对数并整理得，．…（11分）又x∈N，故经过6年后剩余森林面积开始小于原来的．…（12分）20．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=1，，点E为棱PC的中点．（1）求直线BE与AD所成角的大小；（2）证明：BE⊥DC．【解答】解：（1）如图，取PD中点M，连结EM，AM．由于E，M分别为PC、PD的中点，故；又，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∴∠MAD为异面直线BE与AD所成角（或补角），在Rt△PAD中，∵AD=DC=AP=1，∴∠MAD=45°，∴异面直线BE与AD所成角为45°．…（6分）证明：（2）∵PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，CD∩DA=D，∴CD⊥平面PAD，∵AM⊂平面PAD，∴CD⊥AM，又由（1）得BE∥AM，∴BE⊥CD．…（12分）21．（12.00分）如图，圆C：x2+y2+2x﹣3=0内有一点P（﹣2，1），AB为过点P 且倾斜角为α的弦．（1）当α=135°时，求AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程；（3）若圆C上的动点M与两个定点O（0，0），R（a，0）（a≠0）的距离之比恒为定值λ（λ≠1），求实数a的值．【解答】解：（1）由题意知，圆心C（1，0），半径R=2，直线AB的方程为x+y+1=0，直线AB过圆心C，所以弦长AB=2R=4．…（4分）（2）当弦AB被点P平分时，AB⊥PC，k AB•k PC=﹣1，又k PC=﹣1，所以k AB=1，直线AB的方程为x﹣y+3=0．…（8分）（3）设M（x0，y0），则满足，①…（9分）由题意得，，即．…（10分）整理得，②由①②得，恒成立，所以，又a≠0，λ＞0，λ≠1，解之得a=3．…（12分）22．（12.00分）已知函数f（x）=|x2﹣1|+（k+4）x，g（x）=x2﹣4x．（1）若函数f（x）的图象过点（1，0），求k的值；（2）若函数y=g（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D 的长度为7﹣2t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（区间[p，q]的长度为q﹣p）；（3）若关于x的方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上有两个不同的x1，x2解，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（1）=0，即k+4=0，∴k=﹣4．…（3分）（2）∵g（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，x∈[t，4]．…（4分）①当2≤t＜4时，g（t）≤g（x）≤g（4）⇒g（x）∈[t2﹣4t，0]，∴0﹣（t2﹣4t）=7﹣2t，解之得，∴t∈ϕ．…（5分）②当0≤t＜2时，g（2）≤g（x）≤g（4）⇒g（x）∈[﹣4，0]，即7﹣2t=4，解之得，∴．…（6分）③当t＜0时，g（2）≤g（x）≤g（t）⇒g（x）∈[﹣4，t2﹣4t]，即t2﹣4t+4=7﹣2t，解之得t=﹣1或t=3∉（﹣∞，0），∴t=﹣1；综上所述，或t=﹣1．…（8分）（3）当0＜x≤1时，方程h（x）=0化为kx+1=0，k=0时，无解，k≠0时，；…（9分）∴，∴k ≤﹣1．当1＜x ＜2时，方程h （x ）=0化为2x 2+kx ﹣1=0，，而，故f （x ）=0在区间（1，2）内至多有一解：，∴，∴．…（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 ①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．综合所述，．…（12分）。

一、单选题1．已知集合，则（ ） {}{23},0,1,2A xx B =-<<=∣A B = A ． B ．C ．D ．{}1,0,1,2-{}2,0,1-{}0,1,2{}0,1【答案】C【分析】根据交集的定义即可求. 【详解】 A B = {}0,1,2故选：C.2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（ ） x 2320x x -+<{}x m x n <<∣m n +A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【分析】根据三个二次的关系，再结合韦达定理可求.【详解】依题意可得，分别是关于的一元二次方程的两根，根据韦达定理可,m n x 2320x x -+=得：. 3m n +=故选：A.3．下列函数是偶函数的是（ ） A ． B ． lg y x =2x y =C ． D ．3y x =cos y x =【答案】D【分析】利用常见函数的奇偶性直接判断即可得出结论.【详解】函数为非奇非偶函数；函数为非奇非偶函数； lg y x =2x y =函数为奇函数，函数为偶函数. 3y x =cos y x =故选：D.4．已知则（ ） 0.4231log 3,2,log 2a b c -===A ． B ． a b c >>b a c >>C ． D ．a cb >>c a b >>【答案】A【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值0，1进得判断即可． 【详解】因为，，，所以. 22log 3log 21a =>=0.400221b -<=<=331log log 102c =<=a b c >>故选：A ．5．若，则“”是“”的（ ） ,R a b ∈a b <ln ln a b <A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件必要条件的定义即可. ln ln a b <【详解】由得， ln ln a b <0a b <<因为若，则，反之不成立， 0a b <<a b <故“”是“”的必要不充分条件， a b <0a b <<即“”是“”的必要不充分条件. a b <ln ln a b <故选：B6．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则αx α12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭sin2α=（ ）A ．B ．C ．D ．1214【答案】A【分析】根据三角函数的定义得1sin ,cos 2y x r r αα====解决即可.sin22sin cos ααα=【详解】由题得，角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点， αx α12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以, 1r OP ===所以 1sin ,cos 2y x r r αα====所以 1sin22sin cos 22ααα⎛==⋅⋅= ⎝故选：A7．2021年10月16日0时23分，长征二号F 遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：v ln 1⎛⎫=+ ⎪⎝⎭M v w m ，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对M m w火箭的速度．当时，千米/秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使3M m = 5.544=v w 25m =v 超过第一宇宙速度达到千米/秒，则至少约为（结果精确到，参考数据：，8M 12e 7.389≈）（ ）ln 20.693≈A ．吨 B ．吨C ．吨D ．吨135160185210【答案】B【分析】根据所给条件先求出，再由千米/秒列方程求解即可. w 8v =【详解】因为当时，， 3M m = 5.544=v 所以， 5.544 5.544ln 42ln 2w ==由， 5.544ln(182ln 1ln 225M v w m M +⎛⎫=+=⎪⎝=⎭得，ln 1225M ⎛⎫+≈ ⎪⎝⎭所以， 21e 7.38925M+≈≈解得（吨）， 159.725160M =≈即至少约为吨. M 160故选：B8．已知函数，用表示中的较小者，记为()()221,,R f x x g x x x =-+=-∈()M x ()(),f x g x ，则的最大值为（ ）()()(){}min ,M x f x g x =()M x A ． B ．1C ．D ．1-12-12【答案】D【分析】先把写成分段函数的形式，再求最大值即可 ()M x 【详解】令，即,解得, 221x x -+>-2210x x --<1<<12x -所以，[)21,,12()121,,1,2x x M x x x ∞∞⎧⎛⎫-∈- ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎤⎪-+∈--⋃+ ⎥⎪⎝⎦⎩当时，由在定义域内单调递减可得，1,12x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭y x =-11()22M x M ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭当时，由二次函数的性质可得,[)1,1,2x -⎛⎤∈-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦max 11()()22M x M =-=综上，函数的最大值为， ()M x 12故选：D二、多选题9的是（ ） A ． B ． cos150 cos12cos42sin12sin42+ C ． D ．2sin15cos15 22cos 15sin 15- 【答案】BD【分析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案．【详解】A 错误； c 3os150cos(180co 00)s3=-=-=，故B 正确； ()()cos12cos42sin12sin42cos 12cos cos304230︒︒︒︒+====-- ，故C 错误； 12sin15cos15sin 302︒︒︒==D 正确． 22cos 15sin 1cos305︒-==故选：BD.10．下列说法正确的是（ ）A ．命题“”的否定是“” 2R,0x x ∀∈≥2R,0x x ∀∈≤B ．若正数满足，则 ,a b 1a b +=14ab ≤C ．函数的最小正周期是()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πD ．半径为1，圆心角为的扇形的弧长等于π3π3【答案】BCD【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A ；利用基本不等式可判断B ；利用三角函数的周期公式可判断C ；利用扇形的弧长公式可判断D.【详解】命题“”的否定是“”，故A 错误； 2R,0x x ∀∈≥2R,0x x ∃∈<，当且仅当时，等号成立，故B 正确；2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭12a b ==函数的最小正周期，故C 正确；()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2ππ2T ==半径为1，圆心角为的扇形的弧长为，故D 正确.π3ππ133⨯=故选：BCD.11．已知函数，则下列说法正确的是（ ） ()()2222,22x x x xf xg x ---+==A ．函数的图象关于轴对称 ()g x xB ．函数在区间上单调递增 ()f x ()1,1-C ． ()()()22f x f x g x =D ． ()()()222g x g x f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦-【答案】BC【分析】由函数的定义可判断A ；由函数与都是上的增函数可判断B ；计算等式的2x y =2x y -=-R 两边进行验证可判断C 、D.【详解】由函数的定义可知，函数的图象不关于轴对称，故A 错误； ()g x x 因为函数与都是上的增函数，则是上的增函数，所以函2xy =12()2xx y -=-=-R ()222x xf x --=R 数在区间上单调递增，故B 正确；()f x ()1,1-，故C 正确；22222222(2)22()()222x x x x x xf x f xg x -----+==⋅⋅=，，故D 错误． ()222222x xg x -+=()()22222222122x x x x g x f x --⎛-⎫⎛⎫+-=-=⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭故选：BC.12．已知正实数满足，则（ ）,,x y z 236x y z ==A ．B ． 111x y z +=236x y z >>C ． D ．24xy z <4x y z +>【答案】AD【分析】令，得出．选项A ，根据换底公式计算即可判断；选项B ，结合作236x y z t ===x y z ，，差法和换底公式即可判断；选项C 、D ，利用换底公式进行化简，再结合基本不等式即可判断． 【详解】令，则，可得：，，． 236x y z t ===1t >2log x t =3log y t =6log z t =对于A ，，故A 正确； 231111lg 2lg 3lg 61log 6log log lg lg lg t x y t t t t t z+=+=+===对于B ，因为，故，1t >lg 0t >，即； 232lg 3lg 2log 3log lg 2lg 323t t t x t y -=-=-()23lg lg 3lg 2lg 2lg 3t -=⋅9lg lg80lg 2lg 3t =>⋅23x y >，即，故B 错误． ()3623lg lg3lg lg 62lg 33lg 6lg 3363log 6log 0lg 3lg 6lg 3lg 6lg 3lg 6t t t t y z t t ⋅--=-=-==<⋅⋅36y z <对于C ，，，， ()223lg lg lg log log lg 2lg 3lg 2lg 3t t t xy t t =⋅=⋅=⋅()()()2222624lg lg 44log 4lg 6lg 6t t z t ⎛⎫=== ⎪⎝⎭lg 0t >因为，（因为所以等号不成立）， ()22lg 6lg 2lg 30lg 2lg 324+⎛⎫<⋅<=⎪⎝⎭lg 2lg 3≠所以，则，即，故C 错误； ()214lg 2lg 3lg 6>⋅()()()222lg 4lg lg 2lg 3lg 6t t >⋅24xy z >对于D ，，，， 23lg lg lg 6lg log log lg 2lg 3lg 2lg 3t t t x y t t ⋅+=+=+=⋅64lg 44log lg 6t z t ==lg 0t >因为，（因为所以等号不成立）， ()22lg 6lg 2lg 30lg 2lg 324+⎛⎫<⋅<=⎪⎝⎭lg 2lg 3≠所以，则，即，故D 正确． ()214lg 2lg 3lg 6>⋅()2lg 6lg 4lg 6lg 4lg lg2lg 3lg 6lg 6t t t⋅⋅>=⋅4x y z +>故选：AD ．三、填空题13．若幂函数的图象经过点，则的值等于_________. ()y f x =(2()4f 【答案】2【解析】设出幂函数，将点代入解析式，求出解析式即可求解. ()fx x α=(2【详解】设，函数图像经过， ()f x x α=(2，解得， 2α=12α=所以， 12()f x x =所以. ()12442f ==故答案为：2【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 14．__________.1323log 3log 28⋅+=【答案】3【分析】根据对数换底公式及分数指数幂运算即可求得答案.【详解】解：. 1323lg 3lg 2log 3log 2823lg 2lg 3⋅+=⋅+=故答案为：3.15．若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2）()f x 12,x x 120x x <<()()12f x f x <，则__________.（写出满足这些条件的一个函数即可） ()()()1212f x x f x f x +=()f x =【答案】（答案不唯一）2x 【分析】由条件（1）可判断函数在上单调递增；条件（2）符合指数幂的运算性质：()f x (0,)+∞，（且），即可得解. 1212x x x x a a a +=⋅0a >1a ≠【详解】由条件（1）对于任意实数，当时，都有，可得函数在12,x x 120x x <<()()12f x f x <()f x 上单调递增，(0,)+∞条件（2）符合指数幂的运算性质：，（且），1212x x x x a a a +=⋅0a >1a ≠故可选一个单调递增的指数函数：．()2xf x =故答案为：（答案不唯一）．2x 16．已知，函数，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是R t ∈()2,3,x x tf x x x x t ≥⎧=⎨+<⎩()40f x -=t __________.【答案】(]()4,14,∞-⋃+【分析】根据分段函数，得函数图象，求得是所有可能的根，结合图象可的方程()40f x -=恰有2个实数解时的取值范围.()40f x -=t 【详解】解：函数，函数图象如下图所示：()2,3,x x tf x x x x t ≥⎧=⎨+<⎩方程，若，即；若，得，；()40f x -=40x -=34x =2340x x +-=14x =-21x =结合图象可知：当时，方程仅有一个实数解；4t ≤-()40f x -=4x =当时，方程恰有两个实数解，； 41t -<≤()40f x -=4x =-4x =当时，方程恰有三个实数解，，； 14t <≤()40f x -=4x =-1x =4x =当时，方程恰有两个实数解，；4t >()40f x -=4x =-1x =综上，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是. ()40f x -=t (]()4,14,∞-⋃+故答案为：.(]()4,14,∞-⋃+四、解答题17．已知集合. {}21,{26}A xa x a B x x =<<+=<<∣∣(1)当时，求； 2a =A B ⋂(2)若，求实数的取值范围. A B ⊆a 【答案】(1) {25}xx <<∣(2) ⎡⎣【分析】（1）由交集的定义求解即可； （2）根据题意列出不等式组求解．【详解】（1）当时， 2a ={25}A x x =<<∣因为 {26}B xx =<<∣所以. {25}A B xx ⋂=<<∣（2），22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭ 恒成立，，21a a ∴<+A ∴≠∅A B ⊆，解得： 22,16a a ≥⎧∴⎨+≤⎩2a ≤≤故实数的取值范围为.a ⎡⎣18．已知函数. ()()()22log 1log 1f x x x =+--(1)求函数的定义域；()f x (2)若函数，求的零点. ()()4g x f x =-()g x 【答案】(1) ()1,1-(2)零点为. 1517【分析】（1）根据函数有意义，建立不等式组，求解即可； （2）令，得，解方程即可．()0g x =()4f x =【详解】（1）由题意得，解得.1010x x +>⎧⎨->⎩11x -<<所以的定义域为.()f x ()1,1-（2）令 ()()()40,4g x f x f x =-=∴=，解得， 211log 41611x x x x ++∴=⇒=--()151,117x =∈-故的零点为. ()g x 151719．（1）已知，求的值；sin 2cos 0αα+=22cos sin sin cos αααα-（2）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中sin 2cos 0αα+=sin cos αα+=并解答.已知为第四象限的角，__________.的值.α4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】（1）（2）16【分析】（1）由题意得，所求式子弦化切代入计算即可；tan 2α=-（2）选择①：由同角的三角函数关系式求得，然后利用两角差的正弦计算即可；选择sin ,cos αα②：利用结合角的范围求得，然后利用两角差的正弦22(sin cos )2(sin cos )αααα-=-+sin cos αα-计算即可.【详解】（1）由，得，sin 2cos 0αα+=tan 2α=- 222cos 11.sin sin cos tan tan 6αααααα∴==--（2）选择①：，即，sin 2cos 0αα+=tan 2α=-为第四象限的角，，αQ sin 0,cos 0αα∴<>又22sin cos 1,sin αααα+=∴==sincos αα∴-=. )sin cos 4πααα⎛⎫-=-=⎪⎝⎭选择②：，， sin cos αα+=22sin cos 1αα+=，229(sin cos )2(sin cos )5αααα∴-=-+=为第四象限的角，，αQ sin0,cos 0αα∴<>sin cos αα∴-=. )sin cos 4πααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭20．为全面落实“三高四新”战略定位和使命任务，推动“一极六区”建设走深走实，郴州市委市政府实施“人才兴郴”战略，加大科技创新力度，以科技创新催生高质量发展．某公司研发部决定将某项最新科研技术应用到生产中，计划该技术全年需投入固定成本600万元，每生产百件该产品，需x 另投入成本万元，且，假设该产品销售单价为万元/件，()p x 210,060()6400712000,60x x x p x x x x ⎧-<<⎪=⎨+-≥⎪⎩0.7且每年生产的产品当年能全部销完．(1)求全年的利润万元关于年产量百件的函数关系式；()f x x (2)试求该企业全年产量为多少百件时，所获利润最大，并求出最大利润．【答案】(1) 280600,060()64001400(),60x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩(2)当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．【分析】（1）根据题意分为，两种情况，求得函数解析式； 060x <<60x ≥（2）结合二次函数的性质和基本不等式，分段讨论得出最大值．【详解】（1）（1）当时，060x <<()()22706001080600f x x x x x x =---=-+-当时， 60x ≥()64006400706007120001400f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 280600,060()64001400(60x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩（2）（2）若，，060x <<()()2208060000041f x x x x =-++-=--则当时，（万元） 40x =()max ()401000f x f ==若（万元）， ()640060,1400140014001601240x f x x x ⎛⎫≥=-+≤-=-= ⎪⎝⎭当且仅当时“＝”成立．80x =则当时，（万元）80x =max ()1240f x =万元万元，1000 1240<故当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．21．已知函数的部分图象如图所示. ()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()f x (2)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的()f x 4π()y g x =，当时，恒成立，求实数的最大值.[]12,,x x m m π∈-12x x >()()()()1212f x f x g x g x -<-m 【答案】(1) ()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1724π 【分析】（1）根据图像得出周期，即可根据三角函数周期计算得出，将点代入新解析ω5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭式，得，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出，将点代入新解析5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ϕ()0,1式，即可得出，即可得出答案；A （2）设，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的()()()h x f x g x =-定义得出在区间上单调递减，由三角函数的单调区间解出的单调递减区间，即()h x [],m m π-()h x可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.【详解】（1）由图像可知，周期， 11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 22Tπω∴==因为点在函数图像上， 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，即， 5sin 2012A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又， 02πϕ<<， 554663πππϕ∴<+<则，即， 56πϕπ+=6πϕ=因为点在函数图像上，所以，即，()0,1sin 16A π=2A =故函数的解析式为. ()f x ()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由题意可得， ()2sin 22cos 2466g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦设 ()()()2sin 22cos 266h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22,6412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当时，恒成立，[]12,,x x m m π∈-12x x >()()()()1212f x f x g x g x -<-即恒成立，()()()()1122f x g x f x g x -<-即恒成立，()()12h x h x <在区间上单调递减，()h x ∴[],m m π-令，解得， 32222122k x k πππππ+≤-≤+719,2424k x k k Z ππππ+≤≤+∈因为，所以，则，m m π-<2m π>2m ππ-<故，解得， 7241924m m πππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩17224m ππ<≤所以最大值为. m 1724π22．已知函数为奇函数. ()()22R 21x x t t f x t ⋅-+=∈+(1)利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增；()f x R (2)若正数满足，求的最小值； ,a b ()()2120f a f b ++-=2212a b +++(3)解不等式. ()22220f x x -+->【答案】(1)证明见解析；(2)； 165(3). (),-∞+∞【分析】（1）利用函数的奇偶性得出，然后利用函数单调性的定义证明即可；1t =（2）由已知条件求得，即，利用“1”的妙用和基本不等式求解即可； 21a b +=()2125a b +++=（3）令，易知是奇函数，且在上单调递增，又，不等式()()g x f x x =+()g x R ()00g =，从而，求解即可． ()()()22222020f x x g x g -+->⇔->220x ->【详解】（1）函数的定义域是，由题意得，解得：，则， ()f x R ()00f =1t =()2121x f x =-+，为奇函数，故， ()()22222112021212121x x x x x f x f x -⋅-+=-+-=--=++++ ()f x \1t =任取，且， 12,R x x ∈12x x <则， ()()12211222221121212121x x x x f x f x -=--+=-++++()()()()12122121111122222221212121x x x x x x x x +++++---==++++因为，且，所以，12,R x x ∈12x x <121211220,210,210x x x x ++<-+>+>所以，故， ()()()()122111122202121x x x x f x f x ++-=<++-()()12f x f x <所以函数在上单调递增；()f x R （2）因为为奇函数，()()()2120,f a f b f x ++-=所以，又函数在上单调递增，()()()2122f a f b f b +=--=-()f x R 所以正实数满足，所以，,a b 21221a b a b +=-⇒+=()2125a b +++=所以()2412421212512a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()228118512b a a b ⎡⎤++=++⎢⎥++⎣⎦， 116855⎡⎢≥+=⎢⎣当且仅当，即时取等号， ()()24112b a a b ++=++11,42a b ==所以的最小值为. 2412a b +++165（3）令， ()()2121x x g x f x x -=+=++因为和都是奇函数，且在上单调递增，所以是奇函数，且在上单调递增.()y f x =y x =R ()g x R 又，不等式.()00g = ()()()22222020f x x g x g -+->⇔->从而，解得或.220x ->x >x <故不等式的解集为. (),-∞+∞。