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九年级数学：一元二次方程根与系数的关系练习题(有答案)

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、单项选择题: 一元二次方程根与系数的关系习题1.关于x 的方程ax 2 2x 1 0中,如果a 0,那么根的情况是( B ) (A) (C) 有两个相等的实数根 没有实数根 (B)有两个不相等的实数根 (D)不能确定 解: (2)2 4a 4a 0 原方程有两个不相等的实数根.2.设 (A) 解: X i 4 4a 4 4a 0 X 1,X 2是方程2x 215 (B) 12 方程两根为 X 23, x 1x 2 6x (C) 6 X i, X 2 3 0的两根,那么 (D) 3 2 X 1 3.以下方程中,有两个相等的实数根的是((A)2y 2+5=6y (B) x 2+5=2 5 x (C) 3 x 2 (此题为找出 0〞的方程即可)2 X 1 2 X 22 X 2的值是( (X i 32B ) —2 x+2=0 4.以方程X 2+2X —3=0的两个根的和与积为两根的 (A) y 2+5y —6=0 (B) y 2+5y + 6=0 解：设方程两根为X1, X2,那么: x 1 x 2 2, x 1x 23为根的一元二次方程为 5.如果X 1, X 2是两个不相等实数,且满足 (A) 2(B) -2 X 2)2 21 2x 1x 2 (D) 3x 2—2^x+1=0 二次方程是 (C) y 2-5y + 6=0 (D) 2 - y [( 2)( 3)]y ( 即：y (C) 5y解：X ：22x 1 1, x 2 2X 2 x n X 2可看作是方程x2x 二、填空题: 1、如果 二次方程 4x k 2 解：方程X 2 4x k 2有两个相等的实数根2X 1 2x 12X2(D)的两根X 1X22)( 3) 02x 2 1,那么X i ? X 2等于0有两个相等的实数根,那么 k= 2.16 4k 22、如果关于x的方程2x2(4 k 1)x 2k20有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是k 9.解：方程2x2 (4 k 1)x 2k2 1 0 8k有两个不相等的实数根[(4k 1)]2 8(2k21)3、x1,x2是方程2x27x 4 0的两根,那么x17 2 x2 = 一 , x〔x? = 2 , (x1 x2)= 2(x1 x2)2 4x1 x2274、假设关于x的方程(m2 2)x2 (m 2)x 1 0的两个根互为倒数,那么m = d3.解：设方程两根为x1, x2,那么: ,32[(m 2)]2 24(m2 2) 0 方程两根互为倒数 2[(m 2)]2 24(m2 2) 014x2 - ------- 1m 2m = 4时,方程mx 4 0有两个相等的实数根;解: 方程x2mx 4 0有两个相等的实数根解:m216m 4且m 0时,方程mx24x 1 0有两个不相等的实数根; 方程mx24x 1 0有两个不相等的实数根16 4m 0 且m 04且m 0时,原方程有两个不相等的实数根.6、关于x的方程10x2 (m 3)x m 7 0,假设有一个根为0,那么m=7,这时方程的另一个根是1；假设…,3 … 八、,、………8 ■两根之和为一工,那么m = 9,这时方程的 两个本!!为X 1x 2 1.5—— 5解 乂1)设方程 10x 2 (m 3)x m 7 0m 7 y---------- ②10由②,得:(5x 8)( x 1) 0m 7, x 1 1时,方程一根为0 x8或x 157、如果x 2 2(m 1)x m 2 5是一个完全平方式,那么方程x 2 2( m 1)x m 2 5 0W 两个相等实根m 2[2(m 1)]2 4(m 2 5) 08、方程2x(mx 4) x 2 6没有实数根,那么最小的整数 m = 2； 解：将方程 2x( mx 4) x 2 648 m 88 0化简,得：(2m 1)x 2 8x 6 0原方程没有实数根64 24 (2m 1) 0另一根为 X i,那么:10m 7100 X i m 3 —— a 10 、一 一 3原方程两根之和为 -5将m 7代入①,得:原方程可化为：5x 2 3x 8 09、方程2(x 1)(x 3m) x(m 4)两根的和与两根的积相等,那么m =2;(2)设原方程两根为a 、b,那么:0?X i10 5m =2 ；解：令 x 2 2( m 1)x m 2 5 0 4(m 2 2m 1) 4m 2 20 0x 2 2(m 1)x m 2 5是完全平方式8m 16 0x 1 1 11 m -6最小整数m 为2解：将方程 2(x 1)(x 3m) x(m 4)化简,得：2x 2 (7m 2)x 6m 0 设方程两根为x1,x 2,那么：7m 2x 1 x 2 ---, x 1x 2 3m方程两根的和与两根的积相等m 2当 m 2时,[(7m 2)]2 48m 0将m 8代入①,得：n 2将m 8, n2代入③,得: k 8 ( 2)16k 16解：原方程有实数根3 m -4 3 .当m -时,原万程有两个实数 根.4解：方程两根为2、；3和2 73,(2 .3)- (2 、3) p , (2 .,3)(2 .3) q解之,得:10、设关于x 的方程x 2 6x k0的两根是m 和n ,且3m 2n20,那么k 值为16;①X 2-③,得:当 k16时, 36 4k 011、假设方程 x 2 (2m 1)x m 2 1 0有实数根,那么 m 的取值范围是 m12、一元二次方程 x 2px q 0两个根分别是273 和 2 13,那么 p= 4 ,q= 1;7m 2 23m解：m 、n 是方程的两根r m n 6①* mn k ②I 3m 2n 20 ③4m 3[(2m 1)]2 4(m 2 1) 01,24m 4m 14m4 0p 4'' q 1 p4, q 113、方程3x219x m 0的一个根是1,那么它的另一个根是16X — , m=16;3解：设方程的另一根为X i,那么:m 16mX1 3当a 16时, 19212a 0由①,得：X116方程另一根为16m 1&方16 , _ 口将X 一代入②,得:314、假设方程x2mx 1 0的两个实数根互为相反数,那么m的值是0;解：设方程两根为X1,X2,那么:x1 x2m 0时,m2 4 0 方程两根互为相反数0时,原方程两根互为相反数.X1x2m 015、m、n是关于x的方程x2(2m 1)X m2 1 0的两个实数根,那么代数式m n =1o解: m、n是方程的两根将①代入②,得:m n 2m 1 m(m 1)2mn m化简,得: 1代入①,得:2mn m (1)216、方程X23x 1 0 的两个根为a ,3,那么a +3=3, "3=1;17、如果关于x的方程x24x m 0与x2x 2m 0有一个根相同,那么m的值为0或3 ;解：方程有一个相同的根将x m代入x24x m 0,得:2 , 2 cx 4x m x x 2m 2m 4m m 0(4 1)x 2m m m(m 3) 0这个相同的根为:18、方程2x23x 0的两根之差为22 ,那么k= 2;解：设方程两根为x1, x2, 那么:2k254x i x2 21 22时,9 8k 0(x i x2)2254关于x的方程2x23x k 0两根19、解:20、解: x1 x2)24x1 x2254、,,1 ,差为2—时,k 22假设方程x2(a22)x 3 0的两根是1和一3,那么a= 2; 方程两根1和(3) (a2 2)D、假设关于x的方程设方程两根为义, x2, x2 2(m 1), x1x2方程两根互为倒数2x1 x2 4m 12(m那么:4m21)x 4m20有两个实数根,且这两个根互为倒数,②、关于x的一元二次方程(a2 1)x2F 1那么m的值为一；2[2(m 1)]2[2(m 1)]216m216m2(a 1)x 1 0两根互为倒数,那么a=J2.a 1 x 1 x 22——,x 1 x 2a 1方程两根互为倒数1 a2 1当 a.2时, (a 1)2 4(a 2 1) 0 当 a..2时,(a 1)24(a 2 1) 0a .. 2a 2 1 1解：设方程的另一根为 x v 那么:a . 2 1当 a 2 1时,2 4a 0方程另一根为x 1, a .2 1将x 1 1代入②,得:36 4k 4k 8k 8寸,36 4k 0 (2)关于x 的方程x 6x k 0的两根23、方程2x 2 mx 40两根的绝对值相等,那么 m=0ox 〔 x 2差为2时,k 8.解：设方程两根为x1, x 2,那么:a 、,221、如果关于x 的一元二次方程x 2 J2x a 0的一个根是1— &,那么另一个根是 x 1,a 的值为J2 1.解：设方程两根为x1, x 2,那么: 当 x 〔 x 2时,x 〔 x 2 0x 1 x 2x 1x 2 x 1 x 21 a2 1( 1 V2 x 1 <2①1(1 &)x 〔 a ②由①,得：x 1 22、如果关于x 的方程x 2 6x k0的两根差为2,那么k=8.解：设方程两根为x1, x 2,那么:x 1 x 2 6, x 1x 2 k x 1 x 2 2(x 〔 x 2)242(x 1 x 2) 4x 1 x 24x1 X2M£X1x2当x i x2 时,m2 32 0 m232 0当m 0时, m232 0 2x2mx 4 0两根绝对值相等时,m 0.x i x2qx r 0( p 0)的两根为0和一1,贝U q ： p=1:1.解: 设方程两根为x2, 那么:方程两根为0和x i X29p(1)25、方程3x2x 1 0 ,要使方程两根的平方和为13—,9那么常数项应改为2.解: 设方程两根为xi, x2, (¥2m3139并设方程的常数项为i 6m 13x i x2 1 3,x/22x i 2 x2 1392时,i 12m 0x2)22X1X2139常数项应改为2.26、方程x24x 2m 0的一个根a比另一个根3小4,那么a = 4 ;=0 ；m=0 .解：据题意,得：「 4 ①< 2m ②1 4③①+③,得：4将4代入①,得：0将4, 0代入②,得：m 0当m 0时, 16 8m 04, 0, m 02 1 13 1 27、关于x的万程x 3mx 2(m 1) 0的两根为x1,x2,且———一,那么m= 一.24、一元二次方程px2解：设方程2x 2 3x两根为x1,x 2,那么:9-0 m -时,方程有两个正根8m 0当m 0时,方程有一根为0.(2)、方程有一个正根,一个 负根 三、解答以下各题：1、3-也 是方程x 2 mx 7 0的一个根,求另一个根及 m 的值. 解：设方程的另一根为刈,那么:(3 j2)x1 7②答：方程另一根为3 <2 ,由②,得：x 13 22m 6.解：方程两根为x 1, x 2,那么:X i X 2 3 x 1 x 2 4 3m 3 x 1 x 2 3m, x 1x 2 2(m 1) 一2(m 1)41 1 3 一— — 12m 6( m 1)x 1 x 2 4 m 1时, (3m)2 8(m 1) 0328、关于x 的方程2x 2 3x m _ _ 9 .................................. 0,当0 m 一时,万程有两个正数根；当8m 0时,方程有一个正根,个负根；当m 0时,方程有一个根为 0.x 1 x 2 (1)、方程有两个正数根 方程有一个正根,一个负根9 8m 0x 1, x 2 m 0又方程有两个正数根 9 8m 09 m8m 0当m 0时,方程有一正一负两个根(3)、方程有一根为0x 1, x 23 2将x1 3 代入①,得：2、m取什么值时,方程2x2 (4m 1)x 2m2 1 0(1)有两个不相等的实数根,(2)有两个相等的实数根,(3)没有实数根；解：(4 m 1)2 8(2m2 1)16m28m 1 16m288m 9(1)有两个不相等的实数根8m 9 09 m -8, 9-当m -时,原方程有两个8不相等的实数根.(2)有两个相等的实数根3、求证：方程(m2 1)x2 2mx (m2 4)证实：(2m)2 4(m2 1)(m2 4)4m2 4(m4 5m2 4)4m416m2164(m4 4m2 4)2 24(m2 2)24、求证：不管k为何实数,关于x的式子(x解：令(x 1)(x 2) k2 0即:8m 9 09 m8, 9-当m -时,原方程有两个8相等的实数根.(3)没有实数根8m 9 09 m8当m 9时,原方程无实根.80没有实数根.m22 04(m2 2)2 0即：0方程(m2 1)x2 2mx (m2 4) 0没有实数根.21)(x 2) k都可以分解成两个一次因式的积.x2 33x 2 k209 4(2 k2)4k214k2024k 1 0方程(x 1)(x 2) k2 0有两个不相等的实数根不管k为何实数,关于x的式子 2 .... (x 1)(x 2) k都可以分解成两个一次因式的积.解：令2x2 (4k 1)x 2k2 1 0 8k 9 0a是实数,且方程x22ax 10有两个不相等的实根,试判别方程x2 2ax 1 1(a2x2 a2 1)2解：x2 2ax 1 1(a2x2 a2 2 0有无实根？1) 0 4a24 00 a214a44,20 a2204a4 20a2 24 0即：04a420a224 2 12 2 2万程x 2ax 1 -(ax a 1) 07、关于x的方程mx2nx 2 0两根相等,方程x24mx 3n 0的一个根是另一个根的3倍.求证: 方程x2 (k n)x (k m) 0 一定有实数根.2 2 2 2 」2x 4ax 2 a x a 1 (2 a2)x2 4ax a23 016a2 4(2 a2)(a2 3)16a2 4(2 a2)(a2 3)5、当k取什么实数时,二次三项式2x2 2 ,(4k 1)x 2k 1可因式分解当2x2 (4k 1)x 2k2 1 0 有两个实根时,原二次项式可因式分解2 2(4k 1)2 8( 2k2 1) 0 2x29 , 一,-时,二次三项式8(4 k 1)x 2k2 1可因式分解.方程x22ax 1 0有两个不等实根有两个不相等的实数根.m 2 n 4将m 2, n 4代入方程x 5 (k n)x (k m) 0得： x 2 (k 4)x (k 2) 0#： (k 4)2 4(k 2)k 2 8k 16 4k 8 k 2 4k 242(k 2)2202(k 2)2 0 (k 2)2 20 0方程 x 2 (k n)x (k m) 0 一定有实数根.25mx 3n 0的两根之比为 2 : 3,方程x 2nx 8m 0的两根相等(mnw0).求证：对的两根比为2:3设此方程两根为2a 和3a,那么:i52a 3a mI23 2a?3a -n2n m 2①mx 2 (n k 1)x k 1 0#： 2x 2 (4 k 1)x k 1 02(3 k)28( k 1) _ _2 一 一9 6k k 8k 8 k 2 2k 152证实： 方程2x 5mx 3n 0 将m 2, n 4代入方程证实：方程mx nx 2 0 两根相等m 0 2n 8m 0①方程 x 2 4mx 3n 0 一根是另一根的 设方程一根为x 1 3x 1 x 1 ?3x 12n m将②代入①,得：4m 8m 0m(m 3 8) 0m 0 或 m 2 m 03倍x 1,另一根为3x 1,那么: 4m 3n2)8、方程2x 2方程x22nx 8m 0两根相等 2(k 1)2 4n232m 0 (k 1)2 08m8m 对于任意实数k,方程m(m3 8) 2mX (n k 1)x k 1 0m mn 0或m24恒有实数根.9、设X i, X2是方程2x24X0的两根,利用根与系数关系求以下各式的值:⑴、(X i 1)(X21) 1 ⑵、一X1X2X2X1(31 —X1 X2,八 2 .(4)、x1 x1x2 2x1解: X1, X2是一元二次方程x2(3) >— X1X1X22X24X 3 0的两根2X1 2 X2 X1X2X 1 X2 2, X1X2(x1 x2)2 2x1x2X1X2⑴、〔X11)(X2 1)2 3(2)2 2 ( 2)3X1 X2x1 x214 3~~3227 (3)21 143(4)、X1 X1X2 2X11 1⑵、X1 x2X1(X1 X2 2)2 2⑴ X i X2 (2) X i X2 解：X1, X2是一元二次方程4X27X 3 0的两根7 3X i X2 — X X i X24 42 2⑴ X i X22(x i x2) 2x i x2(7)2 2 34 425i6(2)X i X2..(X i X2)2(X i X2)2 4X i X2 (3)1r x i 匹(4) X i X2(3) ,X i X2X i X27.3.3i 一2(4 ) X i X2(xix2 )(X i X2)2 4X i X20的两个根,利用根与系数的关系,求以下各式的值: 第i4页共26页2~~3243x1?010、设方程4x27x 3 0的两根为X1, X2,不解方程,求以下各式的值ii、x1,x2是方程2x23x i解:Xi, X 2是一元二次方程 2 ( 9) 9 1612、 解: 19 2x 23x 1 0的两根16X i X 2⑴(2 X i4x i x 24x i x 2实数s 、 19s 231 一,X iX 2一2 23)(2X 2 3) 6X 1 6(X 1 6X 2 9X 2)3 (2) Xi X 2X i X 2(Xi3X 1X 2X i X 2[(X iI)2X 22) X 2)2 2X 1X 2](1) 13t 分别满足方程 99s 1 0 99t t 2 0 1s 、1可看作是方程 t 19x 2 99x 1 0的两根 19s 2 99s1 0和且19st 4s t 4s s 一 t(SI)99 19 99t t 2cst 4s 10求代数式——t —— 的值.4?s4 19 99 19, s?1t 1995 1913、设: 3a 2 6a 11 3b 2 6b 11 0 且aw b,求a 4b 4的值.解: _ 2_3a 6a 11 0 3b 2 6b 11 0 2 2X 2(a b )2a 2b 2a、b 可看作是方程2_2_22[(a b) 2ab] 2a b3x 26x 11 0的两根[22 2 ( ?)]2 2 ( 4) 3 311 a b 2, ab31156 242 914 "Q - "-9"14、 a 2 1 a, b 2 1b ,且 awb,求(a — 1)(b —1)的值.2原方程可化为：x 2x 1 01 ( 1) 1 1, o1115、 m 2 m 4 0,-- n n解：m 2m 4 0x 2 x 4 0的两根1 1m, m —1, m ?一 —4nn n1 一 代数式m —的值为 1.n3st 2s 3(2)———s-^. tst 1⑴、—p s1C 「3(s -) 2?s?- t t解：a 2 1 aa b 1, ab 1 b 2 1 b (a 1)(b 1) a 、b 可看作是方程 ab a b 1 x 2 1 x 的两根ab (a b) 116、 2s 2 4s 74t 2 0 , s, t 为实数,且stw1.求以下各式的值:27t 2 4t 2 03st 2s 3 ⑵ c 2s3s —— t2x 2 4x 7 0的两根3 ( 2) 2 ( |)0 , m, n 为实数,且m 1 ,求代数式m n的值m 、1可看作是方程 nst 1 ⑴一p;解：2s 2 4s 71 1 7s 2, s? 6 ( 7) 1t t 217、关于x的方程x2—(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;解：设方程两根为x「x2,那么k 3x1 x2k 1, x1x2k 22乂22(x1 x2) 2x1 x2 6 (k 1)2 2(k 2) 62(k 1)2 4(k 2)当k 3寸, 0,不符合题意,应舍去当k 3时, 0,符合题意k的值为3.k2918、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足:(1) 一个根比另一个根大2; (2) 一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17解：设方程两根为％、x2,那么9 / 3、27一(一)一4 4 16x〔x2 3, x〔x2 m , 27当m 27时,160,符合题意9 4m⑴、当x〔x2 2时,1 5x1 2,x2 21,55m —(一)一2 2 4当m 5时, 0,符合题意4 m 一时,方程一根是另一根的笳. 16 (3)、当(X x2)2 17时,2(x1 x2) 4x1 x2 179 4m 17m 25时,方程一根比另一根4 2时, 0大2. 2时,方程两根差的平方是17.⑵、当x1 3x2时,9 3X i-, X 2 —4419、a,b,c 是三角形的三边长,且方程 (a 2+b?+c2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角 形是正三角形证实：方程有两个相等实根[2(a b c)]2 12(a 2 b 2 c 2) 02222(a b c)23(a 2 b 2c 2)0 -2-2-2---2a2b2c2ab2ac 2bc22_22_22_(a 2b 22ab) (a 2c 22ac) (b 2c 22bc) 0 22 2(a b)2(a c)2 (b c)2ab0, ac0, b c 0求这个直角三角形的面积. 解：设方程两根为x 、x 2,那么x 〔 x 2 2a 1, x 〔x 2 4(a 1) x 1、x 2是斜边长为5的直角三角形的两直角边2 2x 1 x 225(x 1 x 2)2 2x 1x 2 25 (2a 1)2 8(a 1) 25a 2 3a 4 0x 1、x 2是三角形的两边 x 1 x 2 2a 1 0 且 x 1x 2 4(a 1) 0a ]且a 12a 1只能取a 41 1 S^1x 2 2 4(4 1)(a 4)(a 1) 0解：设方程两根为x 1、x 2,那么4m 2 1 0 或 m 2 2m 3 021、关于x 的一元二次方程3x 2(4 m 2 1)x m(m 2) 0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m 的值.这个三角形是正三角形20、关于x 的方程x 2(2a 1)x 4(a 1) 0的两个根是斜边长为 5的直角三角形的两条直角边的长,X1 X24 m23 一,X〔X21m1 m2p m33, m4 1X1 X24m2134m213 m(4m2[(4m21)]2 12m(m 2) X iX iX2X2X1X24m213m(m 2)34m21m(m 2)1)(m 2) 3(4m 1)(4m2 1)(m22m 3) 0, 1-当m1 一时,2当m i0,不符合题意,应舍去0,符合题意当m1当m i 1时,答：m的值为0,符合题意0,不符合题意,应舍去22、是否存在实数k ,使关于X的方程9X2 (4k 7)X 6k2 0的两个实根X1,X2,满足上-,如果存X2 2 在,试求出所有满足条件的k的值,如果不存在,请说明理由.解：假设存在.据题意 ,得:4k 7X1 X2 9 , X1 X2 2k2 3X1 3X2 2上3或x1 3X2 2 X2 2 少X1 3 3 当一一时,X1 -X2 X2 2 2 当上3时,X1 3X2 X2 2 24k 7 2(4k 7) x1x294k 7 2(4k 7) 2 2------- ? - k3 ------ 9 3(4k 7)2 9k20(4k 7 3k)(4k 7 3k) 0X 1 3(4 k 7) 2(4k 7)453(4k 7)02(4k 7)45 45 [(4k 2 27)]2 4 9?( 6k2)(4k 7)2 225k2当k 1时, 0,符合题意241k256k 49 当k 7时, 0,符合题意5624 241 49 存在k值,当此方程无实根; 方程两根满足X1 X223、关于x的方程2x2(m 1)x 0的两根满足关系式X1 X2 1,求m的值及两个根.解: 设方程两根为X1、x2,那么1或m 11X i X2 m 1——,X1X22m 1""2"2(m 1)]2 8(m 1)X 1 X2 1 1时,4 0, 此时方程两根为: X10, X2 1X 111时,4 0, 此时方程两根为: X12, X2 31?m 3. 4答：m 1时, 方程两根为: X10, X2 1；(m 1)(m 3) 8(m 1) m 11时,方程两根为: X1 2, X2 3. (m 1)(m 3 8) 024、3是关于X的方程4X2 4mxm24m 0的两个实根,并且满足( 1)(1) 2,求m的值.解: 是方程的两根m, m2 4m416m2一, 2、16(m 4m)1) ( 1)2时,0,不符合题意,应舍去2时,0,符合题意4m4m的值为2.m 0,根据以下条件,分别求出m 的值：1⑶有一根为零；(4)有一本为1; (5)两根的平万和为 ——.64(4)、方程有一根为18 (2m 1) m 0 m 7当m 7时, 0m 7时,方程有一根为11(5)、万程两根的平万和为 一642 21x 〔 x 26421(x 1 x 2) 2x 1x 2 一64即 3 1)6 m A644 64625、一元二次方程 8x 2 (2m 1)x(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；解：设方程两根为x 1、x 2,那么2m 1 m x i x 2, x 〔 x 2882[(2m 1)]232 m(1)、两根互为倒数m 1 8m 8当m 8时,m 8寸,方程两根互为倒数(2)、两根互为相反数Q 0 81 m -2 1当m1时,21m 1时,万程两根互为相反 数2(3)、方程有一根为0 m 0当m 0时, 0m 3m 0m(m 3) 0m 0或m 3当m 0 寸, 0当m 3时, 0,不符合题意,应舍去1 m 0时,万程两根的平万和为——6413 , ___ _ ______ _13时,两方程相同的根为：3a 1或 a 3_― 22[2(a 2)]4(a5)16a 36当a 1时,0,符合题意当a 3寸, 0,不符合题意,应舍去答：a 的值为1.28、方程x 2 bx c 0有两个不相等的正实根,两根之差等于解：设方程两根为x 1、x 2,那么x 〔 x 2 b, x#2 cx 2 3m 0时,方程有一根为026、方程x 2 mx 4 0和x 2 (m 2)x 16 0有一个相同的根,求 m 的值及这个相同的根.解：方程有一个相同的根2, 2 /x mx 4 x (m2)x 16(3m 13)(m 4) 0(m m 2)x 20这个相同的根为:10将x 工-代入x 21 mmx0,4时,两方程相同的根为(10 )2 10m1 m 1 m13 , ___ ______13时,两方程相同的根为：33；23m m 52当m 4时,两方程相同的根为 ：x27、关于x 的二次方程2(a 2)x a 2 5 0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求a 的值.解：设方程两根为x 1、x 2,那么2 Lx 〔 x 2 2(a 2), x 1x 2 a 52(x 1 x 2) x 〔x 224(a 2) a 2 52a 24a 3 0 (a 1)(a 3) 03,两根的平方和等于 29,求b 、c 的值.b22c 29②①-②得：c 10将c 10代入①,得: b 7b 3cb 3------ ?—— c2 2b24c 9 ①2 2x1 x229(x1 x2)2 2x1x229方程有两个不相等正实根x1 x2b 0, x1x2c 0b 7答：b 7, c 1029、一元二次方程(2k 3)x2 4kx 2k 5 0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求：当取何整数时,方程有两个整数根.解：方程有两个实根即:(4k)2 4(2k 3)(2k 5) 04k 1是腰长为7的等腰三角形的底边长4k 1 144k134当k 1时,原方程可化为：x24x 3 0其解为1和3,满足条件当k 2时,原方程可化为：x28x 1 0其解不是整数,不满足条件,应舍去当k 3寸,原方程可化为：3x212x 1 0其解不是整数,不满足条件,应舍去答：当k 1时,原方程两根为整数.15 , 13—k -16 4整数k可能为1、2、330、x1,x2是关于x的方程x2px q 20的两根,x1 1, x2 1是关于x的方程x qx p 0的两根,求常数p、q的值.解：据题意,得:, x〔x2 px〔x2 q将p 1代入⑥,得：q 3答：p 1 , q 320的两个实数根；y b y 2是关于y 的万程y 5my 7 0的两个实数根,且x 1 y 1 2, x 2 解：据题意,得：2x 〔 x 2m )网 ny 〔 y 25m, y 〔 y 2 7x 1 y 1 2, X2 y 2 2 X y 〔 x 2 y 24m 7( 5m) 4m 25m 4 02 ,求m n 的值.(m 1)(m 4) 0 m 1或 m 4当m 1时,方程y 2m 4当m 4时,方程x 216 4n 0答：m 4, n 41 1 n?h2 21K.m 21n 22 24712x 1 1 x 2 1 q ③ p (2p 1) 2(X i 1)(x 2 1) p ④0,其中m n 分别是个等腰三角形的腰长和底边长Om 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边 在等腰三角形中,h . m 2将①代入③,得：p q 2⑤将①、②代入④,得：31、x 1, x 2是关于x 的方程x 1 2 * 4 m 2x n5my 7 0无实根2m x n 0有两个实根42m n 0,2m n 012这个方程有两个不相等实根. n.'m2 - n2 48②\ 4(2)、设方程两根为x「X2,并设三角形的高为h 将①代入②,得：n 12x1 x282x1 x2642(x1 x2) 4x1x2 64 m 2 A(舍负)该三角形的周长为2m n 4.13 12px q 0时,小张看错了p,解得方程的根为1与一3;小王看错了q,解得方程的根为4与-2.这个方程的根应该是什么将p 2, q 3代入原方程,得:x22x 3 0(x 3)( x 1) 0x1 3, x2 1答：这个方程的根是3和1.34、方程x2ax b 0的两根为x1,x2,且4x1 x? 0 ,又知根的判别式二25,求a, b的值. 解：据题意得x x1 x2 a ①4 4x1 x2 0 ②、x1x2b ③②-①,得：a _x1 —④3将④代入①,得：4a …x2—⑤4a29b 0 ⑥25a24b 25 ⑦⑥-⑦X 4,得：b 4将b 4代入⑥,得: a 3x1 x22m, x1x21 2-n4将n 12代入①,得:33、在解方程x2解：小张看错了pq 1 ( 3) 3小王看错了qP 4 ( 2)任息头数k,万程mx (n k 1)x k 1 0恒有实数根. 1 一,,一、一 s 、1可看作是方程 t1 o32、关于x 的万程x 2mx -n 4(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)假设方程两实根之差的绝对值是 8,等腰三角形的面积是 12,求这个三角形的周长.(1)、证实： 4m 2 n 24m 2 n 2 64(2m n)(2m n)m - n 16①4将④、⑤代入③,得: 答：a 3, b 435 x1,x 2 2次万程 x4 mx n 0 的两个实数根,2 x 1 2 x 2 (x 1 x 2)2 3 士 x 1 2-2 X2解: x1, x 2 是 元二次方程 2m 4n5n 2mx n 0的两根, 将①代入②, 得:x i x 2 m, x 1x 2 5n 2 2n 2 x 1 2 x 2(x 1 x 2)2 (5n3)(n 1)2( x 2)22-2x 12?32x 1x 2 (x 1x 2)2 32n2-2x 2乂2〕2 〔泅〕2x 1x 2 2 1时,4n21 1021 10'3. 一 ...........3不符合题意,应舍去52(-m) 2n2 ? --------- 2 ------ 5n。

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初中根与系数的关系复习题 附答案

初中根与系数的关系复习题 附答案


10．已知关于 x 的方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0． （1）请你选取一个合适的整数 m，使方程有两个有理数根，并求出这两个根； （2）当 m＞0，且 m2-2m＜0 时，讨论方程的实数根的情况．
11．（2013•平谷区一模）已知关于 m 的一元二次方程 2x2+mx-1=0． （1）判定方程根的情况； （2）设 m 为整数，方程的两个根都大于 -1 且小于
b a a b
3 ，那么它的另一个根是为
3
是关于 x 的方程 x2-4x+c=0 的一个根，则 c 的值是
7．已知关于 x 的方程 2x2-mx-6=0 的一个根 2，则 m=
，另一个根为
8．若 x1，x2 是方程 3x2-|x|-4=0 的两根，则
x1 x 2 1 的值 x1 x 2
9．方程 x2-3x+1=0 中的两根分别为 a 、b，则代数式 a 2-4 a -b 的值为
2
2
18．已知 x1，x2 是方程 x2-2x-2=0 的两实数根，不解方程求下列各式的值： （1）
2 2 x1 x 2
；
（2）
1 1 x1 x 2
19． 已知关于 x 的方程 x
2
x2 的积是两根和的两倍， ①求 m 的值； (2m 3) x m 2 6 0 的两根 ，求 a b 的值．
23．要在一个长 10m，宽 8m 的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的 30%， 试求这花圃的宽度．
24．某电热器经过两次降价后，利润由 20 元降到 5 元，已知降价前该产品的利润率是 25%，解答下列问 题： （1）求这种电热器的进价； （2）求经过两次降价后的售价； （3）求每次降价的平均降价率？（精确到 1%）
苏科版初中数学九年级上册《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷

苏科版初中数学九年级上册《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷

苏科新版九年级上学期《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷一．选择题（共6小题）1．若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则（x1﹣2）•（x2﹣2）的值为（）A．2B．4C．5D．﹣22．m为有理数，且方程2x2+（m+1）x﹣（3m2﹣4m+n）＝0的根为有理数，则n的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣63．已知实数a、b满足a+8b﹣2b2＝7，当b在1≤b≤4的范围内取值时，a可取的整数值有（）个．A．6B．7C．8D．94．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p＝0的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（）A．2个B．4个C．6个D．无数个5．方程的正整数解的组数是（）A．0B．1C．2D．36．以x为未知数的方程2007x+2007a+2008b＝0（a，b为有理数，且b＞0）有正整数解，则ab是（）A．负数B．非负数C．正数D．零二．填空题（共13小题）7．已知实数α，β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，且α≠β，则+＝．8．一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两根分别为a和b，则a2+b2的值为．9．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），则x1﹣x2＝．10．若一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，则x12+x22﹣x1•x2的值是．11．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为；12．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143＝0的两个根都是整数，则a的值是．13．如果m、n为整数，且|m﹣2|+|m﹣n|＝1，那么m+n的值为．14．当整数m＝时，关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0与mx2﹣6x+9＝0的根都是整数．15．设方程x2+px+q＝0的两根x1，x2均为正整数，若p+q＝28，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝．16．方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2的所有整数解是．17．a、b是整数，且满足|a﹣b|+|ab|＝2，则ab＝．18．方程的整数解有组．19．试证：如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个偶数．三．解答题（共12小题）20．已知a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两根，不解方程求：（1）+的值；（2）a2+3a+b的值．21．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝22+x1x2，求实数m的值．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝23，求k的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．24．已知x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1、x2满足x1x2﹣x1＝4+x2，求实数a的值．25．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足+＝﹣，求k的值．26．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根．27．试确定一切有理数r，使关于x的二次方程rx2+（r+2）x+3r﹣2＝0有根且只有整数根，求r的值．28．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？29．若二次方程x2+2px+2q＝0有实根，其中p、q为奇数，证明：此方程的根是无理数．30．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．31．若关于x的方程（k2﹣2k）x2﹣（6k﹣4）x+8＝0的解都是整数，试求实数k 的值．苏科新版九年级上学期《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则（x1﹣2）•（x2﹣2）的值为（）A．2B．4C．5D．﹣2【分析】由根与系数的关系可求得（x1+x2）和x1x2的值，再把所求代数式化为两根和与两根积的式子即可求得答案．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，则原式＝x1x2﹣2x1﹣2x2+4＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣1﹣2×（﹣1）+4＝﹣1+2+4＝5，故选：C．【点评】本题主要考查根与系数的关系，把所求代数式化为两根和与两根积的形式是解题的关键．2．m为有理数，且方程2x2+（m+1）x﹣（3m2﹣4m+n）＝0的根为有理数，则n的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣6【分析】运用一元二次方程根的判别式，确定m与n的关系，结合已知求出．【解答】解：由求根公式可知当一元二次方程根为有理根时判别式的算术平方根比为有理数，△＝（m+1）2+4×2×（3m2﹣4m+n）＝25m2﹣30m+1+8n，要使对任意有理数m，均为有理数，△必须是m的完全平方式，此方程必定有两个相等的根．∴△＝302﹣4×25×（1+8n）＝0，解得n＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及数的规律，有一定综合性．3．已知实数a、b满足a+8b﹣2b2＝7，当b在1≤b≤4的范围内取值时，a可取的整数值有（）个．A．6B．7C．8D．9【分析】先对原方程进行变形，将其转化为a与b的函数关系式，然后根据自变量b的取值范围来确定a的取值．【解答】解：由a+8b﹣2b2＝7，得a＝2（b﹣2）2﹣1，∵1≤b≤4，∴﹣1≤b﹣2≤2，∴﹣1≤2（b﹣2）2﹣1≤7，即﹣1≤a≤7，∴a可取的整数值有：﹣1、0、1、2、3、4、5、6、7共9个．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识点，在解答此题时，首先将a转化成关于b的一元二次方程的关系式，然后再根据定义域来确定值域．4．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p＝0的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（）A．2个B．4个C．6个D．无数个【分析】求得和为﹣5，积为p的所有整数解，也就求得了p的个数．【解答】解：∵﹣5+0＝﹣5；﹣4+（﹣1）＝﹣5；﹣3+（﹣2）＝﹣5；1+（﹣6）＝﹣5；2+（﹣7）＝﹣5；3+（﹣8）＝﹣5；4+（﹣9）＝﹣5…∴p＝﹣5×0＝0或﹣4×（﹣1）＝4或﹣3×（﹣2）＝6或1×（﹣6）＝﹣6或2×（﹣7）＝﹣14；或3×（﹣8）＝﹣24；或4×（﹣9）＝﹣36…．故选：D．【点评】本题考查求有整数解的一元二次方程系数的问题；用到的知识点为：有整数解的一元二次方程的常数项分解的2个数的和应等于一次项是系数．5．方程的正整数解的组数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用已知条件将方程变形，整理为平方差形式，分析两数相乘所有的可能．【解答】解：∵，可变形为：（x﹣7）（y﹣7）＝49∵x，y为整数，当x＝14时，y＝14，当x＝8时，y＝56，当x＝56时，y＝8，∴其他数据都在不符合要求，符合要求的只有三组．故选：D．【点评】此题主要考查了分式方程的解法，整理为整式方程后再进行分析解决，题目比较简单．6．以x为未知数的方程2007x+2007a+2008b＝0（a，b为有理数，且b＞0）有正整数解，则ab是（）A．负数B．非负数C．正数D．零【分析】首先把方程变形2007（x+a）＝﹣2008b，根据b＞0可得x+a＜0，进而得到x＜﹣a，再根据方程有正整数解可得：﹣a＞1，即有a＜﹣1，继而得到ab＜0．【解答】解：原方程可化为：2007（x+a）＝﹣2008b，∵b＞0，∴﹣2008b＜0，∴x+a＜0，∴x＜﹣a，若方程有正整数解，则须使得：﹣a＞1，即有：a＜﹣1，∴ab＜0故选：A．【点评】此题主要考查了一元一次方程整数根的解法，以及整数的奇偶性，题目比较简单．二．填空题（共13小题）7．已知实数α，β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，且α≠β，则+＝﹣．【分析】由α、β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，可得α，β是方程x2﹣3x﹣11＝0的两个根，根据根与系数的关系，求出α2+β2，代入变形后的代数式得结果．【解答】解：∵实数α、β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，∴实数α，β是方程x2﹣3x﹣11＝0的两个根，∴α+β＝3，α•β＝﹣11．∵α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝9+22＝31∴+＝＝﹣．故答案为：﹣【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程解的定义．解决本题的关键是：根据α、β分别满足两个方程而得到α、β是同一个方程的两个根．8．一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两根分别为a和b，则a2+b2的值为26．【分析】根据韦达定理得a+b＝﹣4，ab＝﹣5，代入a2+b2＝（a+b）2﹣2ab计算可得．【解答】解：∵方程x2+4x﹣5＝0的两根分别为a和b，∴a+b＝﹣4，ab＝﹣5，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16+10＝26，故答案为：26．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a ≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．9．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），则x1﹣x2＝﹣4．【分析】利用根与系数的关系求出所求即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，则x1﹣x2＝﹣＝﹣＝﹣4，故答案为：﹣4【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解本题的关键．10．若一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，则x12+x22﹣x1•x2的值是15．【分析】由根与系数的关系可分别求得x1+x2和x1•x2的值，代入求值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2，∴x12+x22﹣x1•x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝32﹣3×（﹣2）＝15，故答案为：15．【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．11．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为2018；【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，∴a2+a＝2019，∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2019+（﹣1）＝2018，故答案为：2018．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能求出a+b＝﹣1和a2+a＝2019是解此题的关键．12．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143＝0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】首先将方程组5x2﹣5ax+26a﹣143＝0左右乘5得25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39＝0，再分解因式．根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于39分解的整因数．讨论求值验证即可得到结果．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143＝0⇒25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39＝0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）＝39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39＝1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26＝1、5x﹣5a+26＝39联立解得a＝2.8不符合，②当5x﹣26＝39、5x﹣5a+26＝1联立解得a＝18，③当5x﹣26＝3、5x﹣5a+26＝13联立解得a＝8.4不符合，④当5x﹣26＝13、5x﹣5a+26＝3联立解得a＝12.4不符合，∴当a＝18时，方程为5x2﹣90x+325＝0两根为13、﹣5．故答案为：18．【点评】本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数根与有理根．解决本题的关键是巧妙利用39仅能分解为整数只存在39＝1*39或39*1或3*13*13*3或四种情况，因而讨论量，并不大．13．如果m、n为整数，且|m﹣2|+|m﹣n|＝1，那么m+n的值为3，或5，或6，或2．【分析】根据条件|m﹣2|+|m﹣n|＝1，分情况讨论①|m﹣2|＝0时，|m﹣n|＝1；②|m﹣2|＝1时，|m﹣n|＝0；然后分别可以求出m的值，进而得到n的值，最后分别计算m+n的值．【解答】解：当|m﹣2|＝0时，|m﹣n|＝1，∴m＝2，n＝1或n＝3，∴m+n＝3或5．当|m﹣2|＝1时，|m﹣n|＝0，∴m＝3或m＝1，n＝m，∴m+n＝6或2．综上，m+n＝3，或5，或6，或2．故答案为：3或5或6或2．【点评】此题主要考查了有理数的绝对值和数学中的分类讨论思想的运用，分类讨论时要考虑全面，此题比较简单，基础性较强．14．当整数m＝1时，关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0与mx2﹣6x+9＝0的根都是整数．【分析】方程若有解，则方程根的判别式△≥0，求出满足条件的m的取值范围，并求两个解集的公共部分．【解答】解：若关于x的一元二次方程mx2﹣6x+9＝0，则△＝36﹣36m≥0，解得m≤1，若关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，则△＝16m+20≥0，m≥﹣，故﹣≤m≤1，∵m为整数，m＝﹣1，0，1，m＝0时方程mx2﹣6x+9＝0不是一元二次方程，故应舍去，当m＝﹣1时方程mx2﹣6x+9＝0即x2+6x﹣9＝0，解得：x＝﹣3±3，方程的解不是整数，当m＝1时，x2﹣6x+9＝0解得：x1＝x2＝3，两方程的解都为整数，故答案为：m＝1．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式等知识点，题目比较典型．15．设方程x2+px+q＝0的两根x1，x2均为正整数，若p+q＝28，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝29．【分析】首先利用根与系数的关系得出有关x1，x2的方程，利用质数的性质得出方程的解．【解答】解．x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，p+q＝x1x2﹣x1﹣x2＝28，X1＝＝1+，因为两根均为正整数，且29为质数，所以x2＝2 或x2＝30，即方程可化为（x ﹣2）（x﹣30）＝0，∴方程的两根分别为2，30，（x1﹣1）（x2﹣1）＝29．故填：29．【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及质数的性质，题目比较典型．16．方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2的所有整数解是a＝b＝c＝m＝0．【分析】先观察，易得a＝b＝c＝n＝0是方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2（1）的一组解，根据（1）可推知b和d具有相同的奇偶性，然后根据若b和d同为奇数与b和d同为偶数两种情况讨论，最终得知只有a＝b＝c＝m＝0一组解．【解答】解：显然，a＝b＝c＝n＝0是方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2（1）的一组解．为求（1）的整数解，只须求出它的正整数解即可，而对于正整数解，只要求出a，b，c，n互质的解即可，为此设（a，b，c，n）＝1．由方程（1）可知，6是5n2的约数，因为6与5互质，所以6是n2的约数，从而6是n的约数，进一步5n2有约数36，因此6又是6a2+3b2+c2的约数，即6是3b2+c2的约数，所以3是c2的约数，故可设n＝6m，c＝3d，代入（1）得2a2+b2+3d2＝10m2（2）b2+3d2＝10m2﹣2a2所以b和d具有相同的奇偶性．①若b和d同为奇数，考察用8除以（2）式两边所得的余数：式（2）左边被8除的余数为2+1+3＝6或0+1+3+4；式（2）右边被8除的余数为0或2．此时方程（2）无解，从而方程（1）无解．②若b和d同为偶数，由a，b，d，n互质可知，a为奇数，（2）式左边被8除的余数为2+（0或4）+（0或3）≠8，所以（2）的左边不能被8整除，从而（2）的右边10m2不能被8整除，m一定为奇数；这样可设a＝2a1﹣1，b＝2b1，d＝2d1，m＝2m1﹣1，其中a1，b1，d1，m1都是正整数，则方程（2）化为2a1（a1﹣1）﹣10m1（m1﹣1）﹣2＝﹣（b12+3d12），10m1（m1﹣1）﹣2a1（a1﹣1）+2＝b12+3d12（3）由于m1（m1﹣1）及a1（a1﹣1）为偶数，则（3）式左边为偶数，且被4除余2，而右边b1和d1不能同为偶数，否则（3）式右边能被（4）整除，（3）式不能成立，然而b1和d1同为奇偶时，（3）式右边仍能被4整除，（3）式不能成立，于是，方程（2）无解，从而方程（1）无解．综上讨论知，方程只有一组解a＝b＝c＝m＝0．【点评】此题考查了方程的解的推理过程，体现了探索发现的过程，通过反证法得出矛盾，逐步去掉多余的信息是解题的关键．17．a、b是整数，且满足|a﹣b|+|ab|＝2，则ab＝0．【分析】首先根据|a﹣b|+|ab|＝2分情况讨论，可以分成三种情况；（1）|ab|＝0，|a﹣b|＝2；（2）|ab|＝1，|a﹣b|＝1；（3）|ab|＝2，则|a﹣b|＝0再根据条件a、b是整数分别讨论即可．【解答】解：（1）若|ab|＝0，则|a﹣b|＝2则ab之中必有一个为0若a＝0，则|b|＝2，则b＝±2若b＝0，则|a|＝2，则a＝±2∴ab＝0（2）若|ab|＝1，则|a﹣b|＝1∵a、b是整数∴不存在（3）若|ab|＝2，则|a﹣b|＝0∵|a﹣b|＝0∴a＝b又∵|ab|＝2∴不存在综上：ab＝0【点评】此题主要考查了求方程整数解与分类讨论数学思想的综合运用，主要根据条件考虑全面，不要漏掉每一种符合条件的情况，此题综合难度较大．18．方程的整数解有4组．【分析】首先将y用x表示，平方后根据已知条件分析各项数据，得出所有的可能．【解答】解：∵，∴＝x＝1998+y﹣2已知x，y为非负整数，所以1998y是个完全平方数，∵1998＝2×3×3×3×37，y＝2×3×37＝222，x＝888 或者y＝2×3×37×2×2＝888，x＝222，0也是整数，0也有平方根．∴整数解有（888，222），（222888，），（0，1998）和（1998，0）共4组．故答案为：4．【点评】此题主要考查了方程整数解的有关知识，以及完全平方数，题目比较简单．19．试证：如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个偶数．【分析】先假设a、b、c全是奇数，根据根与系数的关系，利用判别式求得x的值x＝，可见存在有理根，即设为有理数n，假设n为偶数，与已知矛盾，从而得到n只能为偶数，进一步证得a，b，c中至少有一个是偶数．【解答】证明：假设a、b、c全为奇数△＝b2﹣4ac≥0有：x＝，可见存在有理根，即设为有理数n，∴b2﹣4ac＝n2，∴（b﹣n）（b+n）＝4ac，∵若n为偶数，（b﹣n）（b+n）＝奇数×奇数＝奇数≠4ac，∴n只能为奇数，b﹣n为偶数b+n为偶数，∴（b﹣n）（b+n）＝偶数×偶数＝2a×2c（a≤c），即b﹣n＝2a，b+n＝2c，解得：b＝a+c，此时b＝奇数+奇数＝偶数，与原假设矛盾，∴原假设不成立．∴如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0存在有理根，那么a、b、c至少有一个是偶数．【点评】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根、整数的奇偶性问题，注意对于不能直接证明的问题，采用反证法往往是一种不错的方法．三．解答题（共12小题）20．已知a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两根，不解方程求：（1）+的值；（2）a2+3a+b的值．【分析】根据根与系数的关系结合一元二次方程的解可得出：a2+2a＝5，a+b＝﹣2，ab＝﹣5．（1）将a+b＝﹣2、ab＝﹣5代入+＝中即可求出结论；（2）将a2+2a＝5、a+b＝﹣2代入a2+3a+b＝（a2+2a）+（a+b）中即可求出结论．【解答】解：∵a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两根，∴a2+2a＝5，a+b＝﹣2，ab＝﹣5．（1）+＝＝＝﹣；（2）a2+3a+b＝（a2+2a）+（a+b）＝5﹣2＝3．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用根与系数的关系结合一元二次方程的解找出a2+2a＝5、a+b＝﹣2、ab＝﹣5是解题的关键．21．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝22+x1x2，求实数m的值．【分析】（1）计算其判别式，由方程根的情况可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；（2）由根与系数的关系可用m表示出两根之和、两根之积，则可得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：（1）△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）＝8m+16，当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2﹣3，∵x12+x22＝22+x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2，∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）＝6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9＝0，解得m＝1或m＝﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝23，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根得出△＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣3）＝﹣8k+5≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣3）＝﹣4k+13≥0，解得k≤．（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣3，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2﹣3）＝2k2﹣4k+7，∵x12+x22＝23，∴2k2﹣4k+7＝23，解得k＝4，或k＝﹣2，∵k≤，∴k＝4舍去，∴k＝﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根得出△＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，解得k≤．（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝2k2﹣6k+3，∵x12+x22＝11，∴2k2﹣6k+3＝11，解得k＝4，或k＝﹣1，∵k≤，∴k＝4（舍去），∴k＝﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．24．已知x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1、x2满足x1x2﹣x1＝4+x2，求实数a的值．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算；（2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0有两个实数根，∴（2a）2﹣4（a﹣6）×a≥0，a﹣6≠0，解得，a≥0且a≠6；（2）∵x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∵x1x2﹣x1＝4+x2，∴x1x2＝4+x2+x1，即＝4+，解得，a＝24．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立．25．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足+＝﹣，求k的值．【分析】（1）由根的情况，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；（2）由根与系数的关系可用k表示出两根之和、两根之积，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根，∴△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）≥0，解得k≥﹣；（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，由+＝﹣可得：2（x1+x2）＝﹣x1x2，∴2（2k+1）＝﹣（k2﹣2），∴k＝0或k＝﹣4，∵k≥﹣，∴k＝0．【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．26．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根．【分析】首先根据已知条件可得m2﹣1≠0，进而得到m≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得m≠3；再利用求根公式用含m的式子表示x，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论m的值即可．【解答】解：∵m2﹣1≠0∴m≠±1∵△＝36（m﹣3）2＞0∴m≠3用求根公式可得：x1＝，x2＝∵x1，x2是正整数∴m﹣1＝1，2，3，6，m+1＝1，2，3，4，6，12，解得m＝2．这时x1＝6，x2＝4．【点评】此题主要考查了一元二次方程的二次项系数不能为0，根的判别式和求方程的整数解的综合运用，还用到了数学中的分类讨论思想，综合性较强．27．试确定一切有理数r，使关于x的二次方程rx2+（r+2）x+3r﹣2＝0有根且只有整数根，求r的值．【分析】由于方程的类型已经确定，则r≠0，由根与系数关系得到关于r的两个等式，利用因式（数）分解先求出方程两整数根．【解答】解：由题意可得：r≠0时，设方程的整数根为x1，x2，不妨设x1≤x2，由根据系数关系可得：x1+x2＝＝﹣1﹣①，x1x2＝＝3﹣②，②﹣①得：x1x2﹣（x1+x2）＝4，则x1x2﹣（x1+x2）+1＝5，（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，由x1≤x2得：x1﹣1≤x2﹣1，5＝1×5＝（﹣5）×（﹣1），∴或，解得：或，将上述x1，x2的值代入②得：12＝3﹣或0＝3﹣解得：r＝﹣或，故存在有理数r的值为：﹣或．【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系．28．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？【分析】（1）假设出装卸工作需要小时数，表示出第一人与最后一人所用时间，再由10小时装卸完毕，列出方程；（2）从装卸时间入手列出方程．【解答】解：（1）设装卸工作需x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干了小时，两人共干活小时，平均每人干活小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时．根据题得，解得x＝16（小时）；（2）共有y人参加装卸工作，由于每隔t小时增加一人，因此最后一人比第一人少干（y﹣1）t小时，按题意，得，即（y﹣1）t＝12．解此不定方程得，，，，，即参加的人数y＝2或3或4或5或7或13．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及不定方程的解法，综合性较强．29．若二次方程x2+2px+2q＝0有实根，其中p、q为奇数，证明：此方程的根是无理数．【分析】分别假设方程的根为奇数、偶数、分数，然后将方程变形，得出矛盾，进而根据有理数的概念可判断出方程x2+2px+2q＝0此方程的根是无理数．【解答】解：①首先，方程的根不可能是奇数；若x为奇数，则x2为奇数，而2px+2q是偶数，因此x2+2px+2q取奇数值，不可能是0；②其次，方程的根不可能是偶数；若x为偶数，则x2+2px能被4整除，而这时常数项2q被4除时余2，因此不能满足x2+2px+2q≠0；③最后，方程的根不可能是分数；若x为分数，则x+p也是分数，而方程可以变为（x+p）2＝p2﹣2q，等号右端的p2﹣2q是一个整数，左端是一个分数，这是一个矛盾！综上可知，当p，q是两个奇数时，方程x2+2px+2q＝0不可能有有理根，即此方程的根是无理数．【点评】此题考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识，注意运用假设法解题，得出矛盾，然后判断假设正确与否，有一定难度．30．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．【分析】根据求根公式可知：x＝＝（2m﹣3）±，根据4＜m＜40可知m的值为12或24，再把m值代入求解即可．【解答】解：解方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0，得，∵原方程有两个不相等的整数根，∴2m+1为完全平方数，又∵m为整数，且4＜m＜40，2m+1为奇数完全平方数，∴2m+1＝25或49，解得m＝12或24．∴当m＝12时，，x1＝26，x2＝16；当m＝24时，．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，求根公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c＝0的解为x＝．要注意根据实际意义进行值的取舍．31．若关于x的方程（k2﹣2k）x2﹣（6k﹣4）x+8＝0的解都是整数，试求实数k 的值．【分析】（1）根据k2﹣2k＝0得出k的值，进而求出x的值；（2）当k2﹣2k≠0进行分析，利用代入消元法求出k的值．【解答】解：（1）当k2﹣2k＝0，即k＝0或k＝2，①若k＝0时，原方程化为4x+8＝0，即x＝﹣2符合题意；②若k＝2时，原方程化为﹣8x+8＝0，则x＝1符合题意；（2）当k2﹣2k≠0，即k≠0且k≠2时，原方程可化为：（k2﹣2k）x2﹣（6k﹣4）x+8＝0，解得x1＝，x2＝，将k＝，代入x2＝得x1x2+2x1﹣x2﹣2＝﹣2，∴或或或∴或或或（舍去），或或，解得：k＝1或﹣2或，综上：k的值为1，﹣2，【点评】此题主要考查了一元二次方程整数根的求法和代入消元法解方程，题目难度不大．。

九年级数学一元二次方程根与系数的关系

九年级数学一元二次方程根与系数的关系

根与系数关系1、一元二次方程根与系数关系的推导及应用；2、熟练应用根与系数的关系.结论：【知识梳理】1、 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 。

2、 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1）有两个实数根。

（2）有两个正实数根。

（3）有一个正数根和一个负数根。

（4）两个根都小于2。

答案：(1) 253k ≤;(2) 2503k ≤＜; (3) 0k ＜;(4) 无解。

变式训练1、已知关于x 的方程022=+-a ax x 。

（1）求证：方程必有两个不相等的实数根； （2）a 取何值时，方程有两个正根；（3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大； （4）a 取何值时，方程到少有一根为零？ 答案：(1) 证240b ac -＞;(2) 0a ＞; (3) 0a ＜;(4) 0a = 知识点四：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值．例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m 的值。

变式训练1、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x （1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。

知识点五：综合运用例5、方程x 2-6x-k=1与x 2-kx-7=0有相同的根，求k 值及相同的根．例6、已知α、β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则ααβα22++的值为_0__例7、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1＋ 5 。

答案：2240x x --=例8、已知两个数的和等于８，积等于7，求这两个数． 答案：1、7变式训练1．求一个一元二次方程使它的两个根是1、5． 答案：2650x x -+=2．已知αβ≠，则2370αα+-=，2370ββ+-=，试求11αβ+的值．答案：37。

初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题三(附答案详解)

初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题三(附答案详解)

初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题三（附答案详解）1．先阅读，再回答问题：如果x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根，那么x1＋x2，x1x2与系数a，b，c的关系是：x1＋x2＝－，x1x2＝.例如：若x1，x2是方程2x2－x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝－＝－＝，x1x2＝＝＝－．若x1，x2是方程2x2＋x－3＝0的两个根，（1）求x1＋x2，x1x2（2）求＋的值．（3）求（x1－x2）22．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8=0就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”，则c=；（2）若（x﹣2）（mx﹣n）=0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．3．已知关于的一元二次方程．若是此方程的一个根，求的值和它的另一个根；若方程有两个不相等的实数根，试判断另一个关于的一元二次方程的根的情况．4．已知关于的一元二次方程．若方程有实数根，求的取值范围；如果是满足条件的最大的整数，且方程一根的相反数是一元二次方程的一个根，求的值及这个方程的另一根．5．根据下列命题完成以下问题。

（命题）若、是关于的一元二次方程的两个实数根，则有，。

〖问题1〗若、是关于的一元二次方程的两个实数根，则有____________，___________。

〖问题2〗若、是一元二次方程的两个实数根，则有____________，___________。

〖问题3〗甲、乙两同学解同一道一元二次方程时，甲看错了一次项系数，得两根为2和7，乙看错了常数项，得两根为1和－10。