一元二次方程的根与系数的关系教学案(一)

一元二次方程的根与系数的关系主备人 宋化第一课时 教学内容：1、根与系数的关系。

2、根与系数的关系的应用。

（1）求已知方程的两根的平方和、倒数和、两根差。

教学过程：1、一元二次方程的根与系数关系：（1）复习：一元二次方程的求根公式。

得出方程的根由其系数决定。

（2）填表并找出其中的规律：得出结论：若x 1 、x 2为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，则有：a bx x -=+21，a c x x =∙21 （3）巩固练习：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x 1，x 2、k 是常数）（1）2x 2-3x+1=0 x 1+x 2=________ x 1x 2=_________ （2）3x 2+5x=0 x 1+x 2=________ x 1x 2=__________ （3）5x 2+x-2=0 x 1+x 2=_________ x 1x 2=__________ （4）5x 2+kx-6=0 x 1+x 2=_________ x 1x 2=__________ （5）3x 2 -kx=7 x 1+x 2=_________ x 1x 2=__________2、一元二次方程的根与系数关系的应用：例1：不解方程，利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。

例2：若x 1 、x 2为一元二次方程5x 2+kx-6=0 的两根，利用根与系数的关系，求下列代数式的值（用含k 的代数式表示）：（1）221221x x x x +（2）221)(x x -（3）21x x - （4）2112x x x x +拓展思维：已知实数满足关系式a 2-5a+6=0，b 2-5b+6=0，且a ≠b ，能否求a+b 与ab 的值？课堂练习：不解方程，利用根与系数的关系，解答下列问题： 若x 1 、x 2为一元二次方程3x 2-5x-1=0的两个根，则 （1）x 1+x 2=________ x 1x 2=_________ （2）2221x x + （3）212221x x x x -+（4）2221212x x x x +-回家作业： 1、已知方程的两根为，求下列代数式的值：（1）；（2）；（3）2、已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。

数学《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1. 知道一元二次方程的定义和一般形式；2. 能够求解一元二次方程的根；3. 知道一元二次方程根与系数的关系，掌握这种关系的应用。

教学重点：1. 一元二次方程的根与系数的关系；2. 解一元二次方程。

教学难点：1. 如何确定一元二次方程的解；2. 如何掌握一元二次方程根与系数的关系。

教学方法：1. 经验教学法；2. 归纳法；3. 演示法；4. 课堂讨论。

教学资源：1. 教材；2. ppt。

教学过程：Step 1. 引入新知识介绍今天的教学内容，告诉学生今天会讲一元二次方程的根与系数的关系。

Step 2. 一元二次方程的定义及一般形式教师简单介绍一下一元二次方程的定义，然后让学生看下面的一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0解释一下式子中的各个符号的含义，a，b，c分别代表什么。

Step 3. 如何求解一元二次方程的根让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+6x+5=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 将a，b，c的值代入公式，求出x的值。

x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times5}}{2\times1}=-1或-5解释这个结果是什么意思，根是如何求得的。

Step 4. 一元二次方程根与系数的关系让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+mx+n=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}然后让学生思考，如果我们知道了这个方程的根，是否可以求出m和n呢？引导学生进行讨论，发现可以求出m和n。

Step 5. 应用案例分析提供一些应用案例，让学生掌握一元二次方程根与系数的关系的应用。

例如：1. 设一元二次方程的两个根分别是3和4，求方程的一般形式。

一元二次方程的根与系数的关系教案一、教学目标1、知识与技能目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数关系求出两根之和、两根之积2、过程与方法经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想.3、情感态度价值观通过探索一元二次方程的根与系数的关系，激发发现规律的积极性，鼓励勇于探索的精神。

二、教学重难点1、教学重点：根与系数的关系及运用.三、教学难点：探究一元二次方程根与系数的关系的过程，运用一元一次方程的根与系数的关系解决问题四、教学过程1、导入新课（1）直接导入教师活动：回顾方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值，而且反应了根与系数的关系。

提问：那么一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？顺势引出课题：一元二次方程根与系数的关系（2）情景导入教师复习一元二次方程，当时，；当时，方程有两个相等的实数根，为时，方程没有实数根小明同学在做课外习题时遇到这样一个问题∶已知方程2x²-4x-1=0，不解方程，求出方程的两根之和与两根之积。

解方程一向熟练的小明纳闷了，不解方程怎么求两根之和与两根之积呢?同学们，你们愿意帮助他吗?当你学完今天的内容就可以帮助他了。

今天我们来探讨一元二次方程的根与系数的关系。

2、讲授新课环节一：二次项系数为1的一元二次方程教师活动：教师通过多媒体展示思考问题提问：从因式分解法可知，方程（x-x1）(x-x2)=0(x1,x2为已知数)的两根为x1和x2,将方程化为x²+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系么？组织学生根据目标问题四人一组进行讨论或同桌之间交流，教师进行巡视指导，交流结束后，找学生回答，教师进行评价学生活动：根据问题探究出结论，将（x-x1）(x-x2)=0展开成x²-（x1+x2）x+x1x2=0得出x1+x2=-p,x1x2=q教师总结：关于x的方程x²+px+q=0（p,q为常数，p2-4q≥0）的两个根x1,x2与系数p,q的关系是环节二、二次项系数为a（a≠0）的一元二次方程教师活动：借助多媒体呈现课本思考题提问：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？形如ax²+bx+c=0（a≠0）的方程，如果b2-4ac≥0，两根为x1，x2，引导学生利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数a、b、c之间有何关系。

5 一元二次方程的根与系数的关系
配套北师大版【教学方案】
第二章一元二次方程
5 一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
1.了解一元二次方程的根与系数的关系.
2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
3.经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的过程，体会从特殊到一般的思想.
4.增强学习的信心，培养科学探究精神.
二、教学重难点
重点：了解一元二次方程的根与系数的关系.
难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教师活动：先让学生选择自己喜欢的方法解方程完成表格填写，再观察表格找到根与系数之间的关系，并将其推广到一般式，探究一般式的根与系数的关系.
【做一做】
同学们，选择自己喜欢的方法解下列方程，并完成下表：
(1) x2–2x+1=0 (2) x2–x–1=0 (3) 2x2–3x +1=0
预设：选择自己喜欢的方法解一元二次方程，
观察上述表格，回答下列问题：
(1)每个方程的两根之和与它的系数a、b、c有什么关系？
预设：12b
x x
a
+=-
(2)每个方程的两根之积与它的系数a、b、c有什么关系？
预设：
12c
x x
a
=
思考：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？
【猜想】
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第51页习题2.8 第1、2题.。

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、内容和内容解析 1.内容一元二次方程根与系数的关系2.内容解析一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。

实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。

一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的ab x x -=+21, ac x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数 的关系。

本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探索及简单应用。

二、目标和目标解析1.目标（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。

（2）过程与方法： 在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认知规律。

（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获得成功的体验，建立自信心。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和，两根之积。

达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系。

达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。

在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

三．教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。

一元二次方程的根与系数的关系（一）教学内容：一元二次方程的根与系数的关系 教学目标：知识与技能目标：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 过程与方法目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 情感与态度目标：1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．教学重、难点：重点：根与系数的关系及其推导．难点：正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系。

教学程序设计： 一、复习引入：1、写出一元二次方程的一般式和求根公式．请两位同学写在黑板上，其他同学在纸上默写，交换检查，互相更正。

对出错严重之处加以强调。

2、解方程①x 2-5x ＋6＝0，②-2x 2-x+3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生大胆猜测，得出结论。

二、探究新知推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根．试计算（1）x 1+x 2（2）x 1*x 2 板书推导过程。

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系：结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么：a cx x a b x x =⋅-=+2121,教师举例说明，学生理解记忆。

三、反馈训练应用提高练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．根据题目的计算难易选择不同层次的学生回答，对答对的同学给与充分的表扬，对答错者应引导其掌握方法，并多给一次机会，让其得以消化和巩固，同时增强学生自信，提高学习积极性。

反思（1）（2）导出结论2：如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．注意：结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．四、一元二次方程根与系数关系的应用：1、验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．（1）x2-6x＋7＝0；（-1，7）（2）-3x2-5x＋2＝0；（5/3，-2/3）（3）x2+9＝6x （3，3）要求：学生先思考，再举手抢答，调动学习气氛。

一元二次方程根与系数的关系一、教学目标（一）知识与技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）过程与方法培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．（三）情感、态度与价值观1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学过程（一）明确目标一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．在线分享文档设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1我们就可把它写成x 2+px+q=0．结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ． 结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便． 练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？ （1）x 2-2x ＋1＝0；（2）x 2-9x ＋10＝0； （3）2x 2-9x ＋5＝0；（4）4x 2-7x ＋1＝0；（5）2x 2-5x ＝0；（6）x 2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系． 3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．在线分享文档验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-b/a的负号。

数学教案－一元二次方程的根与系数的关系(一)一、教学目标 1.把握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数； 2.通过根与系数的教学，进一步培育同学分析、观看、归纳的力量和推理论证的力量； 3.通过本节课的教学，向同学渗透由特别到一般，再由一般到特别的熟悉事物的规律。

教学重点和难点：二、重点难点疑点及解决方法 1.教学重点：根与系数的关系及其推导。

2.教学难点：正确理解根与系数的关系。

3.教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

4.解决方法；在实数范围内运用韦达定理，必需留意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必需是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要依据题目分析题中有没有隐含条件和。

三、教学步骤（一）教学过程 1.复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

（2）解方程①，②。

观看、思索两根和、两根积与系数的关系。

在老师的引导和点拨下，由沉重得出结论，老师提问：全部的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 2.推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。

设是方程的两个根。

∴ ∴以上一名同学板书，其他同学在练习本上推导。

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。

（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1.假如的两个根是，那么。

假如把方程变形为。

我们就可把它写成。

的形式，其中。

从而得出：结论2.假如方程的两个根是，那么。

结论1具有一般形式，结论2有时给讨论问题带来便利。

练习1.（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）此组练习的目的是更加娴熟把握根与系数的关系。

3.一元二次方程根与系数关系的应用。

（1）验根。

（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。

①；②；③；④；⑤。

验根是一元二次方程根与系数关系的简洁应用，应用时要留意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要留意中的负号。

第一课时：一元二次方程根与系数的关系一、教学目标知识与技能：1、理解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知字母的值。

3、学会求一些常见的能够进行变形从而利用“韦达定理”来求的一些代数式的值。

4、在定理推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。

过程与方法：经历对一元二次方程根与系数的关系实例的认识过程，培养学生归纳和推理，猜想和验证的能力。

情感、态度与价值观:联系生活学习数学，并通过用所学的数学知识来解决生活中的问题来激发学生的学习热情。

二、重难点重点：根与系数的关系的推导。

难点：运用“韦达定理”来解决相关问题。

三、教学准备：多媒体课件四、教学过程（一）提出问题;对课题的思考：•你是如何理解这节课的课题的？（在探讨什么？）•进一步的思考：•探讨一元二次方程的根与系数关系的前提是什么?例1：已知关于x方程2x²+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一根及k的值例2 方程2x2+3x-1=0的两个根记为x1、x2 ，不解方程，求x12+x22的值四：巩固练习：课件展示五：课堂小结：1.“韦达定理”刻画了一元二次方程二根的和与二根的积和系数的关系，是我们以后继续研究一元二次方程根的情况的工具。

2：这一定理的使用前提条件要注意。

通过这一规律的猜想、归纳、证明。

我们体会到在新知识的学习中，要大胆猜想，善于归纳，严格证明，这是我们数学课要培养的能力之一。

教学反思：学生在学习根与系数的关系后很容易忽视根的判别式的问题，教师应提醒学生注意应用根与系数的关系解题的前提条件是方程有实数根。