专题03 不等式(热点难点突破)-2018年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破 Word版含解析

2018年高考理科数学热点难点突破（16） 不等式选讲1．不等式|x －4|＋|x －3|≤a 有实数解的充要条件是________．解析 a ≥|x －4|＋|x －3|有解⇔a ≥(|x －4|＋|x －3|)min ＝1.答案 a ≥12．设x ，y ，z ∈R ，2x ＋2y ＋z ＋8＝0则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________． 解析(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](22＋22＋12)≥[2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)]2＝(2x ＋2y ＋z －1)2＝81. 答案 93．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，则实数a 的值为________．4．若不等式|x ＋1x|>|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵|x ＋1x|≥2， ∴|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3.答案 (1，3)5．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，则m 的取值范围为________．解析 ∵|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4，∴不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤4.即－3≤m ≤5.答案 [－3，5]6．设f (x )＝1ax 2－bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(－1，3)，若f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围是________．解析 ∵1ax 2－bx ＋c <0的解集是(－1，3)， ∴1a >0且－1，3 是1a x 2－bx ＋c ＝0的两根，则函数f (x )＝1a x 2－bx ＋c 图象的对称轴方程为x ＝ab 2＝1， 且f (x )在[1，＋∞)上是增函数，又∵7＋|t |≥7>1，1＋t 2≥1，则由f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，得7＋|t |>1＋t 2，即|t |2－|t |－6<0，亦即(|t |＋2)(|t |－3)<0，∴|t |<3，即－3<t <3.答案 (－3，3)8．设函数f (x )＝|x －a |＋1，a ∈R .(1)当a ＝4时，解不等式f (x )<1＋|2x ＋1|；(2)若f (x )≤2的解集为[0,2]，1m ＋1n＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥3＋2 2.(2)依题可知|x －a |≤1⇒a －1≤x ≤a ＋1，所以a ＝1，即1m ＋1n＝1(m >0，n >0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )·⎝⎛⎫1m ＋1n ＝3＋2n m ＋m n≥3＋2 2 当且仅当m ＝1＋2，n ＝1＋22时取等号． 9．设函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋1|(a >0)，g (x )＝x ＋2.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≤g (x )的解集；(2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，|2x －1|＋|2x ＋1|≤x ＋2⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12－4x ≤x ＋2⇒无解， ⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <122≤x ＋2⇒0≤x <12， ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥124x ≤x ＋2⇒12≤x ≤23 综上，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤23. (2)|2x －a |＋|2x ＋1|≥x ＋2，转化为|2x －a |＋|2x ＋1|－x －2≥0.令h (x )＝|2x －a |＋|2x ＋1|－x －2，因为a >0，所以h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ＋a －3，x ≤－12－x ＋a －1，－12<x <a 23x －a －1，x ≥a 2，在a >0下易得h (x )min ＝a 2－1， 令a 2－1≥0，得a ≥2. 10．已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)．解 (1)∵|x －a |≤m ，∴－m ＋a ≤x ≤m ＋a .∵－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5，∴a ＝2，m ＝3.(2) f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |.当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0，∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)；当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t 2， ∵1≤1＋t 2≤2，∴0≤x ≤1＋t 2； 当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t <2时，无解，当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)．∴当0≤t <2时原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，t 2＋1； 当t ＝2时x ∈[2，＋∞)．11．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )>2的解集；(2)∀x ∈R ，使f (x )≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x <－12，3x －1，－12≤x <2，x ＋3，x ≥2， 当x <－12时，－x －3>2⇒x <－5，∴x <－5. 当－12≤x <2时，3x －1>2⇒x >1，∴1<x <2. 当x ≥2时，x ＋3>2⇒x >－1，∴x ≥2.综上所述，不等式f (x )>2的解集为{x |x >1或x <－5}．(2)易得f (x )min ＝－52，若∀x ∈R 都有f (x )≥t 2－112t 恒成立， 则只需f (x )min ＝－52≥t 2－11t 2， 解得12≤t ≤5. 12．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|.(1)试求使等式f (x )＝|2x ＋1|成立的x 的取值范围；(2)若关于x 的不等式f (x )<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解(1)f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－5，9，－5<x <4，2x ＋1，x ≥4.又|2x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－12，2x ＋1，x >12，所以若f (x )＝|2x ＋1|，则x 的取值范围是(－∞，－5]∪[4，＋∞)．(2)因为f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|≥|(x －4)－(x ＋5)|＝9，∴f (x )min ＝9.所以若关于x 的不等式f (x )<a 的解集非空，则a >f (x )min ＝9，即a 的取值范围是(9，＋∞)．13．已知函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|.(1)试求f (x )的值域；(2)设g (x )＝ax 2－3x ＋3x(a >0)，若任意s ∈(0，＋∞)，任意t ∈(－∞，＋∞)，恒有g (s )≥f (t )成立，试求实数a 的取值范围．14．设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|.(1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥t 2－3t 在[0，1]上无解，求实数t 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥12，－3x －1，－2≤x ＜12，3－x ，x ＜－2， 所以原不等式转化为⎩⎨⎧x ≥12，x －3≥3，或⎩⎨⎧－2≤x ＜12，－3x －1≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2，3－x ≥3，所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪[6，＋∞)．(2)只要f (x )max ＜t 2－3t ，由(1)知f (x )max ＝－1＜t 2－3t 解得t ＞3＋52或t ＜3－52. 15．设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．16．已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.。

第1讲 不等关系与不等式, )1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b ．2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ，a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n＞b n(n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒na ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．1．辨明两个易误点(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ；(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．2．不等式中的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b；(2)a <0<b ⇒1a <1b；(3)a >b >0，0<c <d ⇒a c >b d； (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.3．不等式恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.1.教材习题改编 若a <b <0，则下列不等式不成立的是( ) A ．1a －b >1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2A 由a <b <0，可用特殊值法， 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立． 2.教材习题改编 设A ＝(x －3)2，B ＝(x －2)(x －4)，则A 与B 的大小为( ) A ．A ≥BB ．A >BC ．A ≤BD ．A <BB A －B ＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1>0，所以A >B .故选B. 3.教材习题改编 若a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．ac 2>bc 2B ．c 2a <c 2bC ．ac 2≥bc 2D ．c 2a ≤c 2bC 当c ＝0时，A 、B 错误；当a >0，b <0时，D 错误，故选C. 4.教材习题改编 下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③D 对于①，因为a >b ，c <d ，所以－c >－d ， 所以a －c >b －d .对于③，a >b >0，则3a >3b >0.5.教材习题改编 若不等式－x 2＋2x ＋m >0的解集是∅，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≤－1 B ．m ≥－1 C ．m ≤1D ．m ≥1A －x 2＋2x ＋m >0， 即为x 2－2x －m <0.由题意得Δ＝(－2)2－4×1×(－m )≤0， 即4＋4m ≤0， 所以m ≤－1.故选A.不等式的性质(1)已知a ，b ，c ，d 为实数，则“a >b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【解析】 (1)因为c >d ，所以c －d >0.又a >b ，所以两边同时乘以(c －d )，得a (c －d )>b (c －d )，即ac ＋bd >bc ＋ad .若ac ＋bd >bc ＋ad ，则a (c －d )>b (c －d )，也可能a <b 且c <d ，所以“a >b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的充分不必要条件．(2)因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.【答案】 (1)A (2)C(1)判断不等式命题真假的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．(2)充要条件的判断方法利用两命题间的关系，看p 能否推出q ，再看q 能否推出p ，充分利用不等式性质或特值求解．1．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2B ．a |b |<c |b |C ．ba <caD ．ca <cbD 因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．2．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d －c )中，成立 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 因为a >0>b ，c <d <0，所以ad <0，bc >0， 所以ad <bc ，故①错误． 因为a >0>b >－a ， 所以a >－b >0， 因为c <d <0， 所以－c >－d >0，所以a (－c )>(－b )(－d )， 所以ac ＋bd <0， 所以a d ＋b c ＝ac ＋bdcd<0，故②正确．因为c <d ，所以－c >－d ，因为a >b ，所以a ＋(－c )>b ＋(－d )，a －c >b －d ，故③正确．因为a >b ，d －c >0，所以a (d －c )>b (d －c )， 故④正确，故选C.比较两个数(式)的大小(1)已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定(2)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ________b (填“>”或“<”)．【解析】 (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)， 又因为a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)， 所以a 1－1<0，a 2－1<0. 所以(a 1－1)(a 2－1)>0， 即M －N >0.所以M >N . (2)易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89>1，所以b >a .【答案】 (1)B (2)<比较两个数(式)大小的两种方法1．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a<a 1＋1a ；④a1＋a>a 1＋1a.其中成立的是( ) A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③D ．②与④D 当0<a <1时，(1＋a )－⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ＝（a ＋1）（a －1）a<0，则1＋a <1＋1a，因此②④成立，故选D.2．设a >b >0，m >0.试比较b a 与b ＋ma ＋m的大小．因为b a －b ＋m a ＋m ＝（b －a ）ma （a ＋m ），a >b >0，m >0.所以a (a ＋m )>0，(b －a )m <0.所以（b －a ）m a （a ＋m ）<0，即b a －b ＋m a ＋m <0，所以b a <b ＋m a ＋m.不等式的恒成立问题(高频考点)不等式的恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题或填空题，有时也出现在解答题中，属中档题．高考对不等式的恒成立问题的考查主要有以下三个命题角度： (1)由f (x )≥0(x ∈R )恒成立，求参数的取值范围； (2)由f (x )≥0(x ∈)恒成立，求参数的取值范围；(3)由f (x )≥0(m ∈)恒成立，求x 的取值范围．(1)若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2]B ．(－2，2)C ．(－∞，－2)∪(2)设f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<－m ＋5，对于x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， 所以－2<m <2，综合①②，得m ∈(－2，2]．选A.(2)法一：要使f (x )<－m ＋5在x ∈上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈．当m >0时，g (x )在上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是{m |m <67}．法二：要使f (x )<－m ＋5在x ∈上恒成立，即m (x 2－x ＋1)－6<0在上恒成立．因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x －x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以，m 的取值范围是{m |m <67}．【答案】 (1)A (2)(－∞，67)不等式恒成立问题的求解方法(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．角度一 由f (x )≥0(x ∈R )恒成立，求参数的取值范围1．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．B ．(－∞，－2]∪∪A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.角度二 由f (x )≥0(x ∈)恒成立，求参数的取值范围2．函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax对任意x ∈ 因为x ∈ (－3，＋∞)角度三 由f (x )≥0(m ∈)恒成立，求x 的取值范围3．已知a ∈时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1，3)C 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， 则由f (a )>0对于任意的a ∈恒成立， 易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可， 联立不等式解得x <1或x >3., )——特值法判断不等式若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．a d >b cB ．a d <b cC ．a c >b dD ．a c <b d【解析】 法一：因为c <d <0，所以－c >－d >0， 所以1－d >1－c >0.又a >b >0，所以a－d >b－c，所以a d <b c.故选B.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒cd >0c <d <0⇒c cd <dcd <0⇒⎭⎪⎬⎪⎫1d <1c <0⇒－1d >－1c >0 a >b >0 ⇒－a d >－b c ⇒a d <b c . 法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则ac＝－1，bd＝－1，排除选项C ，D ；又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <bc，所以选项A 错误，选项B 正确．故选B. 【答案】 B本题给出三种不同的方法，法一、法二是利用不等式性质变形判断，易出错，而法三采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率．(2017·四川绵阳中学模拟)下列四个命题中正确命题的个数为( )①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ； ③若a >b ，c >d ，则ac >bd ；④若a >b >0，则c a >cb. A ．3 B ．2 C ．1D ．0C 易知①正确；②错误，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③错误，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a >b >0，则1a <1b ，当c >0时，c a <c b，故④错误．所以正确的命题只有1个．, )1．设a ，b ∈ 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <nD ．m <－n <n <－mD 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n <0⇒m ＜－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立． 3．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ．a c ＞b c⇒a ＞bC ．⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＜0⇒1a ＞1b D ．⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＞0⇒1a ＞1b C 当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a ＞b 不能得到ac 2＞bc 2，故A 项错误；当c＜0时，a c ＞b c ⇒a ＜b ，故B 项错误；因为1a －1b ＝b －aab ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞0a ＜b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＜0a ＞b ，故选项D 错误，C 正确．故选C.4．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |D 由于1a <1b<0，不妨令a ＝－1，b ＝－2，可得a 2<b 2，故A 正确．ab ＝2，b 2＝4，故B 正确．a ＋b ＝－3<0，故C 正确．|a |＋|b |＝3，|a ＋b |＝3，|a |＋|b |＝|a ＋b |，所以D 不正确．故选D.5．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1，1)D ．(0，2)A 由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.6．若关于x 的不等式x 2＋mx －4≥0在区间上有解，则实数m 的最小值是( )A ．3B ．－3C ．4D ．－4B 由题知，原不等式等价于m ≥4x －x 在区间上有解，令f (x )＝4x－x (x ∈)，则m ≥f (x )min .因为f (x )＝4x－x 在区间上单调递减， 所以f (x )在x ＝4处取得最小值－3.故m 的最小值为－3.7．(2017·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)，因为a 1<a 2，b 1<b 2， 所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1 8．设a >b ，有下列不等式①ac 2>b c 2；②1a <1b；③|a |>|b |；④a |c |≥b |c |，则一定成立的有________．(填正确序号)对于①，1c 2>0，故①成立； 对于②，a >0，b <0时不成立；对于③，取a ＝1，b ＝－2时不成立；对于④，|c |≥0，故④成立．①④9．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是________． 因为－π2<α<π，－π2<β<π， 所以－π<－β<π2， 所以－3π2<α－β<3π2.又因为α<β， 所以α－β<0，从而－3π2<α－β<0. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0 10．当且仅当a ∈(m ，n )时，2－ax ＋x 21－x ＋x 2<3对x ∈R 恒成立，则m ＋n ＝________． 因为1－x ＋x 2>0恒成立，所以原不等式等价于2－ax ＋x 2<3(1－x ＋x 2)，即2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立．所以Δ＝(a －3)2－8<0，3－22<a <3＋2 2.依题意有m ＝3－22，n ＝3＋22，所以m ＋n ＝6.611．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e （a －c ）2>e （b －d ）2. 因为c <d <0，所以－c >－d >0，又因为a >b >0，所以a －c >b －d >0.所以(a －c )2>(b －d )2>0.所以0<1（a －c ）2<1（b －d ）2. 又因为e <0，所以e （a －c ）2>e（b －d ）2.12．(2017·盐城一模)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________． 设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b )<152， －2<－12(a －b )<－1， 所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132. 即－92<2a ＋3b <132. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 13．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，求a 的最小值． 因为x 2＋ax ＋1≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立． 而f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增， 所以f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立， 满足a ≥f (x )max ＝－52即可， 所以a 的最小值为－52. 14．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0， 解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．。

1．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( ) A ．2B ．4 2C ．6D ．210【答案】C 【解析】圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，所以a ＝－1，从而A (－4，－1)， |AB |＝|AC |2－r 2＝－4－2＋－1－2－4＝6.2．已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线y ＝14x 2的准线相切，则m ＝( )A ．±2 2B ．± 3 C. 2 D. 3【答案】B 【解析】抛物线的准线为y ＝－1，将圆化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝1＋m 24，圆心到准线的距离为1＝1＋m24⇒m ＝± 3. 3．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离最小值为( ) A. 2 B ．2 2 C ．3 2 D ．4 24．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34【答案】D 【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0. 又因为光线与圆(x ＋3) 2＋(y －2)2＝1相切，所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.5．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19 D.496．已知圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，点P (2,2)是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是( ) A ．3 5 B ．4 5 C ．57D ．67【答案】D 【解析】依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P 垂直于直径的弦，所以|AC |＝2×3＝ 6.因为圆心到BD 的距离为－2＋－2＝2，所以|BD |＝232－22＝27.则四边形ABCD 的面积为S ＝12×|AC |×|BD |＝12×6×27＝67.故选D.7．若直线l ： ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10【答案】B 【解析】由题意，知圆心M 的坐标为(－2，－1)，所以－2a －b ＋1＝0. 因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离的平方， 而a －2＋b －2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.故选B.8．命题p ：4＜r ＜7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】因为圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离等于5，所以圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r2上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1时，4＜r ＜6，所以p 是q 的必要不充分条件． 9．已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，22) C ．[2，＋∞) D ．[3，22)【答案】B 【解析】由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2＜2，由k ＞0，得0＜k ＜2 2.①如图，又由|OA →＋OB →|≥33|AB →|，得|OM |≥33|BM |⇒∠MBO ≥π6，因|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |1＋1≥1⇒k ≥ 2.②综①②得2≤k ＜2 2.10．已知直线x ＋y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是坐标原点，向量OA →，OB →满足|2OA →－3OB →|＝|2OA →＋3OB →|，则实数a 的值为________. 【答案】± 211．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．【答案】x 2＋(y －1)2＝10【解析】设所求圆的半径为r ，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－2＝1， 故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.12．已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1]∪[1，＋∞)13．设点P 在直线y ＝2x ＋1上运动，过点P 作圆(x －2)2＋y 2＝1的切线，切点为A ，则切线长|PA |的最小值是________． 【答案】2【解析】圆心C (2,0)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝5，所以|PA |＝|PC |2－1≥d 2－1＝2. 14．若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________. 【答案】18【解析】由题意得直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2⇒a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18. 15．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .[解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，配方得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2,3).2分 当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)， 即kx －y ＋5－3k ＝0.由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.4分又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切，5分 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0.6分 (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，8分点C 到直线OA 的距离为d ＝|5×2－3×3|52＋32＝134.10分又|OA |＝32＋52＝34，∴S ＝12|OA |d ＝12.12分16．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.7分 (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )， 则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，10分化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.12分 17．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .18．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－3y＋3－2＝0相切．(1)求圆C的方程；(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝23，求直线MN的方程．解：(1)将圆C：x2＋y2＋4 x－2y＋m＝0化为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m，因为圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－3y＋3－2＝0相切，所以圆心(－2，1)到直线x－3y＋3－2＝0的距离d＝41＋3＝2＝r，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.。

2018届高三数学30个黄金考点精析精训考点18 不等关系和基本不等式【考点剖析】1.最新考试说明：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2.命题方向预测：预计2018年高考对本节内容的考查将与命题、充要条件相结合，题型延续选择题或填空题，分值为4分到5分，与数列、函数相结合，将不等关系隐含其中，要求学生区分“等”与“不等”，在复习时应予以关注，利用不等式性质和分析法，综合法，放缩法等证明不等式的命题趋势较强. 3.课本结论总结：对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件的加强或减弱、条件与结论的相互关系；在变形时要根据已知和要求证的式子的结构特征适当拆分、添项、减项及符号的变化等，多个式子同时用基本不等式，要注意各式取等号的条件必须同时成立. 4.名师二级结论：不等式的证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的一个难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题，但高考几何不可能出现单独考查不等式证明的试题，命题方向重在考查逻辑推理能力，在题目的设计上，常常将不等式的证明与函数、数列、三角综合.比较法是不等式证明的最基本方法，综合法的应用反映了学生对已知条件和所学知识的驾驭能力，这两种方法都是高考的重点考查内容. 5.课本经典习题：(1)新课标A 版必修5第75页，B 组 2.已知0a b >>，0c d >>，求证a bd c>. 【解析】考虑采用分析法来证明不等式：a b a bac bd d c d c>⇒>⇔>，根据不等式的性质6，可知这是显然成立的，故得证.【经典理由】结合具体实例，给出了利用分析法证明不等式的一般步骤及不等式性质的运用.(2)新课标A 版必修5 第100页，练习2 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？【解析】设两条直角边为a ，b ，根据基本不等式2a bab +≥，即250a b +≥，当且仅当50a b ==时，等号成立，即最小值是250.【经典理由】结合具体实例，给出了利用基本不等式求最值的运用. 6.考点交汇展示： (1)不等式与函数相结合1．【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤则实数a 的取值范围是 . 【答案】1[1,]2-(2)不等式与数列相结合【2018贵州贵阳市第一中学模拟】在等差数列错误！未找到引用源。