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信号与系统第一章-绪论

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《信号与系统》讲义 第一章：绪论 1 第一章：绪论

§1.1 信号与系统（《信号与系统》第二版（郑君里）1.1）

图1-1 典型通信系统 消息（Message）：信源的输出+语义学上的理解。 信号（Signal）：Information Vector（Signum），它携带或蕴含或本身即为信息。 信息（Information）：消息，内容，情报（见牛津英文词典）。 语用层次上的信息：效用 信息 语义层次上的信息：含义 语法层次上的信息：形式（狭义信息——Shannon信息论） 系统（System）：由若干个相互作用的物理对象和物理条件（统称为系统元件）组成的具有特定功能的整体。 本课程内容与定位： ☻ 信号的表示（分析）：把信号分解成它的各个组成分量或成份的概念、理论和方法，即用简单表示复杂。 ☻ 信号通过线性时不变系统的分析：  系统分析：在给定系统的条件下，研究系统对于输入激励信号所产生的输出响应。  系统综合：按某种需要规定出系统对于给定激励的响应，并根据此要求设计系统。 ☻ 支撑系统分析、信号处理两类课程  四个系统分析层次 （1）信号与系统：信号的表示，信号通过系统的响应，系统设计； （2）线性系统理论：系统的状态空间描述与运动分析，可控性、可观性、稳定性、鲁棒性、反馈系统时域设计； （3）高等系统分析：不确定性原理与反演问题； （4）复杂系统分析：现代系统论、非线性理论、人工生命方法。  四个系统分析层次 （1）数字信号处理（DSP） 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 2 （2）现代信号处理 （3）时间序列分析

§1.2 信号分类与典型确定性信号（《信号与系统》第二版（郑君里）1.2，1.4） 确定性信号：由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。 随机信号：具有不可预知的不确定性的信号。 非确定性信号 模糊信号：（例：高矮，胖瘦，冷热，亮暗，……）。 周期信号：f(t) = f(t + nT)，n  Z 非周期信号：f(t)≠ f(t + nT)， n  Z 伪随机信号：具有周期性的随机信号。周期无穷大则为随机信号。 按时间和取值的连续性，可组合成四种信号：模拟、阶梯、抽样、数字。 连续时间信号：在所讨论的时间区域内任意时间点上都有定义（给出确定但可能不唯一的信号取值）的信号。 模拟信号：时间和取值都连续的信号。 阶梯信号：时间连续、取值离散的信号。 离散时间信号：只在某些不连续的时间点或区间上有定义（给出信号取值）的信号。 抽样信号：幅值具有无限精度的离散时间信号。 数字信号：幅值具有有限精度的离散时间信号。

图1-2 抽样信号举例 典型确定性信号： ☻ 指数信号： tftKe （1-1）

其中，K、为实数。 ☻ 正弦信号： sinftAt （1-2） 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 3 其中，A为幅度，ω为角频率，θ为初相位。 ☻ 单边衰减正弦信号：

00sin0ttftKett，

， （1-3）

其中， 0。 ☻ 复指数信号： ()stftKe （1-4）

其中：j,,st

可见：cosjsinstttftKeKetKet ☻ 采样函数： sinSatfttt （1-5）

图1-3 采样信号 采样函数的性质（三点、三式）：

 采样函数Sat为偶函数，在t的正、负两方向振幅都逐渐衰减，当

,2,,tn时，信号值为零。  0Sad2tt

（1-6）

 Sadtt

（1-7）

 Sadtt

（1-8）

☻ 高斯函数：

2t

ftEe （1-9）

- 0.2122 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 4 图1-4 高斯函数 高斯函数的性质：

 高斯函数比任何一个多项式的倒数衰减都快，即0niiiftt是一个高阶无穷小量，当t  。  定义：比任何多项式的倒数衰减都快的函数称为速降函数。  高斯函数是速降函数，是正实函数。  高斯函数的傅里叶变换仍为高斯的。

奇异函数： ☻ 光滑函数：定义域上任意阶导数都存在的函数的集合，记为C。 ☻ 奇异函数：非光滑函数统称为奇异函数。 ☻ 单位斜变函数：

,00,0ttRtt





（1-10）

☻ 单位阶跃函数： 1,00,0tutt





（1-11）

或

1,00,012,0tuttt





（1-12）

图1-5 斜升函数 图1-6 单位阶跃函数 ☻ 符号函数： 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 5 1,0sgn1,0ttt





（1-13）

或

1,0sgn1,00,0tttt





（1-14）

☻ 门函数： 00,0Gtututtt （1-15）

图1-7 符号函数 图1-8 门函数 §1.3 冲激函数与广义函数（《信号与系统》第二版（郑君里）1.4，2.9） 冲激函数的三种常规定义： 1）冲激函数的直观定义，狄拉克（Dirac）定义：

d10,0tttt



 （1-16）

图1-9 冲激函数 这不是高等数学所讲的常规意义下的积分，不是黎曼（Riemann）积分，也不是勒贝格（Lebesgue）积分。而是一种自洽定义的特殊积分。 2）冲激函数的广义极限定义：冲激函数是面积（强度）为1，等效宽度趋于0的函数的极限。这样的函数可以有多种，以下列出八种： a) 矩形函数逼近

01lim22tutut







（1-17） 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 6 图1-10 矩形逼近 b) 金字塔函数逼近

01lim1||ttutut







 （1-18）

图1-11 金字塔逼近 c) 负指数函数逼近

||01lim,02tte

 （1-19）

图1-12 负指数逼近 d) 采样函数逼近

sinsinlimSalimlimkkkktktkk

tktktt



（1-20）

图1-13 采样函数逼近

to《信号与系统》讲义 第一章：绪论

7 e) 复指数函数积分逼近（与采样函数逼近相同）



jjjj11limd d2211sinlimlim2jktt

kkktktkkteekteett







，即采样逼近

（1-21）

f) 高斯函数逼近 2

01limtte



（1-22）

g) 采样函数平方逼近 22

22

sinsinlimlimkkktktk

tktkt







（1-23）

h) ？函数逼近 22220limlim1nntntt

 （1-24）

3）冲激函数的检验函数（test function）定义：  检验函数的描述性定义：区间Ω(a, b)上的光滑函数t称为检验函数，ab。检验函数的全体记为ΩD。  用检验函数定义冲激函数：对于tΩD，若有 d0fttfttt，

（1-25）

ftt则：称为冲激函数。 （1-26）

冲激函数的性质： ☻ 取样性质：若ft有界，且在t = 0连续，则有： 0fttft （1-27）

☻ 尺度变换性质： 1tt （1-28）

☻ 偶函数性质： tt （1-29）

☻ 积分阶跃性质： dtuttt

（1-30）

定义（积分算子）：

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郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(课后习题 绪 论)【圣才出品】

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（1） ut ut T sin 4π t ；
T
（2） ut 2ut T ut 2T sin 4π t 。
T
解：（1）信号 sin 4π t 的周期为 T ，截取信号 sin 4π t 在区间[0，T]上的波形如
T
2
T
图 1-5(a)所示。
（2）信号 sin 4π t 的周期为 T ，截取信号 sin 4π t 在区间[0，T]上的波形，在区
2
1-3 分别求下列各周期信号的周期 T：
（1） cos10t cos30t；
（2） e j10t ；
（3） 5sin8t2 ；
（4）
1n
ut
nT
ut
nT
T
n为正整数。
|
解：（1）分量 cos(10t) 的周期T1
2 10
5
，分量 cos(30t) 的周期T2
，两者的 15
最小公倍数是 ，所以此信号的周期T 。
eatu(t) 台eatu(t t0 ) eatu(t t0 ) ea(tt0 )u(t t0 )
eatu(t) ea(tt0 )u(t t0 )
（2）表达式（1-17）为
t
（f ）d
1
=
a
(1 eat ), (0
t
t0 )
1 a
(1
e at
)
1 a
1
e a (tt0 )
以上各式中 n 为正整数。
解：（1） eat sin(t) 时间、幅值均连续取值，故为连续时间信号（模拟信号）；
（2） enT 时间离散、幅值连续，故为离散时间信号（抽样信号）；
（3） cos(n ) 时间、幅值均离散，故为离散时间信号（数字信号）；
信号与系统总复习要点

信号与系统总复习要点

《信号与系统》总复习要点第一章绪论1．信号的分类：模拟信号，数字信号，离散信号，抽样信号2．信号的运算：移位、反褶、尺度、微分、积分、加法和乘法3. δ(t)的抽样性质 (式1-14)4．线性系统的定义：齐次性、叠加性5．描述连续时间系统的数字模型：微分方程描述离散时间系统的数字模型：差分方程6．连续系统的基本运算单元：加法器，乘法器，积分器离散系统的基本运算单元：加法器，乘法器，延时器7．连续系统的分析方法：时域分析方法，频域分析法(FT)，复频域分析法（LT）离散子系统的分析方法：时域分析方法，Z域分析方法8．系统模拟图的画法9．系统线性、时不变性、因果性的判定第二章连续时间系统的时域分析1．微分方程的齐次解+特解的求法自由响应+强迫响应2．系统的零输入响应+零状态响应求法3．系统的暂态响应+稳态响应求法4．0-→0+跳变量冲激函数匹配法5．单位冲激响应h(t), 单位阶跃响应g(t), 与求法h(t)=g'(t), g(t)=h (-1)(t)类似δ(t)与u(t)的关系6．卷积的计算公式，零状态响应y zs (t)=e(t)*h(t)=∫∞-∞e(τ)h(t-τ)d τ=h(t)*e(t)7．卷积的性质串连系统，并联系统的单位冲激响应f(t)*δ(t)= f(t)f(t)*δ(t-3)= f(t-3)8. 理解系统的线性 P57 (1) (2) (3)第三章 傅立叶变换 t →w1．周期信号FS ，公式，频谱：离散谱，幅度谱2．非周期信号FT ，公式，频谱：连续谱，密度谱3． FT FT -14．吉布斯现象 P100---P1015．典型非周期信号的FT （单矩形脉冲）6．FT 的性质①对称性②信号时域压缩，频域展宽 P127，P128 ()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛=a F a at f F ω1()()j t F f t e dt ωω∞--∞=⎰1()()2j t f t F e d ωωωπ∞-∞=⎰③尺度和时移性质 P129④频移性质：频谱搬移 cos(w 0t)的FT⑤时域微积分特性，频域微分特性⑥卷积定理（时域卷积定理、频域卷积定理）7．周期信号的FT ：冲激8．抽样信号f s (t)的FT 及频谱F s (ω)9．抽样定理①条件 f s >=2f m w s >=2w m②奈奎斯特频率 f s =2f m③奈奎斯特间隔 T s =1/f s10.关于频谱混叠的概念第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s 域分析 t →s 1． LT LT -12．典型信号的LT3．LT 性质：时移，频移，尺度，卷积()j 1e baf at b F a a ωω⎛⎫+↔⋅ ⎪⎝⎭0001[()cos()][()()]2F f t t F F ωωωωω=++-()()⎰∞∞--=tt f s F ts d e ()()⎰∞+∞-=j j d e j π21 σσss F t f t s []000()()()e st L f t t u t t F s ---=()e ()αt L f t F s α-⎡⎤=+⎣⎦[]()1() 0s L f at F a a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭4．LT 的逆变换①查表法②部分分式展开法（系数求法）③留数法5．LT 分析法 （第四章课件63张，64张，78张，81张） 求H(s), h(t), y zi (t), y zs (t), y(t)6．系统函数H(s) h(t) 一对拉氏变换对 H(s)的极点决定h(t)的形式H(s)的零点影响h(t)的幅度和相位7．H(s)的零极点 稳定性： ①②极点全在S 面左半面 P241 例4-26 8．连续系统的频响特性 H(jw)=H(s)│s=jw9．全通网络（相位校正），最小相移网络第五章 傅立叶变换应用于通信系统－滤波、调制与抽样1．h(t) H(jw) 构成傅式变换对2．无失真传输概念3．实现无失真传输的系统要满足的时域条件、频域条件4．理想低通滤波器的频响特性，及其单位冲激响应5．信号调制、解调的原理()||h t dt M ∞-∞≤⎰第七章 离散时间系统的时域分析1．离散序列的周期判定：2π/w 0，分三种情况讨论2．离散时间信号的运算、典型离散时间信号3．离散系统的阶次确定4．离散时间系统的差分方程，及模拟图的画法5．u(n), δ(n), g(n), h(n)的关系δ(n)= u(n)- u(n-1) h(n)= g(n)- g(n-1) 6．离散时间系统的时域求解法 （迭代、齐次解＋特解、零输入＋零状态）7．离散系统的单位冲激响应h(n)及其求法8．卷积和9．系统的零状态响应y zs (n)＝x(n)*h(n) 10．有限长两序列求卷积：x 1(n)：长N x 2(n)：长M 见书例7-16， 对位相乘求和法， 长度：N+M-111．卷积性质：见课件第七章2，第35张12．离散系统的因果性，稳定性时域：因果性 n<0 ,h(n)=0稳定性 h(n)绝对可和()()k u n n k δ∞==-∑0()()k g n h n k ∞==-∑()()()()∑∞-∞=-=*m m n h m x n h n x ()n h n ∞=-∞<∞∑第八章 Z 变换、离散时间系统的Z 域分析1．LT →ZT: z=e sTZ 平面与S 平面的映射关系2． ZTZT -13．典型序列的Z 变换 4．Z 变换的收敛域： 有限长序列 有无0，∞右边序列 圆外左边序列 圆内双边序列 圆环5．逆Z 变换 ①查表法②部分分式展开法（与LT -1不同的，先得除以Z ） ③留数法6．ZT 的性质时移性质 (1)双边序列移位(2)单边序列移位 ①左移 ②右移 序列的线性加权性质序列的指数加权性质卷积定理7．Z 域分析法解差分方程：书P81 例8-16第八章课件2 第33张～37张 ()()n n X z x n z ∞-=-∞=∑()⎰-π=c n z z z X jn x d 21)(18．系统函数H(z) h(n) H(z) Z 变换对 求H(z), h(n), y zs (n), y zi (n), y(n), H(e jw ) *见书P86：例8-19， P109 8-36 8-379．离散系统的稳定性，因果性稳定性 因果性时域 n<0, h(n)=0 频域 H(z)所有极点在单位圆内 收敛域（圆外）含单位圆10．离散系统的频响特性H(e jw )=H(z)│z=ejw =│H(e jw )│e j ψ(w)幅度谱：描点作图，2π为周期相位谱书P98，例8-22， 第八章课件：59张，60张 ()n h n ∞=-∞<∞∑。

信号与系统

信号与系统

《信号与系统》第一章绪论（本章的重点在于系统的模型的分类）1 什么是阶跃信号？什么是冲激信号？它们之间有什么联系？答案：阶跃信号仅仅是用来形容用阶跃函数描述的信号。

积分关系，积分界限的确定（因果系统从0开始）系统在单位冲激作用下产生的零状态响应叫单位冲激响应。

系统在单位阶跃信号作用下产生的零状态响应叫阶跃响应2 解释下面的概念连续时间系统/离散时间系统即时系统/动态系统集总参数系统/分布参数系统线性系统/非线性系统时变系统/时不变系统可逆系统/不可逆系统叠加性与均匀性时不变特性因果性（重点，本章可考的就只有这些）答案：若系统的输入和输出都是连续时间信号，且其内部也未转换为离散时间信号，则称此系统为连续时间系统。

若系统输入和输出都是离散时间信号，则称为离散时间系统。

如果系统的输出信号只取决于同时刻的激励信号，与它过去的工作状态无关，则称次系统为即时系统。

若系统的输出信号不只取决于同时刻的激励信号，还与它过去的工作状态有关，这种系统为动态系统。

只有集中参数元件组成的系统叫集总参数系统，含有分布参数元件的系统叫分布参数系统。

具有叠加性和均匀性的系统称为线性系统，所谓叠加性指当几个激励信号同时作用与系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用产生的响应之和。

均匀性指当输入信号乘以某常数时输出信号倍乘同样的常数。

如果系统参数不随时间变化称时不变系统。

如果系统在不同的激励下产生不同的响应，则称此系统为可逆系统。

因果系统指系统在T时刻只与T0=T和T0〈T时刻输入有关。

第二章连续时间系统的时域分析1 本章的重点在于卷积和卷积的性质2 可能问的问题1 什么是零输入相应？什么是零状态相应？什么是自由响应？什么是强迫响应？答案：换路后，电路中无独立的激励电源，仅由储能元件的初始储能维持的响应.也可以表述为,由储能元件的初始储能的作用在电路中产生的响应称为零输入响应通路后,电路中的储能元件无初始储能,仅由激励电源维持的响应.一定要是外部施加的激励产生。

郑君里信号与系统总复习

郑君里信号与系统总复习


例2：信号如下图所示，求f(-2t+2)，并画出波形。
f (t) 1
解法一：先求表达式再画波形。
1
1
t
t 1 1t 0 f (t) 1 0t 1
0 t 1及t 1
2t3 12t20 f(2t2) 1 02t21
0 2t21及 2t21
例2：信号如下图所示，求f(-2t+2)，并画出波形。
f (t) 1
傅立叶变换的关系
❖ 抽样定理
时域抽样定理、频域抽样定理——注意2倍关系！！
第三章 傅立叶变换
❖ 周期信号的傅立叶级数
f(t)a0 (anco n 1 stbnsin n 1t)
n 1
称为f (t)的傅立叶级数（三角形式）
三角形式傅立叶级数的傅里叶系数：
直流系数
a0
1 T1
T1
2 T1
1 Fn T1
T1
2 T1
f (t)e jn1tdt,
2
n ( , )
Fn : 指数形式傅立叶级数的傅立叶系数 已知某函数时域图形，会求其傅立叶级数
三个性质
收敛性n： , Fn1
谐波性（：离散性），现 频在 n率 1处 只出
惟一性f： (t)的谱线唯一 注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
引入负频率
(t)f(t)d t f(0)
(tt0)f(t)dtf(t0)
(t) ( Biblioteka )偶函数f(t)*(t) f(t)f;(t)*(t t0 ) f(t t0 )
❖四种奇异信号具有微积分关系
'(t) d(t)
dt
(t) du(t)
dt u(t) dr(t)
dt