高一秋季第1讲.集合中的常用数学思想.尖子班.删解析

1 高一秋季讲义说明 1．暑秋讲义区别： ⑴ 定位区别： 暑期讲义侧重于知识的引入与概念的讲解，会有很多与实际生活相结合或是非常简单的小例子（有些在教师备案中，并有配套练习）； 秋季讲义侧重于知识点中的重点、难点与易错点，对常用方法与题型作系统说明与讲解．教师备案更多的是揭示概念与方法的本质，及需要重点说明的地方． ⑵ 难度区别： 暑假讲义的例题以一星与二星为主，难度不大；秋季讲义例题以三星为主，有少量二星与四星的题，对于暑假已经讲过的知识点有“暑假知识回顾”版块，老师可以结合这个版块进行复习与知识点梳理．讲义中所有四星级题都是思考与选讲类的题，可以在一开始对学生进行说明．

2．升级后与原来讲义的区别： ⑴ 暑假与秋季没有重复内容，暑假讲过的内容，除了极重要的内容（会单独说明）外，秋季都不会在例题中重复出现； ⑵ 尖子班（提高班与尖子班讲义相同）与目标班区别度很大，每道例题都有区别，仅在目标班出现的例题与考点会标有“目标班专用”，知识点讲解的深度与难度更大，计算量也更大； ⑶ 题量与以前相比也有所增加，老师可以根据班上学生的进度情况与学生的程度好坏可以调整与选择性讲解，这一点也可以在最开始作个说明； ⑷ 对于暑假没有讲过的新知识点，有些会配上【练习】，有些难题前面配有【铺垫】，学生版都出现．个别例题后面备有较难的【备选】与【拓展】，学生版不出现，供老师选讲．

3．我们是以知识模块划分的讲次，每讲内容的量有一些区别，以下附有建议课时表： 讲次 讲义名称 建议课时 第1讲 集合中的常用数学思想 3小时 第2讲 函数概念的深入理解 3.5小时

第3讲 函数的单调性与奇偶性（一） 提高班、尖子班3.5小时 目标班3小时

第4讲 函数的奇偶性（二）与对称性 提高班、尖子班2小时； 目标班3小时（有周期性） 第5讲 指数函数与相关复合函数 3小时 第6讲 对数函数与相关复合函数 3小时

第7讲 期中复习 提高班、尖子班3小时 目标班2.5小时

4．课后演练教师版有，学生版没有，会给学生发一本练习册，并且网上有视频讲解．

第1讲 集合中的常用

数学思想 2 第1讲·教师版

当前形势 集合在近五年北京卷（理）考查5～18分

高考 要求

内容 要求层次 具体要求 A B C

集合的含义与表示 √ 了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系． 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

集合间基本关系 √ 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 在具体情境中，了解全集与空集的含义．

集合基本运算 √ 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 能使用Venn图表达集合的关系及运算

北京 高考 解读

2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 2013年（新课标）

第20题13分 第1题5分 第20题13分 第1题5分 第1题5分 第1题5分

可以调查一下班上学生上过暑期课的比例，以及学校当前的进度． 对于集合，学生应从内心深处把集合当作一个锻炼的工具，集合从高中开始一直渗透到高中结束，甚至在有些过程中，我们都没有意识到． 集合是数学的语言，是一个对话的平台，语言的作用是为了沟通，集合的问题不在于基本的运算什么的你不会，而是给你一道集合相关的问题你根本读不明白题意，或者当你试图

满分晋级 新课标剖析 函数9级 函数与方程

函数10级 集合中的常用 数学思想

函数11级 函数概念的 深入理解 3 表达一个条件时，你没有办法用一套很严格的数学语言把它表达出来． 集合的中还渗透着很多数学思想，比如要想确定一个由描述法表示的集合，可能需要对参数进行分类讨论；理解一些集合的关系与运算需要借助韦恩图与数轴，这便是集合中的数形结合；还有些集合问题直接解决比较困难，我们选择看它的反面，正难则反．这些数学思想在以后的高中数学学习中，还会常常遇到，也会贯穿我们这一讲．

“给你一道集合相关的问题，你根本读不明白题意”这句话可以结合下面的例子说明，可以用这个例子作为课堂的引入，调动学生的思维兴趣：

已知集合12nMaaa，，，，121naaa≤，若对于任意1ijn≤≤≤，ijaa，

j

i

a

a中至少有1个在M中，则称集合M具有性质P．判断1234，，，（不具有）、1248，，，

（具有）、24612，，，（不具有）是否具有性质P．(更进一步的问题见华山论剑)

1．集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．集合一般用英文大写字母,,,ABC表示．元素一般用英文小写字母,,,abc表示； 不含任何元素的集合叫做空集，记作． 2．元素与集合的关系：、； 3．常见的数集的写法： 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

N N或N

 Z Q

R

4．元素的性质：确定性、互异性、无序性． 5．集合的表示法 ⑴ 列举法． ⑵ 描述法（又称特征性质描述法）： 形如{|()}xApx，()px称为集合的特征性质，x称为集合的代表元素．A为x的范围，有时也写为{|()}xpxxA，． ⑶ 图示法，又叫韦恩（Venn）图． ⑷ 区间表示法：用来表示连续的数集． ⑴ 元素的性质： 元素的性质中最本质的属性是确定性，集合是有边界的，边界确定了，才能判断一个元素在还是不在集合中．正是因为有确定性，所以可以定义空集，因为所有元素都不在这个集合中，所以这也能构成一个集合，就是空集． ⑵ 集合的表示法： ① 列举法一定要会用，当遇到陌生集合时，要会写出其中的元素．比如要想了解集合{|24}AxxkkZ，，{|42}BxxkkZ，的关系，可以用列举法把一个个元素写出来：{42024}A，，，，，，，{22610}B，，，，，，就知道B是A的真子集； ② 描述法是集合的一个重点与难点：{|()}xApx，xA表达x的外延，即x的最大讨论范围，以及集合中元素的形式，到底是数还是点，x并不一定能取到A中的所

知识点睛 1.1 元素与集合 4 第1讲·教师版

有，只是x一定是A中的元素，()px表示x的内涵，是对x的精确描述． 如：集合3123{()|{012}123}iSxxxxi，，，，，，，，

则3(212)S，，，3(234)S，，．

③ Venn图是表达集合中的各种关系与运算的； ④ 区间表示法课本上是在函数的三要素那一节出现的，我们为了方便与统一把它放到集合中，当一个连续数集写成区间时，默认左端点是小于等于右端点的，如区间(213)aa，，就表示213aa，即1a．这与{|213}xaxa是有区别的，这个集合可以出现213aa≥的情况，此时这个集合是空集．

1．由实数a，a，a所组成的集合里，所含元素个数最多．．有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】 C

2．下列集合中恰有2个元素的集合是（ ） A. 2{0}xx B. 2{|0}yyy C. 2{|}xyxx D. 2

{|}yyxx

【解析】 B．

3．若2123A，，，，2|BxxttA，，则集合B中的元素共有（ ）

A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【解析】 A

考点1：元素与集合的关系 【例1】 ⑴已知1021Ax，，，且2xA，求实数x及集合A． ⑵已知aZ，集合(,)3Axyaxy≤，且(2,1)A，(1,4)A，求满足条件的

a的值． ⑶已知A是数集，且满足：若xA，则23Ax，则当x 时，A中仅有1个元素．若

集合A中有且仅有两个元素，集合A_______． 【解析】 ⑴ 当0x时，101A，，；当1x时，103A，，． ⑵ 012，，； ⑶ 1或2；{12}，．

备注：所有的【备选】在学生版都不出现．．．．．．．．，只在教师版与课件上出现，供老师选讲． 【备选】设A是非空数集，0A，1A，且满足条件：若aA，则11Aa． 证明：⑴ 若2A，则A中必还有另外两个元素； ⑵ 集合A不可能是单元素集；

暑假知识回顾 经典精讲 5

⑶ 集合A中至少有三个不同的元素． 【解析】 ⑴ 若2A，则1112A

，于是11112A，

故集合A中还含有1，12两个元素． ⑵ 若A为单元素集，则11aa，即210aa，此方程无实数解，∴11aa， ∴a与11a都为集合A的元素，则A不可能是单元素集． ⑶ 由A是非空集合知存在1111111aaAAAaaa．

现只需证明a、11a、1aa三个数互不相等． ①若21101aaaa，方程无解，∴11aa； ②若2110aaaaa，方程无解；∴1aaa； ③若211101aaaaa，方程无解，∴111aaa， 故集合A中至少有三个不同的元素．

【备注】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点．解此题关键在于由已知aA，1a，得到11Aa，1111Aa，

然后逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将问题加以解决．⑵中用到反证法的解题思想．下面的例3中会进一步提到正难则反的思想．

考点2：两个集合相等 两个集合相等是集合的关系中出现的概念，但对于由列举法表示的集合来说，两个集合相等就是指两个集合中的元素完全相同，所以放在元素与集合这一板块中讲解更顺一些．下一板块的集合相等的定义主要针对更复杂更抽象的集合，通过互相包含得到相等关系．

【例2】 ⑴设abR，，集合{1}{0}ab，，，则ba_____． ⑵若a，bR，集合10

b

ababa，，，，，则ba_____．

⑶由三个实数构成的集合，既可以表示为1baa，，，也可表示为20aab，，，则

20132013ab____．

【解析】 ⑴ 1； ⑵ 2； ⑶ 1； 点评：根据两集合的元素是相同的，可以列方程组分类讨论，但显然复杂又繁琐，这时从

特殊元素出发，如发现0这个特殊元素和ba中的a不为0的隐含信息，就能得到简便解法．