(完整版)高一数学集合较难题

完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题高一数学必修第一章集合1.集合的概念集合是指一定范围内、确定的、可区别的事物，将其作为一个整体来看待，就叫做集合，简称集。

其中的各事物叫作集合的元素或简称元。

集合的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性。

确定性指元素是明确的，如世界上最高的山。

互异性指元素是不同的，如由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}。

无序性指元素的排列顺序不影响集合的本质，如{a,b,c}和{a,c,b}是同一个集合。

集合可以用大括号{…}表示，如{我校的篮球队员}、{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。

集合也可以用拉丁字母表示，如A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}。

集合的表示方法有列举法和描述法。

常用的数集及其记法有：非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。

2.集合间的关系集合间有包含关系和相等关系。

包含关系又称为“子集”，表示一个集合的所有元素都属于另一个集合。

如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。

如果A和B是同一集合，则称A是B的子集，记作A⊆B。

反之，如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含于集合A，则记作A⊈B或B⊈A。

相等关系表示两个集合的元素完全相同，记作A=B。

真子集是指如果A⊆B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）。

如果XXX且B⊆C，则A⊆C。

如果XXX且B⊆A，则A=B。

空集是不含任何元素的集合，记为Φ。

规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

3.集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。

交集是由所有属于A 且属于B的元素所组成的集合，记作A∩B。

并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B。

补集是由S中所有不属于A的元素所组成的集合，记作A的补集。

如果S是一个集合，A是S的一个子集，则A的补集为由S中所有不属于A的元素组成的集合。

高一数学集合试题答案及解析1.集合S＝{x|x≤10，且x∈N*}，A S，B S，且A∩B＝{4,5}，(B)∩A＝{1,2,3}，(A)∩(B)＝{6,7,8}，求集合A和B.【答案】A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}.【解析】如下图所示.因为A∩B＝{4,5}，所以将4,5写在A∩B中.因为(B)∩A＝{1,2,3}，所以将1,2,3写在A中.因为(B)∩(A)＝{6,7,8}，所以将6,7,8写在S中A，B外.因为(B)∩A与(B)∩(A)中均无9,10，所以9,10在B中.故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}.【考点】本题主要考查集合的交集，集合的补集。

点评：涉及实数构成集合问题，常常借助于韦恩图。

2.已知集合A＝{ |－≤x≤}，则必有 ()A．－1∈A B．0∈A C．∈A D．1∈A【答案】D【解析】∵，－≤x≤，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A.故选D.【考点】元素与集合的关系点评：本题先根据x是正整数和－≤x≤确定集合A，再判断各元素是否属于集合。

3.已知函数f(x)的定义域是(0，1)，那么f(2x)的定义域是（）A．(0，1)B．(，1)C．(－∞，0)D．(0，＋∞)【答案】C【解析】因为函数f(x)的定义域是(0，1)，所以，即，，故选C。

【考点】本题主要考查函数的概念，指数函数的图象和性质。

点评：简单题，解答指数不等式，通常要化为同底数指数，利用指数函数的单调性，转化为代数不等式。

4.已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝ ()A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2}D．{x|－1≤x≤2}【答案】A【解析】集合A、B用数轴表示如图，A∪B＝{x|x≥－1}.故选A.【考点】本题主要考查集合的并集。

点评：简单题，借助于数轴求集合的并集。

5.满足{0}∪B＝{0,2}的集合B的个数是 ()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】依题意知，B中至少含有元素2，故B可能为{2}，{0,2}，共两个.【考点】本题主要考查集合的子集，集合的并集。

此文档下载后即可编辑高一数学集合较难题一、选择题：1．全集U R =，集合{|112},{|21,},M x Z x N x x k k N +=∈-≤-≤==+∈则图1中阴影部分所示集合的元素共有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．无穷多2．设全集U={2，3，2a +2a-3}，A={|a+1|，2}，A C U ={5}，则a 的值为（ ）A 、2B 、-3或1C 、-4D 、-4或23. 已知集合{1,2}{21}M N a a M ==∈-，，则M N ⋂＝（ ）A ．}1{B ． }2,1{C ． }3,2,1{D ．空集 4.记全集},,111|{N x x x U ∈<≤=则满足}9,7,5,1{}10,97531{=⋂P C U ，，，，的所有集合P 的个数是（ ）A.4B.6C.8D.165．已知集合{}{}221,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>，则下列正确的是（ ）A ．{}1,AB y y => B.{}2A B y y =>C.{}21A B y y ⋃=-<<D. {}21A B y y y ⋃=<>-或6.设全集为R ，}3x 3|x {B }5x 3x |x {A <<-=><=，或，则（ ）A. R B A R C =B. R B A R C =C. R B A R R C C =D. R B A =7.设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[0,3)8.已知不等式8.03)1(4)54(22>+-+-+x k x k k 对任何实数x 都成立，则关于x 的方程0108)2(2232=-+-+k x k x （ ）A.有两个相等的实根B. 有两个不等的实根C.无实根 有无实根不确定9.满足)3,}(,,,,,{},{132121≥∈⊂⊆-≠n N n a a a a a P a a n n 21,a a 21,a a 的集合P 共有（ ） A.123--n 个 B. 122--n 个 C. 121--n 个 D. 12-n 个10. 设集合{|||1,}A x x a x R =-<∈，{|||2,}.B x x b x R =->∈若,A B ⊆则实数a,b 满足A. ||3a b +≤B.||3a b +≥C. ||3a b -≤D. ||3a b -≥二、填空题：1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________.2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==⊆⊆=B C A C B A I B I A I}8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________。

高一数学集合试题及答案一、单选题1．设全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{}{}1,0,1sin ,cos0M N π=-=,，则{1}-=（ ） A ．M N ⋂B ．()U M NC ．()U N M ⋂D ．()()U U M N 2．若集合{|ln(2)1}A x Z x =∈-≤，则集合A 的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 3．已知集合{}220A x x x =+-<，{}1e ,R x B y y x -==∈，则A B =（ ） A ．()2,0- B ．()2,1- C ．()0,1 D ．()1,+∞ 4．设集合{}1A x x =>，{}2B x x =≤，则A B =（ ）A ．∅B ．{}12x x <≤C ．{}12x x x ≤>或D ．R5．已知集合{}13A x N x =∈≤≤，{}2650B x x x =-+<，则A B =（ ） A ．∅ B ．{}1,2,3 C ．(]1,3 D ．{}2,36．已知集合{}21A x x =<，{}lg 0B x x =<，则A B =（ ） A ．{}11x x -<<B ．{}10x x -<<C ．{}1x x <D ．{}01x x <<7．集合{}230,{1,0,1,2,3}A xx x B =-<=-∣，则A B =（ ） A ．(1,2) B ．{1,2} C ．{0,1,2} D ．{0,1,2,3} 8．集合{}13A x x =-<<，集合{}2B x x =<，则A B =（ ）A ．()2,2-B ．()1,3-C ．()2,3-D ．()1,2- 9．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，{}3,4B =，则集合{}4=（ ） A ．()U A B B ．()()U U A B C ．()U A B ⋂ D ．()U A B10．设集合{}2{|1N 9|}A x x B x x =>=∈<， ，则A B = （ ）A ．(13)，B ．(31)(13)--⋃，，C ．{2}D ．{-2，2}11．已知集合{}1A x x =>，()(){}150B x x x =+-≤，则A B =（ ）A ．(]1,5-B ．(]1,5C ．[]1,5-D ．[]1,5 12．已知集合{}{}2230,1A x x x B x x =--<=≤，则R ()A B ⋂=（ ）A ．(,1][1,)∞∞--⋃+B ．(,1](1,)-∞-⋃+∞C ．(]1,1-D ．[1,1)-13．已知集合(){}30A x x x =-<，{}0,1,2,3B =，则A B （ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,214．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则集合()U AB =（ ） A ．{}1 B ．{}2C ．{}1,2,5D ．{}1,2,3,4 15．已知集合{}21A x x =-<≤，{}2,1,0,1B =--，则A B =（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}2,1,0--二、填空题16．若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤﹐则A B =_________． 17．已知集合{}2410A x mx x =++=有两个子集，则m 的值是__________． 18．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为________19．集合A 满足{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有________个. 20．若集合(){}21420A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数a 的值是____． 21．用适当的符号填空：（1）{}0______()2,3-； （2）{},,a c b ______{},,a b c ；（3）R______(],3-∞-； （4）{}1,2,4______{}8x x 是的约数． 22．已知集合A 与B 的关系如下图，则图中所示的阴影部分用集合表示为________．（要求用集合A 与B 的符号关系表示）23．{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A ⋃=，则m 的值是__________． 24．集合{12}A =，的非空子集是________________． 25．已知集合{0,1,2,3,4,5}A =，集合{1,3,5,7,9}B =，则Venn 图中阴影部分表示的集合中元素的个数为________．三、解答题26．已知函数2()24=-f x x 的定义域为集合A ，关于x 的不等式22430x ax a -+≤的解集为B ．(1)当1a =时，求A B ；(2)设0a >，若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．27．在①A B B ⋃=；②“x A ∈”是 “x B ∈”的充分不必要条件；③A B =∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题： 已知集合{}11A x a x a =-≤≤+，{}2230B x x x =--≤ (1)当2a =时，求A B ；(2)若______，求实数a 的取值范围.28．设集合{}()(){}2|20,|30,0A x x x B x x a x a a =--<=--<>，语句:p x A ∈，语句:q x B ∈.(1)当1a =时，求集合A 与集合B 的交集；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求正实数a 的取值范围.29．已知集合{}3A x x =<，{}2560B x x x =-+>. (1)求A B ，()R A B ；(2)若{}1C x m x m =<<+，且B C ≠∅，求实数m 的取值范围.30．为了安全和方便，把一批数据分成若干部分储存在6个服务器里，要求其中任意两个服务器发生意外数据受损时，从其余4个服务器中仍然能够提取信息恢复数据．邀你设计既节省储存空间又满足上述要求的数据储存方案．完成后可进一步探究更一般的情形．【参考答案】一、单选题1．B【解析】【分析】化简集合N ，然后由集合的运算可得.【详解】{}sin ,cos0}0,1 {N π==，{}2,1,2,U N ∴=--{}()1U MN ∴=- 故选：B.2．B【解析】【分析】根据对数的运算性质，求得集合{3,4}A =，进而求得集合A 的子集个数，得到答案.【详解】 由ln(2)1x -≤，可得202x x e->⎧⎨-≤⎩，解得22x e <≤+， 所以集合{|22}{3,4}A x Z x e =∈<≤+=，所以集合A 的子集个数为224=. 故选：B.3．C【解析】【分析】化简集合,A B 即得解.【详解】解: {}{}22021A x x x x x =+-<=-<<，{}{}1e ,R 0x B y y x y y -==∈=>，所以()0,1A B =．故选：C4．B【解析】【分析】根据交集的定义计算可得；【详解】 解：因为{}1A x x =>，{}2B x x =≤， 所以{}12A B x x ⋂=<≤；故选：B5．D【解析】【分析】本题考查集合的交集，易错点在于集合A 元素是自然数，集合B 的元素是实数．【详解】 ∵{}{}131,2,3A x N x =∈≤≤=，{}{}265015B x x x x x =-+<=<<，∴{}2,3A B ⋂=． 故选：D ．6．D【解析】【分析】根据对数函数的单调性，结合解一元二次不等式的方法、集合交集的定义进行求解即可.【详解】 因为{}21(1,1)A x x =<=-，{}lg 0(0,1)B x x =<=， 所以A B ={}01x x <<，故选：D7．B【解析】【分析】求得集合{|03}A x x =<<，根据集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合2|30{|03},{1,0,1,2,3{}}A x x x x x B =-<=<<=-，根据集合交集的概念及运算，可得{1,2}A B =.故选：B.8．D【解析】【分析】解不等式可求得集合B ，由交集定义可得结果.【详解】{}{}222B x x x x =<=-<<，{}()121,2A B x x ∴⋂=-<<=-.故选：D.9．C【解析】【分析】利用交集，并集和补集运算法则进行计算，选出正确答案.【详解】{}1,2,3,4A B =，(){}5U A B ⋃=，A 错误；()(){}{}{}4,51,2,51,2,4,5U U A B ==，B 错误；(){}{}{}4,53,44UA B ⋂==，C 正确； (){}{}{}1,2,51,2,31,2U A B ==，D 错误.故选：C10．C【解析】【分析】解一元二次不等式,求出集合B ，解得集合A ,根据集合的交集运算求得答案.【详解】由题意解29x <得：33x -<< ，故2N 9{|}{0,1,2}B x x =∈=<，{}||11{A x x x x ==>>或1}x <- ，所以{2}A B =，故选：C11．B【解析】【分析】化简集合B ，然后利用交集的定义运算即得.【详解】∵集合()(){}{}15015B x x x x x =+-≤=-≤≤，{}1A x x =>，∴(]1,5A B ⋂=．故选：B.12．B【解析】【分析】解一元二次不等式求集合A 、解绝对值不等式求集合B ，再应用集合的交补运算求R ()A B .【详解】由题设，{|13},{|11}A x x B x x =-<<=-≤≤，所以1{|1}A B x x =-<≤，则R (){|1A B x x ⋂=≤-或1}x >. 故选：B13．D【解析】【分析】先化简集合A ，继而求出A B .【详解】解：(){}{}30=03A x x x x x =-<<<，{}0,1,2,3B =，则A B ={}1,2. 故选：D.14．A【解析】【分析】求出U B ，计算求解即可.【详解】根据题意得，{}1,5U B =，所以(){}1U AB =.故选：A.15．B【解析】【分析】根据交集的定义即可得出答案.【详解】解：因为{}|21A x x =-<≤，{}2,1,0,1B =--，所以{}1,0,1A B =-.故选：B. 二、填空题16．{2,3}##{3,2}【解析】【分析】由交集的运算求解【详解】{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则{2,3}A B =故答案为：{2,3}17．0或4【解析】【分析】由题意得A 只有一个元素，对m 分类讨论求解【详解】当0m =时，1{}4A =-，满足题意 当0m ≠时，由题意得1640m ∆=-=，4m =综上，0m =或4m =故答案为：0或418．28【解析】【分析】首先确定喜欢两项运动的人数，进而得到喜欢一项运动的人数.【详解】 6人这两项运动都不喜欢，∴喜欢一项或两项运动的人数为40634-=人； ∴喜欢两项运动的人数为：2416346+-=人，∴喜欢篮球的人数为24618-=人；喜欢乒乓球的人数为16610-=人； ∴只喜欢其中一项运动的人数为181028+=人.故答案为：28.19．3【解析】【分析】根据题意求出所有的集合A ，即可解出.【详解】因为{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，即{}1,3 {}1,3,5,15A ⊆，所以{}13,5A =,，{}1,3,15A =，{}1,3,5,15A =，即集合A 的个数有3个.故答案为：3.20．±1【解析】【分析】分析出集合A 有1个元素，对a 讨论方程解的情况即可.【详解】因为集合(){}21420A x a x x =-+-=有且仅有两个子集， 所以集合A 有1个元素.当a =1时，{}1|4202A x x ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，符合题意； 当a ≠1时，要使集合A 只有一个元素，只需()()244120a ∆=--⨯-=，解得：1a =-；综上所述： 实数a 的值是1或-1.故答案为：±1.21． ⊆ = ⊇ ⊆【解析】【分析】根据集合子集的定义及集合相等的概念求解.【详解】由集合的子集、集合的相等可知（1）⊆，（2）=，（3）⊇，（4）⊆ 故答案为：⊆，=，⊇，⊆22．()A B A B ⋃【解析】【分析】由集合的交并补运算求解即可.【详解】设全集为A B ，则阴影部分表示集合A 与B 交集的补集，即()A B A B ⋃ 故答案为：()A B A B ⋃ 23．11023-、、 【解析】【分析】先求出集合A ，再由A B A ⋃=，可得B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可【详解】解：由260x x +-=，得2x =或3x =-，所以{}{}2|603,2A x x x =+-==-，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，当B =∅时，B A ⊆成立，此时方程10+=mx 无解，得0m =；当B ≠∅时，得0m ≠，则集合{}1|10B x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭， 因为B A ⊆，所以13m -=-或12m -=，解得13m =或12m =-， 综上，0m =，13m =或12m =-. 故答案为：11023-、、 24．{}{}12{12}，，， 【解析】【分析】结合子集的概念，写出集合A 的所有非空子集即可.【详解】集合{1,2}A =的所有非空子集是{}{}12{12}，，，. 故答案为：{}{}12{12}，，，. 25．3【解析】【分析】由集合定义，及交集补集定义即可求得.【详解】由Venn 图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为()A A B ． 又{0,1,2,3,4,5}A =，{1,3,5,7,9}B =，{1,3,5}A B ∴⋂=，(){}0,2,4A A B ∴⋂=即Venn 图中阴影部分表示的集合中元素的个数为3 故答案为：3. 三、解答题26．(1){}23x x <≤ (2)4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）解不等式求出,A B ，从而求出交集；（2）利用A 是B 的真子集，列出不等式组，求出实数a 的取值范围.(1)由题意得：40240x x ->⎧⎨->⎩，解得：24x <<， 所以{}24A x x =<<，当1a =时，2430x x -+≤，解得：13x ≤≤， 所以{}13B x x =≤≤， 故{}{}{}241323A B x x x x x x ⋂=<<⋂≤≤=<≤(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，则A 是B 的真子集，又因为0a >，所以3a a >，故{}3B x a x a =≤≤，则要满足234a a ≤⎧⎨≥⎩，且等号不同时取，解得：423a ≤≤， 故实数a 的取值范围是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 27．(1){}|13A B x x ⋃=-≤≤(2)条件选择见解析，()(),24,-∞-+∞【解析】【分析】 （1）化简集合A 与B 之后求二者的并集（2）先判断集合A 与B 的关系，再求a 的取值范围(1)当2a =时，集合{}|13A x x =≤≤，{}|13B x x =-≤≤，所以{}|13A B x x ⋃=-≤≤；(2)若选择①A ∪B ＝B ，则A B ⊆，因为{}|11A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅，又{}|13B x x =-≤≤，所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得02a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是[]0,2．若选择②，“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ， 因为{}|11A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅， 又{}|13B x x =-≤≤，所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得02a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是[]0,2．若选择③，A B =∅，因为{}|11A x a x a =-≤≤+，{}|13B x x =-≤≤，所以13a ->或11a +<-，解得4a >或2a <-，所以实数a 的取值范围是()(),24,-∞-+∞．28．(1){|12}x x <<； (2)20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求集合A 、B ，应用集合的交运算求交集即可.（2）根据必要不充分关系有B A ≠⊂，即可求a 的范围. (1)由题设，{|12}A x x =-<<，当1a =时{|13}B x x =<<，所以{|12}A B x x =<<；(2)由题设，{|3}B x a x a =<<，且{|12}A x x =-<<，若p 是q 的必要不充分条件，则B A ≠⊂，又a 为正实数，即320a a ≤⎧⎨>⎩，解得203a <≤， 故a 的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 29．(1){}3A B x x ⋃=≠，(){}23R A B x x ⋂=≤<(2){}2m m ≠【解析】【分析】（1）解出集合B ，利用并集、补集以及交集的定义可求得结果； （2）由已知条件可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围.(1) 解：因为{}3A x x =<，{}{25602B x x x x x =-+>=<或}3x >， 所以{}3A B x x ⋃=≠，{}23R B x x =≤≤，(){}23R A B x x ⋂=≤<.(2)解：因为B C ≠∅，所以2m <或13m +>，解得2m <或2m >， 所以m 的取值范围为{}2m m ≠.30．【解析】【详解】略。

高一数学集合试题答案及解析1.已知U＝{x|－1≤x≤3}，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，C＝{x|－1≤x＜3}，则下列关系正确的是 ()A. A＝BB.B＝CC.(B) CD.A C【答案】A【解析】B＝{－1,3}，A＝{－1,3}，∴A＝B.【考点】本题主要考查集合的子集，集合的补集。

点评：综合题，综合应用集合、方程及不等式知识解题。

2.集合S＝{x|x≤10，且x∈N*}，A S，B S，且A∩B＝{4,5}，(B)∩A＝{1,2,3}，(A)∩(B)＝{6,7,8}，求集合A和B.【答案】A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}.【解析】如下图所示.因为A∩B＝{4,5}，所以将4,5写在A∩B中.因为(B)∩A＝{1,2,3}，所以将1,2,3写在A中.因为(B)∩(A)＝{6,7,8}，所以将6,7,8写在S中A，B外.因为(B)∩A与(B)∩(A)中均无9,10，所以9,10在B中.故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}.【考点】本题主要考查集合的交集，集合的补集。

点评：涉及实数构成集合问题，常常借助于韦恩图。

3.已知集合A＝{x|ax2－2x＋1＝0}.(1)若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；(2)若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.【答案】(1) a＝0，或a＝1 (2) a≤1【解析】(1)∵A中恰好只有一个元素，∴方程ax2－2x＋1＝0恰好只有一个根.当a＝0时，方程的解为x＝满足题意；当a≠0时，Δ＝(－2)2－4a＝0，∴a＝1.∴所求a的值为a＝0，或a＝1.(2)∵A中至少有一个元素，∴方程ax2－2x＋1＝0有实数根.当a＝0时，恰有一个根x＝满足题意；当a≠0时，Δ≥0，即(－2)2－4a≥0，解得a≤1.∴所求实数a的取值范围是a≤1【考点】集合的表示、元素与集合的关系点评：本题是一个综合问题，既考查了集合的表示方法、元素与集合的关系，又用到一元二次方程根与系数的关系来确定的取值。

集合问题常见解法综述集合是高中数学最重要的基本概念和基本内容之一，是研究数学问题的基础和工具，也是高考考察的热点。

那么如何求解集合有关问题呢？笔者就其常见的思想和方法予以总结，以飨读者。

一 特殊化法通过取一些特殊值或对问题进行特殊化处理，常可以使原问题化难为易，收到事半功倍之效。

1。

取特殊值应用列举法例：已知则（ ）。

（A ） （B ） （C ） （D ）解：对于集合，现给取一些特殊值：得：对于集合，取得于是易看出集合中的元素在集合中都有，而集合中的元素如故选。

2。

取特例应用特殊化法例：设均为非空集合，且满足则下列各式中错误的是（ ）。

()()()()()()()()()(),,,.U U U U U U U A C A B U B C A C B U C A C B D C A C B C B ===∅= 解：现取满足题设条件的三个特殊集合：很容易判断错误的式子是。

二 应用有限集合子集个数公式对于有限集合中共有个元素，常有下面四个结论：○1的子集个数有个；○2的非空子集个数有个；○3的真子集个数有个；○4的非空真子集个数有 个。

适当应用上述四个结论，可以很容易的解有关问题。

例：已知为常实数，那么集合的子集的个数是解：由方程的根的判别式故原方程有两个不相等的实数根。

由集合中有2个元素，得集合有个子集，故填4。

例：满足条件的集合M 有解：本题要求集合M 的个数，只需求出集合的非空子集的个数即可。

由公式知：，故填7。

三 分类求解的方法1、分类逐一验证法例：集合若则实数的值为解: 当时，当时，，当时，；当时，。

故为所求。

2、分类讨论例：已知。

（1）若A 中只有一个元素，求的值，并求出这个元素。

（2）若A 中至少有一个元素，求的取值范围。

解：（1）由条件知时符合题意。

当时，由即，所求元素分别为：（2）由第（1） 问可知或适合题意；若A 中含有2个元素，则且故且有。

综合（1）、（2）可知：所求的取值范围为四 应用方程的思想利用集合关系，建立一些方程关系式，通过解方程或应用方程有关性质结合集合中元素的互异性等解决某些问题，是一种重要的思想方法。

高一数学集合试题答案及解析1.已知全集，A是U的子集，且，，则的值为（）A．2B．8C．3或5D．2或8【答案】D【解析】因为全集，A是U的子集，且，，，所以A={2,3}，，解得或，故选D。

【考点】本题主要考查子集、并集、补集的概念。

点评：基本题型，首先应从条件出发，建立a的方程，列举法直观，易于理解。

2.已知集合M={}，P={}，则M P=（）A．B．（3，）C．{3，}D．{(3，)}【答案】D【解析】即求两个一次函数与图象的交点，并用点集形式给出．因为M={(x，y)|x+y=2}，P={(x，y)|x－y=4}，所以M∩P=={(3，－1)}，故选D。

【考点】本题主要考查交集的概念、二元一次方程组解法。

点评：本题主要考查交集的概念、二元一次方程组解法。

应特别注意结合中元素是有序数对。

3.已知全集，，，，则集合A=____________，B=_____________．【答案】{2，3}，{2，4}【解析】依题意可填充韦恩图如图，所以A={2，3}，B={2，4}。

【考点】本题主要考查交集、并集、补集的概念、集合的表示方法。

点评：此题考查了集合的交、并、补集等运算，结合韦恩图逐步填空可得解。

4.设集合A=，B=，当时，求．【答案】【解析】由已知必有，∴，或，当时集合B中的元素，且，与集合中元素的互异性矛盾，当时集合B适合题意，∴时得到．【考点】本题主要考查交集、并集的概念、集合中元素的性质。

点评：此题考查了集合的交、并运算，探究求得a，利用集合中元素的互异性，确定取舍。

细心解方程。

5.已知A={1，2}，B={x|x A}，则中的元素个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】集合中的元素可以是任意具有确定性的对象，如本题，集合B中的元素即是集合A的子集，即B={，{1}，{2}，{1，2}}．故选D【考点】本题主要考查补集的概念。

点评：理解补集的概念，将B中属于集合A的元素“去掉”，有余下的B中元素构成的集合就是。

高一数学集合的运算试题答案及解析1.若，则的值为【答案】-1【解析】由集合相等的概念可知有元素，又，则，故，根据集合中元素的互异性知，故。

【考点】集合相等的概念及集合中元素的互异性。

2.设集合，A．B．C．D．【答案】B【解析】集合=，N= ;所以M N=【考点】交集的运算3.已知集合,，则.【答案】【解析】集合，集合，.【考点】集合的交集.4.已知全集,集合（1）求（2）求【答案】（1）（2）【解析】分别求出两集合A,B的解集，,再求出，分别求出，.由，得-6<x-1<6,解得-5<x<7，由，得（x-8）(2x-1)>0,解得x>8,或x<.(1);（2）.【考点】集合的运算.5.已知集合，集合，若是单元素集，则=【答案】6 或－4【解析】由条件，得，可知集合表示一条直线，集合表示圆心为，半径为的圆，若是单元素，则直线与圆相切，则有，即，解得．【考点】1、集合的交集运算；2、直线与圆的位置关系．6.集合.（1）当时，求；（2）若是只有一个元素的集合，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）m＝3或m≥【解析】（1）两集合的交集即两集合的公共部分，所以应联立方程解方程组。

（2）要使是只有一个元素的集合，只需联立的方程只有一个根，消去y或x后整理出一元二次方程，当判别式等于0时，对称轴需在内，当判别式大于0时，函数的一个零点应在内。

试题解析：（1），所以。

（2）消去y整理可得。

因为是只有一个元素的集合，即此方程在只有一个根。

所以或解得m＝3或m≥【考点】集合运算一元二次函数图像7.集合.（1）若A B=，求a的取值范围.（2）若A B=，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）A B=时，集合A集合B没有公共点，所以时成立。

当时，两集合仍没有公共点，所以；（2）集合B中必须含有小于等于的元素，集合A中含有的元素在集合B中仍可含有所以试题解析：（1）因为，A B=，所以（2）当A B=时【考点】集合的运算8.满足A∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A共有( )A．10个B．8个C．6个D．4个【答案】D【解析】根据题意，分析可得，集合A中必须有元素0，可能含有元素1或-1，由此列举可得全部可能的集合集合A可能为{0}、{0，1}、{0，-1}、{0，1，-1}，共有4个；故选D【考点】子集与真子集．9.设集合若，则实数 .【答案】4【解析】，或或，当时，，此时不合题意，.【考点】集合的交、并、补运算10.已知集合，.（Ⅰ）若，求()；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）解出集合，再根据确定集合，然后由数轴找出交集是；（Ⅱ）由可知,由子集概念求出的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）因为当时，.所以.又因为集合，所以().（Ⅱ）因为，所以.当时，有：，此时；当时，有：，解得.综上所述，实数的取值范围是.【考点】集合的基本运算.11.已知全集为实数集R,集合，．(1)分别求，；(2)已知集合，若，求实数的取值集合．【答案】（1），；（2）的取值范围是．【解析】(1)只要求出集合，根据集合交集，并集，补集的定义就可以得出结论；（2）由于，可以在数轴上表示出两个集合，从而得出的范围．试题解析：(Ⅰ)，，，．（Ⅱ）①当时，，此时；②当时，，则．综合①②，可得的取值范围是．【考点】1、集合的运算；2、子集的概念.A＝12.已知集合A＝{y | y＝2x，x∈R}，则CRA．B．(－∞，0]C．(0，＋∞)D．R【答案】B【解析】A＝{y | y＝2x，x∈R}，所以CA＝(－∞，0].R【考点】本小题主要考查指数函数的值域和补集运算.点评：涉及到集合的运算，可以借助数轴辅助解决问题.13.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，A={3,4,5},B={1,3,6}，则A∩(CB)等于（）UA．{4，5} B.{2,4,5,7} C.{1,6} D.{3}【答案】AB={2,4,5，7}，【解析】根据题意，由于全集U={1,2,3,4,5,6,7}，A={3,4,5},B={1,3,6}那么可知，CU则A∩(CB)= {4，5}，故选A.U【考点】交、并、补的定义点评：本题考查利用交、并、补的定义进行集合间的混合运算，属于基础题14.已知A={xú 2a≤x≤a+3},B={xú x<-1或x>5} 且A∩B=Ф，求实数a的取值范围．【答案】.【解析】当时，，所以，这时A∩B="Ф" （2分）当时，根据题意得，即，所以（8分）综上可得，或（9分）∴实数的取值范围是（10分）【考点】本题主要考查集合的运算，一元一次不等式组的解法。

高一数学必修一集合练习试题及答案高一数学必修一集合练习试题及答案一、选择题1.下列各组对象能构成集合的有()①美丽的小鸟;②不超过10的非负整数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】①③中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合;②中不超过10的非负整数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合;④中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合.【答案】A2.小于2的自然数集用列举法可以表示为()A.{0,1,2}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}【解析】小于2的自然数为0,1，应选C.【答案】C3.下列各组集合，表示相等集合的是()①M={(3,2)}，N={(2,3)};②M={3,2}，N={2,3};③M={(1,2)}，N={1,2}.A.①B.②C.③D.以上都不对【解析】①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.【答案】B4.集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，则6-a∈A，那么a为()A.2B.2或4C.4D.0【解析】若a=2，则6-a=6-2=4∈A，符合要求;若a=4，则6-a=6-4=2∈A，符合要求;若a=6，则6-a=6-6=0∉A，不符合要求.∴a=2或a=4.【答案】B5.(2013•曲靖高一检测)已知集合M中含有3个元素;0，x2，-x，则x满足的条件是()A.x≠0B.x≠-1C.x≠0且x≠-1D.x≠0且x≠1【解析】由x2≠0，x2≠-x，-x≠0，解得x≠0且x≠-1.【答案】C二、填空题6.用符号“∈”或“∉”填空(1)22________R,22________{x|x7};(2)3________{x|x=n2+1，n∈N+};(3)(1,1)________{y|y=x2};(1,1)________{(x，y)|y=x2}.【解析】(1)22∈R，而22=87，∴22∉{x|x7}.(2)∵n2+1=3，∴n=±2∉N+，∴3∉{x|x=n2+1，n∈N+}.(3)(1,1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y=x2}表示二次函数函数值构成的集合，故(1,1)∉{y|y=x2}.集合{(x，y)|y=x2}表示抛物线y=x2上的点构成的集合(点集)，且满足y=x2，∴(1,1)∈{(x，y)|y=x2}.【答案】(1)∈∉(2)∉(3)∉∈7.已知集合C={x|63-x∈Z，x∈N_}，用列举法表示C=________.【解析】由题意知3-x=±1，±2，±3，±6，∴x=0，-3,1,2,4,5,6,9.又∵x∈N_，∴C={1,2,4,5,6,9}.【答案】{1,2,4,5,6,9}8.已知集合A={-2,4，x2-x}，若6∈A，则x=________.【解析】由于6∈A，所以x2-x=6，即x2-x-6=0，解得x=-2或x=3.【答案】-2或3三、解答题9.选择适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;(2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解组成的集合;(3)一次函数y=x+6图像上所有点组成的集合.【解】(1)绝对值不大于3的整数是-3，-2，-1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{-3，-2，-1,0,1,2,3};(2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解仅有两个，分别是53，-2，用列举法表示为{53，-2};(3)一次函数y=x+6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y=x+6}.10.已知集合A中含有a-2,2a2+5a,3三个元素，且-3∈A，求a的值.【解】由-3∈A，得a-2=-3或2a2+5a=-3.(1)若a-2=-3，则a=-1，当a=-1时，2a2+5a=-3，∴a=-1不符合题意.(2)若2a2+5a=-3，则a=-1或-32.当a=-32时，a-2=-72，符合题意;当a=-1时，由(1)知，不符合题意.综上可知，实数a的值为-32.11.已知数集A满足条件：若a∈A，则11-a∈A(a≠1)，如果a=2，试求出A中的所有元素.【解】∵2∈A，由题意可知，11-2=-1∈A;由-1∈A可知，11--1=12∈A;由12∈A可知，11-12=2∈A.故集合A中共有3个元素，它们分别是-1，12，2.学好数学的几条建议1、要有学习数学的兴趣。

高一数学复习考点题型专题讲解与练习专题1 集合的概念题型一判断元素与集合的关系1．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（）A．0B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a=2，则-2∉N，2∉N，所以②错误;对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;对于④，解集中只含有元素1，故④错误.故选：A2．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}含有两个元素；④集合6|x Q Nx⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2C ．3D ．0【答案】D【解析】①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确； ②当a ＝0时，0∈N ，所以②不正确；③因为由x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝x 2＝1，所以{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，所以③不正确；④当x 为正整数的倒数时，6x∈N ，所以6|x Q N x⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是无限集，所以④不正确．故选：D3．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①[]20111∈；②[]33-∈；③若整数,a b 属于同一“类”，则[]0a b -∈；④若[]0a b -∈，则整数,a b 属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（）. A ．1B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】对于①，201154021÷=⋅⋅⋅，[]20111∴∈，①正确； 对于②，352-=-+，即3-被5除余2，[]33∴-∉，②错误； 对于③，设15a n k =+，25b n k =+，()125a b n n ∴-=-，能被5整除，[]0a b ∴-∈，③正确；对于④，设5a b n -=，n Z ∈，即5a n b =+，n Z ∈， 不妨令5b m k =+，m Z ∈，0,1,2,3,4k =，则()555a n m k m n k =++=++，m Z ∈，n Z ∈，0,1,2,3,4k =，,a b ∴属于同一“类”， ④正确；综上所述：正确结论的个数为3个. 故选：C .4．已知集合{10}A x x =，23a =+，则a 与集合A 的关系是（） A ．a A ∈ B ．a A ∉ C ．a A = D ．{}a A ∈【答案】A【解析】解：{|10}A x x =，23224a =+<+=，10a <，a A ∴∈，故选：A ．5．下列三个命题：①集合N 中最小的数是1；②a N -∉，则a N ∈；③a N ∈，N b ∈，则+a b 的最小值是2.其中正确命题的个数是（） A ．0B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】①N 表示自然数集，最小的数为0，①错误； ②若32a N -=-∉，则32a N =∉，②错误； ③若0a =，1b =，则1a b +=，③错误.∴正确命题的个数为0个故选：A6．用符号“∈”或“∉”填空：（1）0________N *，5________Z ；（2）23________{x |x ＜11}，32________{x |x ＞4}；（3）(－1，1)________{y |y ＝x 2}，(－1，1)________{(x ，y )|y ＝x 2}．【答案】∉ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈ 【解析】（1）*0N ∉5∉Z ；（2）22(23)(11)>，2311∴>，∴23{|11}∉<x x ；22(32)4>，即324>，∴32{|4}∈>x x ；（3）(－1，1)为点，{y |y ＝x 2}中元素为数，故(－1，1) ∉{y |y ＝x 2}． 又∵(－1)2＝1，∴(－1，1)∈{(x ，y )|y ＝x 2}． 故答案为：∉；∉；∉；∈；∉；∈ 题型二根据元素与集合的关系求参数1．若由a 2，2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是（） A ．0 B ．2019 C ．1 D ．0或2019【答案】C【解析】若集合M 中有两个元素，则a 2≠2 019a .即a ≠0且a ≠2 019.故选：C. 2．若集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素，则(a =) A ．92B ．98C ．0D ．0或98【答案】D【解析】解：集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素， 当0a =时，可得23x =，集合A 只有一个元素为：23． 当0a ≠时：方程2320ax x -+=只有一个解：即980a ∆=-=， 可得：98a =． 故选：D ．3．已知集合A 是由a ﹣2，2a 2+5a ，12三个元素组成的，且﹣3∈A ，求a =________. 【答案】32-【解析】解：由﹣3∈A ，可得﹣3=a ﹣2，或﹣3=2a 2+5a ， 由﹣3=a ﹣2，解得a =﹣1，经过验证a =﹣1不满足条件，舍去.由﹣3=2a 2+5a ，解得a =﹣1或32-，经过验证：a =﹣1不满足条件，舍去. ∴a =32-. 故答案为：﹣32.4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为________. 【答案】3 【解析】∵2{0,,32}A m m m =-+，且2A ∈，∴2m =或2322m m -+=，即2m =或0m =或3m =，当2m =时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当0m =时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当3m =时，{}032A =，，满足题意，∴3m =，故答案是3. 5．已知集合2{|320}A x ax x =-+=，其中a 为常数，且a R ∈． （1）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 【答案】（1）89≤a ；（2）89≤a 或0=a 【解析】解：（1）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =．0a ≠时，A 中至少有一个元素，∴980a ∆=-，解得89≤a ，0a ≠． 综上可得：a 的取值范围是89≤a ． （2）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =．0a ≠时，A 中至多有一个元素，∴980a ∆=-，解得89≤a ． 综上可得：a 的取值范围是89≤a 或0=a ． 题型三利用集合互异性求参数1．含有三个实数的集合既可表示为{,,0}b b a，也可表示为{,,1}a a b +，则+a b 的值为____． 【答案】0【解析】由题意{,,0}{,,1}bb a a b a=+，可得0a ≠，根据集合相等和元素的互异性，可得0a b +=且1b =，解得1,1a b =-=， 此时集合{,,0}{1,1,0},{,,1}{1,1,0}b b a a b a=-+=- 所以0a b +=. 故答案为0. 2．已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A ∈，则实数a 的值为________．【答案】1-或0【解析】若()211,a +=则0a =或2,a =- 当0a =时，{}2,1,3A =，符合元素的互异性；当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去 若2a 3a 31,++=则1a =-或2,a =-当1a =-时，{}2,0,1A =，符合元素的互异性； 当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去； 故答案为：1-或0.3．已知集合{}2411A a a a =+++，，{}2|0B x x px q =++=，若1A ∈. （1）求实数a 的值；（2）如果集合A 是集合B 的列举表示法，求实数p q ，的值. 【答案】（1）4a =-；（2）23p q ==-，.【解析】解：（1）∵1A ∈，∴2411a a ++=或者11a += 得4a =-或0a =，验证当0a =时，集合{}11A =，，集合内两个元素相同，故舍去0a = ∴4a =-（2）由上4a =-得{}13A =-，，故集合B 中，方程20x px q ++=的两根为1、-3. 由一元二次方程根与系数的关系，得[1(3)]21(3)3p q =-+-==⨯-=-，. 4．已知{}20,1,1a a a ∈--，求a 的值． 【答案】1a =-【解析】由已知条件得：若a ＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∴a ≠0； 若a ﹣1＝0，a ＝1，则集合为{1，0，0}，显然a ≠1；若a 2﹣1＝0则a ＝±1，由上面知a ＝1不符合条件；a ＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}； ∴a ＝﹣1．5．含有三个实数元素的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成2{,,0}a a b +，求20172018a b +的值． 【答案】-1【解析】由题意得,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与2{,,0}a a b +表示同一个集合,所以0ba=且0a ≠,1a ≠,即0b =,则有{,0,1}a 与2{,,0}a a 表示同一个集合,所以21a =,解得1a =-,所以()2017201720182018101a b +=-+=-，故答案为：1- 题型四集合的描述方法 1．给出下列说法：①集合{}3x x x ∈=N 用列举法表示为{}1,0,1-；②实数集可以表示为{|x x 为实数}或{}R ； ③方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合为{}1,2x y ==.其中不正确的有______.（把所有不正确说法的序号都填上） 【答案】①②③【解析】①由3x x =，即()210x x -=，得0x =或1x =或1x =-.因为1-∉N ，所以集合{}3x xx ∈=N 用列举法表示为{}0,1.②实数集正确的表示为{|x x 为实数}或R .③方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合正确的表示应为(){}1,2或()1,,2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭.故①②③均不正确. 2．定义集合运算(){}|,,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合A B 所有元素之和为________ 【答案】18【解析】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18 故答案为：183．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-． （1）若2A ∈，试证明集合A 中有元素1-，12； （2）判断集合A 中至少有几个元素，并说明理由； （3）若集合A 中的元素个数不超过8，所有元素的和为143，且集合A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ．【答案】（1）证明见解析；（2）至少有3个元素．理由见解析（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题意，因为2A ∈，可得1112A =-∈-． 因为1A -∈，则()11112A =-∈-．所以集合A 中有元素1-，12． （2）由题意，可知若x A ∈（1x ≠且0x ≠）， 则11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x -≠-，1x x x-≠， 故集合A 中至少有3个元素．（3）由集合A 中的元素个数不超过8，所以由（2）知A 中有6个元素．设1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，m x ≠，1x ≠且0x ≠，1m ≠且0m ≠， 因为集合A 中所有元素的积为1，不妨设21x =，或2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．当21x =时，1x =（舍去）或1x =-；若1x =-，则1,22A ∈． ∵集合A 中所有元素的和为143，∴1111421213m m m m -+-+++=-， ∴3261960m m m -++=，即()32261860m m m m ----=，即()()23620m m m ---=，即()()()321320m m m -+-=，∴12m =-或3或23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．当2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭时，同理可得112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 综上，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．题型五元素个数的求解及参数问题1．用()d A 表示集合A 中的元素个数，若集合()(){}2210A x x ax x ax =--+=，{}0,1B =，且()()1d A d B -=.设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则()d M =（）A ．3B ．2C ．1D ．4【答案】A【解析】由题意，()()1d A d B -=，()2d B =，可得()d A 的值为1或3，若()1d A =，则20x ax -=仅有一根，必为0，此时a =0，则22110x ax x -+=+=无根，符合题意若()3d A =，若20x ax -=仅有一根，必为0，此时a =0，则22110x ax x -+=+=无根，不合题意，故20x ax -=有二根，一根是0，另一根是a ，所以210x ax -+=必仅有一根，所以2Δ40a =-=，解得2a =±，此时210x ax -+=的根为1或1-，符合题意，综上，实数a 的所有可能取值构成集合{0,2,2}M =-，故()3d M =．故选：A ．2．已知集合{}2,,M m m a b a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（） ①12π+;②1162+;③122+;④2323-++ A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】①当212a b π+=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，②()211623232+=+=+232a b ∴+=+，可得3,1a b ==，都是有理数，所以正确，③122212222-==-+， 2212a b ∴+=-，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确， ④()22323426-++=+= 而()2222222a b a b ab +=++，,a b Q ∈，()22a b ∴+是无理数，2323∴-++不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素.故选：C3．已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．4．选择适当的方法表示下列集合:（1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；（3）方程(x 2－9)x ＝0的实数解组成的集合；（4）三角形的全体组成的集合.【答案】（1）{x|x=5k+1，k ∈N }；（2）{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }；（3）{－3，0，3}；（4）{x|x 是三角形}或{三角形}.【解析】（1）{|51,}x x k k N =+∈；（2）{(,)|4,,}x y y x x N y N =-+∈∈；（3）2(9)00x x x -=⇒=或3x =±，解集为{3,0,3}-， （4）{|x x 是三角形}或写成{三角形}． 5．设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A ，则11a - ∈A ，且1∉A ， （1）若3∈A ，求A .（2）证明:若a ∈A ，则11A a -∈.【答案】（1）123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;（2）证明见解析. 【解析】(1)因为3∈A ，所以11132A =-∈-， 所以12131()2A =∈--，所以13213A =∈-，所以123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. (2)因为a ∈A ，所以11A a∈-， 所以1111111a A a a a-==-∈---.。