八年级数学上册75三角形内角和定理应用整体思想巧解角度问题素材北师大版

应用整体思想 巧解角度问题
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想方法,贯穿于中学数学的全过程,有些问题
局部求解,各个击破,无法解决,而从全局着眼,整体思考,会使问题化繁为简,化难为易,思路
清淅,演算简单,复杂问题迎刃而解,现就如何应用整体思想,巧解角度问题,略举几例析解如
下,供同学们学习时参考：
例1 如图, △ABC的∠B和∠C的平分线相交于点D,若∠A=800,试求∠BDC的度数.

分析 若能分别求得∠DBC和∠DCB的度数,则∠BDC的度数立即可得,
由题设条件,无法得到.但可求得∠ABC+∠ACB=1000.又BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的平分
线,则∠DBC=21∠ABC, ∠DCB=21∠ACB,从而可得∠DBC+∠DCB=500.,这时若把∠DBC+∠DCB
的和看成一个整体,则∠BDC的度数容易求得.
解 在△ABC中, ∠ABC+∠ACB=1800-∠A=1800-800=1000.
∠DBC+∠DCB=21∠ABC+21∠ACB=21(∠ABC+∠ACB)=21×1000=500.
在△BCD中,∠BDC=1800-(∠DBC+∠DCB)=1800-500=1300.
例2 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC, ∠ACE是△ABC的外角,CD
平分∠ACE,BD、CD相交于点D.若∠A=1160,试求∠BDC的度数.

分析 若能分别求得∠DBC和∠DCB的度数,则易得∠BDC的度数,
由题设∠DBC和∠DCB的度数难以求得.而根据角平分线定义、三角形内角和定理及外角性质,
可得
∠DBC=21∠ABC, ∠ACD=21∠ACE, ∠DCB=∠ACB+∠ACD及∠ACE=∠A+∠ABC,
在求解过程中把∠DBC+∠DCB和∠A+∠ABC+∠ACB的和当成整体来考虑,则问题会迎刃
而解.
解根据角平分线定义、三角形内角和定理及外角性质,可得
∠DBC=21∠ABC,
∠ACD=21∠ACE,∠DCB=∠ACB+∠ACD,∠ACE=∠A+∠ABC,
在△BCD中,
∠D=1800-(∠DBC+∠BCD)=1800-[21∠ABC+∠ACB+21(∠A+∠ABC)]
=1800-[(∠A+∠ABC+∠ACB)-21∠A]=1800-1800+21∠A=21∠A=21×1160=580.
例3 如图,BG平分∠ABD,CG平分∠ACD,若∠BDC=1400, ∠BGC=1100.求∠A的度数.

分析连BC,构成△ABC,△GBC和△DBC,根据三角形内角和定理,把∠DBC+∠DCB,
∠GBC+∠GCB,
∠GBD+∠GCD, ∠ABD+∠ACD和∠ABC+∠ACB分别当成整体来考虑,则问题迅捷可解.
解 在△DBC中,由∠BDC=1400,得∠DBC+∠DCB=400.
在△GBC中,由∠BGC=1100,得∠GBC+∠GCB=700.
所以∠GBD+∠GCD=300. 由BG平分∠ABD,CG平分∠ACD,
得到21∠ABD+21∠ACD=300,则∠ABD+∠ACD=600,
又∠DBC+∠DCB=400,所以∠ABC+∠ACB=1000,从而得到∠A=800.
点评: 在解题过程中,多次运用了整体思想,才使问题得以顺利解决.
例4.如图,在四边形ABCD中,延长BA、CD相交于点E,延长DA、CB
相交于点F,∠BEC、∠CFD的角平分线相交于点G,若∠ADC=800, ∠ABC=600,
试求∠EGF的度数.

分析:延长EG交BC于点H, 则∠EGF=∠EHF+∠2=∠1+∠C+∠2,
若能分别求得∠1、∠2和∠C的大小,则∠EGF的度数可求,但从题设条件无法
求得.若把∠1+∠2+∠C当成一个整体,再在△BCE和△CDF中利用三角形内角和定理,可使问
题迎刃而解.
解:因为EG、FG分别平分∠BEC和∠CFD,所以∠BEC=2∠1,∠CDF=2∠2,
延长EG交BC于点H,则∠EGF=∠EHF+∠2=∠1+∠C+∠2,
在△BCE中, 2∠1+∠C+∠CBE=1800;在△CDF中, 2∠2+∠C+∠CDF=1800,
两式相加,得2(∠1+∠2+∠C)+ ∠CBE+∠CDF=3600,
因为∠CBE=600,∠CDF=800,所以∠1+∠2+∠C=1100,即∠EGF=1100.
点评:在求解与三角形有关的角度问题时,局部求解比较困难,可利用三角形的一个外角
等于和它不相邻的两个内角之和及三角形的三角内角的和等于1800,应用整体思想求解,可
使问题化繁为简,化难为易,复杂问题迎刃而解,同时也有利于同学们数学思维能力的培养.

下面还有几道练习题,同学们不妨试一试
1.如图,在△ABC中, ∠ABC=∠ACB, ∠A=380,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,试求∠BPC
的度数.

2. 如图,三角形纸片ABC中,∠A=650,∠B=750,将纸片一角折叠,使点C落在
△ABC内,若∠1=200,试求∠2的度数.

提示与解:
1.∠ABC=∠ACB=710.又∠1=∠2,可以得到∠1+∠PCB=710,这时可把∠1+∠PCB看成整
体,
则可求得∠BPC=1800-710=1090.
2. 由∠A=650,∠B=750,可得∠C=400,则∠3+∠4=1800-∠C=1800-400=140
0
而∠A+∠B+∠1+∠2+∠3+∠4=3600,这时可把∠3+∠4看成一个整体,
则∠2=3600-(∠A+∠B+∠1+∠3+∠4)=3600-(650+750+200+1400)=600.