2015中考总复习专题突破课件专题4_存在性问题(共37张PPT)

专题六 │ 要点热点探究
已知函数 f(x)＝x(x－a)2，g(x)＝－x2＋(a－1)x＋a(其中 a 为常数)．
(1)如果函数 y＝f(x)和 y＝g(x)有相同的极值点，求 a 的值； (2)设 a>0，问是否存在 x0∈－1，a3，使得 f(x0)>g(x0)，若存 在，请求出实数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
专题六 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点一 ∃x∈D，f(x)>g(x)的研究
对于∃x∈D，f(x)>g(x)的研究，先设 h(x)＝f(x)－g(x)，再 等价为∃x∈D，h(x)max>0，其中若 g(x)＝c，则等价为∃x∈D， f(x)max>c.
例 1 已知函数 f(x)＝x3－ax2＋10. (1)当 a＝1 时，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方 程； (2)在区间[1,2]内至少存在一个实数 x，使得 f(x)<0 成立， 求实数 a 的取值范围．
专题六│ 要点热点探究
【解答】 (1)f′(x)＝－x2－23x＋53，令 f′(x)>0，即 x2＋23x－53<0， 解得－53<x<1，∴f(x)的单调增区间为－53，1；单调减区间为－∞，－53 和(1，＋∞)． (2)由(1)可知：当 x∈[0,1]时，f(x)单调递增， ∴当 x∈[0,1]时，f(x)∈[f(0)，f(1)]，即 f(x)∈[－4，－3]． 又 g′(x)＝3x2－3a2，且 a≥1，∴当 x∈[0,1]时，g′(x)≤0，g(x)单调递 减，∴当 x∈[0,1]时，g(x)∈[g(1)，g(0)]，即 g(x)∈[－3a2－2a＋1，－2a]， 又对于任意 x1∈[0,1]，总存在 x0∈[0,1]，使得 f(x1)＝g(x0)成立 ⇔[－4，－3]⊆[－3a2－2a＋1，－2a]，即－ －33a≤2－－22aa＋，1≤－4， 解得 1≤a≤32.

初中数学二次函数中的图形构建及存在性问题一、二次函数中有关面积的存在性问题例1（10潍坊）如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与M ⊙的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交M ⊙于点N ，连结.AN AD 、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD 的面积为43，求直线PD 的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.答案：解：（1）因为抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，设抛物线的函数关系式为：()()13y a x x =+-，∵抛物线与y 轴交于点()03C -，， ∴()()30103a -=+-， ∴ 1.a =所以，抛物线的函数关系式为：223y x x =--，又()214y x =--，因此，抛物线的顶点坐标为()14-，．(2）连结EM ，∵EA ED 、是M ⊙，的两条切线， ∴EA ED EA AM ED MN =⊥⊥，，，∴EAM EDM △≌△ 又四边形EAMD 的面积为43，∴23EAM S =△，∴1232AM AE =·，又2AM =，∴2 3.AE =因此，点E 的坐标为()1123E -，或()2123.E --，当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限. 在直角三角形EAM 中，23tan 3EA EMA AM ∠===， ∴60EMA ∠=°，∴60DMB ∠=° 过切点D 作DF AB ⊥，垂足为点F ，∴13MF DF ==， 因此，切点D 的坐标为()23，．设直线PD 的函数关系式为y kx b =+，将()()12323E D -，、，的坐标代入得 3223k b k b⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩解之，得3353k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线PD 的函数关系式为353.33y x =-+当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限.同理可求：切点D 的坐标为()23，-，直线PD 的函数关系式为353.y x =- 因此，直线PD 的函数关系式为35333y x =-+或353.33y x =-(3）若四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积 又22EAM DAN AMD EAMD S S S S ==△△△四边形， ∴AMD EAM S S =△△∴E D 、两点到x 轴的距离相等，∵PD 与M ⊙相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧， ∴切线PD 与x 轴平行，此时切线PD 的函数关系式为2y =或 2.y =-当2y =时，由223y x x =--得，1x =当2y =-时，由223y x x =--得，1x =故满足条件的点P 的位置有4个，分别是()()()1231112P P P -、、、 ()412.P -说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.强化训练★1、（10）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得：14a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求(2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩，故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M -图2(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=︒ 易知BN=MN=1，易求AM BM ==122ABMS=⨯=；设2(,4)P x x -， 依题意有：214422AD x -=⨯，即：2144422x ⨯-=⨯解之得：x =±，0x =，故 符合条件的P 点有三个：123((0,4)P P P --★2、．矩形OBCD 在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O (0，0)、B (0，3)、D (－2，0)，直线AB 交x 轴于点A (1，0)．(1)求直线AB 的解析式；(2)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E 的坐标；(3)过点E 作x 轴的平行线EF 交AB 于点F ．将直线AB 沿轴向右平移2个单位，与x 轴交于点G ，与EF 交于点H ．请问过A 、B 、C 三点的抛物线上是否存在点P ，使得S △PAG ＝ 34S △PEH ．若存在，求点P二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题例2 (）(12分) 如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由抛物线与y 轴交于点C （0，－3）,可知3-=c .即抛物线的解析式为32-+=bx ax y ． ………………………1分把A （－1，0）、B （3，0）代入, 得30,9330.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对2,1-==b a ，不写“抛物线的解析式为y = x 2－2x －3”不扣分. （2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分理由如下：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中，OB=3，OC=3，∴ 182=BC . (6)分在Rt △CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ 22=CD . (7)分在Rt △BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ 202=BD . (8)分∴ 222BD CD BC =+， 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分 （3）连接AC ，可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）． ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为)31,0(1P ． …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为P 2（9，0）． …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个：O （0，0），)31,0(1P ，P 2（9，0）.三、二次函数中构建等腰三角形的存在性问题例3（10潼南）如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.答案：解：（1）∵二次函数c bx x y ++=221的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩⎨⎧-==++122c c b解得： b =－21c =－1 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y(2）设点D 的坐标为（m ，0） (0＜m ＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE ∽△AOC 得，OCDEAO AD =∴122DEm =- ∴DE=22m -∴△CDE 的面积=21×22m -×m =242m m +-=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大 ∴点D 的坐标为（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212--=x x y 设y=0则1212102--=x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b∴ ⎩⎨⎧-==+-1b b k 解得：k =-1 b =-1∴直线BC 的解析式为: y =－x －1在Rt △AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450ABCED xy o题图26①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k, －k －1)过点P 作PH⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中k 2+k 2=()25 解得k 1=210， k 2=－210 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，1210-） ②以A 为顶点，即AC=AP=5设P(k , －k －1)，过点P 作PG ⊥x 轴于GAG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2(2－k )2+(－k －1)2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍) ∴P 3(1, －2)③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ，∴L(k ,0)∴△QPC 为等腰直角三角形， PQ=CQ=k 由勾股定理知CP=PA=2k ∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜在Rt △PLA 中(2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2 解得：k =25∴P 4(25,－27) 综上所述： 存在四个点：P 1（210，－1210-） P 2（-210，1210-） P 3(1, －2) P 4(25,－27) 三、二次函数中构建四边形的存在性问题（一）二次函数中构建梯形的存在性问题例4 (10）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-21，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ；(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

(3)设(2)中平移后的抛物线与y轴的交点为B1，顶 点为D1，在此抛物线上是否存在点N，使 △NBB1的面积是△NDD1面积的2倍？若存在， 求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
假设存在满足题意的点N，则点N在抛物线y＝x2－3x＋ 1上，可设点N坐标为(x0，x20－3x0＋1)．
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
(1)求抛物线对应的函数解析式．
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(0，2)，
∴
0＝1＋ b＋ c，
2＝
c，
解得
b＝－ 3，
c＝
2
.
∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－3x＋2.
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
3
当x0> 2 时，如图②，
1
1
3
同理可得 2 ×1×x0＝2× 2 ×1×(x0－ 2 )，
∴x0＝3，此时x20－3x0＋1＝1，
∴点N的坐标为(3，1)．
综上，存在符合条件的点N，其坐标为(1，－1)或(3，1)．
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
(2)将抛物线沿y轴平移后经过点C(3，1)，求平移 后所得抛物线对应的函数解析式．
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确

（）如图（），当点自向，点自 向移动时，连接与，请你写出与 的位置关系，并说明理由.
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图（），当、 分别移动到边、的延 长线上时，连接与， （）中的结论还成立 吗？（直接回答“是” 或“否”，不需要证 明）
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图当、分别 在、的延长线上移 动时，连接与，（） 中的结论还成立吗？ 请你说明理由.
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图，当、分别 在边、上移动时，连 接和交于点，由于点、 的移动，使得点也随 之运动，请你画出点 的运动路径草图.若， 试求出线段的最小值.
小结
说说看：你有哪些收获？
.动态问题通常要设想整个运动过程，找到并记下 每一个特殊的位置；
.注意考察图形运动经过的某些特殊点，图形变化 而成的特殊形状；
A'
活动一：我自信，我能行
.如图，矩形中，点在边上，将矩形沿 直线翻折，点恰好落在边上的点处. 若，，则的长为.
A
D
E
BF
C
活动一：我自信，我能行
、如图，正方形的边长为，点在边上
且超越自我
正方形中，动点、分别从、两点 同时出发，以相同的速度在直线、 上运动.
.把整个运动过程分解成若干个小过程，逐一考察， 最后再综合考虑。
我们一直在努力， 我们会一直努力！
活动一：我自信，我能行
．如图，将周长为的△沿平移一个单 位得到△，则四边形的周长为( )
．
A
D
B
E
C
F
活动一：我自信，我能行
如图，一块含有角的直角三角形，在水平桌面上 饶点按顺时针方向旋转到’’’的位置.若的长为， 那么丁点从开始到结束经过的路径长为( )