第十二章 无穷级数练习 1.判别下列级数的敛散性： 21 2 1 1 1 1 11 ! 21sin ;ln(1);;( )32 n n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ∞ +====++-∑∑∑∑ 2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 211 (1)[3n n n n ∞ -=-+ ∑； 21 cos 3n n n n ∞ =∑； 1 (1)n n ∞ -=-∑。 3. 求幂级数0 n n ∞ =的收敛区间。 4.证明级数1 !n n n n x n ∞ =∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。 注：数列n n n x )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。 5.在区间(1,1)-内求幂级数 1 1 n n x n +∞ =∑ 的和函数。 6.求级数∑∞ =-2 22)1(1 n n n 的和。 。
7.设1111 2,()2n n n a a a a +== + （1,2,n =L ）证明 1）lim n n a →∞ 存在； 2）级数 1 1 ( 1)n n n a a ∞ =+-∑收敛。 8.设40tan n n a xdx π = ? ， 1） 求211 ()n n n a a n ∞ +=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1 n n a n λ∞ =∑收敛。 9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞ =-1)1(n n n a 发散，试问∑∞ =??? ? ??+111n n n a 是否收敛？并说明理 由。 10.已知222111358π+++=L [参见教材246页]，计算1 011ln 1x dx x x +-???。 。
[填空题] 1．数项级数∑ ∞ =+-1) 12)(12(1n n n 的和为 21 。 2．数项级数∑∞ =-0 )!2()1(n n n 的和为 1cos 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分 和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3．设1))1((lim ,1,01 =->>∞ →n n p n n a e n p a 且，若级数∑∞ =1 n n a 收敛，则p 的取值范 围是),2(+∞。 分析：因为在∞→n 时，)1(1-n e 与 n 1 是等价无穷小量，所以由1))1((lim 1=-∞ →n n p n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与 1 1-p n 是等价无穷小量。由因为 级数∑∞=1 n n a 收敛，故∑ ∞ =-11 1 n p n 收敛，因此2>p 。 4．幂级数∑∞ =-0 2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。 分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径 为1。由因为在0=x 时，级数∑∑∞ =∞ ==-0 2) 1(n n n n n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。 5．幂级数∑∞ =-+12) 3(2n n n n x n 的收敛半径为 3。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因 为
22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n n n n n n n n =-+-+++++∞→， 所以，根据比值判敛法，当3
数列习题及答案详解 一、 选择题 1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( )． A ．30 B ．31 C ．32 D ．33 解析 a 5＝2a 4＋1＝2(2a 3＋1)＋1＝22a 3＋2＋1＝23a 2＋22＋2＋1＝24a 1＋23＋22＋2＋1＝31. 答案 B 2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )． A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 解析 由于S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又a 1＝1适合上式． ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15. 答案 A 3．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于 ( )． A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 解析 由已知可得????? a 1＋5d ＝2， 5a 1＋10d ＝30， 解得? ?? a 1＝263，d ＝－43 . ∴S 8＝8a 1＋8×7 2 d ＝32. 答案 B 4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1 4 ，则公比q 等于( )． A ．－12 B ．－2 C ．2 D.12 解析 由题意知：q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝1 2 . 答案 D 5．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )． A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 解析 由等比数列的性质得：a 2a 6＝a 24＝16. 答案 C 6．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )． A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5 S 2 ＝( )． A ．－11 B ．－8 C ．5 D ．11 解析 设等比数列的首项为a 1，公比为q .因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2， ∴S 5S 2 ＝)1(11) 1(215 1q a q q q a --?-- ＝1－q 51－q 2＝－11. 答案 A 8．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列???? ?? S n n 的前10项的和
第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数；
无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1 4 11、(0,4)
二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1 n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散.
第十二章 无穷级数习题课资料 丁金扣 一、本章主要内容 常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点 用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 三、本章难点 用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级 数收敛定理。 四、例题选讲 例1：判别级数()2 1ln 1ln ln 1n n n n ∞ =??+ ???+∑的敛散性。 （用定义） 解：原式=()()2 2ln 1ln 11 ()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞ ∞==+-=-++∑∑ 级数的部分和1 11111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ??????=-+-++- ? ? ?+?????? 111ln 2ln(1)ln 2 n = -→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于 1 ln 2 。 例2：证明级数 2 cos cos(1) n n n n ∞ =-+∑收敛。（利用柯西审敛原理） 证明：1 cos cos(1) n p n p n m n m m S S m ++=+-+-= ∑ ()()()11cos 1cos 11 ()cos 111n p m n n n p m n m m n p +-=+++=--+- +++∑ 得1 111112 ()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑， 对任意的0ε>，取2N ε??=???? ，则当n N >时，对所有p N ∈，都有 n p n S S ε +-<，
高数第七章无穷级数知识 点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满 足条件l U U n n n =+∞→1 lim ： 当1
6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) 若+∞< 无穷级数练习题 无穷级数习题 一、填空题 ,,nn1，1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为。axnax(1),,,nnn0,n1, ,n2、幂级数的收敛域为。 (21)nx，,0n, ,n21n,R,3、幂级数的收敛半径。 x,nn(3)2,，n1, n,x4、幂级数的收敛域是。 ,，1n0n, 2n,(2)x,5、级数的收敛域为。 ,nn4n,1 n,(ln3)6、级数的和为。 ,n20n, ,1n1,7、。 n,(),2n1, 28、设函数fxxx(),，, 的傅里叶级数展开式为 (),,,,,x ,a0，，(cossin)，则其系数b的值为。 anxbnx,nn321n, ,,,,x0,,1,,2,9、设函数则其以为周期的傅里叶级数在点处的fx(),x,,,20,,,x1,，x,, 敛于。 ,110、级数的和。 ,nnn，，(1)(2)n1, 2n,(2)x,11、级数的收敛域为。 ,nn,4n,1 ,1,1)R,3参考答案:1、 2、 3、 4、 5、 (2,4),(1,1),(0,4), 21212,,46、 7、 8、 9、 10、 11、 (0,4)422ln3,3 二、选择题 1 ,,an2n1、设常数，而级数收敛，则级数是( )。 ,,0a(1),,,n21n1n,,,，n(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛与,有关 aa，aa,nnnn，，n,1.2，则下列命题中正确的是( )。 2、设q,p,nn22 ,,, (A)若条件收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (B)若绝对收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (C)若条件收敛，则与的敛散性都不一定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (D)若绝对收敛，则与的敛散性都不定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,n1,an,,0,1,23、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是( )。 a(1),a,,nnnn1,n1, ,,,,(A)收敛，发散. (B)收敛，发散. aaaa,,,,21n2n2n21n,,N1,n1n1n1,,, ,, (C)收敛. (D)收敛. ()aa，()aa,,,212nn212nn,,n1n1,, ,sin()1n,4、设为常数，则级数,是( ) (),,2nnn1, (A)绝对收敛. (B)条件收敛. (C)发散. (D)收敛性与取值有关. , ,,n,05、级数(1)(1cos),,(常数)是( ) ,n1n, (A)发散. (B)条件收敛. (C) 绝对收敛. (D)收敛性与有关. , 1n6、设，则级数 u,,，(1)ln(1)nn 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 第十一章 无穷级数 (A) 用定义判断下列级数的敛散性 1 ． n 2n 1 ； ． 1 ；3． 1 1 。 2 n 1 2n 2n2 n 1 3 n 5 n n 1 判断下列正项级数的敛散性 ． n! ；5． n e ； 6． n 1 ；7． 2n 3 ；8． n 4 ； 4 n 1 e n 1 2n n 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n n n n n 1 n 9． ；10． 3n n 1 2n 。 n 1 1 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 ． 1 n 1 n 1 ； 12． 1 n 1 ； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001； 11 2 n ln n n 1 n 2 14． 1 22 2 3 1 4 1 ； 2 1 3 2 4 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 ． 3n x n ；16． 1 n x n ； 17． n! x n ； ． 1 n ； 15 n n 18 n 1 2n n 1 n 1 n n 1 n 1 19． 1 2n 1 ； 20． n 2 n ； 1 2 n 1 x n 1 3 n x n 求下列级数的和函数 21． n 1 nx n 1 ； 22． n 1 2 1 n 1 x 2n 1 ； 将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数 23． shx e x e x ， x 0 0 ；24． cos 2 x ， x 0 0 ； 2 25． 1 x ln 1 x ， x 0 0 ； 26． 1 ， x 0 3 ； x 将下列函数在区间 , 上展开为付里叶级数 27． A x cos x ， x 。28． f x 2t ， x 2 1、已知机组某纯冲动级喷嘴出口蒸汽速度s m c /8.7661=,喷嘴出汽角?=201a ,动叶圆周速度s m u /76.365=,若动叶进出口角度相等,喷嘴速度系数97.0=?,动叶速度系数8.0=ψ,通过该级的蒸汽流量s kg G /2.1=,试求： （1） 蒸汽进入动叶的角度1β和相对速度1 ω； （2） 蒸汽作用在叶片上的切向力u F ； （3） 级的轮周功率u P 解：(1) ① s m u c u c w /2.441cos 2112 211=-+=α ② 5.3620sin sin 111 1=???? ??=?-w c β (2) 12ψωω= （纯冲动级）1* 2ββ= N G F u 07.766)cos cos (*2211=+=βωβω (3) 280.2u u P F u kw =?= 2、某汽轮机中有一级组,工况变化前后,该级组中均没有产生临界现象,级前温度也未发生变化。已知级组前压力在变工况前为MPa p 4.20=,级组后压力为MPa p z 36.1=。当流量减小为%80变工况前流量时，级组前压力变为MPa p 7.201=，问变工况后级组的压力1z p 是多少？ 解：*01 *022*******T T P P P P G G Z Z --= Mpa P P P P P G G Z Z Z 189.2541220212011==--= 3、已知某级0c =0m/s,1w =158m/s,1c =293m/s,2w =157m/s,2c =62.5m/s ，喷嘴和动叶速度系数分别为?=0.95, ψ=0.88。试求： （1）该级的喷嘴损失和动叶损失 （2）级的平均反动度m Ω 解：⑴ 第十二章 数项级数 1 讨论几何级数 ∑∞ =0n n q 的敛散性. 解 当1|| 4、 讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、 证明2-p 级数 ∑∞ =121 n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21 n u n = , 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子， 令其小于ε，确定N . 6、 判断级数∑∞ =1 1 s i n n n n 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要 条件) 7、 证明调和级数∑ ∞ =11n n 发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、 考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解 有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、 判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n 丄，Sn=1」+ —-+_—=1——T 1(n T^ (n +1! 2! 2! 3! n! (n +1 ) (n +1) 第九讲：无穷级数 一、 常数项级数 1、概念与性质： （1） 数列t u j 中的各项用加号连接的形式： U1+U 2 +■… □c + u n +…=2 U n 称为无穷项 n 二1 数项级数，第n 项称为一般项（通项）。 n oc 数列s n =送U n 称为级数s U n 的前n 项之和 （部分和） ，若n ms n = S ，则称级数 Z U n 的和为S ，级数艺U n 收敛；若lim S n 不存在, n￡ ni F 则称级数 送U n 发散。 n4 oC oC 若级数2 U n 收敛，r n =S-S n 称为级数送U n n 二 n 二 的余项，lim r n = 0。 n _jpc 例1判定下列级数的敛散性: 解：U n =ln 1 中一1 = 1 n (n +1 )-|n n ， V n 丿 S n = In2-In1+In 3- I n2+…+ln (1+n )-lnn =ln (1 + n l 处(n T 处 故S In nd ： 〔1+1 ］发 散; V n 丿 解: U n □c 故 2(n +1! 收敛; ③调和级数：2 1 ； n# n n! (2) 性质: ii 、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性; □C OC 推论：送U n 与无U n 同敛散; n=1 n =N + 边 1 巳― + [(2k -1 2 (2k 门 1 —Lh . J , I k#(2k-1f 4 +1Q 1 < 1 解：由一 >1 n |1 + — 1 = 1 n (n +1 )_|n n , n I n 丿 1 1 S^ =1 +- +…+— >1 n2 - In1 + ln 3-1 n2 +…+ln (n +1)—1 n n = ln (n + 1 □C 1 （n T 处），故级数2 —发散。 n4 n ④几何级数: Z aq nA 4-q' 发散, d e q >1 ⑤p —级数: ￡1- n 吕n P (p >0 冶 ［收敛，p A 1 改散,p 兰1 i 、设a 、P 为常数, □c 若送U n n =1 oC oC Z V n 收敛，则送(a U n n=1 P V n ）也收敛，且 n=3 推论: 比如: □C 2 (a U n + Pv n ) = aZ ni □c 常数 k H 0 , 2 ku n n z! 证明级数2： 2 发散 心n □C U n n 二 □c 与S u n 同敛散; n=1 处2 处： 因为￡ -与送-同敛散，又 心n 心n 比1 处2 Z 1发散，故级数￡ -发散; nT n 心 n 注意: 至2 处1 处 Z 2 工22 1 , Z 心门 n^n nd ： o ’1 比 1 +丄 Hy 1 +y — 2 厶 厶 2 iii 、收敛级数“加括 号” 则原级数必发散） 后所得的级数仍收敛于原来的和; （“加括号”后所得的级数发散, 无穷级数 1. 已知数列{}n na 收敛，求证级数 ∑∞ =--1 1)(n n n a a n 收敛的充要条件是级数∑∞ =1 n n a 收敛。 分析：考虑 ∑∞ =--1 1)(n n n a a n 与∑∞ =1 n n a 的部分和n S 与n σ，验证n S n n na a +--=-01σ。 2. 设{}n u 是单调增加的正数数列，试证当{}n u 有界时级数 ∑∞ =+??? ? ??-111n n n u u 收敛。 分析：11n 11n 0u u u u u u a n n n n -≤ -=≤+++，验证级数∑∞ =+-1 1)(n n n u u 收敛。 3. 设 ∑∞ =1 n n u 为正项级数，{}n v 为正实数列，记11 ++-= n n n n n v u v u a ，如果a a n n =∞→lim ，且a 为 正实数或正无穷，证明级数 ∑∞ =1 n n u 收敛。 分析：验证级数 ∑∞ =++-1 11)(n n n n n v u v u 收敛，使用比较判别法。 4. 设 3,2,1),1 (21,211=+==+n a a ? a a n n n ，证明：（1）n n a ∞→lim 存在；（2）级数∑∞ =+??? ? ??-111n n n a a 收敛。 5. 设n F 为斐波那契数列，10=F ，11=F ，n F 21--+=n n F F ，1>n 。（1）证明 1 1 2 23--≤≤?? ? ??n n n F ；（2）级数∑∞ =01n n F 收敛，级数∑∞ =2ln 1 n n F 发散。 6. 设{}n a 满足不等式n k a a 1000≤≤，其中 ,2,1,2=≤≤? n n k n ，又级数∑∞ =1 n n a 收敛， 证明：0lim =∞ →n n na 。 第10章 无穷级数 一、常数项级数的概念 常数项级数 设给定一个数列12,,,, n u u u ，表达式 1 n n u ∞ =∑称为常数项无穷级 数．121n n s u u u u =+++ +称为该级数的（前n 项）部分和． 级数收敛 如果部分和数列{}n s 有极限，即若lim n n s s →∞ =，则称该级数收敛，s 为其和，并记为 1 n n u s ∞ ==∑，否则，称级数发散． 二、常数项级数性质 （1）如果级数 1n n u ∞ =∑收敛于s ，则级数 1 n n ku ∞ =∑（k 为常数）也收敛，且收敛于ks ； （2）如果级数 1 1 , n n n n u v ∞ ∞ ==∑∑分别收敛于s 和σ，a 和b 为任意实数，则 1 ()n n n au bv ∞ =+∑也 收敛，且收敛于as b σ+； （3） 在级数中去掉（加上或改变有限项），级数敛散性不变； （4） 收敛级数加括号后仍然收敛，且收敛于原来的和； （5） 级数 1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件是：0lim =∞ →n n u ． 三、常数项级数的审敛法 1.正项级数 收敛充要条件 数列{}n s 有上界 1 n n u ∞ =∑收敛。 比较审敛法 n n v u ≤（1,2, n =），当 1 n n v ∞ =∑收敛时? 1 n n u ∞ =∑收敛； 当 ∑∞ =1 n n u 发散时? ∑∞ =1n n v 也发散。 （极限形式） lim n n n u l v →∞=，当0l <<+∞时， 1n n u ∞ =∑与 ∑∞=1 n n v 同时收敛或发散； 当0l =时，若 1 n n v ∞ =∑收敛? 1 n n u ∞=∑必收敛； 当l =+∞时，若 1 n n u ∞ =∑发散? 1 n n v ∞ =∑必发散。 无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21(2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、2 12 π 10、14 11、(0,4) 二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散. （C ） 1 n n u ∞ =∑收敛而 20 n n u ∞ =∑发散. （D ） 1 n n u ∞ =∑发散而 21 n n u ∞ =∑收敛. 第十一章 无穷级数 (A) 用定义判断下列级数的敛散性 1． ( ) ∑∞=+-+1 12n n n ；2．()∑ ∞ =+1 2221 n n n 判断下列正项级数的敛散性 1．∑∞ =1100!n n n 2．() ∑∞ =++133 2n n n n ；3．∑∞=14!n n n ； 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 1．() ∑∞ =---11 1 21n n n n ； 2．Λ+-+-0001.1001.101.11.1； 3． Λ++-+++-1 44 133********； 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 1．∑ ∞ =13n n n x n ；2．∑∞ =1 !n n x n ；3．() ∑ ∞ =-1121 n n n x n ；4．∑ ∞ =+-11 21 2 1 n n n x ；5．∑∞ =123 n n n x n 求下列级数的和函数 1．∑∞ =-11 n n nx ；2．121 1 2 1+∞ =+∑ n n n x ； 将下列函数展开成0x x -的幂的级数 1．x 2cos ，00=x ；2．()()x x ++1ln 1，00=x ；3． x 1 ，30=x ； (B) 用定义判断下列级数的敛散性 ()() ∑∞ =++043131 n n n 判断下列正项级数的敛散性 1．∑ ∞ =+1n )1(1 n n ；2．1131++∑∞=n n n ；3．∑∞ =13 n n n ； 判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 1．() ∑∞ =-?-1 1 311n n n n ；2．()∑∞ =--1 n 121 1n n ； 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间 1．()∑∞ =-1 21n n n n x ； 求下列幂级数的收敛区间、和函数与级数和 求∑∞ =--11 ) 1(n n x n 的收敛区间与和函数，并由此求数项级数∑ ∞ =-1 1 2 n n n 的和； 将下列函数展开成0x x -的幂的级数 1．()13212+-= x x x f ，00 =x ；2．()2 1 x x f =，10=x 同步导学第1章静电场第03节 电场强度 [知能准备] 1．物质存在的两种形式： 与 ． 2．电场强度 （1）电场明显的特征之一是对场中其他电荷具有 ． （2）放入电场中某点的电荷所受的静电力F 跟它的电荷量q 的 ．叫做该点 的电场强度．物理学中规定电场中某点的电场强度的方向跟 电荷在该点所受的静 电力的方向相同． （3）电场强度单位 ，符号 ．另一单位 ，符号 ． （4）如果 1 C 的电荷在电场中的某点受到的静电力是 1 N ，这点的电场强度就 是 ． 3．电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个场源点电荷 在 该点产生的电场强度的 ． 4．电场线 (1)电场线是画在电场中的一条条有方向的曲线（或直线）．曲线上每点的切线方向表 示该点的电场强度方向． (2)电场线的特点： ①电场线从正电荷（或无限远处）出发，终止于无限远或负电荷． ②电场线在电场中不相交，这是因为在电场中任意一点的电场强度不可能有两个方向． ③在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较 ，电场强度较小的地方电场线 较 ，因此可以用电场线的 来表示电场强度的相对大小． 5．匀强电场：如果电场中各点电场强度的大小 ．方向 ，这个电 场就叫做匀强电场． [同步导学] 1． 电场和电场的基本性质 场是物质存在的又一种形态．区别于分子、原子组成的实物，电场有其特殊的性质，如： 几个电场可以同时“处于”某一空间，电场对处于其间的电荷有力的作用，电场具有能量等． 本章研究静止电荷产生的电场 ，称为静电场．学习有关静电场的知识时应该明确以下 两点： （1）电荷的周围存在着电场，静止的电荷周围存在着静电场． （2）电场的基本性质是：对放入其中的电荷（不管是静止的还是运动的）有力的作用， 电场具有能量． 2． 电场强度 （1）试探电荷q 是我们为了研究电场的力学性质，引入的一个特别电荷． 试探电荷的特点：①电荷量很小，试探电荷不影响原电场的分布；②体积很小，便于研 究不同点的电场． （2）对于q F E ，等号右边的物理量与被定义的物理量之间不存在正比或反比的函数关系，只是用右边两个物理量之比来反映被定义的物理量的属性．在电场中某点，比值 q F 是无穷级数练习题
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p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满足 条件l U U n n n =+∞→1 lim ： ①当1
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