无穷级数_习题课

无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。

第十二章 无穷级数章主要内容小结一、数项级数的审敛法1、利用部分和数列的极限判别级数的敛散性；2、正项级数的审敛法 若0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu发散；否则由比值法、根值法、比较法及其极限形式判别；对一般项出现阶乘、及n 次幂形式，多用比值法，⎪⎩⎪⎨⎧=><=+∞→，失效，发散收敛11,1lim1ρρρρnn n u u ；对一般项出现n 次幂形式，多用根值法，⎪⎩⎪⎨⎧=><=∞→，失效，发散收敛11,1lim ρρρρn n n u ；对一般项可经缩小与放大处理后化成p 级数或几何级数形式，则用p 级数或几何级数作为比较标准，采用比较法或极限形式，对比值法与根值法中1=ρ的情况，也可用比较法、求部分和法、积分判别法做； 注意：能用比值法判别收敛的级数一定可用根值法判别收敛，因为可以证明当nn n u u 1lim+∞→存在时，n nn u ∞→lim 也存在，且nn n nn n u u u 1limlim+∞→∞→=，反之不一定成立。

3、任意项级数审敛法∑∞=1n nu为收敛级数，若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nu条件收敛；莱布尼兹判别法：01>≥+n n u u ，且0lim =∞→n n u 则交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛，且1+≤n n u r 。

（二）求幂级数收敛域的方法1、标准形式的幂级数，先求收敛半径1lim+∞→=n nn a a R ，再讨论R x ±=的敛散性；2、⎩⎨⎧直接用比值法或根值法式通过换元转化为标准形非标准形式的幂级数。

（三）幂级数和函数的求法1、求部分和式的极限；2、初等变换法：分解、直接套用公式；3、在收敛区间内，采用逐项求导与逐项积分的方法，套用公式，再对所求的和作逆运算；4、⎩⎨⎧数，再代值；间接求和：转化成幂级求部分和；直接求和：直接变换，数项级数求和 （四）函数的幂级数和傅立叶级数展开式1、函数的幂级数展开直接展开法：利用泰勒级数；间接展开法：利用已知展式的函数及幂级数的性质；2、函数的傅立叶展开式：系数公式、收敛定理、延拓方法。

第十二章 无穷级数习题课一、本章主要内容常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。

幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。

二、本章重点用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。

三、例题选讲例1：判别级数()21ln 1ln ln 1n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+∑的敛散性。

（用定义）解：原式=()()22ln 1ln 11()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞∞==+-=-++∑∑级数的部分和111111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 2ln(1)ln 2n =-→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于1ln 2。

例2：判别下列级数的敛散性（1）111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ ， （2）211ln n n n ∞=-∑ ， （3）121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ （4）()11!2!!2!n n n ∞=+++∑ ，（5）()()()21111n nn x x x x ∞=+++∑，（0x ≥）（6）ln 113nn ∞=∑ 解：（1）因为ln(1)ln n n +<，所以1111ln ln(1)0n n n n n+-=-+>， 而 111lnln ln 1111n n n n n n +⎛⎫-==-<- ⎪+++⎝⎭，有2111111ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 由比较审敛法知，级数111ln n n nn ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。

第十一章无穷级数§级数的概念、性质一、单项选择题1. 若级数an 1 q n收敛 ( a为常数 )，则q 满足条件是( )．(A) q 1 ；(B) q 1 ；(C) q 1 ；(D) q 1 ．答 (D) ．2.下列结论正确的是 ()．(A) 若 lim u n 0 ，则u n收敛； (B) 若 lim( u n 1 u n ) 0 ，则u n 收敛；n n 1 n n 1(C) 若u n 收敛，则 lim u n 0 ； (D) 若u n 发散，则 lim u n 0. 答 (C) ．n 1 n n 1 n3. 若级数u n 与v n 分别收敛于 S1 , S2，则下述结论中不成立的是( )．n 1 n 1(A) (u n v n ) S1 S2；(B) ku n kS1；n 1 n 1(C) kv n kS2；(D) u n S1 ．答 (D) .n 1 n 1v n S24. 若级数u n 收敛，其和 S 0 ，则下述结论成立的是( )．n 1(A) ( u n S) 收敛；(B) 1收敛；n 1 n 1 u n(C) u n 1 收敛；(D) u n 收敛 . 答 (C) .n 1 n 15. 若级数a n 收敛，其和 S 0 ，则级数( a n a n 1 a n 2 ) 收敛于( )．n 1 n 1(A) S a1 ；(B) S a2； (C) S a1 a2；(D) S a2 a1．答 (B) .6. 若级数a n发散，b n收敛则( )．n 1 n 1(A)(a n b n ) 发散；(B)(a n b n ) 可能发散，也可能收敛；n 1 n 1(C)a n b n发散；(D)( a n2 b n2 ) 发散. 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 设 a1 ，则( a)n.答： 1.n 01 a2. 级数 (ln 3)n 的和为．答：22n1 .n 0ln 33. 级数( n 2 2 n1 n) ，其和是．答： 12 .n 04.数项级数1的和为 . 答： 1.n 1 (2n1)(2n 1)25*. 级数2n 1 的和为.答： 3.n 02n 三、简答题1． 判定下列级数的敛散性(1)8 82 83L( 1) 8n 答： 收敛 .9 29 39 n L9解：1 1 1 L1 答： 发散 .(2)6 9 L33n解：1 1 1L1L答： 发散 .(3)333 n3 3解：3 32 33 L3n L答： 发散 .(4)2223 2n2解：1 1 1 1 1 11 1 L 答： 收敛 .(5)3223223 33L3n2 2n解：§正项级数收敛判别法、 P — 级数一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足 0 u n v n , (n 1,2,L ) ，则 ()．n 1n 1(A) 若v n 发散 ,则 u n 发散； (B) 若u n 收敛 ,则 v n 收敛；n 1n 1n 1n 1(C) 若u n 收敛 ,则v n 发散； (D) 若u n 发散，则v n 发散 .答 (D) .n 1n 1n 1n12. 若 0a n 1, ( n 1,2, L ) ，则下列级数中肯定收敛的是()．n (A)a n ；(B)( a n 1 a n ) ；n1n1(C)a n2；(D)a n ．答 (C) .n 1n 13. 设级数 (1)2n nn!与 (2)3n n n! ，则 ( )．n 1nn 1 n(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛，级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散，级数 (2)收敛．答 (C) .4. 设级数 (1)1 与 (2) 10n , 则 ( ).n 1n nn 1 n!(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛 ,级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散 ,级数 (2)收敛．答 (D) .5. 下列级数中收敛的是 ()．(A)n1 ； (B)sin1；n 1 n( n 2) n 1n(C)( 1)nn ； (D)1． 答 (A) .n 13n 1n 1 2n 11 216*. 若级数，则级数().n 1 n 2 6 n 1 (2n1)22222(A);(B);(C);(D).答 (B) .4812167. 设 u n 与 v n 均为正项级数 ,若 lim u n1，则下列结论成立的是().n 1n 1nv n(A)u n 收敛 ,v n 发散；(B)u n 发散 ,v n 收敛；n 1n1n 1n 1(C)u n 与v n 都收敛 ,或 u n 与 v n 都发散 .(D) 不能判别 .答 (C) .n 1n1n 1n 18. 设正项级数u n 收敛，则 ().n 1(A) 极限 limun 11；(B)极限 limu n 1 1；nu nnu n(C) 极限 lim n u n1；(D) 无法判定 .答 (A)n9. 用比值法或根值法判定级数u n 发散，则u n ().n 1n 1(A) 可能发散； (B) 一定发散；(C) 可能收敛；(D) 不能判定 .答 (B)二、填空题1. 正项级数u n 收敛的充分必要条件是部分和 S n.答：有上界 .n 12. 设级数2n 1收敛，则 的范围是.n 1n3. 级数u n 的部分和 S n2n ，则 u n.n 1n 14. 级数2n1是收敛还是发散.n 02n3 答：．22答：.n( n 1)答：收敛 . 5. 若级数1收敛，则 p 的范围是.答： p 0 . n 1n p sinn6. 级数3n n! 是收敛还是发散.答：发散 .n 1n n三、简答题1. 用比较法判定下列级数的敛散性：(1)1 n ；答：发散 . (2)1 ；答： 收敛 .n 1 1 n 2n 1 (n 1)(n 2)(3)sin n ；答：收敛 . (4)1 n (a 0) .答 a 1 收敛 ; a 1 发散 .a n 12 n 112. 用比值法判定下列级数的敛散性：(1)3n ； 答：发散 .(2)n 2 ；答： 收敛 .n 1 n 2nn 1 3n解：(3)2n nn!；答： 收敛 .(4)n tan n 1．答： 收敛 .n 1 nn 12解：3. 用根值法判定下列级数的敛散性： (1)n 1解：(3)n1nn1；答： 收敛 .(2) ；答：收敛 .2n 1 n 1[ln( n 1)]n解：2n 1n； 答：收敛 .3n 1解：b n(4) 其中 a n a, (n ) ， a n , b, a 均为正数．a nn 1答：当 b a 时收敛，当 b a 时发散，当 b a 时不能判断．§一般项级数收敛判别法一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足u n v n , ( n 1,2, L ) ,则 ( )．n 1 n 1(A) 若v n 收敛 ,则u n 发散；(B) 若u n 发散 ,则v n 发散；n 1 n 1 n 1 n 1(C)若u n 收敛 ,则v n 发散；(D) 若v n 收敛 ,则u n 未必收敛．答(D) .2.下列结论正确的是 ()．(A)u n收敛，必条件收敛；(B)u n 收敛，必绝对收敛；n 1 n 1(C)u n 发散，则u n 必条件收敛；n 1 n 1(D)u n 收敛，则u n 收敛．答 (D) .n 1 n 12.下列级数中，绝对收敛的是 ()．(A) ( 1)n n; (B) ( 1)n 1 1 ；n 1 3n 1 n 1 n2(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1．答 (B) .n 1 ln( n 1) n 1 n3. 下列级数中，条件收敛的是 ( )．nn 2(A) ( 1)n 1 ；(B) ( 1)n 1 ；n 12n3 1 n 1 3(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1 ．答 (A) .n 1n2 n 1 n 2n4. 设为常数，则级数sin n 1( ).n2 nn 1(A) 绝对收敛；(B) 条件收敛；(C) 发散；(D) 敛散性与的取值有关．答 (C) .5. 设a n cos n ln(1 1 ) (n 1,2,3, ) ，则级数( ).n(A) a n 与a n2 都收敛 . (B) a n与a n2 都发散 .n 1 n 1 n 1 n 1(C) a n 收敛，a n2发散. (D) a n发散，a n2 收敛 . 答 (C) .n 1 n 1 n 1 n 16.设0 a n 1(n 1,2,3, ) ,则下列级数中肯定收敛的是(). n(A) a n . (B) ( 1) n a n.(C) an . (D) a n2 ln n . 答 (D) .n 1 n 1 n 2ln n n 27.下列命题中正确的是( ).(A) 若u n2与v n2都收敛,则(u n v n)2收敛 .n 1 n 1 n 1(B) 若u n v n收敛,则u n2与v n2都收敛.n 1 n 1 n 1(C) u n 发散 ,则u n 1若正项级数.n 1 n(D) 若u n v n (n 1,2,3, ) ,且u n 发散 ,则v n 发散 . 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 级数( 1)n 1的取值范围是．答：1.绝对收敛，则n 1 n2. 级数1 sin n条件收敛， 则 的取值范围是 ．答： 01.n 1 n 23. 级数a n 2收敛，则( 1)nan是条件收敛还是绝对收敛．n 0n 0n答：绝对 收敛 .三、简答题1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛(1)( 1)n 11； n 1n解：(2)( 1)n 1 n；n 13n1解：sin n(3)n 1( n 1)2；解：(4)( 1)n 11；n 13 2n解：(5)( 1)n 11 ；n 1ln( n 1)解：(6)n 1 2n2( 1)n 1n!答： 条件收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 条件收敛 .答： 发散 .解：§幂级数收敛判别法一、单项选择题1. 幂级数x n 的收敛区间是 ( )．n 1 n(A) [ 1, 1] ；(B) ( 1, 1) ；(C) [ 1, 1) ； (D) ( 1, 1] ．答 (C) .2. 幂级数( 1)n (x 1)n 的收敛区间是 ( )．n 1n 2n(A) [ 2 , 2] ；(B) ( 2 , 2) ；(C) [ 2, 2) ； (D) ( 2, 2] ．答 (D) .3. 幂级数x 2 n的收敛半径是 ( ).1 n2 3nn(A) R 3 ；(B) R 3 ；(C) R 1(D)1答 (B) . ；R ．3 3（ A）(C)（ B）(D)4. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处 ( ).n 1(A) 发散； (B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (C) .5. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处( ).n 1(A) 发散；(B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (D) . 6．若幂级数a n (x 1)n在x 1处条件收敛，则级数a n( ).n 0 n 0(A) 条件收敛；(B) 绝对收敛；(C) 发散；(D) 敛散性不能确定. 答(B) .二、填空题1. 幂级数xn的收敛域是．答： [ 1,1]. n 1n22. 幂级数2n 3n n的收敛域是．答：1 1n n2 x3,. n 1 33. 幂级数( 1)n 1 x2 n 1的收敛半径 R ，和函数是．(2 n 1)!n 1答： R , sin x.4. 幂级数( 1)n x 2n，和函数是．(2 n)!的收敛半径 Rn 0答： R , cosx.5. 设a n x n的收敛半径为R，则a n x2 n的收敛半径为．答： R.n 0 n 06. 设幂级数a n x n 的收敛半径为 4 ，则a n x2n 1的收敛半径为．答： 2.n 0 n 07. 幂级数( 1)n 1 (2 x 3)n 的收敛域是. 答： (1, 2].n 0 2n 18. 幂级数a n ( x 1)2 n在处x 2 条件收敛，则其收敛域为.答：[ 0,2] .n 0一、简答题1.求下列幂级数的收敛域．(1) nx n；答： ( 1,1). (2) ( 1)n 1 x n ；答： [ 1,1].n 1 n 1n2(3) x n ；答： [ 3, 3) ．(4) 2n x n；答： 1 , 1．n 1 n 3nn 1 n2 1 2 2(5) ( x 5)n ;答：[4, 6). (6) ( 1)n x2n 1 ．答： [ 1,1].n 1 n n 1 2n 12.用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．(1)nx n 1；答： S(x) 1 2 , x ( 1,1) ．n 1 (1 x)解：(2)x2n 1 1 1 x．2n．答： S(x)ln1, x ( 1,1)n 1 1 2 x解：3*. 求级数1的和．答： 2ln 2. n 1 n 2n解：§函数展开成幂级数一、单项选择题1. 函数f ( x) e x2 展开成 x 的幂级数是( )．(A) 1 x 2 x4 x6L ； (B) 1 x 2x4 x6；2! 3! 2!L3!(C) 1 x x2 x3L ； (D) 1 xx2 x3．答 (B) . 2! 3! 2!L3!2. 如果f ( x)的麦克劳林展开式为a n x2 n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) (0) ；(B) f (2 n ) (0) ；(C) f (2 n ) (0) ；(D) f ( n ) (0) ．答 (A) .n! n! (2 n)! (2 n)!3. 如果f ( x)在x x0的泰勒级数为a n ( x x0 ) n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) ( x0 ) ；(B) f (2 n ) ( x ) f (2 n ) ( x ) f ( n ) ( x )0； (C)n!0； (D) 0 ．答 (C) .n! n!4. 函数 f ( x)sin 2x 展开成 x 的幂级数是 ( )． (A)xx 3 x 5 x 7 ； (B) 1 22 x 2 24 x 4 26 x 6；3! 5! L 2! 4! L7! 6!(C) 2 x 23 x 325 x 527 x 7 L ； (D) 1x 2x 4x 6L ．答 (C) .3!5!7!4! 6!二、填空题1. 函数 f ( x) a x的麦克劳林展开式为x 12. 函数 f ( x) 3 2 的麦克劳林展开式为3. n 1x 2n 1幂级数( 1)(2n 的和函数是n 11)!4. 1 的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x5. 1的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x6. 函数 f ( x) ln(1 x) 的麦克劳林级数为7. 函数 f ( x) e x在 x 1 处的泰勒级数． 答：(ln n a) x n .n 0n!n． 答： 3ln 3 x n.n 02 n!．答： sin x .．答：n 0 x n .．答：( 1)n x n .n 0．答：(n 1x n1).n 1n． 答：e( x 1)n .n 0n!8. 函数 f ( x)1 在 x 1处的泰勒级数．答：( 1)n ( x 1)n .x 1n 02n 19. 函数 f ( x) 1 展开成 x 3 的幂级数为 ．答：( 1)n (x3)n .xn 03n 110. 函数 f ( x)21n22 n 1 x 2n.cos x 展开成 x 的幂级数为． 答：( 1)(2n)!2 n 011. 级数( 1)n 的和等于.答： cos1.n 0 (2n)!三、简答题1. 将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间．(1) f ( x) ln( a x), ( a 0) ；解：答： ln(an 1x nn. x) ln a( 1)n an 1(2) f ( x) sin2 x ；解：答： sin2 x ( 1)n 1 (2 x) 2 n , ( , ).n 1 2(2n)!(3) f ( x) (1 x)ln(1 x) ；解：答： (1 x)ln(1( 1)n 1 x nx) x , ( 1, 1].n 2 n( n 1)(4*) f ( x) x ；1 x2 解：x ( 1)n 2(2 n)! x 2 n 1答：x , [ 1, 1].1 x2 n 1 ( n!) 2 2(5). f ( x) x ．2xx2 3解：x 1 1 ( 1)n 1 x n 2(2n)! x 2 n 1答：, ( 1, 1).x 2 2 x 3 4 n 1 3n ( n!) 2 22. 将函数 f ( x) cos x 展开成 x的幂级数．3解：2 n2 n 1 n答： cosx1 ( 1)n 1 x 33 x 3, ( ,).2 n 0(2n)!(2n 1)! 3*. 将函数 f ( x) ln(3 x x 2 ) 在 x 1 展开成幂级数．解：答： ln(3 xx 2 ) ln 2( 1)n 11 ( x 1)n , (0, 2].n 02n n4*. 将函数 f (x)1展开成 x 4 的幂级数 .2 3xx 2解：答：1 11n3x 2n 0 2n 13n 1 ( x 4) , ( 6, 2).x 2§2 为周期的傅里叶级数一、单项选择题1. 函数系 1, cosx ,sin x ,cos 2x ,sin 2x, L ,cos nx ,sin nx,L ( ).(A) 在区间 [ , ] 上正交； (B) 在区间 [ , ] 上不正交；(C) 在区间 [0, ] 上正交； (D) 以上结论都不对．答 (A) .2. 函数系 1, sin x , sin 2x, L , sin nx ,L().(A) 在区间 [0,] 上正交；(B) 在区间 [0, ] 上不正交；(C) 不是周期函数；(D) 以上结论都不对．答 (B) .3. 下列结论不正确的是 ()．(A) cosnx cosmxdx 0, ( n m) ； (B) sin nxsin mxdx 0, (n m) ； (C)cosnx sin mxdx 0 ；(D)cosnx cosnxdx0 ． 答 (D) .4. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是奇函数时，其傅里叶系数为 ()．(A) a n 0, b n 1 f ( x)sin nxdx ； (B) a n 0, b n 1 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) a n 0, b n 20, b n2sin nxdx ．答 (C) .f ( x)sin nxdx ； (D) a n0 05. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．(A) b n 0, a n 1 f ( x)sin nxd x ； (B) b n 0, a n 2 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) b n 0, a n 10, a n2cosnxdx ．答 (B) .f (x)cos nxdx ； (D) b n0 0二、填空题1. f ( x) 是以 2 为周期的函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：a0 (a n cosnx b n sin nx). 其中2 n 1a n1f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,L , b n1f ( x)sin nxdx , n 1,2,L .2. f ( x) 是以 2 为周期的偶函数， f ( x) 傅里叶级数为．答： a0 a n cosnx. 其中 a n 2 f ( x)cos nxdx , n 0,1,2, L .2 n 1 03. f ( x) 是以 2 为周期的奇函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：b n sin nx.2f ( x)sin nxdx , n 1,2, L . 其中 b nn 1 04. 在 f ( x) x,( x ) 的傅里叶级数中，5. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，6. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，sin x 的系数为．答：2. sin 2x 的系数为．答： 1. cos2 x 的系数为．答：0.三、简答题1.下列函数 f ( x) 的周期为 2 ，试将其展开为傅里叶级数．(1) f ( x) 3x21, (x) ；解：答： f ( x) 2 1 12 ( 1)2 n cosnx , ( , ).n 1 nbx , x 0 (2) f ( x) 0 x ；ax ,解：答： f (x)(a b) [1 ( 1)n]( ba)cosnx ( 1)n 1 ( a b) sin nx ,4n 1n 2nx (2 k 1) .2. 将函数 f (x)xx) 展开为傅里叶级数．2sin (3解：答： f (x)18 3( 1)n 1n sin nx, ( , ).n 19n 213. 将函数 f ( x)x ,(x) 展开成傅里叶级数．cos2解：答： f (x)2 4 ( 1)n 11 cosnx, [ , ].n 14n 214. 将函数 f (x)x x) 展开成正弦级数．, (02解：答： f (x)sin nx , (0, ]. n 1n 5. 将函数 f ( x) 2x 2 , (0 x) 展开成正弦级数和余弦级数．解：41)n2 22答： f (x)( nsin nx, [0, ).n 1n 3n 3f ( x) 228 ( 1)n cosnx , [0,].3n 1n 2§ 一般周期函数的傅里叶级数一、单项选择题1. 下列结论不正确的是 ( )．ln x m x(A) coscos dx 0, ( n m) ；ll l(B)lxsinm xd x 0, ( nm) ；sin nlll(C) ln x sinm xd x 0 ； (D) lx sin n xdx 0答 (D) . cos sin n．l l l ll l2. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，则 f (x) 的傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosn xb n n x ； (B) a 0a n cosnx b n n x ；n 1l l 2n 1l l(C) b n n x ；(D) a 0 a n cos nx ． 答 (B) .n 1l 2 n 1 l 3. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当 f (x) 是偶函数时，其傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosnx ；(B) a 0a n cosnx ；2n 1ln 1l(C)b n sinn x；(D) a 0a n sin nx ． 答 (A) .n 1l2 n 1 l4. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当f (x) 是奇函数时，其傅里叶级数为 ( )．(A) b 0b n sinnx ；(B) b 0b n cosnx2 n1ln 1l(C)b n sinn x；(D)b n cosnx ．答 (C) .n 1ln 1l二、填空题1. f ( x) 是以 2为周期的函数 , f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cos nx b n sinnx .2n 122其中 an 11f ( x)cosnxdx,n 0,1,2, , bn1 1f (x)sin nxdx , n 1,2, L .2 12L2 122. f ( x) 是以 2l 为周期的偶函数 ,f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cosnx. 其中 a n2 2 n 1lllnf ( x)cos xdx , n 0,1,2, L .3. f ( x) 是以 2l 为周期的奇函数， f (x) 的傅里叶级数为 .答：b n sinn x . 其中 b n2 0 f (x)sin nxdx , n 1,2, L .n 1 l l l4. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数，1 x , 1 x 0 f ( x) , 0x．又设 f ( x) 的傅里叶x 2 级数的和函数为 S( x) ，则 S(0)， S(3)．答： S(0)S(3) 1 .25. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数， 2 ,1x 0f ( x)0 x，则 f (x) 的傅里叶级数x 3 ,1在 x 1 处收敛于．答： 3.2x ,1 0 x6. 设f ( x)是以2为周期的函数， f ( x)2，又设 S( x) 是 f ( x) 的正0,1x 12弦级数的和函数，则7．S4答： S 71 .4 4三、简答题1. 设周期函数在一个周期内的表达式为f (x) 1 x21x 1 ，试将其展开2 2为傅里叶级数．解：答：11 1 ( 1)n 1x) ( , ).f ( x) 2 cos(2n12 n 122. 设周期函数在一个周期内的表达式为 f ( x) 2x 1, 3 x 0，试将其展开1 , 0 x 3 为傅里叶级数．解：答：1 62 [1 ( n n n 1 6 nf (x)n 1 n 2 1) ]cos x ( 1) sinx , x 3(2 k 1).2 3 n 33*. 将函数f ( x) x2 , (0 x 2) 分别展开成正弦级数和余弦级数．解：答： 28 ( 1)n 1 2 n nx n n3 2 [( 1) 1] sin 2 x, 0 x 2.n 1x 24 16 ( 1)n n0 x 2. 32n2 cos x,n 1 2。

第十一章无穷级数习题课12典型例题目录主要内容01主要内容一、主要内容常数项级数函数项级数一般项级数正项级数幂级数三角级数收敛半径R泰勒展开式数或函数函数数任意项级数傅氏展开式傅氏级数泰勒级数)(→xRn为常数nu)(xuunn为函数满足狄氏条件xx=取在收敛级数与数条件下相互转化∑∞=1nnu二、典型例题;)1()1(:11∑∞=++n nnn nn n判断级数敛散性例1解n nnn n n n n u )1(1+⋅=,)11(21nnnn+=nn n n n nn 122])11[(lim )11(lim 2+=+∞→∞→ ;10==e xx nn x n 11lim lim ∞→∞→=}ln 1lim exp{x x x ∞→=}1lim exp{xx ∞→=;10==e ,01lim ≠=∴∞→n n u 根据级数收敛的必要条件，原级数发散．;23cos)2(12∑∞=πn n n n 解,223cos2n nn n n n u <π=,2n n nv =令n n v v nn n nn n 221lim lim 11⋅+=++∞→++∞→ n n n 21lim +=+∞→,121<=,21收敛∑∞=∴n n n根据比较判别法，原级数收敛．∑∞=>++1).0()1()2ln()3(n na na n 解n a n u nn nn n 1)2ln(lim lim ++=+∞→+∞→,)2ln(lim 1n n n a +=+∞→,2,2n e n n <+≥时 从而有,)2ln(1nnn n <+<,1lim =+∞→nn n 由于,1)2ln(lim =++∞→nnn .1lim au n n n =+∞→,1100时即当<<>aa 原级数收敛；,1110时即当><<aa 原级数发散；,1时当=a ,)11()2ln(1∑∞=++n nnn 原级数为,)11()2ln(lim +∞=+++∞→nn nn 原级数也发散．敛？是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，是否收判断级数∑∞=--1ln )1(n nnn 例2解,1ln 1nn n >- ,11发散而∑∞=n n,ln 1ln )1(11发散∑∑∞=∞=-=--∴n n nn n n n 即原级数非绝对收敛．,ln )1(1级数是交错∑∞=--n nnn 由莱布尼茨定理：x x n n x n ln lim ln lim +∞→+∞→= ,01lim ==+∞→xx ,0ln 11lim ln 1lim =-=-∴+∞→+∞→n nn n n n n ),0(ln )(>-=x x x x f),1(011)(>>-='x xx f 通项极限为0（1）,),1(上单增在+∞∴,ln 1单减即x x -,1ln 1时单减当故>-n nn ),1()1ln()1(1ln 11>=+-+>-=∴+n u n n n n u n n 所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．通项单调递减（2）.)1)(1(0敛域及和函数收求级数∑∞=-+n nx n 例3解,1)1)(1(0=-+∑∞=R x n n n敛半径为的收,111<-<-x 收敛域为,20<<x 即则有设此级数的和函数为),(x s .)1)(1()(0∑∞=-+=n nx n x s 两边逐项积分∑∞=+-=011)1(n xn x ∑⎰⎰∞=-+=011)1)(1()(n xnxdxx n dx x s ∑∞=+-=01)1(n n x )1(11---=x x ,21xx --=求导，得两边再对x )21()('--=x x x s .)2(12x -=.1ln arctan )(2克劳林级数展开成麦将x x x x f +-=例4解,32)1ln(32-+-=+xx x x ,)1(32)1ln(216422 +-+-+-=+∴-nx x x x x n n )11(≤≤-x ⎰+=x dx xx 0211arctan 又⎰+-++-+-=xnndxx x x x 02642])1(1[++-++-+-=+12)1(75312753n x x x x x n n )11(≤≤-x ∑∑∞=-∞=+--+-=+-1210222)1(2112)1(1ln arctan n nn n n nn x n x xx x 故∑∑∞=+∞=++--+-=02202222)1(2112)1(n n nn n n n x n x .)22)(12()1(022∑∞=+++-=n n nn n x )11(≤≤-x形．函数，同时画出它的图写出该级数的和的正弦级数并在为周期内展开成以在将π≤≤π-ππ<<2220cos x x x 例5解,cos ),(,sin cos 2),0(cos )(1进行奇开拓内对必须在周期的正弦级数为内展开成以在要将x nx b x x x f n n ππ-=ππ=∑∞=⎪⎩⎪⎨⎧π-∈-=π∈=),0,(cos ,00),,0(cos )(x x x x x x F 令⎰ππ=0sin cos 2nxdxx b n ⎰π-++π=0])1sin()1[sin(1dx x n x n ]1)1(11)1(1[111---++--π=-+n n n n ⎪⎩⎪⎨⎧=-π-==m n n n m n o 2,)1(412,2)1(≠n ,0=n a ),2,1,0( =n⎰ππ=012sin 1xdx b ,0=∑∞=π<<-π=∴12)0(.2sin )14(8cos m x mx m mx 上级数的和函数为在π≤≤π-22x ⎪⎩⎪⎨⎧πππ-∈-π±π±=π-π-π∈=),2,()0,(cos 2,,00),2(),0(,cos )( x x x x x x s和函数的图形为xyo ππ2π-π-2。

第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。

2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。

n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。

28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。

xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。

30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。