2017届北京市高三入学定位考试数学理试题

2016-2017学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或33．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣B．C．﹣D．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣15．函数y=log2的大致图象是（）A． B．C．D．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD的长为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）二、填空题9．抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a=．10．极坐标系中，直线ρsin（﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为（只需写出一个即可）11．点P是直线l：x﹣y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB的最小面积为．12．已知双曲线C的渐进线方程为y=±x，则双曲线C的离心率为．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有个，从中任意选出2个不同的子集A和B，若A?B且B?A，则不同的选法共有种．14．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．16．已知递减等差数列{a n}满足：a1=2，a2?a3=40．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若递减等比数列{b n}满足：b2=a2，b4=a4，求数列{b n}的通项公式．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N*）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？18．已知函数f（x）=axe x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），离心率e=，已知点P（0，）到椭圆C的右焦点F的距离是．设经过点P且斜率存在的直线与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴相交于一点Q．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求点Q的横坐标x0的取值范围．20．对于序列A0：a0，a1，a2，…，a n（n∈N*），实施变换T得序列A1：a1+a2，a2+a3，…，a n﹣1+a n，记作A1=T（A0）：对A1继续实施变换T得序列A2=T（A1）=T（T（A0）），记作A2=T2（A0）；…；A n﹣1=T n﹣1（A0）．最后得到的序列A n﹣1只有一个数，记作S（A0）．（Ⅰ）若序列A0为1，2，3，求S（A0）；（Ⅱ）若序列A0为1，2，…，n，求S（A0）；（Ⅲ）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作A=B，若序列B为序列A0：1，2，…，n的一个排列，请问：B=A0是S（B）=S（A0）的什么条件？请说明理由．2016-2017学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或3【考点】交集及其运算．【分析】根据A，B，以及两集合的交集为B，得到B为A的子集，确定出实数m的值即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，m}，且A∩B=B，∴B?A，则实数m的值为2或3，故选：D．3．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】直接利用诱导公式化简求解函数值即可．【解答】解：sin（π﹣A）=，可得sinA=，cos（﹣A）=sinA=，故选：B．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由⊥，可得=0，解出即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=3+x（2﹣x）=0，化为x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1．故选：D．5．函数y=log2的大致图象是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分析出函数的定义域和单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：函数y=log2的定义域为（1，+∞），故排除C，D；函数y=log2为增函数，故排除B，故选：A．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD的长为（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】在△OAC中，运用余弦定理可得AC，cos∠ACO，延长CO交圆于E，再由圆的相交弦定理，可得AC?CD=BC?CE，求得CD，再在△BCD中，运用余弦定理可得BD的长．【解答】解：在△OAC中，OA=2，OC=1，∠AOC=120°，可得AC2=OA2+OC2﹣2OA?OC?cos∠AOC=4+1﹣2?2?1?cos120°=5+2=7，即AC=，cos∠ACO===，延长CO交圆于E，由圆的相交弦定理，可得AC?CD=BC?CE，即CD===，在△BCD中，BD2=BC2+DC2﹣2BC?DC?cos∠BCD=1+﹣2?1??=．可得BD=．故选：C．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），∴函数的f′（x）=x﹣=，由f′（x）＞0解得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得0＜x＜1，此时函数单调递减，故x=1时，函数取得极小值．①当k=1时，（k﹣1，k+1）为（0，2），函数在（0，1）上单调减，在（1，2）上单调增，此时函数在（0，2）上不是单调函数，满足题意；②当k＞1时，∵函数f（x）在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴x=1在（k﹣1，k+1）内，即，即，即0＜k＜2，此时1＜k＜2，综上1≤k＜2，故选：B．二、填空题9．抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a=‐8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】依题意可求得抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，而抛物线x2=ay的准线方程是y=2，从而可求a．【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，又抛物线x2=ay的准线方程是y=2，∴﹣=2，∴a=﹣8．故答案为：﹣8．10．极坐标系中，直线ρsin（﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为（2，π）（只需写出一个即可）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】令θ=π，可得： +1=0，解得ρ即可得出．【解答】解：令θ=π，可得： +1=0，解得ρ=2，可得交点（2，π）．故答案为：（2，π）．11．点P是直线l：x﹣y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB的最小面积为4．【考点】圆的切线方程．【分析】利用切线与圆心的连线垂直，可得S PACB=2S ACP．，要求四边形PACB的最小面积，即直线上的动点到圆心的距离最短，利用二次函数的配方求解最小值，得到三角形的边长最小值，可以求四边形PACB的最小面积．【解答】解：根据题意：圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，圆心为（1，1），半径r=2，∵点P在直线x﹣y+4=0上，设P（t，t+4），切线与圆心的连线垂直，直线上的动点到圆心的距离d2=（t﹣1）2+（t+4﹣1）2，化简：d2=2（t2+2t+5）=2（t+1）2+8，∴，那么：，则|PA|min=2，三角形PAC的最小面积为：=2，可得：S PACB=2S ACP=4，所以：四边形PACB的最小面积S PABC=4，故答案为：4．12．已知双曲线C的渐进线方程为y=±x，则双曲线C的离心率为或．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线为y=±x，可得=或3，利用e==，可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x，∴=或3，∴e===或．故答案为：或．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有8个，从中任意选出2个不同的子集A和B，若A?B且B?A，则不同的选法共有9种．【考点】子集与真子集．【分析】根据含有n个元素的集合，其子集个数为2n个，即可得到子集个数．从中任意选出2，A?B且B?A．先去掉{1，2，3}和?，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A?B且B?A，即可得到答案．【解答】解：集合U={1，2，3}含有3个元素，其子集个数为23=8个．从中任意选出2个不同的子集A和B，A?B且B?A．先去掉{1，2，3}和?，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A?B且B?A，有①{1}，{2}、②{1}，{3}、③{1}，{2，3}、④{2}，{3}、⑤{2}，{1，3}、⑥{3}，{1，2}、⑦{1，2}，{1，3}、⑧{1，2}，{2，3}、⑨}{1，3}，{2，3}，则有9种．故答案为：8，9．14．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为{1，2，4} ；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为2m+1﹣1．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系，然后根据d的取值范围进行求解．【解答】解：由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，由等差数列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），整理得d=，（1）若a1=4，则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，故d的取值集合为{1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，…，2m，∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m==2m+1﹣1，故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到．（Ⅱ）由x的范围，可得2x﹣2x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，则kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则有函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，则有sin（2x+）∈[﹣1，1]，则当x=时，f（x）取得最小值，且为1，当x=时，f（x）取得最大值，且为+2．16．已知递减等差数列{a n}满足：a1=2，a2?a3=40．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若递减等比数列{b n}满足：b2=a2，b4=a4，求数列{b n}的通项公式．【考点】数列的求和．【分析】（I）格局等差数列的通项公式列方程组解出公差，得出通项公式，代入求和公式计算S n；（II）根据等比数列的通项公式列方程组解出首项和公比即可得出通项公式．【解答】解：（I）设{a n}的公差为d，则a2=2+d，a3=2+2d，∴（2+d）（2+2d）=40，解得：d=3或d=﹣6．∵{a n}为递减数列，∴d=﹣6．∴a n=2﹣6（n﹣1）=8﹣6n，S n=?n=﹣3n2+5n．（II）由（I）可知a2=﹣4，a4=﹣16．设等比数列{b n}的公比为q，则，解得或．∵{b n}为递减数列，∴．∴b n=﹣2?2n﹣1=﹣2n．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N *）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）利用利润是收入与成本之差，求利润函数P（x），利用MP（x）=P（x+1）﹣P（x），求其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*P（x）=R（x）﹣C（x）=30x﹣0.2x 2﹣（5x+40）=﹣0.2x2+25x﹣40，MP（x）=P（x+1）﹣P（x）=﹣0.2（x+1）2+25（x+1）﹣40﹣[﹣0.2x2+25x﹣40]=24.8﹣0.4x，（Ⅱ）∵MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，∴当x=1时，MP（x）的最大值为24.40（万元）18．已知函数f（x）=axe x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，根据函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值；（Ⅲ）设出切点坐标为（m，ame m），求出切线斜率和方程，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=a（e x+xe x）=a（1+x）e x，若a＞0，由f′（x）＞0得x＞﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），由f′（x）＜0，得x＜﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），若a＜0，由f′（x）＞0得x＜﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），由f′（x）＜0，得x＞﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣1，+∞）；（Ⅱ）当a=1时，由（1）得函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值为f（﹣1）=﹣，无极小值；（Ⅲ）设切点为（m，ame m），则对应的切线斜率k=f′（m）=a（1+m）e m，则切线方程为y﹣ame m=a（1+m）e m（x﹣m），即y=a（1+m）e m（x﹣m）+ame m=a（1+m）e m x﹣ma（1+m）e m+ame m=a（1+m）e m x﹣m2ae m，∵y=e（x﹣）=y=ex﹣e，∴∴，即若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，则实数a的值是．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），离心率e=，已知点P（0，）到椭圆C的右焦点F的距离是．设经过点P且斜率存在的直线与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴相交于一点Q．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求点Q的横坐标x0的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意可得：e==，=，又a2+b2=c2．联立解出即可得出．（II）设直线AB的方程为：y=kx+，（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x3，y3），直线AB的方程与题意方程联立化为：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得可得中点M的坐标，可得线段AB的中垂线方程，令y=0，可得x0，通过对k分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：e==，=，又a2+b2=c2．联立解得：c2=12，a=4，b=2．∴椭圆C的标准方程为：=1．（II）设直线AB的方程为：y=kx+，（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x3，y3），线段AB的中垂线方程为：y﹣y3=﹣（x﹣x3）．联立，化为：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，△＞0，∴x1+x2=﹣，∴x3==﹣．y3=kx3+=．∴线段AB的中垂线方程为：y﹣=﹣（x+）．令y=0，可得x0==，k＞0时，0＞x0≥．k＜0时，0＜x0≤．k=0时，x0=0也满足条件．综上可得：点Q的横坐标x0的取值范围是．20．对于序列A0：a0，a1，a2，…，a n（n∈N*），实施变换T得序列A1：a1+a2，a2+a3，…，a n﹣1+a n，记作A1=T（A0）：对A1继续实施变换T得序列A2=T（A1）=T（T（A0）），记作A2=T2（A0）；…；A n﹣1=T n﹣1（A0）．最后得到的序列A n﹣1只有一个数，记作S（A0）．（Ⅰ）若序列A0为1，2，3，求S（A0）；（Ⅱ）若序列A0为1，2，…，n，求S（A0）；（Ⅲ）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作A=B，若序列B为序列A0：1，2，…，n的一个排列，请问：B=A0是S（B）=S（A0）的什么条件？请说明理由．【考点】数列与函数的综合．【分析】（I）序列A0为1，2，3，A1：1+2，2+3，A2：1+2+2+3，即可得出S（A0）．（II）n=1时，S（A0）=1+2=3；n=2时，S（A0）=1+2+2+3=1+2×2+3；n=3时，S（A0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…；取n时，S（A0）=?1+?2+?3+…+?n+?（n+1）；利用倒序相加法和二项式定理的性质，即可求得结果．（III）序列B为序列A0：1，2，…，n的一个排列，B=A0?S（B）=S（A0）．而反之不成立．例如取序列B为：n，n﹣1，…，2，1．满足S（B）=S（A0）．即可得出．【解答】解：（I）序列A0为1，2，3，A1：1+2，2+3，A2：1+2+2+3，即8，∴S（A0）=8．（II）n=1时，S（A0）=1+2=3．n=2时，S（A0）=1+2+2+3=1+2×2+3=8，n=3时，S（A0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…，取n﹣1时，S（A0）=?1+?2+?3+…+（n﹣1）+?n，取n时，S（A0）=?1+?2+?3+…+?n+?（n+1），利用倒序相加可得：S（A0）=×2n=（n+2）?2n﹣1．由序列A0为1，2，…，n，可得S（A0）=（n+2）?2n﹣1．（III）序列B为序列A0：1，2，…，n的一个排列，B=A0?S（B）=S（A0）．而反之不成立．例如取序列B为：n，n﹣1，…，2，1．满足S（B）=S（A0）．因此B=A0是S（B）=S（A0）的充分不必要条件．2016年11月6日。

北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}2|4A x x =∈<N ，{}2|230B x x x =∈--<R ，则A B =I （ ）、 A ．{}101-，，B ．{}01，C ．{}|12x x -<<D ．{}|23x x -<<2. 已知复数z 满足()12z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 3.一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（ ）A ．4B ．8C ．43D ．834.已知向量a b r r ，满足1a b a b ==+=r r r r，则向量a b r r ，夹角的余弦值为（ ） A ．12 B ．12- C 3 D ．35.已知数列{}n a 是等差数列，38a =，44a =，则前n 项和n S 中最大的是（ ）A ．3SB ．4S 或5SC ．5S 或6SD ．6S6.已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（ ）A 5B 5C 53D ．5或57.已知x y ，满足()2221x y x y y a x ⎧-⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，且z x y =+能取到最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-B ．2a ≥C ．12a -<≤D ．1a <-或2a ≥8.已知函数：①()12f x x =，②()πsin2x f x =，③()1ln 12f x x =+．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（ ）命题():1p f x +是偶函数； 命题():1q f x +在()01，上是增函数； 命题():r f x 恒过定点()11，； 命题11:22s f ⎛⎫> ⎪⎝⎭． A ．命题p 、q B ．命题q 、r C ．命题r 、sD ．命题s 、p第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题中横线上． 9. 51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为 ．10.已知直线():12l y k x =++，圆2cos 1:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩，则圆心C 的坐标是 ；若直线l 与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是 ．11.如图，已知PAB 是O ⊙的割线，点C 是PB 的中点，且PA AC =，PT 是O ⊙的切线，TC 交O ⊙于点D ，8TC =，7CD =，则PT 的长为 ．12.如图所示程序图运行的结果是 ．13.一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A B ，在一直线上，并与航线成30︒角．轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45︒方向，灯塔B 在北偏东15︒方向．则此时轮船到灯塔B 的距离CB 为 米．14.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对0x ∀≥，总存在正常数T ，使得()T f x +()T f x =+成立，则称()f x 满足“性质P ”．已知函数()g x 满足“性质P”，且()g x 在[]0T ，上的解析式为()2g x x =，则常数T = ；若当[]3T 3T x ∈-，时，函数()y g x kx =-恰有9个零点，则k = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数()22sin cos 23sin 3444x x xf x =-+．⑴ 求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 取值集合；⑵ 令π103f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()0πα∈，，求tan2α的值．16.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PAD △为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且602DAB AB ∠=︒=，，E 为AD 的中点．⑴ 求证：AD PB ⊥；⑵ 求二面角A PD C --的余弦值；⑶ 在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．17.（本小题满分13分）如图，某工厂2011年生产的A B C D ，，，四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会．⑴ 问A B C D ，，，型号的产品各抽取了多少件？⑵ 从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型 号的产品的概率；⑶ 在50件样品中，从A C ，两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．18.（本小题满分13分）已知函数()()2121ln 12f x mx x x =-+++．⑴ 当32m =-时，求函数()f x 的极值点；⑵ 当1m ≤时，曲线():C y f x =在点()01P ，处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m的范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>经过点312M ⎛⎫⎪⎝⎭，，且其右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合．⑴ 求椭圆1C 的方程；⑵ 直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A B ，两点，与抛物线2C 相交于C D ，两点．求AB CD的最大值．20.（本小题满分13分） 已知集合{}12320112012S =L ，，，，，，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中任意两个不同的元素()x y x y >，，若x y -都不能．．．整除x y +，则称集合A 是S 的“好子集”．⑴ 分别判断数集{}2468P =，，，与{}147Q =，，是否是集合S 的“好子集”，并说明理由；⑵ 求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值； ⑶ 设123m A A A A L ，，，，是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个数为()12i k i m =L ，，，，求证：()1!2012!2012!mi i i k k =⋅-∑≤数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题三、解答题15、（I ）()f x 的最大值为2，相应的x 取值集合为π|4π,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；（II ）24tan 27α=-．16、（I ）略；（II ）二面角A PD C --的余弦值为 （III ）在棱PB 上存在点F ，使EF ∥平面PDC ．17、（I ）A 型号的产品10件，B 型号的产品20件，C 型号的产品5件，D 型号的产品15件；（II ）这两件产品恰好是不同类型的产品的概率为57；（III ）随机变量X 的分布列为18、（I ）()f x 的极大值点为13x =-；（II ）m 的取值范围为(]{},01-∞U ．19、（I ）椭圆的方程为22143x y +=；（II ）AB CD 的最大值为34．20、（I ）P 不是S 的“好子集”；Q 是S 的“好子集”； （II ）A 的最大值为671； （III ）略．提示：（II ）考虑1,2a b -≠，作S 的模3同余类，可构造{}1,4,7,,2011A =L 即可． （III ）12,,,m A A A L 是S 的“好子集”的条件多余，可直接改为“子集”；考虑2012个数的全排列即可．。

1．若集合A ={x |–2x 1}，B={x |x –1或x 3}，则A B = （A ）{x |–2x –1} （B ）{x |–2x 3} （C ）{x |–1x 1} （D ）{x |1x 3}2．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1）（C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞）3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32 （C ）53 （D ）85 4．若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3（C ）5 （D ）95．已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数6．设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）（B ）（C ）（D ）28．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053（C ）1073 （D ）10939．若双曲线221y x m -=m =_________. 10．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则22a b =_______.11．在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP |的最小值为___________.12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________.13．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________．14．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________.②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.15．在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a .（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD，AB=4．（I ）求证：M 为PB 的中点；（II ）求二面角B -PD -A 的大小；（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．17．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者. （Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机学科网.选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）18．已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）.过点（0，12）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.19．已知函数f （x ）=e xcosx −x.（Ⅰ）求曲线y= f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值. 20．设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅， 其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数． （Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，n c M n >；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．参考答案1．A 【解析】试题分析：{}21A B x x =-<<-，故选A. 2．B【解析】试题分析：()()()()111z i a i a a i =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩ ，解得：1a <-，故选B.3．C【解析】试题分析：0k =时，03<成立，第一次进入循环111,21k s +===，13<成立，第二次进入循环，2132,22k s +===，23<成立，第三次进入循环31523,332k s +===，33< 否，输出53s =，故选C. 4．D【解析】试题分析：如图，画出可行域， 2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值m a x 3239z =+⨯=，故选D. 5．A【解析】试题分析：()()113333x x x x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.6．A【解析】试题分析：若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos 1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n，所以是充分不必要条件，故选A.7．B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，l =故选B.8．D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.9．2【解析】试题分析：221,a b m == ，所以1c a ==，解得2m = .10．1【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ，3138d q -+=-= ，求得2,3q d =-= ，那么221312a b -+==11．1【解析】2222:2440(1)(2)1C x y x y x y +--+=⇒-+-=，所以m i n ||||211A P A C r =-=-=12．79-【解析】因为α与β关于y 轴对称，所以2k αβππ+=+ ，那么sin sin βα=,cos cos βα=-13．-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】123,1(2)3->->--+-=-14．1Q ；2.p【解析】作图可得11A B 中点纵坐标比2233,A B A B 中点纵坐标大，所以第一位选1Q分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A B ''' 斜率，可得22A B '最大，所以选2.p 15．（Ⅰ）sin C （Ⅱ）△ABC 的面积S =.【解析】解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （Ⅱ）因为7a =，所以3737c =⨯=. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯， 解得8b =或5b =-（舍）.所以△ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=16．（I ）详见解析（II ）二面角B PD A --为锐角的大小为3π.；（III ）直线MC 与平面BDP. 【解析】解：（I ）设,AC BD 交点为E ，连接ME .因为PD ∥平面MAC ，平面MAC 平面PBD ME =，所以PD ME ∥.因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点.（II ）取AD 的中点O ，连接OP ，OE .因为PA PD =，所以OP AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD . 因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP OE ⊥.因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，(4,4,0)BD =-，(2,0,PD =.设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即44020x y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩. 令1x =，则1y =，z =于是=n .平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1cos ,||||2⋅==<>n p n p n p . 由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为3π. （III）由题意知(1,2,2M -，(2,4,0)D，(3,2,2MC =-. 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则||2sin |cos ,|9||||MC MC MC α⋅===<>n n n . 所以直线MC 与平面BDP . 17．（I ）0.3（II ）详见解析（III ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差.【解析】解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人， 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为150.350=. （Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.21122222222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6P P P ξξξ=========. 所以ξ的分布列为故ξ的期望121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差.18．（Ⅰ）抛物线C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x =-. （Ⅱ）详见解析 【解析】解：（Ⅰ）由抛物线C ：22y px =过点P （1，1），得12p =. 所以抛物线C 的方程为2y x =.抛物线C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x =-. （Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为12y kx =+（0k ≠），l 与抛物线C 的交点为11(,)M x y ，22(,)N x y .由212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得224(44)10k x k x +-+=. 则1221k x x k -+=，12214x x k =. 因为点P 的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为11(,)x y .直线ON 的方程为22y y x x =，点B 的坐标为2112(,)y y x x . 因为0=， 所以211122y y y x x +=. 故A 为线段BM 的中点.19．（Ⅰ）切线方程为1y =（Ⅱ）()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 【解析】解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-. 当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减. 所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 20．（Ⅰ）10,c =21c =-32c =-,证明见解析；（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-. 所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-， 所以{}n c 是等差数列.（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--.所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时， ①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列.②当10d =时，对任意1n ≥，此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列. ③当10d <时， 当21d n d >时，有12nd d <. 所以1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n-+---==-+-++对任意正数M ，取正整数12112211||max{,}M b d a d d d m d d +-+-->-， 故当n m ≥时，n c M n>.。

2016-2017学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或33．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣B．C．﹣D．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣15．函数y=log2的大致图象是（）A． B．C．D．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD的长为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）二、填空题9．抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a=．10．极坐标系中，直线ρsin（﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为（只需写出一个即可）11．点P是直线l：x﹣y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB的最小面积为．12．已知双曲线C的渐进线方程为y=±x，则双曲线C的离心率为．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有个，从中任意选出2个不同的子集A和B，若A⊈B且B⊈A，则不同的选法共有种．14．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．16．已知递减等差数列{a n}满足：a1=2，a2•a3=40．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若递减等比数列{b n}满足：b2=a2，b4=a4，求数列{b n}的通项公式．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N*）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？18．已知函数f（x）=axe x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．19．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），离心率e=，已知点P （0，）到椭圆C 的右焦点F 的距离是．设经过点P 且斜率存在的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于一点Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求点Q 的横坐标x 0的取值范围．20．对于序列A 0：a 0，a 1，a 2，…，a n （n ∈N *），实施变换T 得序列A 1：a 1+a 2，a 2+a 3，…，a n ﹣1+a n ，记作A 1=T （A 0）：对A 1继续实施变换T 得序列A 2=T （A 1）=T （T （A 0）），记作A 2=T 2（A 0）；…；A n ﹣1=T n ﹣1（A 0）．最后得到的序列A n ﹣1只有一个数，记作S （A 0）． （Ⅰ）若序列A 0为1，2，3，求S （A 0）；（Ⅱ）若序列A 0为1，2，…，n ，求S （A 0）；（Ⅲ）若序列A 和B 完全一样，则称序列A 与B 相等，记作A=B ，若序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，请问：B=A 0是S （B ）=S （A 0）的什么条件？请说明理由．2016-2017学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或3【考点】交集及其运算．【分析】根据A，B，以及两集合的交集为B，得到B为A的子集，确定出实数m的值即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，m}，且A∩B=B，∴B⊆A，则实数m的值为2或3，故选：D．3．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】直接利用诱导公式化简求解函数值即可．【解答】解：sin（π﹣A）=，可得sinA=，cos（﹣A）=sinA=，故选：B．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由⊥，可得=0，解出即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=3+x（2﹣x）=0，化为x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1．故选：D．5．函数y=log2的大致图象是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分析出函数的定义域和单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：函数y=log2的定义域为（1，+∞），故排除C，D；函数y=log2为增函数，故排除B，故选：A．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD的长为（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】在△OAC中，运用余弦定理可得AC，cos∠ACO，延长CO交圆于E，再由圆的相交弦定理，可得AC•CD=BC•CE，求得CD，再在△BCD中，运用余弦定理可得BD的长．【解答】解：在△OAC中，OA=2，OC=1，∠AOC=120°，可得AC2=OA2+OC2﹣2OA•OC•cos∠AOC=4+1﹣2•2•1•cos120°=5+2=7，即AC=，cos∠ACO===，延长CO交圆于E，由圆的相交弦定理，可得AC•CD=BC•CE，即CD===，在△BCD中，BD2=BC2+DC2﹣2BC•DC•cos∠BCD=1+﹣2•1••=．可得BD=．故选：C．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），∴函数的f′（x）=x﹣=，由f′（x）＞0解得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得0＜x＜1，此时函数单调递减，故x=1时，函数取得极小值．①当k=1时，（k﹣1，k+1）为（0，2），函数在（0，1）上单调减，在（1，2）上单调增，此时函数在（0，2）上不是单调函数，满足题意；②当k＞1时，∵函数f（x）在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴x=1在（k﹣1，k+1）内，即，即，即0＜k＜2，此时1＜k＜2，综上1≤k＜2，故选：B．二、填空题9．抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a=‐8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】依题意可求得抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，而抛物线x2=ay的准线方程是y=2，从而可求a．【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，又抛物线x2=ay的准线方程是y=2，∴﹣=2，∴a=﹣8．故答案为：﹣8．10．极坐标系中，直线ρsin（﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为（2，π）（只需写出一个即可）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】令θ=π，可得： +1=0，解得ρ即可得出．【解答】解：令θ=π，可得： +1=0，解得ρ=2，可得交点（2，π）．故答案为：（2，π）．11．点P是直线l：x﹣y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB的最小面积为4．【考点】圆的切线方程．【分析】利用切线与圆心的连线垂直，可得S PACB=2S ACP．，要求四边形PACB的最小面积，即直线上的动点到圆心的距离最短，利用二次函数的配方求解最小值，得到三角形的边长最小值，可以求四边形PACB的最小面积．【解答】解：根据题意：圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，圆心为（1，1），半径r=2，∵点P在直线x﹣y+4=0上，设P（t，t+4），切线与圆心的连线垂直，直线上的动点到圆心的距离d2=（t﹣1）2+（t+4﹣1）2，化简：d2=2（t2+2t+5）=2（t+1）2+8，∴，那么：，则|PA|min=2，三角形PAC的最小面积为：=2，可得：S PACB=2S ACP=4，所以：四边形PACB的最小面积S PABC=4，故答案为：4．12．已知双曲线C的渐进线方程为y=±x，则双曲线C的离心率为或．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线为y=±x，可得=或3，利用e==，可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x，∴=或3，∴e===或．故答案为：或．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有8个，从中任意选出2个不同的子集A和B，若A⊈B且B⊈A，则不同的选法共有9种．【考点】子集与真子集．【分析】根据含有n个元素的集合，其子集个数为2n个，即可得到子集个数．从中任意选出2，A⊈B且B⊈A．先去掉{1，2，3}和∅，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A⊈B且B⊈A，即可得到答案．【解答】解：集合U={1，2，3}含有3个元素，其子集个数为23=8个．从中任意选出2个不同的子集A和B，A⊈B且B⊈A．先去掉{1，2，3}和∅，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A⊈B且B⊈A，有①{1}，{2}、②{1}，{3}、③{1}，{2，3}、④{2}，{3}、⑤{2}，{1，3}、⑥{3}，{1，2}、⑦{1，2}，{1，3}、⑧{1，2}，{2，3}、⑨}{1，3}，{2，3}，则有9种．故答案为：8，9．14．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为{1，2，4} ；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为2m+1﹣1．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系，然后根据d的取值范围进行求解．【解答】解：由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，由等差数列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），整理得d=，（1）若a1=4，则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，故d的取值集合为{1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，…，2m，∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m==2m+1﹣1，故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到．（Ⅱ）由x的范围，可得2x﹣2x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，则kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则有函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，则有sin（2x+）∈[﹣1，1]，则当x=时，f（x）取得最小值，且为1，当x=时，f（x）取得最大值，且为+2．16．已知递减等差数列{a n}满足：a1=2，a2•a3=40．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若递减等比数列{b n}满足：b2=a2，b4=a4，求数列{b n}的通项公式．【考点】数列的求和．【分析】（I）格局等差数列的通项公式列方程组解出公差，得出通项公式，代入求和公式计算S n；（II）根据等比数列的通项公式列方程组解出首项和公比即可得出通项公式．【解答】解：（I）设{a n}的公差为d，则a2=2+d，a3=2+2d，∴（2+d）（2+2d）=40，解得：d=3或d=﹣6．∵{a n}为递减数列，∴d=﹣6．∴a n=2﹣6（n﹣1）=8﹣6n，S n=•n=﹣3n2+5n．（II）由（I）可知a2=﹣4，a4=﹣16．设等比数列{b n}的公比为q，则，解得或．∵{b n}为递减数列，∴．∴b n=﹣2•2n﹣1=﹣2n．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N*）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）利用利润是收入与成本之差，求利润函数P（x），利用MP（x）=P（x+1）﹣P（x），求其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*P（x）=R（x）﹣C（x）=30x﹣0.2x2﹣（5x+40）=﹣0.2x2+25x﹣40，MP（x）=P（x+1）﹣P（x）=﹣0.2（x+1）2+25（x+1）﹣40﹣[﹣0.2x2+25x﹣40]=24.8﹣0.4x，（Ⅱ）∵MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，∴当x=1时，MP（x）的最大值为24.40（万元）18．已知函数f（x）=axe x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，根据函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值；（Ⅲ）设出切点坐标为（m，ame m），求出切线斜率和方程，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=a（e x+xe x）=a（1+x）e x，若a＞0，由f′（x）＞0得x＞﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），由f′（x）＜0，得x＜﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），若a＜0，由f′（x）＞0得x＜﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），由f′（x）＜0，得x＞﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣1，+∞）；（Ⅱ）当a=1时，由（1）得函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值为f（﹣1）=﹣，无极小值；（Ⅲ）设切点为（m，ame m），则对应的切线斜率k=f′（m）=a（1+m）e m，则切线方程为y﹣ame m=a（1+m）e m（x﹣m），即y=a（1+m）e m（x﹣m）+ame m=a（1+m）e m x﹣ma（1+m）e m+ame m=a（1+m）e m x﹣m2ae m，∵y=e（x﹣）=y=ex﹣e，∴∴，即若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，则实数a的值是．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），离心率e=，已知点P（0，）到椭圆C的右焦点F的距离是．设经过点P且斜率存在的直线与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴相交于一点Q．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求点Q的横坐标x0的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意可得：e==，=，又a2+b2=c2．联立解出即可得出．（II）设直线AB的方程为：y=kx+，（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x3，y3），直线AB的方程与题意方程联立化为：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得可得中点M的坐标，可得线段AB的中垂线方程，令y=0，可得x0，通过对k分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：e==，=，又a2+b2=c2．联立解得：c2=12，a=4，b=2．∴椭圆C的标准方程为：=1．（II）设直线AB的方程为：y=kx+，（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x3，y3），线段AB的中垂线方程为：y﹣y3=﹣（x﹣x3）．联立，化为：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，△＞0，∴x1+x2=﹣，∴x3==﹣．y3=kx3+=．∴线段AB 的中垂线方程为：y ﹣=﹣（x +）． 令y=0，可得x 0==，k ＞0时，0＞x 0≥．k ＜0时，0＜x 0≤． k=0时，x 0=0也满足条件．综上可得：点Q 的横坐标x 0的取值范围是．20．对于序列A 0：a 0，a 1，a 2，…，a n （n ∈N *），实施变换T 得序列A 1：a 1+a 2，a 2+a 3，…，a n ﹣1+a n ，记作A 1=T （A 0）：对A 1继续实施变换T 得序列A 2=T （A 1）=T （T （A 0）），记作A 2=T 2（A 0）；…；A n ﹣1=T n ﹣1（A 0）．最后得到的序列A n ﹣1只有一个数，记作S （A 0）． （Ⅰ）若序列A 0为1，2，3，求S （A 0）；（Ⅱ）若序列A 0为1，2，…，n ，求S （A 0）；（Ⅲ）若序列A 和B 完全一样，则称序列A 与B 相等，记作A=B ，若序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，请问：B=A 0是S （B ）=S （A 0）的什么条件？请说明理由．【考点】数列与函数的综合．【分析】（I ）序列A 0为1，2，3，A 1：1+2，2+3，A 2：1+2+2+3，即可得出S （A 0）． （II ）n=1时，S （A 0）=1+2=3；n=2时，S （A 0）=1+2+2+3=1+2×2+3；n=3时，S （A 0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…；取n 时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+•n +•（n +1）；利用倒序相加法和二项式定理的性质，即可求得结果．（III ）序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，B=A 0⇒S （B ）=S （A 0）．而反之不成立．例如取序列B 为：n ，n ﹣1，…，2，1．满足S （B ）=S （A 0）．即可得出．【解答】解：（I ）序列A 0为1，2，3，A 1：1+2，2+3，A 2：1+2+2+3，即8，∴S （A 0）=8．（II ）n=1时，S （A 0）=1+2=3．n=2时，S （A 0）=1+2+2+3=1+2×2+3=8，n=3时，S （A 0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…，取n ﹣1时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+（n ﹣1）+•n ， 取n 时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+•n +•（n +1），利用倒序相加可得：S （A 0）=×2n =（n +2）•2n ﹣1．由序列A 0为1，2，…，n ，可得S （A 0）=（n +2）•2n ﹣1．（III ）序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，B=A 0⇒S （B ）=S （A 0）．而反之不成立．例如取序列B 为：n ，n ﹣1，…，2，1．满足S （B ）=S （A 0）．因此B=A 0是S （B ）=S （A 0）的充分不必要条件．2016年11月6日。