(一) 1-1对应 1
1. 1-1对应的定义 1
2. 1-1对应的意义和性质 2
3. 1-1对应在数学中的应用 4
4. 无穷集之间的1-1对应 4
5. 部分和整体的1-1对应, 无穷集的定义 9
6. 无穷远点. 点列和线束 10
7. 轴束. 基本形 11
8. 三种基本形的六种透视对应12
9. 射影关系 14
10. 1到无穷或无穷到1的对应 16
11. 平面点的无穷阶数 17
12. 一阶与二阶无穷集 17
13. 通过空间一点的所有直线 17
14. 通过空间一点的所有平面 18
15. 平面上所有的直线 18
16. 平面系和点系 19
17. 空间中的所有平面 19
18. 空间中的所有点 20
19. 空间系 20
20. 空间中的所有直线 20
21. 点与数之间的对应 20
22. 无穷远元素 22（二）1-1对应基本形之间的关系 25
23. 七种基本形 25
24. 射影性 25
25. Desargues 定理 26
26. 关于二个完全四边形的基本定理27
27. 定理的重要性 28
28. 定理的重述 28
29. 四调和点概念 29
30. 调和共轭的对称性 30
31. 概念的重要性 30
32. 四调和点的投影不变性 31
33. 四调和线 31
34. 四调和平面. 31
35. 结果的概要性总结 32
36. 可射影性的定义 33
37. 调和共轭点相互之间的对应33
38. 调和共轭的元素的隔离 34
39. 无穷远点的调和共轭 34
40. 射影定理和度量定理, 线性作图法 35
41. 平行线与中点 36
42. 将线段分成相等的n个部分
37
43. 数值上的关系 37
44. 与四调和点关联的代数公式37
45. 进一步的公式 38
46. 非调和比（交比） 39
(三)射影相关基本形的结合41
47. 叠加的基本形, 自对应元素41
48. 无自对应点的情况 42
49. 射影对应的基本定理, 连续性假设 43
50. 定理应用于线束和平面束 44
51. 具有一公共自对应点的射影点列44
52. 无公共自对应点的射影相关点列45
53. 透视对应的两个射线束 47
54. 透视对应的面束（轴束） 47
55. 二阶点列 47
56. 轨迹的退化 48
57. 两阶线束 48
58. 退化情况 48
59. 二阶圆锥面 49(四) 二阶点列 49
60. 二阶点列与二阶线束 49
62. 切线 50
63. 轨迹生成问题的陈述 50
64. 基本问题的解决 51
65. 图形的不同构作法 52
66. 将轨迹上四点连到第五点的直线52
67. 定理的另一种陈述形式 53
68. 更为重要的定理 54
69. Pascal定理 54
70. Pascal定理中点的名称的替换54
71. 在一个二阶点列上的调和点56
72. 轨迹的确定 56
73. 作为二阶点列的圆和圆锥线56
74. 通过五点的圆锥曲线 57
75. 圆锥线的切线 58
76. 内接四边形 59
77. 内接的三角形 60
78. 退化圆锥线 61
(五)二阶线束 63
79. 已定义的二阶射线束 63
80. 圆的切线 63
81. 圆锥曲线的切线 65
82. 系统的生成点列线 65
83. 线束的确定 65
84. Brianchon定理 67
85. Brianchon定理中线的替换68
86. 用Brianchon定理构造线束68
87. 与一圆锥曲线相切的点 68
88. 外切四边形 69
89. 外切三边形 70
90. Brianchon定理的应用 70
91. 调和切线 71
92. 可射影性和可透视性 71
93. 退化情况 72
94. 对偶律 72
(六) 极点和极线 75
95. 关于圆的极点和极线 75
96. 圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹77
97. 更多的性质 78
98. 极点极线的定义 78
99. 极点与极线的基本定理 78 100. 共轭点与共轭直线 79102. 自配极三角形 79
103. 射影相关的极点与极线 80 104. 对偶性 81
105. 自对偶定理 81
106. 其他对应关系 82
(七) 圆锥曲线的度量性质 83 107. 直径与中心 83
108. 相关的几个定理 83
109. 共轭直径 84
110. 圆锥曲线的分类 84
111. 渐近线 84
112. 有关的几个定理 85
113. 关于渐近线的定理 85 115. 由双曲线及其渐近线切割的弦86
116. 定理的应用 86
117. 由二条渐近线和一条切线形成的三角形 87
118. 用渐近线来表示一个双曲线的方程 88
119. 抛物线方程 88
120. 参引共轭直径的有心圆锥线的方程 91
(八) 对合(Involution) 95
12 1. 基本定理 95
122. 线性作图法 96
123. 直线上点的对合的定义 97 124. 对合中的二重点 97
125. 有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理 99
126. 退化圆锥线 100
127. 通过四点并与一已知直线相切的圆锥线 100
128. 二重对应 100
129. Steiner的作图方法 101 130. Steiner作图法在重对应中的应用 102
131. 二阶点列中点的对合 103 132. 射线的对合 104
133. 二重射线 105
134. 通过一固定点与四线相切的圆锥线 105
135. 双重对应 105
136. 处于对合下的二阶射线束106
137. 有关对合二阶射线束的定理106
138. 由一圆锥曲线确定的射线的对合 106
139. 定理的陈述 106140. 定理的对偶 107
(九) 对合的度量性质 109 141. 无穷远点的引入; 对合的中心109
142. 基本度量定理 109
143. 二重点的存在 110
144. 二重射线的存在 112
145. 通过圆来构筑对合 112 146. 圆点 113
147. 对合中的正交射线对, 圆对合114
148. 圆锥线的轴 114
149. 由一圆锥线确定的对合的点是圆点 115
150. 圆点的性质 115
151. 圆点的位置 116
152. 寻找圆锥曲线的焦点 117 153. 圆和抛物线 117
154. 圆锥线焦点性质 118
155. 抛物线的情况 119
156. 抛物面反射镜 119
157. 准线．主轴．顶点 119 158. 圆锥线的另一种定义 120 159. 离心率 120
160. 焦距之和与差 121
(十) 综合射影几何的历史 123 161. 早期成果 123
162. 统一性原理 124
163. Desargues 124
164. 极点与极线 125
165. 通过4点的二阶曲线的Desargues 定理 125
166. 推广到空间的极点与极线理论126
167. 描述圆锥曲线的Desargues方法126
168. Desargues 工作的被接纳127
169. Desargues时代的保守性127
170. Desargues的写作风格 128 171. Desargues工作缺乏欣赏129
172. Pascal与他的定理 129 173. Pascal的短评 130
174. Pascal的独创性 130175. De La Hire和他的工作 131 176. Descartes和他的影响 132 177. Newton和Maclaurin 133 178. Maclaurin的证法 133 179. 画法几何与综合几何的二次复兴 134
180. 对偶性, 同调性, 连续性, 偶然性联系 135
181. Poncelet和Cauchy 135 182. Poncelet的工作 136
183. 解析几何妥欠综合几何的债137
184. Steiner和他的工作 137 185. Von Staudt和他的工作 138 186. 近期的发展 139
附录 140
参考文献148
索引 151
第1章 1-1对应
1. 1-1 对应的定义
【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，
这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应（One-to-One Correspondence）。
这里，1-1对应是定义两个集合之间的一种关系，而不是它们元素之间的关系，但要确定两个集合是否有这种关系，需要考察它们的元素之间是否能够建立一个具体的1-1对应。
【例】试问由三个数字组成的集合{1,2,3},和由三个字母组成的集合{A,B,C}之间是否1-1对应
【答】我们在这两个集合的元素之间建立下面这样的对应： 1 <-> A ， 2 <-> B ， 3 <-> C
这里符号<->表示其左右两边元素为对应。这样，两个集合中的每一个元素，都对应到了另一集合中的一个且仅一个元素。所以集合{1,2,3}与集合{A,B,C}为 1-1 对应。显然，包含两个数字的集合{1,2}或包含四个数字的集合{1,2,3,4}就不能与包含三个字母的集合{A,B,C}建立 1-1 对应。集合1-1对应的概念非常简单，但也非常重要，它在科研、生产或在日常生活中都频繁使用。例如，我们通常进行的计数过程就是将被计数对象与数字'1'、'2'、'3'…之间在心中建立1-1对应；在人类尚未进入文明时代、尚未发明数字之前，也已利用他们的手指与被计数对象（如每天的掠物）建立1-1对应。科学家们的神圣工作是对自然界各种事物进行命名与分类，本质上就是将这些事物及其属性与适当的word（单字）建立1-1对应。这种过程虽然不像计数那样简单，需要反复，需要修正和深化，不可能一次完成，但在本质上，每一步无非就是对事物及其属性进行记录，并用一些word与它们建立1-1对应。这些word开始只是少数人的专用语言，随着科学不断普及，这些专业术语也就逐步演变成人们的日常用语。如果你仔细分析语言的各种成分，你将发现，人类语言的全部概念实际都是利用1-1对应这种简单想法(idea)生成的。
2. 1-1 对应的进一步的意义和性质
集合的1-1对应是定义在两个集合上的两个互逆的1-1变换所联合组合。如集合｛1,2,3｝与集合｛A,B,C｝的 1-1 对应
1 <-> A ，
2 <-> B ，
3 <-> C
就是下列两个1-1变换的组合：
ｆ：（ 1 -> A ， 2 -> B ， 3 -> C ）
ｇ：（ 1 <- A ， 2 <- B ， 3 <- C ）
其中f是｛1,2,3｝到｛A,B,C｝的变换，g是｛A,B,C｝到｛1,2,3｝的变换，且ｇ与ｆ互逆。如果将二个变换改为
ｆ：（ 1 -> A ， 2 -> B ， 3 -> C ）
ｇ：（ 2 <- A ， 1 <- B ， 3 <- C ）
则尽管ｆ和ｇ都是 1-1变换，使一个元素变到一个元素，但ｇ与ｆ不是互逆的两个变换，它们合在一起就不构成（同）一个1-1对应。
1-1对应关系具有对称性和传递性。即：如果集合A与B为1-1对应，则B与A也1-1对应；如果集合A与B为1-1对应，且集合B与集合C也1-1对应，则集合A与C也1-1对应。
1-1对应规定的仅仅是元素的对应方式，不允许１个元素对应到多个元素，也不允许某个元素不与另一集合中的任何元素对应。但除此以外不再附加任何条件。
我们不要求一个集合中的某个元素必须与另一集合中某个固定元素进行对应。只要满足1-1 关系，无论什么元素都可以与它对应。如前节例子中的数
字集｛1,2,3｝与字母集｛A,B,C｝之间，下列６种对应方式都是合格的1-1对应：
（1） 1 <-> A ， 2 <-> B ， 3 <-> C
（2） 1 <-> A ， 2 <-> C ， 3 <-> B
（3） 1 <-> B ， 2 <-> A ， 3 <-> C
（4） 1 <-> B ， 2 <-> C ， 3 <-> A
（5） 1 <-> C ， 2 <-> A ， 3 <-> B
（6） 1 <-> C ， 2 <-> B ， 3 <-> A
可以看出， A,B,C 三元素的任何一种排列，都可与 1,2,3 对应。这 6 种不同的 1-1 对应可用以下6张关系表来表示：
每个表的左边列出了集合{1,2,3}的元素，上边列出集合{A,B,C}的元素，中间的每个格子代表对应行和列的元素是否有对应关系，T代表有对应关系，否则代表没有对应关系。可以看出，每一行每一列都只有一个格子为T，这表示两个集合元素之间的对应为1-1的。六个表代表六种不同的1-1对应方式。如果两个集合都有n个元素，就有n！种不同的1-1对应方式。
其次，建立对应的两个集合完全任意。它们可以有相同类型元素，如{1,2,3}与{4,5,6}对应；或完全相同的元素，如{1,2,3}与{1,2,3}本身对应（这样的2个集合间仍有6种可行的对应方式）；或不同类型的元素，如前所述的{1,2,3}与{A,B,C}之间的对应。如果一个牧童用绳子把５头羊分别牵在５棵树上，就是让{羊}和{树}建立 1-1 对应；学生上课时，50名学生走进一间有50
个座位的教室，找到空位就坐下，就是在{班级学生}和{教室座位}2个集合之间自动建立一个1-1对应；物理学家经常把各种客观事物的变化规律与他们主观想象出来的公式混为一谈，就是在{客观规律}和{错误公式}两个集合之间建立1-1对应。
本书考察的对应主要是点、线、面等几何元素组成的集合之间的对应，有时也考察其他对应，包括几何元素与数的对应、几何元素与字母的对应，等。
3. 1-1对应在数学中的应用
在数学中，人们努力从事的工作，常常就是在简单概念和复杂概念之间建立1-1对应，或者是在已探索过的领域和正在探索中的未知领域寻找1-1对应。例如，利用平面几何中点和直线的性质或关系，到空间几何中去寻找点、线、面对应的性质和关系；利用中心、焦点、切线、渐近线等点和直线的性质来研究二阶曲线的性质。解析几何是利用简单的代数方法来研究几何，而进入大学的高等代数中又反过来利用低维的几何直观来研究任意维的线性空间。在我们学习射影几何时，也要利用我们已学过的各门数学知识，其中最重要的是平面几何的知识。
4. 无穷集之间的1-1对应
两个集合，如果它们相互1-1对应，我们通常就称这两个集合包含了相同数目的元素；如果一个集合的一部分与另一个集合1-1对应，那么前一集合的元素数目比后一集合的元素数目为大。但这些结论仅适用于有限集，如果为无穷集，结论就常常不是这样了。下面我们来看几个例子。
［例1］2,4,6,8,10,．．．等偶数仅仅是自然数的一半，但偶数集｛2,4,6,8,10,．．．｝与自然数集｛1,2,3,4,5, ．．．｝是相互之间能够建立1-1对应的两个集合。
【证明】我们为这两个集合的元素建立下面的对应：
自然数：1，２，３，４，．．．
偶数：2，４，６，８，．．．
在这种对应下，每个偶数2n都能找到一个自然数n与其对应，而且反之，每个自然数n也都能找到一个偶数2n与其对应。可见，偶数虽为自然数的一半，但仍与自然数1-1对应。
［例2］自然数集合： N = {1, 2, 3, 4, 5,…} 与自然数对(i,j)，i,j=1,2,3,... 的集合：N2= {(1,1),(1,2),(1,3),…,(2,1),(2,2),(2,3),…,(3,1),(3,2),(3,3),…} 为1-1对应的集合。
【证明】我们可以根据数对(i,j)的两个分量i,j的大小，将所有数对排成一个无穷方阵。规定数对(i,j)放在方阵第i行j列。这样每个数对(i,j)就有一个且仅有一个方阵格点与其对应，而所有数对就与方阵所有格点建立了1-1对应。然后，再按下表所示方式将无穷多个方阵格点与无穷多个自然数建立对应：
1267↗↙.
358↗↙..
4913↙...
1012↙↗...
11↙↗....
↙↗.....
↗......
按这种对角线次序的排列方法，平面方阵的任意一个格点（i,j）都会有唯一的一个自然数ｎ(i,j)与其对应，而且反过来，每一个自然数n也一定能找到一个格点（i(n),j(n)）与此自然数对应。所以，利用这种方法方式，平面正整数格点全体，因而也是数对(i,j)全体，与自然数全体建立了1-1对应。
读者不妨思考一下，与自然数n=100对应的格点（i,j）的分量i,j 是多少反过来，格点（10,10）对应的自然数 n又是多少如果有条件且又有兴趣的话，还可在计算机上编个小程序来计算自然数ｎ与数对（i,j）之间的对应关系，无论用Ｃ用Delphi或者别的语言都行。
【例3】１英寸线段上所有点与2英寸线段上所有的点为两个1-1对应的集合，
【证明】如图4-1所示。其中AB和A'B' 分别是有2英寸和1英寸长的两条线段，C是AB上的任意一点。为寻找A'B' 上与C对应的点，我们连AA'和BB'，并延长交于S。再作S与C的连线交A'B' 于C'，则C'就是A'B' 上与C对应的点。反之，对A'B' 上任意C'，同样可找出AB上的对应点C。
图4-1 １英寸与2英寸长线段点的1-1对应
【例4】对于无穷长直线AB上的任意一点，都能在1英寸长的线段A'B' 上找到两个点与它对应。
【证明】我们作一个半径为2π分之一英寸的圆，则其周长为1英寸，也就是线段A'B' 的长。因此，可以把这个圆看成就是由线段A'B' 围成的圆，如图4-2所示。
[注意，为了使标写的文字清晰，我们在图中把圆画大了一些，但所画圆的尺寸大小，不影响下面的证明。]
现设此圆的圆心为S。我们从直线AB上的任意点C作直线与S相连，此直线与圆的下半段圆弧交于C'，与上半段圆弧交于C''。则C'与C''就是与C 对应的两点，由此得证。
图4-2 １英寸圆周与无穷长直线点的对应
反过来，对于圆上任意两个对称点C'与C''是否也能在直线AB上找到对应的一点呢显然，这里有一个例外，就是当C'与C''的连线C'C''平行于AB 时，在AB上就找不到对应点了，因为这时的连线C'C''与AB不相交。
此例说明了一个似乎不可思议的事情：1英寸线段A'B'上的点比无穷长直线AB 上的点的两倍还要多出两个点。
【例5】无穷直线上的点的集合与无穷平面上点的集合可以建立1-1对应。
【证明】我们需要用以下三步来证明整个结论：
（１）无穷直线与单位直线（0,1）中点可以建立1-1对应；
（２）单位直线（0,1）与单位平面（0,1）×（0,1）中点可以建立1-1对应；
（３）单位平面（0,1）×（0,1）与无穷平面的点可以建立1-1对应。
然后，根据1-1对应关系的传递性，就证明了无穷直线上的点与无穷平面上点也可以建立1-1对应。
其中（1）是明显的，我们只证（2）和（3）。先证（2）。
因(0,1)中点是小于１的数d，可以用一个无穷小数
d=…
来表示，如果d原来为有穷小数，改为等价的无穷循环小数（如改为…），这样，（0,1）间的每一个数都有一个且仅有一个实数与它对应；现令
x = a3 a5 a7…, y = a4 a6 a8…
也就是说，用d的奇数位小数作为x的小数，d的偶数位小数作为y小数，那么，对任意一个直线点d，就有一个对应的平面点P（x,y）。且反之，有一个平面点P（x,y），其中
x = a2 a3 a4…, y = b2 b3 b4…
那么也有唯一的直线点
d = b1 a2 b2 a …
与它对应。因此，单位平面点P（x,y）就和单位直线点d建立了1-1对应。这样就证明了(2)。
再来证(3)。将单位平面的垂直边v(0,1)与全平面x轴(-∞,+∞)对应，水平边u(0,1)与全平面y轴(-∞,+∞)对应。这样单位平面内的点 (u,v)就可与整个平面中的点(x,y)建立对应。单位平面垂直边与x轴的对应如下图所示。将单位平面的垂直边作纵轴v，S是纵轴顶部左边任取的点，S ‘是纵轴底部右边任取的点。
图4-3 使区间(0,1)中点与直线(-∞,+∞)中的点建立1-1对应
垂线（0,1）被x轴分成上下两段，上段以S为中心与+ｘ轴对应；下段以S'为中心与-ｘ轴对应；中点与x=0点对应。这样，整个x轴上的点就和（0,1）中的点建立了对应。
类似地，单位平面水平边可与ｙ轴对应。利用这两个分量的对应即实现单位平面与整个平面的点的对应。从而证明了(3)。
要特别注意，直线与平面上这种点的对应方式不具备连续性。两个邻近的直线点对应到平面后位置可以不邻近，且反之也一样。而本书后面将要考察的对应都要求有连续性，即其中任一集合的一个元素趋向另一元素时，另一集合的两个对应元素也必须充分接近。除非其中的点为无穷远点才有例外。
从上面各节的论述可以看出，1-1对应概念是比枚举（即计数）概念更为广泛的一种概念。直线上的点我们无法一个一个地进行枚举，我们无法列出一个点的下一个点，但我们仍然可以考察这类集合之间的1-1对应。
在集合论中，两个1-1对应的集称等势（power）集。由上可知，当集合为有限时，等势集就意味元素数目相同。但集合为无穷时，等势集并不意味包含的元素数目严格相同。我们自然会问，是否所有无穷集都等势答案为否定，能够证明直线点集就比自然数集势要大，它们元素不能建立1-1对应（证略）。凡和自然数1-1对应的集叫可列集（可数集、可枚举集），它们的势叫可列势。凡和直线点集1-1对应的集叫连续集，它们的势叫连续势。集合论中已证明比连续集更大的集也存在。
5. 部分和整体的1-1对应，无穷集的定义
从上节讨论的几个例子中我们都能看出一个非常重要的事实，即无穷集都可以与它的一个真子集（从原集合中排除一些元素之后的集合）建立1-1对应。这种情况对于有限集是无法想象也根本不可能发生的。无穷集之所以会有这一特点，根本原因就在于无穷集的一部分仍可能是无穷，因而元素的“数目”并不减少。因此，可以利用无穷集的这一特征作为无穷集的一种定义：【定义】能与自己的真子集1-1对应的集称为无穷集。
这一定义是一个正面定义，它与通常的，把无穷集说成是“无法枚举的集合”或“无法枚举完成的集合”等消极定义相比，更容易用实践检验，因而也是更为合理的定义。
6. 无穷远点
前面§4的例２中，我们证明了两个不同长度的线段上的点的全体可以建立1-1对应，同节的例４则证明一寸长线段上可以找到两倍于无限长直线上的点。这些例子都是有关点集与点集间建立1-1对应的例子。
现在我们要为点和线两种不同元素的集合建立对应。我们为无穷直线上的点，与通过一个已知点的所有直线建立1-1对应，如图6-1所示。AB为所指直线，两端可以无限延伸，C是无穷直线AB上任意一点，S是给定的已知点。
通过C和S作直线SC，则此直线c＝SC就是与C对应的直线。反之，对于通过S的任意直线c，只要c不与AB平行，那么c延长后总能与AB交于一点C，所以交点C就是与直线c的对应点。但若过S 的直线与AB平行，如图中虚线m，则根据Euclid假设，m无论怎样延长都不与AB相交。所以，AB上找不到任何点与此特殊直线m对应。
图 6-1 直线点C与通过点S的直线c对应
* 射影相关基本形元素之间的1-1对应有连续性。即，如将其中任一基本形的两个元素充分接近，则另一基本形二个对应元素也充分接近。这和§4介绍的直线点与平面点之间的1-1对应不同。另外，当两个基本形为点列时，这种连续性还应服从于无穷远点这一例外。
为了弥补这一缺陷，使无穷直线AB上所有点都能与通过S的所有直线1-1对应，在射影几何中通常假设，在直线AB的无穷远处存在一个点，并规定这个点就是 AB与包括m在内的所有平行线的共同交点。在这样理解下，与直线m对应的AB上的点就是那个无穷远处的点。这样，无穷直线上所有点都能与通过S 的所有直线 1-1对应了。
再回过头来考察§4例４中有关一英寸线段A'B'与无穷长直线AB的对应关系。我们已证明：对于无穷长直线AB上的任一点C，我们都能在周长与A'B'相等的圆上找到C'和C'' 两点与它对应。但反过来s通过圆心的直线L 与圆的一对交点C'和C''只有在L不与AB平行时，才能在AB找到这样的点，如果L与直线AB平行，则L与圆的交点C'和C'' 就在AB上找不到对应点C 了。这种特殊情况也和上面相似，只要假设AB无穷远处存在一个点，它是AB 以及与它平行的所有直线的共同交点，那么对于圆周上那两个特殊点C'和C''也能在AB上找到对应的一点了。由此我们圆满地证明了1英寸线段上的点，可以与无穷长直线AB上点的两倍建立1-1对应。
上述这种规定在研究射影几何时极重要，为此使用几个专业术语来称呼它们：把位于直线无穷远处的点叫无穷远点；原来意义下的直线加上无穷远点后特称扩充直线；扩充直线l上所有的点称为以l为底（base）的一个点列（point-row）。通过一点S的所有直线称以S为中心的一个（射）线束（pencil of rays）。点列和线束的这种对应称为透视对应，或称它们透视相关、它们处于透视位置（perspective position），简称它们相互透视。
7. 轴束，基本形
用同样的方法，我们可以为一无穷直线上所有的点，与通过不和以上直线相交的另一直线的所有平面建立1-1对应。所有平面通过的共同直线称为轴（axial），而这些平面的全体就叫一个平面束，简称面束或轴束（axial pencil）。如图7-1所示。
图7-1 以直线a为轴的平面束（轴束）
点列、线束和面束都是射影几何研究的基本结构（structure），常称它们为基本形（fundamental forms）。它们互相之间能建立1-1对应的事实，常用它们为同阶（same order）的这一术语来表达，并说它们都是一阶（first order）的。本书后面的讨论将会看到，还可以构造别的无穷集也能与点列建立1-1对应，但也有一些无穷集则不能与点列建立1-1对应，后者理所当然地将被称作为二阶或高阶无穷集。
8. 三种基本形的六种透视对应
我们在§6中已介绍点列与线束之间的透视对应，§７介绍点列与面束（轴束）之间的透视对应。透视对应关系可以在不同或相同的任意两种基本形之间建立，对于点列、线束和轴束三种基本形而言，共有6种透视对应关系：
1）点列与线束间的透视对应：前已讲过，是指线束中的每一条射线对应于点列中对应点的情况。这时线束中各射线的公共交点P称为透视中心，参见图8-1。
2）线束与线束间的透视对应：这是指两个线束对应的射线都相交于同一条直线ｕ。这条所有交点的共同直线称为透视轴（axis of perspectivity）, 参见图8-2。
3）点列与点列间的透视对应：这是指点列u1和u2所有对应点都位于通过某一固定点P的直线上。这些直线组成一个线束，点P是线束中心，同时也是透视中心, 参见图8-3。
图中u为点列，P为线束，π为轴束，a 为直线，π为平面
4）点列与轴束间的透视对应：这是指轴束中的每个平面都通过与它对应的点列的点。这时，轴束的轴a同时也是透视轴，参见图8-4。
5）线束与轴束间的透视对应：这是指线束的每根射线都位于与它对应的轴束平面上。这时线束的中心P位于轴束的轴a上，轴束的轴a称为透视轴，参见图8-5。
6）轴束与轴束间的透视对应：这是指两个轴束中对应平面的交线都位于同一平面上。这些交线的共同平面称为透视平面，参见图8-6。
这里需要补充说明一些事情。我们在定义线束互为透视的图8-2中，两个线束的中心P1与P2都画在点列u的上方，但这不是必要的，如果它们位于不同侧，我们仍然称它们相互透视。类似地，在图8-3中，两个点列u1和u2都画在透视中心P的下方也非必要，如果它们分别位于中心的不同侧，我们仍然称它们互为透视。最后，在图8-6中，若把两个轴束π1和π2都画在透视平面π的同一侧，我们仍然称它们互为透视。在今后的许多定理的证明中，为避免繁琐，往往仅就一种图形进行证明，但其证明不失一般性，对其他一种情况也将成立。
9. 射影对应关系
不难想象，两个点列，除了透视对应外，还可以有更一般的对应关系。确实如此。我们来看个例子，考察图9-1。
南京师范大学 毕业设计（论文） （2009 届） 题目：漫谈射影几何的几种子几何及其关系 学院：数学科学学院 专业：数学与应用数学 姓名：刘峰 学号：0 6 0 5 0 2 1 0 指导教师：杨明升 南京师范大学教务处制
漫谈射影几何的几种子几何及其关系 刘峰 数学与应用数学（师范）06050210 一．摘要 射影几何学是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质. 射影几何集中表现了投影和截影的思想,论述了同一射影下，一个物体的不同截景所形成的几何图形的共同性质，以及同一物体在不同射影下的几何图形的共同性质，一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何联系起来. 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学. 这门”诞生于艺术的科学”,今天成了最美的数学分支之一. 二．关键词 射影几何，摄影仿射几何，摄影欧氏几何，仿射几何，欧氏几何，射影变换，仿射变换，正交变换，射影变换群，仿射变换群，正交变换群，克莱因变换群. 三．射影几何（projective geometry）的发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前. 这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件. 这门几何学就是射影几何学. 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影. 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形. 那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来. 在这个过程中，被描绘下来
利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。 平行投影 平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。 例1 P 是ABC ?内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。求证： 1=++CF PF BE PE AD PD . [2] C 图1 证明：如图1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影。P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得， DC DP BD D P AD PD '''==，所以BC P P AD PD ' ''= ， 同理 BC C P BE PE ''=，BC BP CF PF ' = ， 所以 1''''''=++=++BC BP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。（梅涅劳斯定理 ）[3] 分析：如图2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=??NB AN MA CM LC BL 。其逆命题亦成立 。 N B A L'(L) A'C B A M M N A' L C 图2 （1）证明梅涅劳斯定理成立 由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。
如图2(a)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则 1''-=??=??LB L A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立。 （2）证明逆命题成立 证明当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=??NB AN MA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线。 设直线MN 交BC 于L '，如图2(b) ,由已知条件知，1''-=??NB AN MA CM C L BL ， 所以L '与L 重合，故L 、M 、N 三点共线。 三角形仿射等价性 因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形。因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立。而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多。 例3 在ABC ?的中线AD 上任取一点P ，连接BP 、CP ，并延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ，求证：EF ∥BC . [4] D 'C ' D B B' 图3 证明：如图3，作仿射变换T ，使得ABC ?对应正C B A '''?，由仿射性质可知，点D 、P 、 E 、 F 相应地对应D '、P '、E '、F '，且D A ''为正C B A '''?的中线。 在正C B A '''?中D A ''也是C B ''边上的高，且B '、P '、E '与C '、P '、F '关于D A ''对称，E '、F '到C B ''的距离相等，则F E ''∥C B ''， 由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC ?中EF ∥BC . 例4 证明G 为ABC ?重心的充要条件是：BGC AGC AGB S S S ???==.[4]
浅谈解析几何的学习方法 ????高中数学中的解析几何内容学生之所以会觉得难是因为对几个常用公式、定理的含义并没有真正弄清楚，实际上如果能花时间把每个公式的推导过程研究一遍消化掉，那么学好它将不是什么疑难问题了。 ????我们知道，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”——我国着名数学家华罗庚。 ????作为学习解析几何的开始，我们引入了我国着名的数学家华罗庚的一句话，他告诉了我们“数”和“形”各自的特点和不足，从而强调了数形结合的重要性，尤其是在解析几何的学习过程中，我们始终都要注意运用数形结合的思想和方法。 ????当然，学习这一部分内容，只是了解这种思想也是不够的为此，就为大家介绍一下学习解析几何的方法和需要注意的几点。 一、夯实基础 1、正确理解定义 ??? 有些同学可能现在就会去翻书，去查定义，会说，回答这些问题还不容易嘛，我背一下不就可以了吗。可是，我要告诉大家——定义不是用来背的。????可能大家还没有理解这句话的意思，定义不是要你去死记硬背，而是要你去自己理解，去自己总结。
????教材上引入椭圆定义的时候花费了很大的篇幅，可它的本质是什么？与双曲线的定义又有怎样的相同点、不同点？椭圆、双曲线和抛物线这三个重要的圆锥曲线的统一定义我们又该如何去理解？这些，只有靠你自己总结出来，才能真正成为你自己的东西，在做题的时候，你才能应用自如。看一遍书上的定义，合上课本，想一想，如果让你来描述，你会怎么说。当你能够给别人将这些定义解释清楚的时候，你就已经很好的理解了这些定义，做题时，你就不会因为忽略了定义中隐含的条件而一筹莫展了。 2、比一比，学会总结 ????这一章我们介绍了三种圆锥曲线，它们有很多的相似之处，当然也有很多的不同，它们之间也有着千丝万缕的联系。学习完之后，自己比较一下，它们的定义、性质都有什么异同，哪些量是它们共有的，哪些量是某个圆锥曲线所特有的。当你比较完之后，再回过头来看这一章，你会发现，原来这一章的内容竟然如此的简单和清晰。 ????记住，一定要自己去总结哦！！别人给你的东西永远都是别人的，不是你自己的，只有自己总结过，才能清晰的把握问题的重点。 二、“数”与“形”要紧密联系 ????我们掌握了圆锥曲线的基础之后，就好比为我们的大厦打下了一个坚实的基础，现在，我们就可以正式建造我们的摩天大楼了！ 1、让“数”直观
射影几何的诞生与发展 一从透视学到射影几何 1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题： （1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？ （2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？ 2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。 3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。 4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。 5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线 6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。 7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点： 1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状 2）变换与变换不变性 3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量 二射影几何的繁荣 1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到
大学解析几何
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 空间解析几何 基本知识 一、向量 1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量 12212121(,,)M M x x y y z z =---u u u u u u r 2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→ （2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→ （3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→→?b a （1）><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平 面的夹角。 4、向量的外积→→?b a （遵循右手原则，且→→→⊥?a b a 、→→→⊥?b b a ） 321321 b b b a a a k j i b a → →→→→=?
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 5、（1）332211//b a b a b a b a b a ==? =?→→→→λ （2）00332211=++?=??⊥→→→→b a b a b a b a b a 二、平面 1、平面的点法式方程 已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→ ，则平面方程为 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 注意：法向量为),,(C B A n =→ 垂直于平面 2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→ 3、（1）平面过原点)0,0,0(? 0=++Cz By Ax （2）平面与x 轴平行（与yoz 面垂直）?法向量→n 垂直于x 轴 0=++?D Cz By （如果0=D ，则平面过x 轴） 平面与y 轴平行（与xoz 面垂直）?法向量→ n 垂直于y 轴0=++?D Cz Ax （如果0=D ，则平面过y 轴） 平面与z 轴平行（与xoy 面垂直）?法向量→ n 垂直于z 轴 0=++?D By Ax （如果0=D ，则平面过z 轴） （3）平面与xoy 面平行?法向量→ n 垂直于xoy 面0=+?D Cz
圆锥曲线与射影几何 射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理与结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。 例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线12 2=-y x 的左支上，A D ≠,直线 CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直 线2 1= x 上。 如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。 我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据与特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成： 有一点 A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于 B , C , D , E 。连 BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。 又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连 BE ，CD 交于点Q ，连PQ ，先证明：直线PQ 是A 点的极线。 D
证明： 对 C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得： DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线, 同理P ，Q ，N 三点共线 所以 P ，Q ，M ，N 四点共线。 又因为 BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A 的极线，即 PQ 是A 的极线。 回到原图，由极线的定义与性质得 PQ OA ，且FAGH 为调与点列。
一、直线与方程基础： 1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈ 2 、直线的斜率k ： 21 21 tan y y k x x α-== -； 注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。 3、直线方程的五种形式： ①点斜式：00()y y k x x -=-； ②斜截式：y kx b =+； ③一般式：0Ax By C ++=； ④截距式：1x y a b +=； ⑤两点式： 121 121 y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。 4、两直线平行与垂直的充要条件： 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=， 1l ∥2l 1221 1221 A B A B C B C B =???≠?； 1212120l l A A B B ⊥?+= . 5、相关公式： ①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，
MN = ②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则线段MN 的中点1122 ( ,)22 x y x y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=， 则点P 到直线l 的距离d = ； ④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l 之间的距离d = ⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为 θ，(0,)(,)22 ππ θπ∈U ，则2112 tan 1k k k k θ-=+? .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础： 1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=； 确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ； 2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（22 40D E F +->）； 3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 点00(,)P x y 在圆内? 22200()()x a y b r -+-<； 点00(,)P x y 在圆上? 22200()()x a y b r -+-=； 点00(,)P x y 在圆外? 222 00()()x a y b r -+->； 4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 从几何角度看： 令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ， 相离?d r >；
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。 德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计 划书》中提出用变换群对几何学进行分类 在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。 由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。 射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。 在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
浅析射影几何及其应用 湖北省黄冈中学 一、概述 射影几何是欧几里得几何学的一个重要分支，研究的是在射影变换中图形所具有的性质。在高等数学中，射影几何的定义是根据克莱因的变换群理论与奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（1970-1868）的齐次坐标理论，这一部分已经涉及了群论和解析几何，但是这两位数学家对于射影几何的发展作出的巨大贡献是令人钦佩的。在本次综合性学习中小组成员对于射影几何的纯几何内容进行了探究，对以下专题进行了研究： 1、射影几何的基本概念及交比不变性 2、笛沙格定理（早期射影几何中最重要的定理之一） 3、对偶原理 4、二次曲线在射影几何上的应用 5、布列安桑定理和帕斯卡定理 6、二次曲线蝴蝶定理
二、研究过程 1、射影几何的基本概念及交比不变性 射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点，但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。 射影几何所研究的对象是图形的位置关系，和在射影变换下图形的性质。射影，顾名思义，就是在光源（可以是平行光源或者是点光源），图形保持的性质。在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。此外，射影几何最重要的概念之一——交比也不会发生改变。 在中学的几何中，我们认为两条平行的直线是不相交的。但是在射影几何中，我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。一条直线有且只有一个无穷远点，平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理： 1、过两点有且只有一条直线 2、两条直线有且只有一个交点 这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。这两条公
《空间解析几何》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：空间解析几何 英文名称：Analytic geometry 课程编号：2411207 开课专业：数学与应用数学 开课学期：第1学期 学分/周学时：3/3 课程类型：专业基础课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 本课程是数学与应用数学及信息与计算机科学专业的一门专业基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识及研究方法。空间解析几何是用代数的方法研究几何图形的一门学科，是从初等数学进入高等数学的转折点，是沟通几何形式与数学关系的一座桥梁。 3．本课程的教学目的和任务 通过本课程的学习，学生在掌握解析几何的基本概念的基础上，树立起空间观念。使学生受到几何直观及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养空间想象能力以及运用向量法与坐标法计算几何问题和证明几何问题的能力，并且能用解析方法研究几何问题和对解析表达式给予几何解释，为进一步学习其它课程打下基础；另一方面加深对中学几何理论与方法的理解，从而获得在比较高的观点下处理几何问题的能力，借助解析几何所具有的较强的直观效果提高学生认识事物的能力。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求
本课程的教学，要求学生熟练掌握用代数的方法在空间直角坐标系下，研究平面、空间直线、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面等几何图形的性质，能对坐标化方法运用自如，从而达到数与形的统一。了解二次曲线的一般理论和二次曲面的一般理论。以培养学生掌握解析几何的基础知识为主，着力培养学生运用解析几何的思想和方法解决实际问题的能力，以及娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，为后续课程的学习打下良好的基础。 5．教学时数及课时分配 二教材及主要参考书 1.李养成，《空间解析几何》，科学出版社。 2.吴光磊、田畴编，《解析几何简明教程》，高等教育出版社。 3.丘维声，《解析几何》，北京大学出版社。 4.南开大学《空间解析几何引论》编写组编，《空间解析几何引论》，高教出版社。 5.吕林根许子道等编《解析几何》（第三版）,高等教育出版社出版 三教学方法和教学手段说明 1．启发式教学，课堂教学与课后练习相结合。 2．可考虑运用多媒体教学软件辅助教学。
射影几何学 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。 发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。 射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。
笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。 帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。 不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。 射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。 1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。 另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐
《空间解析几何》教学指南 说明： 1．课程性质 空间解析几何是高等师范院校数学专业的一门重要基础课。是初等数学通向高等数学的桥梁。是高等数学的基石。线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识以及研究方法。空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。 2．教学目的 本课程的教学目的是培养学生的空间想象能力以及解决问题的能力，并为以后学习其他数学课程作准备，也为日后的中学几何教学打下良好的基础。 （1）对空间的直线和平面，对曲面特别是二次曲面有明晰的空间位置、形状的概念，对于坐标化方法能应用自如，从而达到数与形的统一； （2）能具备空间想象能力，娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，科学地处理中学数学的有关教学内容。 3．教学内容与学时安排： 第一章矢量与坐标 20学时 第二章轨迹与方程 6学时 第三章平面于空间直线 18学时 第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 20学时 第五章二次曲线的一般理论 22学时 第六章二次曲面的一般理论 4学时 4．课程教学重点与难点： 重点：基本概念；矢量计算；做图能力； 难点：一般二次曲线、曲面理论，知识的综合应用。 5．教学方法 本课程以课堂讲授为主，结合课堂提问课堂讨论进行教学，同时对适合的内容以多媒体辅助教学。 6. 课程考核方法与要求： 本课程考核以笔试为主，主要考核学生对基本理论、基本概念、运算技巧的掌握程度，以及学生综合应用知识的能力。 内容： 第一章矢量与坐标（20学时） 1. 主要内容 （1）矢量概念单位矢量零矢量相等矢量反矢量共线矢量共面矢量。 （2）矢量的加法及其运算法则。 （3）数量乘矢量及其运算法则。 （4）矢量的线形运算及矢量的分解。
前言 射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还 直接表现在对初等几何图形性质的研究中。由射影几何、仿射几何和欧氏几何 三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，因此可以 通过图形的仿射性质和射影性质，指导研究初等几何中的一些问题。完全四点 （线）形的调和性是射影几何的重要不变性，它在射影几何中占有重要地位， 不仅如此，它在初等几何中也有广泛应用。由于它跟初等几何课程有紧密的联 系，它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、 方法的多样起着重要作用，从而有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的 培养，所以我尽量从几何的概念出发，运用活生生的几何直观，作为简化思维 过程进行高度概括总结的武器。经验表明，学了射影几何之后，学生对几何的 学习兴趣提高了很多。所以紧密联系中学数学教学，是本论文的着重点之一。 1.完全四点(线)形的定义及性质 1.1 完全四点形的定义 定义1 平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形称为完全四点 形(完全四角形),记作完全四点形ABCD。 定义1′完全四点形含四点六线,每一点称为顶点,每一直线称为边,不过 同一顶点的两边称为对边,六边分为三对,每一对对边的交点称为对边点(对角 点),三个对边点构成的三角形称为对角三角形,如图1。 图1 图2 定义2:平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形。称为完全四线 形(完全四边形),记作完全四线形abcd。 定义2′:完全四线形abcd含四线六点,每一直线称为边,每一点称为顶点,不在
同一边上的两个顶点称为对顶,六个顶点分为三对,每一对对顶的连线称为对顶线(对角线),三条对顶线构成的三角形称为对角三角形,如图2。 1.2 完全四点(线)形的调和性质 定理1:设s、s′是完全四点形ABCD的一对对边,它们的交点是点X,若X与其它二对边点的连线是t、t′,则有 (ss′, tt′) =－1。 图3 证明：如图3，根据定理[1] 1.10，有 （AB，PZ）=（DC，PZ） 同理（DC，QZ）=（BA，PZ） ∴（AB，PZ）=（BA，PZ） 但是（BA， PZ）= 1 (,) AB PZ ∴2 (,) AB PZ=1 但（AB，PZ）≠1 因此（AB，PZ）=－1 由定理[2] 1.9，有 （AB，CD）=(ab,cd) (ss′,tt′)=－1. 推论1:在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点,其中两个点是对边点,另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点。 证明：如图3，根据定理[1] 1.10，有 （AB，PZ）=（DC，QZ） 同理（ML，YZ）=（DC，QZ），（DC，QZ）=（BA，PZ） ∴（AB，PZ）=（ML，YZ）=（BA，PZ）
《解析几何》教学大纲 课程名称：解析几何 课程编号：0640901 课程类别：学科基础课程 适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科） 总学时数： 54 学分： 3 一、课程性质和教学目标 1．课程性质：解析几何是数学与应用数学专业必修基础课程，解析几何、高等代数、数学分析是大学数学类专业的“前三高”基础课。本课程与高等几何(II)一起，构成高等几何课程。本课程以空间解析几何为其主体内容。在内容和方法上深化中学平面解析几何的知识，通过向量来建立坐标系，用代数的方法研究几何对象及几何对象之间的关系。 2．教学目标：在内容和方法上深化中学平面解析几何的知识，通过向量来建立坐标系，用代数的方法研究几何对象及几何对象之间的关系。通过学习，要求学生能够以向量及坐标系为工具建立几何对象的方程，能够利用代数的方法判定平面与平面，空间直线与空间直线及空间直线与平面的位置关系。能够利用平面直线及平面曲线建立柱面，锥面，旋转曲面与二次曲面的方程。 二、教学要求和教学内容 第一章向量与坐标（12学时） 【教学要求】 1．掌握向量的概念及向量的加法，减法，数量乘向量； 2．了解向量的线性关系与分解及向量在轴上的射影； 3．熟练掌握两个向量的数量积、向量积及三向量的混合积； 4．熟练掌握有关向量的运算公式与方法； 5．掌握用代数的方法研究几何对象及几何对象之间的关系，以向量及坐标系为工具建立几何对象的方程。 【教学内容】 讲授内容 第一节向量的概念 第二节向量的加法 第三节数量乘向量
第四节向量的线性关系与分解。 第五节标架与坐标 第六节向量在轴上的射影 第七节两向量的数量积 第八节两向量的向量积 第九节三向量的混合积 第二章轨迹与方程（4学时） 【教学要求】 1．了解以向量及坐标系为工具建立平面与空间曲线方程； 2．熟练掌握母线平行于坐标轴的柱面方程。 【教学内容】 ●讲授内容 第一节平面曲线与方程 第二节曲线与方程 第三节母线平行于坐标轴的柱面方程 第四节空间曲线方程 第三章平面与空间直线（12学时） 【教学要求】 1．掌握平面的各种方程形式； 2．熟练掌握利用代数的方法判定平面与点、平面与平面、空间两直线、空间直线与平面及空间直线与点的位置关系； 3．掌握利用平面束解决相关问题； 【教学内容】 ●讲授内容 第一节平面方程 第二节平面与点的相关位置 第三节两平面的相关位置 第四节空间直线方程 第五节直线与平面的相关位置 第六节空间两直线的相关位置 第七节空间直线与点的相关位置 第八节平面束
目录 7.1直线的倾斜角和斜率（1） (2) 7.1直线的倾斜角和斜率（2） (5) 7.2直线的方程（1） (7) 7.2直线的方程（2） (11) 7.2直线的方程（3） (14) 7.3两条直线的位置关系（1）——平行与垂直 (17) 7.3两条直线的位置关系（2）——夹角 (19) 7.3两条直线的位置关系（3）——交点 (21) 7.3两条直线的位置关系（4）―点到直线的距离公式 (23) 7.3两条直线的位置关系习题课 (26) 7.4简单的线型规划（1） (29) 7.4简单的线型规划（2） (32) 7.4简单的线型规划（3） (34) 7.5曲线和方程（1）曲线和方程 (36) 7.5曲线和方程（2） (38) 7.6圆的方程（1） (41) 7.6圆的方程（2） (45) 7.6圆的方程（3） (48) 8.1椭圆及其标准方程（1） (51) 8.1椭圆及其标准方程（2） (53) 8.1椭圆及其标准方程（3） (55) 8.2椭圆的几何性质（1） (57) 8.2椭圆的几何性质（2） (59) 8.2椭圆的几何性质（3） (61) 8.2椭圆的几何性质（4） (63) 8.3双曲线及其标准方程（1） (65) 8.3双曲线及其标准方程（2） (68) 8.4双曲线的几何性质（1） (71) 8.4双曲线的几何性质（2） (74) 8.4双曲线的几何性质（3） (76) 8.4直线与双曲线的位置关系（4） (78) 8.5抛物线及其标准方程（1） (81) 8.5抛物线及其标准方程（2） (83) 8.6抛物线的简单几何性质（1） (85) 8.6抛物线的简单几何性质（2） (87)
位置几何──射影几何学 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。 射影几何的发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样
就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。 射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家──笛沙格和帕斯卡。 笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。 帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影
高考数学2投影画与射影几何专题1 2020.03 1,通过椭圆22 143x y +=的焦点且垂直于x 轴的直线l 被该椭圆截得的弦长 等于（ ） A. 23 B. 3 C. 3 D. 6 2,抛物线过直线 0x y += 与圆 22 40x y y ++= 的交点，且关于y 轴对称， 则此抛物线的方程为 . 3,过点A （4，8）且与点B （1，2）距离为3的直线方程为 . 4,在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一 个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：.2 22b a c += 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN ，如果用321,,s s s 表示三个侧面面积，4s 表示截面面积，那么你类比得到的结论是 . 5,分别在已知两个平面内的两条直线的位置关系是（ ） A ．相交或异面 B ．平行或相交 C ．异面或平行 D ．非以上答案 6,点（4，0）关于直线54210x y ++=的对称点的坐标是（ ） A. （－6，8） B. （－8，6） C. （6，8） D. （－6，－8）
7,与定圆2222()()4()x a y b a b -+-=+及 2222 ()()4()x a y b a b +++=+都相切且半径为22a b +的圆有且仅有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 5 D. 8,已知定点 A （0，6）、B （0，3），点C 为x 轴正半轴上的点，当∠ACB 最大时，求点C 的坐标。 9,已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为4的正方形，⊥PD 平面ABCD ，且PD=6，M 、N 分别是PB 、AB 的中点。 （1）求证：CD MN ⊥ （2）求三棱锥P-DMN 的体积 （3）求二面角M-DN-C 的平面角的正切值 10,曲线 1xy x y +=+ 所围成图形的面积等于（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. π 11,平面直角坐标系有点)cos ,1(x P ，)1,(cos x Q ， ∈x [ 4, 4π π- ]； （1）求向量和OQ 的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ； （2）求θ的最值。 12,如图所示，在正方体AC 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且始终保持1BD AP ⊥，则动点P 的轨迹是 。
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 0引言 (2) 1 射影几何与中学几何的关系 (2) 1.1 射影学的对象 (2) 1.2 射影几何与中学几何的密切关系 (2) 1.2.1射影几何是中学几何部分内容的理论依据 (2) 1.2.2 居高临下，分析和把握中学几何 (3) 1.2.3 为中学几何获得命题 (4) 1.2.4 可用射影几何的方法去证明中学几何题 (4) 2 射影几何对中学的指导意义 (5) 2.1 仿射变化的应用 (5) 2.1.1 利用平行射影证明几何题 (5) 2.1.2 利用特殊仿射像证明几何问题 (6) 2.1.3 利用仿射变换保持的同素性,结合性,平行性及不变量证明 (7) 2.2 射影变换的应用 (8) 2.3 用直尺作图 (10) 3 有关某些实际问题 (12) 4 综合法与解析法 (12) 5结论 (13) 参考文献 (15) 致谢 (16)
射影几何在中学几何中的应用 摘要:射影几何是利用克莱因的变换群的观点定义几何学，在此观点下把欧氏几何看成是射影几何的子几何，它在中学几何中具有非常广泛的应用。本文通过仿射变换和射影变换理论在中学几何中的应用，阐明了射影几何和中学几何的关系，并利用射影几何的思想方法，解决中学几何中难以解决的问题，用射影几何画出中学几何图形，充分说明射影几何在中学几何中的应用。 关键词：射影几何中学几何仿射射影 Abstract:The projective geometry is the use of the transformation of the view of klein definition geometry, in this view the Euclidean geometry under as projective geometry son geometry, it has in middle school geometry is widely used. This article through the affine transformation and projective transformation theory in the application of middle school geometry, and expounds the projective geometry and middle school geometry relationship, and use the thinking method of projective geometry, solve the middle school geometry in difficult problem to solve, with projective geometry draw middle school geometry, full explanation projective geometry in middle school geometry of application. Key words: Projective geometry, Middle school geometry, Affine, Projection