高等几何 射影几何 练习题分析与答案
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1 一、选择题（共15分，每小题3分） 1、下列关于射影平面的论述正确的是 ――――――――――――――――― （ ）
A,无穷远直线视为普通的直线； B,所有直线都是封闭的； C,任意两直线必相交于一点； D,一条直线分射影平面为两部分。
2、下列到直线自身的射影对应属于双曲型对合的是 ―――――――――――（ ）
A, 21；B, 40； C, 21 D, 230； 3、下列哪个几何性质或图形不属于仿射几何的研究范围――――――――――（ ）
A, 平行四边形； B,简比； C, 三角形的垂心； D,接合性； 4、二次曲线2212121323320xxxxxxxx在射影观点下的基本类型是――（ ）
A，虚的常态二阶曲线；B,实的常态二阶曲线；C,两条虚直线； D,两条实直线 5、由几对对应元素可以确定平面上任意的一个射影变换――――――――――（ ） 2
A, 1 B, 2 C, 3 D, 4 二、填空题（共15 分，每小题 3分） 1、复点（9，3i,5-i）对应的实直线的线坐标为 。
2，对合42027的基本范式为 。 3、求坐标三角形123AAA的一边12AA在坐标变换 112321233123xxxxxxxxxxxx 下的方程 。
4、求由两个射影线束1213()0xxxx与312()0,xxx()2所决定的二阶曲线的齐次方程 。
5、双曲线22221,xyab的两条斜率分别为,直径成为共轭的条件是 。
三、作图题（共20分，每小题 4 分） 1、给定椭圆E的短轴AA和长轴BB，试作出已知直线l和E的两个交点C1 ，
C2。（尺规作图）
简要步骤：
l 3
A B O B A 2、作出如下5点4线图形的对偶图形（仅用直尺作图）。 简要步骤：
3、已知点列上一对合的二重点P，及两对对应点,AABB如下图，作已知点C的对合点（仅用直尺作图）。 简要步骤： 4
4、利用四点形的调和性作出一点列l上关于A,B,C的第四调和点D（仅用直尺作图）。 简要步骤：
5、过椭圆上一已知点P作一椭圆的切线（仅用直尺作图）。 简要步骤：
四、计算题（共30分，每小题5分） 1、说明下列四线共点并计算其交比1234(,)llll，
11221233123413:0;:320;:320;:0.lxxlxxxlxxxlxx 解： 5
2、求一维点列射影对应的参数表示式，使得11,,3分别与0,2,1对应，并求自对应点的参数。 解：
3、求射影变换： 112233
311040113xxxxxx
的二重元素。
解： 4、求二阶曲线213220xxx对应的二级曲线，及直线（1，2，1）关于给定二阶曲线的极点。 解：
5、设二阶曲线为2221122132334161622270xxxxxxxxx，说明三点P(1,0,1), Q(1,-1,0), R(1,1,-1),构成的三点形PQR是自极的，并确定二阶曲线对应的标准类型。 解 6、说明二次曲线22421040xxyyxy是一条双曲线，并求其中心与渐近线。 解：
五、证明题（共 20分，每小题5 分） 1、每边分成三等分，将每个分点与对顶点相连，这六线构成一个六边形，求证它的三双对顶的连线共点。 证明： 6
2、在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD ,在CD上取一点E,BE与AC
相交于F 延长DF 交BC于G，求证GACEAC 。
证明： 3、圆周上的点和其上二定点相连得到两个线束，如果把两线束中交于圆周上得两线叫对应直线，证明这样的对应是射影对应。 证明 4、如下图所示，菱形ABCD的内切圆O与各边AB,BC,CD,DA分别切于E,F,G,H.在EF与GH上分别作圆的切线。交AB于M ,交BC于N，交CD于P，交DA于Q.求证：MQ//NP。 证明： 7
标准答案及评分标准 一、选择题（共15分，每小题3分） 1，D; 2，A; 3，C ; 4，D ; 5, D. 二、填空题（共15分，每小题3分） 1，(5,-3,-9); 2，3; 3，120xx;
4，2221232313230xxxxxxx ; 5, 22ba. 三、作图题（共20分，每小题 4 分） 1、步骤：1）以BB为对应轴，以AA为一对对应点确定一个透视仿射，作出椭圆E在该透视仿射下的象圆E，；（1分） 2）作直线l的象l，交圆E，于12CC，，再通过透视仿射作图作出其原象
12CC，。（2分）
（4分） 2、步骤：取直线d上四点1234LLLL，，，，过四点分别作直线a,b,c,d,且让直线a和c交于点5L；（2分） 8
（4分） 3、步骤：过P任作一直线1l再任取其上两点,EF使得1AEBFS，2AEBFS，连接点1,PS交1l于1P，21PlSP即为所求点。（2分）
（4分） 4、步骤：任取点列l外一点E连接,AEBE，过C任作一直线分别交,AEBE于,FG，AGBFH，连接,EH交点列l于D。（2分）
5、步骤：过P点任作一直线l交椭圆另一点P，除交点外任取其上一点A作其极线1l，同样步骤作B另一极线2l，连接P与12llC即为点切线（2分） 9
（4分） 四、计算题（共30分，每小题5分） 1、解：四条直线的线坐标为(1,1,0);(3,1,2);(1,3,2);(1,0,1).
因1101103120,3120.132101所以四线共点（2分）。四线的斜率分别为11,3,,3其交比为 12341-1/31-1(,)3-1/33-4llll.（5分）
2、解：1(0,2,1,)(1,,)3，（2分） 01211/32101/31
（3分）
整理得11，（4分）自对应点为152。（5分） 3、解：变换距阵的特征多项式为
2311()040(2)(4)113
。 10
求得一个单根12和一个二重根234。（3分） 当2时
矩阵为111020111，求得二重点(1,1,1)(1,1,1)(2,0,2)(1,0,1)和二重线(1,0,1)(1,2,1)(2,2,2)(1,1,1)。（4分） 当4时矩阵为111000111，求得不变点列1230xxx和不变线束 为130uu。（5分） 4、解：213220xxx对应得矩阵为001/20201/200， 对应的二级曲线为2221112223331212131323232220AuAuAuAuuAuuAuu， 即有221380uuu。（4） 从而可求的直线(1,2,1)对应的极点为(2,-1, 2)。 （5） 5、解：2221122132334161622270xxxxxxxxx对应的矩阵为
481816111117
，而48111108161100,11171PQS同理可以验证
0,0PRRQSS，于是三角形PQR是自极三角形。（3）当取三角形PQR为自极三角形时，二阶曲线化解为2221230xxx。（5）
6、解：二阶曲线对应的矩阵为125222520。
因为1112332122126022aaAaa，所以是双曲线（1分）。其中心坐标为 11
313233(,,)(14,8,6)AAA即(7/3,4/3)。（3分） 解方程22420xxyy可得与无穷远直线的两个交点(26,1,0) 所以两渐近线方程为(26,1,0)(7,4,3)(3,636,1546)，即 3(636)15460xy，3(636)15460xy。（5分） 五、证明题（共 20分，每小题5 分） 1、证明：因为任何三角形可以由正三角形经仿射变换所得，因此只就证正三角形即可。（2分） 设三角形ABC是正三角形，点121212,,,,,AABBCC分别是边,,BCCAAB的三等分点。根据题设联线构成的六边形为123456DDDDDD。由正三角形的对称性可知，14,DD在A所对应的高线上，同理25,DD与36,DD在各自对应的高线上。又因为三角形的三高线共点，所以六边形三对顶的联线共点。（5分） 2、证明：
如图所示，过A作AC的垂线AH，连接BD分别交,ACAH于,IH 。根据角平分线的性质知(,)1BDIH连接GE交AH于H，AC交于J。根据完全四点形CEFG的调和性知(,)1BDIH， 故由(,)(,)BDIHBDIH知H与重H合。由AC与AH垂直，且(,)(,)1GEJHBDIH，知AC与AH是GAE 的内外平分线，所以GAEEAC。（5分）
