考点08 对数与对数函数-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过

考点08 对数与对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.

（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.

（4）了解指数函数xya与对数函数logayx互为反函数0,1()aa且.

一、对数与对数运算

1．对数的概念

（1）对数：一般地，如果xaN(0,1)aa且，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作logaxN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

（3）对数式与指数式的互化：logxaaNxN.

2．对数的性质

根据对数的概念，知对数log(0,1)aNaa且具有以下性质：

（1）负数和零没有对数，即0N；

（2）1的对数等于0，即log10a；

（3）底数的对数等于1，即log1aa；

（4）对数恒等式log(0)aNaNN.

3．对数的运算性质

如果0,1,0,0aaMN且，那么：

（1）log()loglogaaaMN=M+N；

（2）logloglog-aaaM=MNN；

（3）loglog()naaM=nMnR.

4．对数的换底公式 对数的换底公式：loglog(0,1;0,1;0)logcbcNNbbccNb且且.

换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

换底公式的变形及推广：

（1）loglog01,0()且mnaanbbaabm；

（2）(1log01;01log)且且abbaabba；

（3）loglogloglogabcabcdd(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).

二、对数函数及其性质

1．对数函数的概念

一般地，我们把函数=log(0,1)ayxaa且叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,).

2．对数函数的图象和性质

一般地，对数函数=log(0,1)ayxaa且的图象与性质如下表所示：

图象

定义域

值域

性质 过定点(1,0)，即1x时，0y

在(0,)上是减函数 在(0,)上是增函数

当x＞1时，y＜0；

当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0；

当0＜x＜1时，y＜0

在直线1x的右侧，当1a时，底数越大，图象越靠近x轴；当01a时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．

3．对数函数与指数函数的关系 指数函数xya(0a且1a）与对数函数log(0ayxa且1a）互为反函数，其图象关于直线yx对称.

考向一 对数式的化简与求值

对数运算的一般思路：

（1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；

（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

注意：

（1）在利用对数的运算性质log()loglogaaaMN=M+N与loglog()naaM=nMnR进行化简与求值时，要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性．

（2）注意利用等式lg2lg51.

典例1 化简：

（1）71log023log27lg25lg479.8；

（2）22lg25lg8lg5lg20lg23．

【答案】（1）5；（2）3.

【解析】（1）71log023log27lg25lg479.8

5．

（2）22lg25lg8lg5lg20lg23

3．

【名师点睛】本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

典例2 已知函数13xfx,若321og2fa,则a

A．13 B．14

C．12 D．2 【答案】D

【解析】根据题意有3log312log1312afaa，解得2a，故选D．

【名师点睛】该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌.首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数a的等量关系式，即可求得结果.

1．设,xy为正数，且34xy，当3xpy时，p的值为

A．3log4 B．4log3

C．36log2 D．3log2

考向二 对数函数的图象

1．对数函数=log(0,1)ayxaa且的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的,xy，即可得到定点的坐标.

2．当底数1a时，对数函数()logafxx是(0,)上的增函数，当1x时，底数a的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数01a时，对数函数()logafxx是(0,)上的减函数，当01x时，底数a的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．

3．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．特别地，要注意底数1a和01a的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．

4．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

典例3 若函数log)0,1(且ayxaa的图象如图所示，则下列函数图象正确的是

【答案】B

典例4 已知函数2log,03,0xxfxxx，且函数hxfxxa有且只有一个零点，则实数a的取值范围是

A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1]

【答案】B

【解析】如图所示，在同一平面直角坐标系中分别作出yfx与yxa的图象，其中a表示直线yxa在y轴上的截距，由图可知，当1a时，直线yxa与yfx只有一个交点．故选B．

2．在同一直角坐标系中，函数2fxax，log2agxx（0a，且1a）的图象大致为

A． B．

C． D．

考向三 对数函数性质的应用

对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难都有，且主要有以下几种命题角度：

（1）比较对数式的大小：

①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；

②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；

③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．

（2）解对数不等式：

①形如loglogaaxb的不等式，借助logayx的单调性求解，如果a的取值不确定，需分1a与01a两种情况讨论；

②形如logaxb的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助=logayx的单调性求解．

典例5 已知132a，21211log,log33bc，则 A．abc B．acb

C．cab D．cba

【答案】C

【解析】因为1030221a，221loglog103b，12221loglog3log213c，所以cab，故选C．

【名师点睛】本题中既有指数式，又有对数式，无法直接比较大小，可借助中间量1，0来进行比较.

典例6

求不等式1log(4)logaaxx的解集.

3．设函数fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，lnfxx，记312af，31log2bf，3cf，则,,abc的大小关系为

A．cba B．bca

C．bac D．abc

考向四 对数函数的复合函数问题

与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等，解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外，需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.

求形如logayfx的复合函数的单调区间，其一般步骤为：

①求定义域，即满足0fx的x的取值集合；

②将复合函数分解成基本初等函数logayu及ufx；

③分别确定这两个函数的单调区间；

④若这两个函数同增或同减，则logayfx为增函数，若一增一减，则logayfx为减函数，即“同增异减”.

典例7 已知函数()lg(3)lg(3)fxxx．

（1）判断()fx的奇偶性并加以证明；

（2）判断()fx的单调性（不需要证明）； （3）解关于m的不等式()(1)0fmfm．

【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）减函数；（3）1(3,)2.

【解析】（1）由3030xx＋－，得33x，

∴函数()fx的定义域为(3,3)．

∵函数()fx的定义域关于原点对称，且()lg(3)lg(3)()fxxxfx，

∴函数()fx为偶函数．

（2）2lg(9)fxx, lgyu为增函数，29ux在(3,0)上是增函数，在(0,3)上是减函数，

∴()fx在(3,0)上是增函数，在(0,3)上是减函数.

（3）()(1)0fmfm即()(1)fmfm，

则313331mmmm343212mmm，得132m.

∴关于m的不等式()(1)0fmfm的解集为1(3,)2.

4．已知函数222logafxaax是对数函数.

（1）若函数log1log3aagxxx，讨论gx的单调性；

（2）在（1）的条件下，若1,23x，不等式30gxm的解集非空，求实数m的取值范围.

1．计算332logloglog8等于

A．1 B．16