高中数学必修4《平面向量》教案

科组长签字：高中数学必修4 平面向量基本知识回顾：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示-----AB u u u r(几何表示法)；②用字母a r 、b r等表示(字母表示法)；③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r作为基底。

任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj r r，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y r，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i r (1,0) ，j r (0,1) ，0(0,0) r。

a r ),(11y x A ，),(22y x B ，则1212,y y x x，AB3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.||a 就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0r 与任一向量平行.向量a r 、b r 、c r 平行，记作a r ∥b r ∥c r.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：//(0)(a b b a b r u r r r r r 是唯一）||b a b a a bu r ru r r r r 0,与同向方向---0,与反向长度---1221//(0)0a b b x y x y r u r r r （其中 1122(,),(,)a x y b x y r u r）5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为2性质：0a b a b r u r r rg1212a b x x y yr u r（其中1122(,),(,)a x yb x yr u r）6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿1各位老师好：我是户县二中的李敏，今天讲的课题是《平面向量的坐标的表示》，本节课是高中数学北师大版必修4第二章第4节的内容，下面我将从四个方面对本节课的教学设计来加以说明。

一、学情分析本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。

而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。

二、高考的考点分析：在历年高考试题中，平面向量占有重要地位，近几年更是有所加强。

这些试题不仅平面向量的相关概念等基本知识，而且常考平面向量的运算；平面向量共线的条件；用坐标表示两个向量的夹角等知识的解题技能。

考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间，相关题型经常在高考试卷里出现，而且经常以选择、填空、解答题的形式出现。

三、复习目标1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.2.理解用坐标表示的`平面向量共线的条件.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能用坐标表示两个向量的夹角，理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.教学重难点的确定与突破：根据《20xx高考大纲》和对近几年高考试题的分析，我确定本节的教学重点为：平面向量的坐标表示及运算。

难点为：平面向量坐标运算与表示的理解。

我将引导学生通过复习指导，归纳概念与运算规律，模仿例题解决习题等过程来达到突破重难点。

四、说教法根据本节课是复习课，我采用了“自学、指导、练习”的教学方法，即通过对知识点、考点的复习，围绕教学目标和重难点提出一系列精心设计的问题，在教师的指导下，用做题来复习和巩固旧知识点。

五、说学法根据平时作业中的问题来看，学生会本节课遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算等方面。

第二章第五节平面向量应用举例第一课时整体设计教学分析1．本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性．对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”．这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果．代数方法的流程图可以简单地表述为：则向量方法的流程图可以简单地表述为：这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点．2．研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括：综合方法——不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；向量方法——以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；分析方法——以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论，等等．前三种方法都是中学数学中出现的内容．有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易．使用向量方法要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题．使用向量方法时，要注意向量起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化．三维目标1．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．2．明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．3．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义．教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段．重点难点教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用．推进新课新知探究提出问题①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图1，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？图1②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动：①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系．利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．②教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有些性质的得出比较麻烦，有些性质的得出比较简单．让学生体会研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法．证明：方法一：如图2.图2作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，则Rt△ADF ≌Rt△BCE .∴AD ＝BC ，AF ＝BE .由于AC 2＝AE 2＋CE 2＝(AB ＋BE )2＋CE 2＝AB 2＋2AB ·BE ＋BE 2＋CE 2＝AB2＋2AB ·BE ＋BC 2. BD 2＝BF 2＋DF 2＝(AB －AF )2＋DF 2＝AB 2－2AB ·AF ＋AF 2＋DF 2＝AB 2－2AB ·AF ＋AD 2＝AB 2－2AB ·BE ＋BC 2.∴AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋BC 2)．方法二：如图3.图3以AB 所在直线为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系．设B (a,0)，D (b ，c )，则C (a ＋b ，c )．∴|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2＝a 2＋2ab ＋b 2＋c 2，|BD |2＝(a －b )2＋(－c )2＝a 2－2ab ＋b 2＋c 2.∴|AC |2＋|BD |2＝2a 2＋2(b 2＋c 2)＝2(|AB |2＋|AD |2)．用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系．在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积．通过以下推导学生可以发现，由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，学生可按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度，同时也为计算机技术的运用提供了方便．教学时应引导学生体会向量带来的优越性．因为平行四边形对角线平行且相等，考虑到向量关系DB →＝AB →－AD →，AC →＝AB →＋AD →，教师可点拨学生设AB →＝a ，AD →＝b ，其他线段对应向量用它们表示，涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算|AC →|2与|DB →|2.因此有了方法三．方法三：设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，|AB →|2＝|a |2，|AD →|2＝|b |2.∴|AC →|2＝AC →·AC →＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a·a ＋a·b ＋b·a ＋b·b ＝|a |2＋2a·b ＋|b |2. ①同理|DB →|2＝|a|2－2a·b ＋|b |2.②观察①②两式的特点，我们发现，①＋②得|AC →|2＋|DB →|2＝2(|a|2＋|b |2)＝2(|AB →|2＋|AD →|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．至此，为解决重点问题所作的铺垫已经完成，向前发展可以说水到渠成．教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，讨论认清向量方法的优越性，适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素．然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．讨论结果：①能．②能想出至少三种证明方法．③略．应用示例例1如图4，ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？图4活动：为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR 、RT 、TC 的长度，让学生发现AR ＝RT ＝TC ，拖动平行四边形的顶点，动态观察发现，AR ＝RT ＝TC 这个规律不变，因此猜想AR ＝RT ＝TC .事实上，由于R 、T 是对角线AC 上的两点，要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可．又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线，所以只需判断AD →，AR →，AT →与AC →之间的关系即可．探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论．第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR ＝RT ＝TC .解：如图4，设AB →＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，AT →＝t ，则AC →＝a ＋b .由于AR →与AC →共线，所以我们设r ＝n (a ＋b )，n ∈R .又因为EB →＝AB →－AE →＝a －12b ，ER →与EB →共线，所以我们设ER →＝mEB →＝m (a －12b )． 因为AR →＝AE →＋ER →，所以r ＝12b ＋m (a －12b )． 因此n (a ＋b )＝12b ＋m (a －12b )， 即(n －m )a ＋(n ＋m －12)b ＝0. 由于向量a 、b 不共线，要使上式为0，必须⎩⎪⎨⎪⎧ n －m ＝0，n ＋m －12＝0.解得n ＝m ＝13.所以AR →＝13AC →. 同理TC →＝13AC →.于是RT →＝13AC →. 所以AR ＝RT ＝TC . 点评：教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的，因此在书写时可简化一些程序．指导学生在今后的训练中，不必列出三个步骤.变式训练如图5，AD 、BE 、CF即AD 、BE 例2如图6，已知在等腰△ABC 中，BB ′、CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值．图6活动：教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题．可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标．如果能比较方便地建立起平面直角坐标系，如本例中图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成．解：建立如图6所示的平面直角坐标系，取A (0，a )，C (c,0)，则B (－c,0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c,0)，BC →＝(2c,0)．因为BB ′、CC ′都是中线，所以BB ′→＝12(BC →＋BA →)＝12[(2c,0)＋(c ，a )]＝(3c 2，a 2)， 同理CC ′→＝(－3c 2，a 2)． 因为BB ′⊥CC ′，所以－94c 2＋a 24＝0，a 2＝9c 2. 所以cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.点评：比较是最好的学习方法．本例利用的方法与例题1有所不同，但其本质是一致的，教学中引导学生仔细体会这一点，比较两例的异同，找出其内在的联系，以达到融会贯通，灵活运用之功效. 变式训练如图7，在Rt△与BC →的夹角θ图7解：方法一：如图∵AB →⊥AC →方法二：如图知能训练1．如图9，已知AC 为⊙O 的一条直径，∠ABC 是圆周角．图9求证：∠ABC ＝90°.证明：如图9.设AO →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝a ＋b ，OC →＝a ，BC →＝a －b ，|a|＝|b |.因为AB →·BC →＝(a ＋b )·(a －b )＝|a|2－|b |2＝0，所以AB →⊥BC →.由此，得∠ABC ＝90°.点评：充分利用圆的特性，设出向量．2．D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 上的动点，且它们在初始时刻分别从A 、B 、C 出发，各以一定速度沿各边向B 、C 、A 移动．当t ＝1时，分别到达B 、C 、A .求证：在0≤t ≤1的任一时刻t 1，△DEF 的重心不变．证明：如图10.图10建立如图所示的平面直角坐标系，设A 、B 、C 坐标分别为(0,0)，(a,0)，(m ，n )．在任一时刻t 1∈(0,1)，因速度一定，其距离之比等于时间之比，有|AD ||DB |＝|BE ||EC |＝|CF ||FA |＝t 11－t 1＝λ，由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 1,0)、(a ＋(m －a )t 1，nt 1)、(m －mt 1，n －nt 1)．由重心坐标公式可得△DEF 的重心坐标为(a ＋m 3，n 3)．当t ＝0或t ＝1时，△ABC 的重心也为(a ＋m 3，n 3)，故对任一t 1∈[0,1]，△DEF 的重心不变． 点评：主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系，只要证△ABC 的重心和时刻t 1的△DEF 的重心相同即可．课堂小结1．由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步曲”．特别是这“三步曲”，要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度．2．本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点．作业课本习题2.5 A 组2，B 组3.设计感想1．本节是对研究平面几何方法的探究与归纳，设计的指导思想是：充分使用多媒体这个现代化手段，引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动．本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点地激发学生的智慧火花．2．由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题．因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续内容的解析几何等知识的交汇，提高学生综合解决问题的能力．3．平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处，特别是处理线段相等，线线平行，垂直，点共线，线共点等问题，往往简单明了，少走弯路，同时避免了复杂，烦琐的运算和推理，可以收到事半功倍的效果．现举几例以供教师、学生进一步探究使用．1．简化向量运算例1如图11所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.图11证明：如图11，作直径BD ，交⊙O 于点D .连接DA ，DC ，有OB →＝－OD →，且DA ⊥AB ，DC ⊥BC ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，故CH ∥DA ，AH ∥DC ，得四边形AHCD 是平行四边形．从而AH →＝DC →.又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，得OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →，即OH →＝OA →＋OB →＋OC →.2．证明线线平行例2如图12，在梯形ABCD 中，E ，F 分别为腰AB ，CD 的中点．求证：EF ∥BC ，且|EF →|＝12(|AD →|＋|BC →|)．图12证明：连接ED ，EC ，∵AD ∥BC ，可设AD →＝λBC →(λ>0)，又E ，F 是中点，∴EA →＋EB →＝0，且EF →＝12(ED →＋EC →)． 而ED →＋EC →＝EA →＋AD →＋EB →＋BC →＝AD →＋BC →＝(1＋λ)BC →，∴EF →＝1＋λ2BC →，EF 与BC 无公共点．∴EF ∥BC .又λ>0，∴|EF →|＝12(|BC →|＋|λBC →|)＝12(|AD →|＋|BC →|)． 3．证明线线垂直例3如图13，在△ABC 中，由A 与B 分别向对边BC 与CA 作垂线AD 与BE ，且AD 与BE 交于H ，连接CH ，求证：CH ⊥AB .图13证明：由已知AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，有AH →·BC →＝0，BH →·AC →＝0.又AH →＝AC →＋CH →，BH →＝BC →＋CH →，故有(AC →＋CH →)·BC →＝0，且(BC →＋CH →)·AC →＝0，两式相减，得CH →·(CB →－CA →)＝0，即CH →·AB →＝0，∴CH →⊥AB →.4．证明线共点或点共线例4求证：三角形三中线共点，且该点到顶点的距离等于各该中线长的23.图14已知：△ABC 的三边中点分别为D ，E ，F (如图14)．求证：AE ，BF ，CD 共点，且AG AE ＝BG BF ＝CG CD ＝23. 证明：设AE ，BF 相交于点G ，AG →＝λ1GE →， 由定比分点的向量式有BG →＝BA →＋λ1BE →1＋λ1＝11＋λ1BA →＋λ1＋λ1BC →， 又F 是AC 的中点，BF →＝12(BA →＋BC →)， 设BG →＝λ2BF →，则11＋λ1BA →＋λ1＋λ1BC →＝λ22BA →＋λ22BC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 11＋λ1＝λ22，λ1＋λ1＝λ22. ∴11＋λ1＝λ1＋λ1⇒λ1＝2，λ2＝23，即AG AF ＝BG BF ＝23.又CG →＝CA →＋λ1CE →1＋λ1＝13(CA →＋2CE →) ＝23·12(CA →＋CB →)＝23CD →， ∴C ，G ，D 共线，且AG AE ＝BG BF ＝CG CD ＝23. 二、备用习题 1．有一边长为1的正方形ABCD ，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c |＝________.答案：22．已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，则使λb －a 与a 垂直的λ＝________. 答案：23．在等边△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且|a |＝1，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.答案：－324．已知三个向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，则k＝________.答案：－2或115．如图15所示，已知矩形ABCD ，AC 是对角线，E 是AC 的中点，过点E 作MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，试运用向量知识证明AM ＝CN .图15答案：解：建立如图16所示的直角坐标系，设BC ＝a ，BA ＝b ，则C (a,0)，A (0，b )，E (a 2，b 2)．图16又设M (x 2，b )，N (x 1,0)，则AM →＝(x 2,0)，CN →＝(x 1－a,0)．∵ME →∥EN →，ME →＝(a 2－x 2，－b 2)，EN →＝(x 1－a 2，－b 2)， ∴(a 2－x 2)×(－b 2)－(x 1－a 2)×(－b 2)＝0. ∴x 2＝a －x 1.∴|AM →|＝x 22＝|x 2|＝|a －x 1|＝|x 1－a |.而|CN →|＝x 1－a 2＝|x 1－a |，∴|AM →|＝|CN →|，即AM ＝CN .。

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质：3．练习：（1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知||=2，||=1，与之间的夹角为3π，那么向量=-4的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，怎样用和的坐标表示∙？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即∙2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =22y x +=22y x +=. （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，221221)()(y y x x -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x =，则a ⊥b ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦 已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，与之间的夹角为θ（πθ≤≤0）co s θ222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2，5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.练习1、习题2.4 A 组第5题例2设= (5，-7)，= (-6，-4)，求∙，、间的夹角θ的余弦及│-4│。