2019年高考真题理科数学(全国II卷)

2019全国2卷理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1.设集合A ={x |x 2−5x +6>0},B ={x |x −1<0},则A ∩B =( A ) A. (−∞,1) B.(−2,1) C.(−3,−1) D. (3,+∞)2.设z =−3+2i,则在复平面z̅对应的点位于( C ) A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t ),|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( C ) A.−3 B.−2 C. 2 D. 34.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天 事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探 测器的通讯联系。

为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。

鹊桥沿着围绕地月 拉格朗日L 2点的轨道运行，L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为M 1 ，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定理和万有引力 定律，r 满足方程：M 1(R+r)2+M 2r 2=(R +r)M 1R 3设α=rR ,由于α的值很小，因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r 的近似值为( D )A. √M2M 1R B. √M22M 1R C. √3M 2M 13R D. √M23M 13R5.演讲比赛共有9为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个 原始评分中去掉1个最高分、一个最低分，得到7个有效评分。

7个有效评分与9个 原始评分相比，不变的数字特征是( A )A. 中位数B. 平均数C. 方差D.极差 6.若a >b,则( C )A.ln (a −b )>0B.3a <3bC. a 3−b 3>0D. |a |>|b|7.设α，β为两个平面，则α∥β的 充要条件是( B )A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面 8.若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p+y 2p=1的一个焦点，则p =( D )A. 2B. 3C. 4D. 89.下列函数中，以π2为周期且在区间(π4,π2)单调递增的是( A )A.f (x )=|cos2x|B. f (x )=|sin2x|C. f (x )=cos |x |D. f (x )=sin |x| 10.已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( B ) A. 15 B.√55 C.√33D.2√5511.设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径 的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为( A ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √512.设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x +1)=2f (x ),且当x ∈(0,1]时，f (x )=x (x −1). 若对任意x ∈(−∞,m ],都有f (x )≥−89,则m 的取值范围是( B )A. (−∞,94] B. (−∞,73] C.(−∞,52] D. (−∞,83]二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答:先把所选题的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)2．设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知AB u u u r=(2,3)，AC uuu r =(3，t )，||BC u u u r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r= A ．–3 B ．–2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差6．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos2x │B ．f (x )=│sin2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin │x │10．已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B5C3D511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

M 2M 1M 2 2M 13M 2 3M 1M 233M 1+= 绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合 A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{ x |x －1<0}，则 A ∩B ＝ A ．(－∞，1） B ．(－2，1） C ．(－3，－1） D ．(3，＋∞）2．设 z ＝－3＋2i ，则在复平面内 z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知 ＝(2,3）， ＝(3，t ）， ＝1，则 ＝AB AC BC AB ⋅ BCA ．－3B ．－2C ．2D ．34．2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L 2 点的轨道运行．L 2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M １，月球质量为 M ２，地月距离为 R ，L 2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1+M 2= (R + r ) M1 ．=r(R + r )2r 2 R 333 + 34 +5≈3设，由于 的值很小，因此在近似计算中R(1+)23 ，则 r 的近似值为A.R B.R C.RD.R5．演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分．7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数C ．方差D ．极差 6．若 a >b ，则A ．ln(a −b ）>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │7. 设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是A ．α 内有无数条直线与 β 平行B ．α 内有两条相交直线与 β 平行C ．α，β 平行于同一条直线D ．α，β 垂直于同一平面x28.若抛物线 y 2＝2px (p >0）的焦点是椭圆y 2 1 的一个焦点，则 p ＝3 ppA ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中，以 π 为周期且在区间( π ， π ）单调递增的是 242A ．f (x ）＝│cos 2x │B ．f (x ）＝│sin 2x │C ．f (x ）＝cos│x │D ．f (x ）＝ sin│x │532 3 , ] , ] , ] , ] 10. 已知 α∈(0， π ），2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α＝2A ．1 B ． C ． D ．2 55535x 2 y 211. 设 F 为双曲线 C ： - a 2 b 2 = 1(a > 0,b > 0) 的右焦点， O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2 + y 2 = a 2 交于 P ，Q 两点．若 PQ = OF ，则 C 的离心率为A.B ．C ．2D ． 12. 设函数 f (x ) 的定义域为 R ，满足 f (x + 1) = 2 f (x ) ，且当 x ∈(0,1] 时， f (x ) = x (x -1) ．若对任意x ∈(-∞, m ] ，都有 f (x ) ≥ - 8，则 m 的取值范围是9A ． (-∞ 9 4B ． (-∞ 7 3C ． (-∞ 5 2D ． (-∞ 83二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生统一考试理科数学试题卷一、单选题1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)2．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知AB u u u v=(2,3)，AC u u u v =(3，t )，BC u u u v =1，则AB BC ⋅u u u v u u u v =A ．-3B ．-2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rR α=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数6．若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面8．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │ D ．f (x )= sin│x │10．已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BC ．3D 11．设F 为双曲线C ：22221x y a b−=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =−.若对任意(,]x m ∈−∞，都有8()9f x ≥−，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦二、填空题13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.14．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =−.若(ln 2)8f =，则a =__________.15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．三、解答题 17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值. 18．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率. 19．已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +−=+ ，1434n n n b b a +−=−. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式. 20．已知函数()11ln x f x x x −=−+. （1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线.21．已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG V 是直角三角形； （ii ）求PQG V 面积的最大值.22．在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23．已知()|||2|().f x x a x x x a =−+−− （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈−∞时，()0f x <，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】先求出集合A ，再求出交集． 【详解】由题意得，{}{}23,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目． 2．C 【解析】 【分析】先求出共轭复数再判断结果. 【详解】由32,z i =−+得32,z i =−−则32,z i =−−对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目． 3．C 【解析】 【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积. 【详解】由(1,3)BC AC AB t =−=−u u u r u u u r u u u r ，1BC ==u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u rg g ．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 4．D 【解析】 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】 由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R+=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+−=≈++，解得3α=所以3.r R α== 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错． 5．A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤L ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤L ， 中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++L ，后来平均数234817x x x x x '=+++L （）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=−+−++−⎣⎦L ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=−'+−'++−'⎢⎥⎣⎦L 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解. 6．C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b −>，当1a b −=时，ln()0a b −=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==−，满足a b >，12a b =<=，知D 错． 【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b −=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==−，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 7．B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ． 【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误． 8．D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ． 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p+=的一个焦点，所以23()2pp p −=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养． 9．A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择． 【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y xω=不是周期函数； 10．B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭Q ．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．11．A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 12．B 【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x −，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=−，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x −−−，令84(2)(3)9x x −−=−，整理得：2945560x x −+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴−−=∴==（舍），(,]x m ∴∈−∞时，8()9f x ≥−成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈−∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 13．0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题． 【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值． 14．-3 【解析】 【分析】当0x >时0x −<，()()ax f x f x e −=−−=代入条件即可得解. 【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x −<，()()ax f x f x e −=−−=． 又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e −=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a −=，所以3a −=，即3a =−． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．15． 【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，所以2221(2)2262c c c c +−⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==−所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16．共26个面. 1−. 【解析】 【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决． 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==−1．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．17．（1）证明见解析；（2）2【解析】 【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道11B C ⊥侧面11A B BA ，利用线面垂直的性质可以证明出11B C EB ⊥，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE ⊥平面11EB C ；（2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB u u u r u u u r u u u r分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为a ，1B B b =，求出相应点的坐标，利用1BE EC ⊥，可以求出,a b 之间的关系，分别求出平面EBC 、平面1ECC 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角1B EC C −−的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角1B EC C −−的正弦值. 【详解】证明（1）因为1111ABCD A B C D −是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ； （2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB u u u r u u u r u u u r分别为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2bB C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅−=⇒−+=⇒=u u u r u u u u r ，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =−−==u u u r u u u u r u u u r， 设111(,,)m x y z =u r是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=−⎨⎨−−=⋅=⎩⎩u u u v v v u u uv v ， 设222(,,)n x y z =r是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨−−=⋅=⎩⎩u u u u v v v u u uv v ， 二面角1B EC C −−的余弦值的绝对值为12m n m n⋅==⋅u r ru r r ，所以二面角1B EC C −−【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力. 18．（1）0.5；（2）0.1 【解析】 【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出()4P X =所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果。

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x 2−5x +6>0}，B ={x|x −1<0}，则A ∩B =( )A. (−∞,1)B. (−2,1)C. (−3,−1)D. (3,+∞) 2. 设z =−3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −3B. −2C. 2D. 34. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1(R+r)2+M 2r 2=(R +r)M1R 3．设α=rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，则r 的近似值为( )．A. √M2M 1RB. √M22M1R C. 3√3M 2M 1RD. 3√M23M1R 5. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 6. 若a >b ，则( )A. ln(a −b)>0B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. |a|>|b| 7. 设α，β为两个平面，则α//β的充要条件是( )A. α内有无数条直线与β平行B. α内有两条相交直线与β平行C. α，β平行于同一条直线D. α，β垂直于同一平面 8. 若抛物线y 2=2px(p >0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p=1的一个焦点，则p =( )A. 2B. 3C. 4D. 89. 下列函数中，以π2为周期且在区间(π4,π2)单调递增的是( )A. f(x)=|cos2x|B. f(x)=|sin2x|C. f(x)=cos|x|D. f(x)=sin|x|10. 已知α∈(0,π2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=( )A. 15B. √55 C. √33 D. 2√5511. 设F 为双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √512. 设函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +1)=2f(x)，且当x ∈(0,1]时，f(x)=x(x −1).若对任意x ∈(−∞,m]，都有f(x)≥−89，则m 的取值范围是( )A. (−∞,94]B. (−∞,73]C. (−∞,52]D. (−∞,83]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______．14. 已知f(x)是奇函数，且当x <0时，f(x)=−e ax .若f(ln2)=8，则a = ． 15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若b =6，a =2c ，B =π3，则△ABC 的面积为______．16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1． (1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE =A 1E ，求二面角B −EC −C 1的正弦值．18. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．(1)求P(X =2)；(2)求事件“X =4且甲获胜”的概率．19.已知数列{a n}和{b n}满足a1=1，b1=0，4a n+1=3a n−b n+4，4b n+1=3b n−a n−4．(1)证明：{a n+b n}是等比数列，{a n−b n}是等差数列；(2)求{a n}和{b n}的通项公式．20.已知函数．(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=e x的切线．.记M的21.已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12轨迹为曲线C．(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．(i)证明：△PQG是直角三角形；(ii)求△PQG面积的最大值．22.在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ=4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P．(1)当θ0=π时，求ρ0及l的极坐标方程；3(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．23.已知f(x)=|x−a|x+|x−2|(x−a)．(1)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(−∞,1)时，f(x)<0，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，涉及到不等式的求解，属于基础题． 根据题意，求出集合A 、B ，由交集的定义计算可得答案． 【解答】解：根据题意，A ={x|x 2−5x +6>0}={x|x >3或x <2}， B ={x|x −1<0}={x|x <1}， 则A ∩B ={x|x <1}， 即A ∩B =(−∞,1)． 故选A ．2.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查共轭复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．求出z 的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可． 【解答】解：∵z =−3+2i ， ∴z =−3−2i ，∴在复平面内z 对应的点为(−3,−2)，在第三象限． 故选C ．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了向量数量积的定义及性质的坐标表示，属于基础题． 由BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 先求出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后根据|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，可求t ，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解． 【解答】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t)， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)．∵|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，∴t −3=0，即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2． 故选C ．4.【答案】D【解析】 【分析】本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业中的灵活运用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．由α=rR ，推导出M2M1=3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，由此能求出r=αR=√M23M13R．【解答】解：∵α=rR，∴r=αR，且r满足方程M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3，∴M2M1=3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，∴r=αR=√M23M13R．故选：D．5.【答案】A【解析】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，故选：A．根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可迅速得到正确选项，属基础题．取a=0，b=−1，利用特殊值法可得正确选项．【解答】解：取a=0，b=−1，则：ln(a−b)=ln1=0，排除A；3a=30=1>3b=3−1=13，排除B；令f(x)=x3，则f(x)在上单调递增，又a>b，故C对；|a|=0<|−1|=|b|，排除D．故选C．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．由充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论．【解答】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α与β相交或α//β；对于B，α内有两条相交直线与β平行，则α//β；对于C，α，β平行于同一条直线，α与β相交或α//β；对于D，α，β垂直于同一平面，α与β相交或α//β．故选B．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．【解答】解：由题意可得3p−p=(p2)2，解得p=8．故选D．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的周期性及单调性，属于基础题．根据正弦函数、余弦函数的周期性及单调性依次判断，结合排除法即可求解．【解答】解：f(x)=sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f(x)=cos|x|的周期为2π，可排除C选项；f(x)=|sin2x|在π4处取得最大值，不可能在区间(π4,π2)上单调递增，可排除B．故选A．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由二倍角公式化简已知条件可得4sinαcosα=2cos2α，结合角的范围可求得sinα>0，cosα>0，可得cosα=2sinα，根据同角三角函数基本关系式即可解得sinα的值．【解答】解：∵2sin2α=cos2α+1，由二倍角公式可得4sinαcosα=2cos2α，∵α∈(0,π2)，∴sinα>0，cosα>0，∴cosα=2sinα，则有sin2α+cos2α=sin2α+(2sinα)2=5sin2α=1，解得sinα=√55．故选B．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．方法二：由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|=|OF|列式求C的离心率．【解答】方法一：解：设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ⊥x轴又∵|PQ|=|OF|=c，∴|PA|=c2，∴PA为以OF为直径的圆的半径，∴A为圆心，|OA|=c2∴P(c2,c2)，又P点在圆x2+y2=a2上，∴c24+c24=a2，即c22=a2，∴e2=c2a2=2∴e=√2，故选A．方法二：如图，以OF为直径的圆的方程为x2+y2−cx=0，又圆O的方程为x2+y2=a2，∴PQ所在直线方程为．把x=代入x2+y2=a2，得PQ=，再由|PQ|=|OF|，得，即4a2(c2−a2)=c4，∴e2=2，解得e=．故选A．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．由f(x+1)=2f(x)，得f(x)=2f(x−1)，分段求解析式，结合图象可得．【解答】解：因为f(x +1)=2f(x)， ∴f(x)=2f(x −1)，∵x ∈(0,1]时，f(x)=x(x −1)∈[−14,0]，∴x ∈(1,2]时，x −1∈(0,1]，f(x)=2f(x −1)=2(x −1)(x −2)∈[−12,0]； ∴x ∈(2,3]时，x −1∈(1,2]，f(x)=2f(x −1)=4(x −2)(x −3)∈[−1,0]， 当x ∈(2,3]时，由4(x −2)(x −3)=−89解得x =73或x =83， 若对任意x ∈(−∞,m]，都有f(x)≥−89，则m ≤73． 故选B ．13.【答案】0.98【解析】 【分析】本题考查加权平均数公式等基础知识，属于基础题． 利用加权平均数公式直接求解． 【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97， 有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99， ∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为： x −=110+20+10(10×0.97+20×0.98+10×0.99)=0.98．故答案为0.98．14.【答案】−3【解析】 【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题． 根据奇函数的定义，可得结果． 【解答】解：∵f(x)是奇函数，∴−f(ln2)=f(−ln2)=−8， 又∵当x <0时，f(x)=−e ax ，∴f(−ln2)=−e−aln2=−8，∴−aln2=ln8，∴a=−3．故答案为−3．15.【答案】6√3【解析】【分析】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．利用余弦定理得到c2，然后根据面积公式求出结果即可．【解答】解：由余弦定理有，∵b=6，a=2c，B=π3，∴36=(2c)2+c2−4c2cosπ3，∴c2=12，．故答案为6√3．16.【答案】26；√2−1【解析】【分析】本题考查了几何体的内接多面体，属中档题．中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8+1个面，下层也有8+1个面，故共有26个面；中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的√22倍等于正方体的棱长．【解答】解：该半正多面体中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，故该半正多面体共有8+8+8+ 2=26个面；设其棱长为x，因为每个顶点都在边长为1的正方体上，则x+√22x+√22x=1，解得x=√2−1．故答案为26；√2−1．17.【答案】证明：(1)长方体ABCD−A1B1C1D1中，B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥BE，∵BE⊥EC1，∵B1C1∩EC1=C1，B1C1,EC1⊂平面EB1C1,∴BE⊥平面EB1C1,解：(2)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AE =A 1E =1，则BB 1=2，∵BE ⊥平面EB 1C 1，EB 1⊂平面EB 1C 1， ∴BE ⊥EB 1，又BE =EB 1=√2， ∴AB =1，则E(1,1，1)，A(1,1，0)，B 1(0,1，2)， C 1(0,0，2)，C(0,0，0)，∵BC ⊥平面ABB 1A 1，EB 1⊂平面ABB 1A 1，∴BC ⊥EB 1， ∵BE ⊥EB 1，且BC ∩BE =E ，BC,BE ⊂平面EBC ， ∴EB 1⊥平面EBC ，故取平面EBC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，设平面ECC 1 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 由{n ⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{z =0x +y +z =0, 取x =1，得n⃗ =(1,−1,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−12， ∴二面角B −EC −C 1的正弦值为√32．【解析】本题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． (1)推导出B 1C 1⊥BE ，BE ⊥EC 1，由此能证明BE ⊥平面EB 1C 1.(2)以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −EC −C 1的正弦值．18.【答案】解：(1)设双方10：10平后的第k 个球甲获胜为事件A k (k =1,2，3，…)，则P(X =2)=P(A 1A 2)+P(A 1−A 2−) =P(A 1)P(A 2)+P(A 1−)P(A 2−) =0.5×0.4+0.5×0.6=0.5；(2)P(X =4且甲获胜)=P(A 1−A 2A 3A 4)+P(A 1A 2−A 3A 4)=P(A 1−)P(A 2)P(A 3)P(A 4)+P(A 1)P(A 2−)P(A 3)P(A 4) =(0.5×0.4+0.5×0.6)×0.5×0.4=0.1．【解析】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查推理能力与计算能力，是中档题． (1)设双方10：10平后的第k 个球甲获胜为事件A k (k =1,2，3，…)，则P(X =2)=P(A 1A 2)+P(A 1−A 2−)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1−)P(A 2−)，由此能求出结果；(2)P(X =4且甲获胜)=P(A 1−A 2A 3A 4)+P(A 1A 2−A 3A 4)=P(A 1−)P(A 2)P(A 3)P(A 4)+P(A 1)P(A 2−)P(A 3)P(A 4)，由此能求出事件“X =4且甲获胜”的概率．19.【答案】(1)证明：∵4a n+1=3a n −b n +4，4b n+1=3b n −a n −4，∴4(a n+1+b n+1)=2(a n +b n )，4(a n+1−b n+1)=4(a n −b n )+8， 即a n+1+b n+1=12(a n +b n )，a n+1−b n+1=a n −b n +2； 又a 1+b 1=1，a 1−b 1=1，∴{a n +b n }是首项为1，公比为12的等比数列， {a n −b n }是首项为1，公差为2的等差数列；(2)解：由(1)可得：a n +b n =(12)n−1，a n −b n =1+2(n −1)=2n −1， ∴a n =(12)n +n −12，b n =(12)n −n +12．【解析】本题主要考查了等差、等比数列的定义和通项公式，考查学生的计算能力和推理能力，属于简单题． (1)定义法证明即可；(2)由(1)结合等差、等比的通项公式可得．20.【答案】解析：(1)函数f(x)=lnx −x+1x−1，定义域为：(0,1)∪(1,+∞)；f′(x)=1x +2(x−1)2>0，(x >0且x ≠1)， ∴f(x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，①在(0,1)区间取值1e 2，1e 代入函数，由函数零点的定义得， ∵f(1e 2)<0，f(1e )>0，f(1e 2)⋅f(1e )<0，∴f(x)在(0,1)有且仅有一个零点，②在(1,+∞)区间取值e ，e 2代入函数，由函数零点的定义得， 又∵f(e)<0，f(e 2)>0，f(e)⋅f(e 2)<0， ∴f(x)在(1,+∞)上有且仅有一个零点， 故f(x)在定义域内有且仅有两个零点；(2)x 0是f(x)的一个零点，则有lnx 0=x 0+1x 0−1，曲线y =lnx ，则有y′=1x ，曲线y =lnx 在点A(x 0,lnx 0)处的切线方程为：y −lnx 0=1x 0(x −x 0)，即y =1x 0x −1+lnx 0，可得y =1x 0x +2x0−1，而曲线y =e x 的切线在点(ln 1x 0,1x 0)处的切线方程为：y −1x 0=1x 0(x −ln 1x 0)，即y =1x 0x +2x 0−1，故曲线y =lnx 在点A(x 0,lnx 0)处的切线也是曲线y =e x 的切线．故得证．【解析】本题考查f(x)的单调性，函数导数，在定义域内根据零点存在性定理求零点个数，以及利用曲线的切线方程定义证明．(1)讨论f(x)的单调性，求函数导数，在定义域内根据零点存在性定理求零点个数， (2)运用曲线的切线方程定义可证明y =lnx 在点A(x 0,lnx 0)处的切线方程为y =1x 0x +2x 0−1，曲线y =e x 在点(ln 1x 0,1x 0)处的切线方程为y = 1x 0x +2x 0−1，得证．21.【答案】解：(1)由题意得y x+2·y x−2=−12，整理得曲线C 的方程：x 24+y 22=1(y ≠0)，∴曲线C 是焦点在x 轴上不含长轴端点的椭圆；(2)(i)设P(x 0,y 0)，则Q(−x 0,−y 0)， E(x 0,0)，G(x G ,y G )，∴直线QE 的方程为：y =y2x 0(x −x 0)，与x 24+y 22=1联立消去y ，得(2x 02+y 02)x 2−2x 0y 02x +x 02y 02−8x 02=0，∴−x 0x G =x 02y 02−8x 022x 02+y 02，∴x G =(8−y 02)x 02x 02+y 02，∴y G =y 02x 0(x G −x 0)=y 0(4−x 02−y 02)2x 02+y 02， ∴k PG =y G −y 0x G −x 0=y 0(4−x 02−y 02)2x 02+y 02−y 0x 0(8−y 02)2x 02+y 02−x 0 =4y 0−y 0x 02−y 03−2y 0x 02−y 038x 0−x 0y 02−2x 03−x 0y 02=y 0(4−3x 02−2y 02)2x 0(4−y 02−x 02)，把x 02+2y 02=4代入上式，得k PG =y 0(4−3x 02−4+x 02)2x 0(4−y 02−4+2y 02)=−y 0×2x 022x 0y 02=−x0y，∴k PQ ·k PG =y 0x 0·(−x0y 0)=−1，∴PQ ⊥PG ，故△PQG 为直角三角形；(ii)S △PQG =12|PE|·(x G −x Q )=12y 0(x G +x 0) =12y 0[(8−y 02)x 02x 02+y 02+x 0] =1y 0x 0×8−y 02+2x 02+y 020202 =y 0x 0(4+x 02)2x 02+y 02 =y 0x 0(x 02+2y 02+x 02)2x 02+y 02=2y 0x 0(x 02+y 02)2x 02+y 02=8y 0x 0(x 02+y 02)(2x 02+y 02)(x 02+2y 02)=8(y 0x 03+x 0y 03)04040202 =8(x0y 0+y 0x0)2(x 0y 0+y 0x 0)2+1 令t =x 0y 0+yx 0，则t ≥2，S △PQG =8t 2t 2+1=82t +1t利用“对勾”函数f(t)=2t +1t 在[2,+∞)的单调性可知，f(t)≥4+12=92(t=2时取等号)，∴S△PQG≤892=169(此时x=y0=2√33)，故△PQG面积的最大值为169．【解析】此题考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，对运算能力考查尤为突出，计算难度大．(1)利用直接法不难得到方程；(2)(i)设P(x0,y0)，则Q(−x0,−y0)，E(x0,0)，利用直线QE的方程与椭圆方程联立求得G点坐标，进而证得PQ，PG斜率之积为−1；(ii)利用S=12|PE|×(x G+x0)，代入已得数据，并对x0y0+y0x0换元，利用“对勾”函数可得最值．22.【答案】解：(1)如图：∵M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ=4sinθ上，当θ0=π3时，，且由图得|OP|=|OA|cosθ0=2，在直线l上任取一点(ρ,θ)，则有，即，故l的极坐标方程为ρcos(θ−π3)=2；(2)设P(ρP,θP)，则在Rt△OAP中，有|OP|=|OA|cosθP即ρP=4cosθP，∵P在线段OM上，且AP⊥OM，∴θP∈[π4,π2 ]，其中π4为P点与M点重合时的角度，由4cosθP=4sinθP得到，故P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ，θ∈[π4,π2 ].【解析】本题考查曲线的极坐标方程及其应用，数形结合能力，是中档题．(1)由θ0=π3可得|OP|=2，在直线l上任取一点(ρ,θ)，利用三角形中边角关系即可求得l的极坐标方程；(2)设P(ρ,θ)，在Rt△OAP中，根据边与角的关系得答案．23.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=|x−1|x+|x−2|(x−1)，∵f(x)<0，∴当x<1时，f(x)=−2(x−1)2<0，恒成立，∴x<1；当x≥1时，f(x)=(x−1)(x+|x−2|)≥0恒成立，∴x∈⌀；综上，不等式的解集为(−∞,1)．(2)∵x∈(−∞,1)时，f(x)=|x−a|x−(x−2)(x−a)．当a≥1时，f(x)=2(a−x)(x−1)<0在x∈(−∞,1)上恒成立；当a<1时，若x∈(−∞,a)，f(x)=2(a−x)(x−1)<0，∴f(x)<0，成立;若x∈(a,1)，则f(x)=2(x−a)>0，不满足题意；所以当a<1时，不满足题意；综上，a的取值范围为[1,+∞)．【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可，属于中档题．(1)将a=1代入得f(x)=|x−1|x+|x−2|(x−1)，然后分x<1和x≥1两种情况讨论f(x)<0即可；(2)根据条件分a≥1和a<1两种情况讨论即可．。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)2．设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB BC=A．-3 B．-2C．2 D．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行．2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，2L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A ．21M R M B ．212M R MC ．2313M R M D ．2313M R M 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差6．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin │x │10．已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B ．55C ．33D ．25511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为 A ．2 B ．3C ．2D ．512．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.14．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________. 16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）三、解答题：共70分。

2019年高考全国Ⅱ卷理数试题和答案2019年高考全国Ⅱ卷理数试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.( )A. B. C. D.2.设集合，.若，则( )A. B. C. D.3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.5.设，满足约束条件，则的最小值是( )A. B. C. D.6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的( )A.2B.3C.4D.59.若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为( )A.2B.C.D.10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.11.若是函数的极值点，则的极小值为( )A. B. C. D.112.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是( )A. BmC. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019全国2卷理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1.设集合A ={x |x 2−5x +6>0},B ={x |x −1<0},则A ∩B =( A ) A. (−∞,1) B.(−2,1) C.(−3,−1) D. (3,+∞)2.设z =−3+2i,则在复平面z̅对应的点位于( C ) A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t ),|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( C ) A.−3 B.−2 C. 2 D. 34.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天 事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探 测器的通讯联系。

为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。

鹊桥沿着围绕地月 拉格朗日L 2点的轨道运行，L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为M 1 ，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定理和万有引力 定律，r 满足方程：M 1(R+r)2+M 2r 2=(R +r)M 1R 3设α=rR ,由于α的值很小，因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r 的近似值为( D )A. √M2M 1R B. √M22M 1R C. √3M 2M 13R D. √M23M 13R5.演讲比赛共有9为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个 原始评分中去掉1个最高分、一个最低分，得到7个有效评分。

7个有效评分与9个 原始评分相比，不变的数字特征是( A )A. 中位数B. 平均数C. 方差D.极差 6.若a >b,则( C )A.ln (a −b )>0B.3a <3bC. a 3−b 3>0D. |a |>|b|7.设α，β为两个平面，则α∥β的 充要条件是( B )A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面 8.若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p+y 2p=1的一个焦点，则p =( D )A. 2B. 3C. 4D. 89.下列函数中，以π2为周期且在区间(π4,π2)单调递增的是( A )A.f (x )=|cos2x|B. f (x )=|sin2x|C. f (x )=cos |x |D. f (x )=sin |x| 10.已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( B ) A. 15 B.√55 C.√33D.2√5511.设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径 的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为( A ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √512.设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x +1)=2f (x ),且当x ∈(0,1]时，f (x )=x (x −1). 若对任意x ∈(−∞,m ],都有f (x )≥−89,则m 的取值范围是( B )A. (−∞,94] B. (−∞,73] C.(−∞,52] D. (−∞,83]二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

12B-SX-0000020-绝密★启用前__2019 年普通高等学校招生全国统一考试_ -__-理科数学 全国 II 卷__- 本试卷共 23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟：号 -(适用地区：内蒙古 / 黑龙江 /辽宁 /吉林 /重庆 /陕西 / 甘肃 /宁夏 /青海 /新疆 / 西藏 /海南 )学 -注意事项：_-__1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

_-__2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

__ -如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在___答题卡上。

写在本试卷上无效。

_ 线__ 封_ 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

_密__ -__12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每个小题给出的四个选： -一、 选择题：本题共 名 - 项中，只有一项是符合题目要求的。

姓 -2- 1．设集合 A={ x|x -5x+6>0} ， B={ x|x-1<0} ，则 A ∩B=班-A ． (-∞， 1)B ． (-2， 1)C ．(-3 ， -1)D ． (3， +∞)___ -_ 2 ．设 z=-3+2i ，则在复平面内 z 对应的点位于_-__A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限年-____ 线 3 ．已知 AB =(2,3) ， AC =(3 ，t)， BC =1，则 AB BC= _ _ 封_A ． -3B ． -2C ． 2D ． 3_密_-__4． 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，_- ___ -我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键___-_ 技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中__ -___ -继星 “鹊桥 ”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L 2 点的轨道运行． L 2 点是平衡点，__ -_M １，月球质量为 M ２ ，地月距离为： - 位于地月连线的延长线上．设地球质量为校 学 -R ， L 2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的延长线上．设地球质量为M １ ，月球质量为 M ２ ，地月距离为R， L 2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1M 2M 1(R r) 2r 2(R r ) 3 .R设r ，由于 的值很小，因此在近似计算中3 33453 3，则R(1 ) 2r 的近似值为A ．M2RB ．M2RC ．33M2RD ．3M2RM 12M 1M 13M 15．演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分， 得到 7 个有效评分 .7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6．若 a>b ，则A ． ln(a- b)>0B ．3a<3bC ． a 3- b 3>0D ． │a │ >│b │7．设 α， β为两个平面，则α∥ β的充要条件是A ． α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ． α， β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面2x2y2p=8．若抛物线 y =2px(p>0) 的焦点是椭圆1 的一个焦点，则3p p- 1 -- 2 -12B-SX-0000020A ．2B ． 3C ． 4D ． 89．下列函数中，以为周期且在区间 ( ， )单调递增的是242A ．f(x)= │ cos x2│B ． f(x)= │ sin 2x │C ．f(x)=cos │x │D ． f(x)= sin x │10．已知 α∈ (0， )， 2sin 2α=cos 2α+1，则 sin α=21B ．5A ．55C ．3D ．2535x 2y 21(a 0,b 0) 的右焦点， O 为坐标原点， 以 OF11．设 F 为双曲线 C ：b2a2为直径的圆与圆 x2y 2a 2交于 P ，Q 两点 .若 PQ OF ，则 C 的离心率为A ． 2B ． 3C ． 2D ．512．设函数 f ( x) 的定义域为 R ，满足 f (x 1)2 f ( x) ，且当 x (0,1] 时，f (x )x(x 1) .若对任意 x (, m] ，都有 f ( x)8 ，则 m 的9取值范围是A ．9 B ．7,,43C ．5 D ．8,,23二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。