第一讲：函数的极限与连续

例11求极限
三、连续
（一）．理解函数在一点处连续的概念，函数在一点 处连续与函数在该点处极限存在的关系。会判断分段函数 在分段点的连续性。
连续定义： 例1、(1)如,讨论在处的极限是否存在
(2) 如果存在,求b
（二）．理解函数在一点处间断的概念，会求函数的 间断点，并会判断间断点的类型。
1、找间断点：（1）初等函数---无定义点；（2）分段函数--分段点
在工程中，常以无理数e＝2.718 281 828…作为指数函数和对数 函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数。
图1-4
（4）三角函数 三角函数有 正弦函数、 余弦函数、 正切函数、 余切函数、 正割函数和余割函数。 其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。
（5）反三角函数
图1-5
反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反 余切函数等．它们的图形如图1-5所示。 （6）常量函数为常数 （为常数）
例2、（1）；（2）；（3）； （4）； （5）； （6）；（7）
（三）．理解“一切初等函数在其定义区间上都是连 续的”，并会利用初等函数的连续性求函数的极限。
（四）．掌握闭区间上连续函数的性质：最值定理(有 界性定理)，介值定理(零点存在定理)。会运用介值定理推 证一些简单命题。
定理1（最值存在定理）：
为自变量在此变化过程中的无穷小量（简称无穷小），记作．其
中“”是简记符号，极限的条件可以是，，中的某一个．
定义2 在自变量的某一个变化过程中，变量的绝对值无限增
大，则称为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大），记作．
其中“”是简记符号，极限的条件可以是，，中的某一个．
2、（无穷小量的代数性质）：
２）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于轴 的部分．更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于轴的直线至多 有一个交点．这一特征保证了它必有反函数．
3．函数的奇偶性
定义. 设Ｄ为对称于原点的数集，为定义在Ｄ上的函数．若对每一 个有
（１），则称为Ｄ上的奇函数； （２），则称为Ｄ上的偶函数． 注：（１）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对 称），偶函数的图象关于轴对称；
[3] “” 型﹑“” 型﹑“” 型
[4] “” 型
分析：一般采用通分的方式转化为“”型和“”型，然后利用罗必达法
则及等价无穷小替换求极限
例10 求极限
(1)
（2）(令)
(3) （4）
（5）
（6）
7:不能用罗必达法则求解的“”型和“”型
分析：一般采用等价无穷小替换和无穷小量和有界函数的乘积为无穷小
量
定义域为，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。 通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步 骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。
（七）．会建立一些简单实际问题的函数关系式。
二、极限
（一）．理解极限的概念(只要求极限的描述性定 义)，能根据极限概念描述函数的变化趋势。理解函数在一 点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极 限与右极限。
如：１），不是周期函数； ２）（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期．
【综合】、设函数的定义域是全体实数，则函数是———（ ）
A．单调减函数 B．偶函数 C．有界函数 D．周期函数 （三）．理解函数y =ƒ(x)与其反函数y =ƒ-1(x)之间的关系
(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。 1、设函数．满足：对于值域中的每一个值，Ｄ中有且只有一个
[1]分子和分母均为有理式
例4求极限
(1)
(2)
[2]分子和分母均为根式
例5求极限
3：“”型
[1]通分后，利用因式分解约分等方式求值
例6求极限
[2]有理化分子，利用“”型的方法求值
例7求极限
4：“”型 （公式的利用）
分析：①判断是否是“”型
②转换成（1+□）的形式
③则[（1+□）]
例8（1）,求
（2）求
而 所以原式极限为1。 【综合】 1：“”型函数的极限 [1]分子或分母先因式分解，然后约分求值（分子和分母均为有理式）
例1求
[2]有理化分子或分母，然后约分求值
公式：
例2求极限
(1)
(2)
[3]利用等价无穷小替换求极限
常见的等价无穷小：变量在变化的过程中，下列各式左边均为无穷小，
则
①□～□
②tan□～□ ③arcsin□～□
2、定义域的求法原则 （1）分母不为零 （2） （3） （4） （5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集 例1、 求的定义域：（1）
（2） （3）
【提升】
例2、 当是函数的定义域，求的定义域。 例3、当是函数的定义域，求的定义域。
3、表达式、函数值
例4、下列各对函数中，两个函数相等的是 ———————————（
定理：函数在一点处极限存在的充分必要条件 .
例1、已知：（1） （2） 讨论当函数的极限。
（二）．理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极 限的四则运算法则。
法则1（初等函数的极限运算法则）： 如果函数是初等函数，是定义域内的某一点，则． 法则2（极限的四则运算法则）：
如果极限和都存在，则有： （1）．
）
A．与 B．与
C．与
D．与
例5、（1）设，则=______________
（2）设，则 =______________
（3）若，则=______________ 【提升】 例6（1）已知，，且，求和定义域
（2）已知，，求和定义域
4、简单的分段函数图像 （1） ，（符号函数） （2）取整函数 例如 （二）．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。 1.有界性 设为定义在Ｄ上的函数．若存在正数Ｍ，使得对每一个有，称为Ｄ
过程中的无穷小，且，而也是在这个变化过程中的极限）：
（1）若，则称是比高阶的无穷小量，记作（时），也称是比低阶
的无穷小量；
（2）若（），则称与为同阶无穷小量；
（3）若，则称与是等价无穷小量，记作或．
（四）．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单 调有界准则)，掌握两个重要极限：，，并能用这两个重要 极限求函数的极限。
第一章、函数、极限和连续（约
20%）
一、函数
（一）．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达 式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。
1、函数的概念：
设和是两个变量，是一个给定的数集，如果对于给定的每个数， 变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作，数 集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。的取值范围叫函 数的值域。已知函数的定义域，求函数的定义域。
性质3（数列极限几个常用的结论）：
1、（）；
2、（）．
例2、计算极限
（1） （2） （3）
(4)
(5) (6)
(7)
(8) (9)
（三）．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷
小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。会比较无穷小
量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量
替换求极限。
1、定义1 在自变量的某一变化过程中，变量的极限为零，则称
（1）有限个无穷小量之和仍是无穷小量；
（2）无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；
（3）常数与无穷小之积是无穷小量；
（4）有限个无穷小量之积仍是无穷小量．
3、（无穷小量与无穷大量的关系）：
在自变量的同一变化过程中：如果是无穷大，则是无穷小；如果且
是无穷小，则是无穷大．
4、、无穷小量的阶的比较（以下讨论的和都是自变量在同一变化
（2）．
（3）（其中常数）．
（4）（其中常数）．
（5）若，则．
性质1（极限的不等式关系）：
如果，且极限和极限都存在，则．
性质2（极限的局部保号性）：
（1）如果，且（或），那么在点处的左右附近构成的某一个开区
间（不包含点）内，都有（或）；
（2）如果在点处的左右附近构成的某一个开区间（不包含点）
内，都有（或）．且，那么（或）．
1、 “单调有界函数必有极限” （1）由先判断数列单调，即判断的正、负或判断比1大还是小 （2）假设的极限存在，并估算极限，计算判断数列有界 （3）求数列的极限 例1、（1）求极限，，，…….
（2）设，（），求 (3)设,证明数列、收敛，并且有相同的极限 2、夹逼准则 如果数列及满足下列条件： （1）， （2） 那么数列的极限存在，且。 例2、 求 解：
. 2、求反函数 例1、（1）（2） （四）．掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过 程。 例1、分解复合过程：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）；（6）；（7）；（8）； 【提升】：求分断函数的复合函数
例2、（1）设，求 （2）设，，求
（五）．掌握基本初等函数的性质及其图像。 （六）．理解初等函数的概念。
5：无穷小量和有界函数的乘积为无穷小量
例9求极限
6：用罗必达法则求极限
注意: ①零因式最好先用等价无穷小替换
②非零因式的极限可以先求出来
[1]“”型和“”型 （）
[2] “” 型
=
其中f(x)→0 , g(x)→∞
注：①如f(x)或g(x)是ln[φ(x)]的形式，则该函数一般在分子
②分母一般较分子简单
（２）奇偶性的前提是定义域对称，因此没有必要讨论奇偶 性．
（３）从奇偶性角度对函数分类：； （４）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须 讨论原点的左边或右边即可． 例5．讨论函数的奇偶性。
例6．讨论函数的奇偶性。 例7．设是定义在上的任意函数，试证