高中数学向量专题
【本章学习目标】
1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念.掌握向量的加法和减法.掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.
2.掌握平面两点间的距离公式,掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并能熟练运用,掌握平移公式.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.
3.了解平面向量的基本原理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.
向量是高中数学的新增内容,作为数形结合的有力工具,它的应用极其广泛,在复数、平几、解几、立几、物理等知识中均有涉及.
本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上,突出了向量的工具作用,利用向量的思想方法解决问题是本章特点的一个方面,向量本身具有数与形结合的双重身份,这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造了条件.通过本章学习,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力.
【基础知识精讲】
1.向量的定义
既有方向,又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. 表示从点A到B的向量(即A为起点,B为终点的
向量),也可以用字母a、b、c…等表示.(印刷用黑体a、b、c,书写用a、b、c注意:长度、面积、体积、质量等为数量,位移、速度、力等为向量).
2.向量的模
所谓向量的大小,就是向量的长度(或称模),记作||或者||.向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
3.零向量与单位向量:长度为0的向量称为零向量,用表示. 向量的方向是不定的,或者说任何方向都是向量的方向,因此向量有两个特征:一长度为0;二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.
4.平行向量、共线向量
方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此,零向量与零向量也可以平行.根据平行向量的定义可知:共线的两向量也可以称为平行向量.例如与也是一对平行向量.
由于任何一组平行向量都可移到同一直线上,故平行向量也叫做共线向量.例如,若四边形ABCD是平行四边形,则向量与是一组共线向量;向量与也是一组共线向量.
5.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,若向量与向量相等,记作=.零向量与零向量相等,任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
【重点难点解析】
通过本节学习,应该掌握:(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念;(2)掌握向量的几何表示,会用字母表示向量;(3)了解平行向量的概念及表示法,了解共线向量的概念.
例1判断下列各命题是否正确
(1)若|a |=|b |,则a =b
(2)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点,则AB =DC 是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件. (3)若a =b ,b =c ,则a =c (4)两向量a 、b 相等的充要条件是
(5)|a |=|b |是向量a =b 的必要不充分条件. (6) AB =CD 的充要条件是A 与C 重合,B 与D 重合.
解:(1)不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. (2)正确.∵AB =DC ,∴|AB |=|DC |且AB ∥DC . 又A 、B 、C 、D 是不共线的四点.
∴四边形ABCD 是平行四边形,反之,若四边形ABCD 是平行四边形则AB ∥DC ,且AB 与DC 方向相同,因此
AB =DC .
(3)正确.∵a =b
∴a ,b 的长度相等且方向相同; 又∵b =c
∴b ,c 的长度相等且方向相同.
∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a =c
(4)不正确.当a ∥b ,但方向相反,即使|a |=|b |,也不能得到a =b ,故
不是a =b 的充要条件. (5)正确.这是因为|
b || a |=a =b ,但a =b ?|a |=|b |,所以|a |=|b |是a =b 的必要不充分条件.
(6)不正确.这是因为=时,应有:||=||及由A 到B 与由C 到D 的方向相同,但不一定要有A
与C
重合、B 与D 重合.
说明:①针对上述结论(1)、(4)、(5),我们应该清醒的认识到,两非零向a 、b 相等的充要条件应是a 、b 的方向相同且模相等.
②针对结论(3),我们应该理解向量相等是可传递的.
③结论(6)不正确,告诉我们平面向量a 与b 相等,并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.
例2 如图所示,△ABC 中,三边长|AB |、|BC |、|AC |均不相等,E 、F 、D 是AC ,AB ,BC 的中点.
(1)写出与共线的向量. (2)写出与的模大小相等的向量. (3)写出与相等的向量.
解:(1)∵E 、F 分别是AC ,AB 的中点 ∴EF ∥BC
从而,与EF 共线的向量,包括:
,,,,,,.
(2)∵E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点 ∴EF=
21BC,BD=DC=2
1
BC. 又∵AB 、BC 、AC 均不相等
从而,与EF 的模大小相等的向量是:FE 、BD 、DB 、DC 、CD (3)与EF 相等的向量,包括:DB 、.
例3 判断下列命题真假 (1)平行向量一定方向相同. (2)共线向量一定相等.
(3)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量. (4)不相等的向量,则一定不平行. (5)非零向量的单位向量是±
a
解:(1)假命题,还可以方向相反;
(2)假命题,共线向量仅方向相同或相反;大小不一定相等; (3)真命题,因为向量与起点位置无关;
(4)假命题,因为若a ,b 方向相同,但只要|a |≠|b |,则a ≠
b . (5)真命题,任一非零向量:a 的单位向量为±
a
a .
例4 如图,已知:四边形ABCD 中,N 、M 分别是AD 、BC 的中点,又AB =DC .
求证:CN =MA , 证明:∵AB =DC
∴|AB |=|DC |,且AB ∥DC.从而,四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD ∥BC ,AD=BC
∵N 、M 分别是AD 、BC 的中点. ∴AN=
21AD,MC=2
1
BC. ∴AN=MC. 又AN ∥MC ,
∴四边形AMCN 是平行四边形.于是得:AM ∥NC ,|AM |=|NC |. 又由图可知:CN 与MA 的方向一致. ∴CN =MA
【难题巧解点拔】
例1 如图,已知四边形ABCD 是矩形,O 是两对角线AC 与BD 的交点,设点集M={A,B,C,D,O}、向量的集合T={PQ |任P ,Q ∈M ,且P 、Q 不重合},试求集合T 的子集个数.
分析:要确定向量为元素的集合T 有多少个子集,就需搞清楚集合T 中有多少个相异的向量.
解:以矩形ABCD 的四顶点及它的对角线交点O ,五点中的任一点为起点,其余四点中的一点为终点的向量共有20
个,但是这20个向量不是各不相等的,我们下面将这20个向量一一列举出来:AO =OC 、OA =CO ;DO =OB 、
BO =OD ;AC 、CA ;BD 、DB ;AD =BC 、DA =CB ;AB =DC 、BA =CD .它们中有12个向量是各不相等的.
故T 是一个12元集.所以T 有212
个子集.
说明:在上述解题过程中,我们一定要根据集合元素的互异性.算出T 中的元素个数为12.而不是20.这样才能得到正确的结果.
例2 已知;如图,点D 在△ABC 的边BC 上,且与B 、C 不重合,E 、F 分别在AB 、AC 上,DF =EA .
(1)求证:△BDE ∽△DCF.
(2)求当D 在什么位置时,四边形AEDF 的面积可以取到最大值? 证明:(1)∵=
∴DF ∥AE ,|DF |=|EA |.
从而,得:四边形AEDF 是平行四边形 ∴DE ∥AF ,|DE |=|AF | 由DE ∥AF 可得:∠BDE=∠C 由DF ∥AE 可得:∠B=∠FDC ∴△BDE ∽△DCF
(2)设|BC |=a,|AC |=b,|AB |=c,|BD |=x,则|DC |=a-x. ∵△BDE ∽△DCF. ∴
CD
BD =
DF
BE =
FC
ED
从而,
x BE =
x
a DF -,设比为k 1.
x
ED =
x
a FC
-,设比为k 2.
由|BE |+|DF |=c,|ED |+|FC |=b. 可得:xk 1+(a-x)k 1=c,∴k 1=a
c . xk 2+(a-x)k 2=b,∴k 2=a
b . ∴|DF |=
a
c
(a-x)
|DE |=
a
b x 由点F 作FT ⊥AB ,垂足为T
由锐角三角函数,|FT |=|AF |sinA=a
b
x ·sinA ∴S □AEDF =|DF |·|FT |=
a c (a-x)·a
b
x ·sinA =
2a
bc (ax-x 2
)sinA =2a
bc [42a -(x-2a )2]sinA ≤4bc sinA
当且仅当x=
2
a
时,等号成立. 答:D 是BC 边的中点时,S □AEDF 取到最大值.
例3 如图A 1,A 2,…A 8是⊙O 上的八个等分点,则在以A 1,A 2…A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径的向量有多少个?模等于半径2倍的向量有多少个?
分析:(1)由于A 1、A 2…A 8是⊙O 上的八个等分点,所以八边形A 1A 2…A 8是正八边形,正八边形的边及对角线长均与⊙O 的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是i OA 与O A i (i=1,2,…,8)两类.
(2)⊙O 内接正方形的边长是半径的2倍,所以我们应考虑与圆心O 形成90°圆心角的两点为端点的向量个数. 解:(1)模等于半径的向量只有两类,一类是i OA (i=1,2,…,8)共8个;另一类是A i (i=1,2,…,8)也有8个,两类合计16个.
(2)以A 1,A 2,…,A 8为顶点的⊙O 的内接正方形有两个,一是正方形A 1A 3A 5A 7;另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中,只有这两个正方形的边(看成有向线段,每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍.所以模为半径2倍的向量共有4×2×2=16个.
说明:(1)在模等于半径的向量个数的计算中,要计算i OA 与A i (i=1,2,…,8)两类,一般我们易想到i OA (i=1,2,…,8)这8个,而易遗漏O A i (i=1,2,…,8)这8个.
(2)圆内接正方形的一边对应了长为2的两个向量.例如边A 1A 3对应向量31A A 与42A A .因此与(1)一样,在解题过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为8是错误的.
【命题趋势分析】
本节着重考查对向量的概念的理解,高考中将会以选择题、填空题形式命题.
【典型热点考题】
例1给出下列3个命题:(1)单位向量都相等;(2)单位向量都共线;(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
分析:本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识,增加了考点,加大了难度.因为不同的单位向量有不同的方向,所以(1)和(2)较易判断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反,它们不一定相等,所以(3)也是假命题.
∴选A.
例2如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
(1)与向量相等的向量有;(2)若||=3,则向量的模等于 .
分析:本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力,是容易题,由条件,可得=且=,所以=.于是E、D、C三点共线,故||=||+||=2||=6.
答:(1) ED,DC;(2)6
例3下列命题中,正确的是( )
A.||=||?=
B.||>||?>
C. a=b?|a|∥|b|
D.|a|=0?a=0
解:由向量的定义知:向量既有大小,也有方向,由向量具有方向性可排除A、B,零向量、数字0是两个不同的概念,零向量是不等于数字0的.
∴应排除D,∴应选C.
例4下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a与b是平行向量,则||=||;④若=,则-=正确命题个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
分析:①是忽略了0与0不同,由于|a|=0?a=0,但0不能写成0;
②是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相同,并不意味它们的方向相同或相反;
③是对两个向量平行的意义理解不透,两个向量平行,只是这两个向量的方向相同或相反,而它们的模不一定相
等;
④正确,故选A.
强化练习:
【同步达纲练习】
一、选择题
1.下列命题中的假命题是( )
A.向量AB与BA的长度相等
B.两个相等向量若起点相同,则终点必相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
2.如图,在圆O中,向量OB,OC,AO是( )
A.有相同起点的向量
B.单位向量
C.相等的向量
D.模相等的向量
3.如图,△ABC中,DE∥BC,则其中共线向量有( )
A.一组
B.二组
C.三组
D.四组
4.若是任一非零向量,是单位向量,下列各式①||>||;②∥;③||>0;④||=±1;
a
,其中正确的有( )
A.①④⑤
B.③
C.①②③⑤
D.②③⑤
5.四边形ABCD中,若向量与是共线向量,则四边形ABCD( )
A.是平行四边形
B.是梯形
C.是平行四边形或梯形
D.不是平行四边形,也不是梯形
6.把平面上所有单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一条线段
B.一个圆面
C.圆上的一群弧立点
D.一个圆
7.若a,b是两个不平行的非零向量,并且a∥c, b∥c,则向量c等于( )
A. B. C. D. 不存在
8.命题p :a 与b 是方向相同的非零向量,命题q: a 与b 是两平行向量,则命题p 是命题q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、判断题
1.向量AB 与BA 是两平行向量.( )
2.若a 是单位向量,b 也是单位向量,则a =b .( )
3.长度为1且方向向东的向量是单位向量,长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量.( )
4.与任一向量都平行的向量为0向量.( )
5.若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.( )
6.两向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点也相同.( )
7.设O 是正三角形ABC 的中心,则向量AB 的长度是OA 长度的3倍.( )
8.已知四边形ABCD 是菱形,则|AC |=|BD |是菱形ABCD 为正方形的充要条件.( ) 9.在坐标平面上,以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆.( ) 10.凡模相等且平行的两向量均相等.( )
三、填空题
1.已知a ,b ,c 为非零向量,且a 与b 不共线,若c ∥a ,则c 与b 必定 .
2.已知|OA |=4,|AB |=8,∠AOB=60°,则|AB |= .
3.如图,已知O 是正六边形的中心,则在图中所标出的各向量中,模等于该正六边形边长的向量共有 个.
4.如图所示,四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形,则 ①与向量AB 共线的向量有 ; ②若||=1.5,则||= .
5.已知四边形ABCD 中,=2
1
,且||=||,则四边形ABCD 的形状是 .
四、解答题
1.如图,在△ABC中,已知:向量AD=DB,DF=BE,求证:DE=AF.
2.在直角坐标系中,将所有与y轴共线的单位向量的起点移到x轴上,其终点的集合构成什么图形?
【素质优化训练】
1.已知a、b是任意两个向量,下列条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a 与b都是单位向量.其中,哪些是向量a与b共线的充分不必要条件 .
2.已知ABCD是等腰梯形,AB∥DC,下列各式:①AB=DC;②AD=BC;③|AC|=|BD|;④|AB|≠|DC|;⑤AB∥CD.
正确的式子的序号是 .
3.不相等的向量a和b,有可能是平行向量吗?若不可能,请说明理由;若有可能,请把各种可能的情形一一列出.
4.下列各组量是不是向量?如果是向量,说明这些向量之间有什么关系?
(1)两个三角形的面积S1,S2;
(2)桌面上两个物体各自受到的重力F1,F2;
(3)某人向河对岸游泳的速度v1与水流的速度v2;
(4)浮在水面上的物体受到的重力W和水的浮力F.
【生活实际运用】
某人从A点出发向西走了10米,到达B点,然后改变方向按西偏北60°走了15米到达C点,最后又向东走了10米到达D点.
(1)作出向量AB、BC、CD (用1cm长的线段表示10m长);
(2)求|DA|.
解:(1)
(2)显然DA =CB ,故|DA |=|CB |=15cm
【知识验证实验】
已知某轮船从S 岛沿北偏西30°的方向航行了45海里,请你用有向线段表示此轮船的位移.
【知识探究学习】
一小球在30m 高处,以2m/s 的速度水平抛出,请你用有向线段画出小球经过2S 后的水平位移,竖直位移,并计
算出实际位移的大小.(g=10m/s 2
)
解:依题意:v 0=2m/s,t=2s 水平位移x=2×2=4m 竖直位移h=
2
1gt 2
=20m 实际位移大小是:|OC |2
2OB OA +22204+=426m
参考答案
【同步达纲练习】
一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A
二、1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.× 6.× 7.√ 8.√ 9.√ 10.×
三、1.不共线 2.43 3.12 4.①,,,,,, ②3 5.等腰梯形 四、1.提示:证F 平分AC ,E 平分BC.
2.平行于x 轴,且与x 轴的距离为1的两条直线 【素质优化训练】
1.①③④
2.②④⑤
3.有三种情况:(1)两个向量和中有一个是零向量,另一个是非零向量; (2)向量,为模不相等,方向相同的两个非零向量; (3)向量,为非零向量且方向相反
4.(1)不是向量 (2)是向量,它们是方向相同的向量 (3)是向量,不共线 (4)模相等方向相反的向量
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量及空间向量高考数学专题训练(四) 一、选择题(本大题共12小题,每小题分6,共72分) 1.设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b , 则锐角α为( ) A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ,动点2),(x y x P =?满足,则点P 的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3.已知向量值是相互垂直,则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(( ) A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4.已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5.将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a (2,3 π )平移,再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍,则所得图像的解析式可以写成( ) A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x -3 π )-2 C.y=(321π+x )-2 D.y=sin(321π-x )+2 6.若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7.从点A(2,-1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为( ) A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(-1, 3),若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则?的值为 ( ) A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10.O 为空间中一定点,动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,