具生物控制的时滞阶段结构种群模型的稳定性

第９卷第２期　

２００８年４月　北华大学学报（自然科学版）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＢＥＩＨＵＡ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．９　ＮＯ．２　

Ａｐｒ．２００８　

文章编号：１００９－４８２２（２００８）０２－００９７－０７　

具生物控制的时滞阶段结构种群模型的稳定性　

程荣福　，孙吉荣　

（１．北华大学数学学院，吉林吉林１３２０３３；２．北华大学师范分院，吉林吉林１３２０１３）　

摘要：研究一个具生物控制的时滞和阶段结构种群模型．证明了模型正平衡点的局部渐近稳定性，并给出了正平　

衡点全局渐近稳定的充分条件．　关键词：生物控制系统；阶段结构；时滞；稳定性　

中图分类号：Ｏ１７５．１４　文献标识码：Ａ　

Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ａ　Ｔｉｍｅ　Ｄｅｌａｙ　Ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　Ｓｔａｇｅ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　Ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　

Ｇｒｏｗｔｈ　ｗｉｔｈ　Ｂｉｏ－ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｓｙｓｔｅｍ　

ＣＨＥＮＧ　Ｒｏｎｇ．ｆｕ　，ＳＵＮ　Ｊｉ．ｒｏｎｇ　

（１．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＢｅｉｈｕａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｌｉｎ　１３２０３３，Ｃｈｉｎａ；２．Ｔｅａｃｈｅｒ，’ｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＢｅｉｈｕａ　Ｕｎ＆ｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｌｉｎ　１３２０１３，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｔｉｍｅ　ｄｅｌａｙ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｓｔａｇｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｂｉｏ—ｃｏｎｔｒｏｌｓ　ｓｙｓｔｅ：ｍ　ｉｓ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｉｔ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　

ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｏｉｎｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｌｏｃａｌｌｙ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ，ａｎｄ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　

ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｇｌｏｂａｌ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｏｉｎｔｓ　ｏｆ山ｅ　ｍｏｄｅ１．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｂｉｏ—ｃｏｎｔｒｏｌ　ｓｙｓｔｅｍ；Ｓｔａｇｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；Ｔｉｍｅ　ｄｅｌａｙ；Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　

１　引　言　

捕食者一食饵系统是种群动力学中一类非常重要的模型，现已有大量的：研究工作¨剖．在经典的捕食　

者一食饵模型中，人们总假定每一个食饵个体具有相同的受捕食者攻击的风险．这个假设对许多动物来说　

似乎不切实际．例如，在自然界中，物种的增长常常有一个成长发育的过程，从幼年（简称幼体，下同此）到　

成年（简称成体，下同此），幼体没有生育能力、捕食能力，生存能力相对较弱，而成体不仅有生育能力、捕　

食能力，而且生存能力较强，它们在其生长的每一阶段都会表现出不同的特征，生理机能（出生率、死亡　

率、扩散率、捕食能力等）差别也比较显著．据此，考虑具有时滞阶段结构种群模型更有实际意义．　

近年来，具有时滞阶段结构的种群动力学模型已引起了许多学者的关注．文献［９］提出了一个包含幼　

体和成体两个阶段的单种群增长模型，证明了正平衡点存在唯一，且是全局渐近稳定的．另外，文献［１Ｏ一　

１　１］在生态系统中建立了反馈控制模型，并给出了正平衡点全局渐近稳定的条件．　

本文依据文献［９－１１］的建模机理，提出在单一的食饵种群中引人一天敌种群（以下称为捕食者种　

群），对该系统实施生物控制．我们的目的是：通过对食饵成体种群的控制，既实现对食饵种群的整体控　

制，又能在改变生态系统正平衡点大小中使人们从中获益，其生态意义十分明显．采用安全且环保的生物　

控制，有利于对可再生资源的合理开发与利用．为此，我们考虑由下面数学模型所描述的生物控制系统　

收稿日期：２００７一ｌ１－０２　基金项目：北华大学科研基金项目（２００７０１４）　

作者简介：程荣福（１９５４一），男，教授，主要从事生物数学研究　维普资讯 http://www.cqvip.com 旦＿＿一　北华大学学报（自然科学版）　第９卷　

ｒ　】（￡）＝ａｘ２（￡）一ｒ１　Ｉ（ｔ）一ｂｘ，（ｔ一丁），　

｛ｘ２（￡）：ｂｘ２（￡一丁）一ｒ２　２（￡）一６　（￡）一ａＩ　２（￡）“（￡），　（１・１）　

（ｔ）：“（ｔ）（ａ２　２（ｔ）一ｄ—ｂ２“（ｔ））．　

其中，　（ｔ），　（ｔ）和“（ｔ）分别表示幼体食饵、成体食饵和引入的捕食者种群在时刻ｔ的密度．　

模型（１．１）的建立基于下列假设：　

（Ｈ　）食饵种群：出生率与现存的食饵成体密度成正比（比率系数为ａ＞０）；幼体食饵的死亡率与现存　

幼体食饵的密度成正比（比率系数为ｒ　＞０）；丁≥０表示幼体食饵个体从幼年到成年的转化所需要的时　

间；幼体食饵成熟率与ｔ一丁时刻的成体食饵密度成正比（比率系数为ｂ＞０）；成体食饵的死亡率与其现存　

密度成正比（比率系数为ｒ　＞０）；参数ｂ　＞０表示成体食饵的种内竞争率，参数ａ　＞０表示成体食饵的被　

捕获率．　

・　（Ｈ　）捕食者种群：假定捕食者种群只捕食成体食饵．捕食者种群在时刻ｔ的平均（相对）增长率　

与现存的成体食饵密度成正比（比率系数为ｎ　＞ｏ）；参数ｄ＞ｏ，６　＞ｏ分别表示捕食者种群　

的死亡率和种内竞争率．　

本文我们讨论生物控制系统（１．１）将基于以下初始条件：　

（ｔ）：　（ｔ），　，（￡）：　，（￡），　“（￡）＝　（ｔ），　

（０）＞０，　，（Ｏ）＞０，　（０）＞０．　

其中　（￡），　，（￡）和　（￡）都是［一丁，０］上的非负连续函数．为保证初始条件的连续性还假定　

】（０）：Ｊ　ｂｅ　”　２（ｓ）ｄｓ．　（１．３）　，ｆ　我们将在下面先讨论系统（１．１）的解的正性与有界性，再证明系统（１．１）正平衡点的局部渐近稳定　

性，最后推证其正平衡点是全局渐近稳定的充分条件．　

２解的有界性　

定理２．１系统（１．１）满足初始条件　

（ｔ）＞０，　，（ｔ）＞０，ｔ∈［一丁，０］　（２．１）　

的解当ｔ＞０时是恒正的．　

证明１）先证当ｔ＞０时，恒有　（￡）＞０．假若不然，由式（２．１）知ｔ∈［一丁，０］，　（￡）＞０，可知存在　

ｔ’＞０使　２（￡　）＝０．取ｔ０：ｉｎｆ｛ｔ＞０　Ｉ　２（￡）：Ｏ｝，必有　２（￡。）≤０．而由系统（１．１）第２个方程知　

’　ｃ　６ｂ　￣　Ｅ　（　ｔｏ

一－

丁ｒ　）

，，￡＜＞ｔ丁ｏ，≤丁，　

知　２（ｔ０）＞０，这是矛盾的．故当ｔ＞０时，恒有　２（￡）＞０成立．　

２）再证当ｔ＞０时，恒有　（ｔ）＞０．当０＜ｔ≤７时，由系统（１．１）第１个方程知　

１（￡）＞一ｌ＂１　１（￡）一　２（ｔ一丁），　

作比较方程　

（￡）：一ｒｌ　￡（￡）一６　２（ｔ一丁），ｒｅ（ｏ）：　（Ｏ），　

ｍ（￡）：ｅ　［　（ｏ）一ｆ　６　（ｓ一丁）ｅｒｌｓｄｓ］，　（２．２）　

从而　

ｍ（　）：ｅ　［ｆ　６ｅ　（ｓ）ｃｌ　—ｆ　（ｓ—　）ｅ　ｄｓ］：０．

　维普资讯 http://www.cqvip.com 墨　期．　程荣福，等：具生物控制的时滞阶段结构种群模型的稳定性　９９　————。——‘——————　—————　—　‘——　—　—————————————————————————————————————————————————————　＝　—＝二～　由式（２．２）知ｍ（￡）是严格单调减少的，所以，当０＜ｔ≤　时有　（￡）＞ｍ（　）＞ｍ（　）＝０成立．类似文　

献［９］的方法，可证ｎ丁＜ｔ≤（ｎ＋１）　（ｎ＝１，２，…）时，恒有　，（ｔ）＞０成立．　

３）最后证当ｔ＞０时，恒有ｕ（ｆ）＞０．事实上，由系统（１．１）第３个方程及初始条件（１．２）知，当ｔ＞０　

时有　

“。ｅｘＰ“（ｎ　（ｓ）一　）出）　

ｌ＋　（０）　ｅｘ　（　）一ｄ）　

故当ｔ＞０时，系统（１．１）的解　（ｔ），　（ｔ），Ｍ（ｔ）都为正解．　

定理２．２系统（１．１）满足初值条件（２．１）的正解都是最终有界的，即存：在常数Ｍ，＞０及　＞０，当　ｔ充分大时有　１（￡）＜Ｍ１，ｘ２（￡）＜Ｍ１，Ｍ（￡）＜Ｍ２．　

证明作Ｐ（ｔ）＝　。（ｔ）＋　（ｔ），Ｐ（ｔ）沿系统（１．１）正解的导数　

（￡）＝ｎ　２（￡）一ｒ１　１（￡）一ｒ２ｘ２（￡）一ｂＩ　２２（￡）一ａ１　２（￡）Ｍ（￡），　

取０＜　≤ｍｉｎ（ｒ。，ｒ２），则有　

）＋　）≤　￡）－　２（￡）≤苦，　）≤南＋（　））一南ｅ啮），　

从而　

ｌｉ＋ｍ　ｓｕｐｐ（ｔ）≤　’’　ｆ－¨∞　４　，’　

因此，存在常数Ｔ　＞０和Ｍ。＞Ｍ　，使得当￡＞　时，有　。（￡）＜　。，　（￡）＜　．　

同样地，对于系统（１．１）的正解　。（ｆ），　（ｆ），“（ｆ），由系统（１．１）第３个方程知当ｆ＞　＋ｒ时有　

吐（ｔ）≤Ｍ（ｔ）（ｎ　一ｂ２Ｍ（ｔ）），　

于是　

）≤　：＝　，　ｃ－’＋　＾一　‘　可知存在常数　＞　＋　和Ｍ２＞　，使得当￡＞　时，有ｕ（￡）＜Ｍ２．　

３局部渐近稳定性　

系统（１．１）的平衡点应满足方程组　

ａｘ２一　１　１一ｂｘ２＝０，　

｛　一ｒ２　一６。　一ｎ。　ｕ＝０，　

【ｕ（ｎ　一ｄ—ｂ２ｕ）＝０．　。　

可知，在条件　

（ｉ）　＞ｒ２　Ｉ（ｉ）字＞ｄ　，　（３．１）　

之下，系统（１・１）存在非负平衡点Ｎ（Ｏ，０，０），　（　，　２０，０）和唯一正平衡点Ｅ（　，　，ｕ　），其中　

．０　（０—６）（ｂ—ｒ　）　。　ｂ—ｒ２　

一　——　一，　下；　

．一ｎ—ｂ．．＋　．．。　６２（ｂ—ｒ２）＋ａ１ｄ　．　ｎ２（ｂ一１＂２）一ｂ１ｄ　一：’　’　

’　维普资讯 http://www.cqvip.com １ＯＯ　北华大学学报（自然科学版）　

一ｂ　

６　

Ｏ　

特征矩阵为　

ｆＡ＋ｒ１　一ｎ＋ｂｅ一　０　１　

．，（Ⅳ）＝１　０　Ａ＋／＇一ｅ　ｌ，２　ｂ　０　

ｏ　ｏ　Ａ＋ｄｊ　

特征方程为　

ｄｅｔＪ（Ｎ）＝（Ａ＋ｒ　）（Ａ＋ｄ）（Ａ＋ｒ，一６ｅ一　）＝０，　

由于Ａ＝一ｒ　＜０，Ａ＝一ｄ＜０，又Ｙ＝Ａ＋ｒ，与Ｙ＝ｂｅ　关于Ａ有一个正交点（ｂ　

＝０有一个正根，故Ｎ（０，０，０）是不稳定的．　

在点Ｍ（ｘ？，　：，ｏ）处系统（１．１）的线性系统为　

特征矩阵为　

特征方程为　

特征矩阵为　

特征矩阵为　ｎ　０　

一（ｒ　＋２ｂ　）　一ａＩ　

０　０＇２　；一ｄ　——ｂ　

ｂ　

Ｏ　

—ｎ＋ｂｅ一　０　

Ａ＋１＂２＋２ｂ　一ｂｅ一　ａＩ　

０　Ａ一０＇２　＋　

一ｎ＋６ｅ一＾　

Ａ＋ｒ２＋２ｂ１Ｘ２　＋ｎｌ　一ｂｅ一＾　

ｄｅｔＪ（Ｅ）＝（Ａ＋ｒ，）［（Ａ＋ｂ２ｕ　）（Ａ＋ｒ　＋２ｂ，　＋ｎ１　ｕ　一ｂｅ一　）　

显然Ａ＝一Ａ．＜０，而对于方程　

记　第９卷　

＞１＂２），县口Ａ＋ｒ２一ｂｅ一　

：，ｏ）是不稳定的．　

（３．２）　

ａ２Ｘ２　］＝０，（３．３／／，０　３　３）＋ｎ，　Ｊ＝　，　（・　）　

（Ａ＋ｂ２ｕ　）（Ａ＋１＂２＋２ｂ１Ｎ２　＋ｎｌ　ｕ　一ｂｅ－Ａｔ）＋ａＩｎ２　“　＝０，　（３．４）　

Ｐ＝ｒ２＋２ｂ１Ｘ２　＋ａ１　＋６２　＝ｂ＋ｂＩＸ２　＋ｂ２　＞０，　＼、●●●●●●●●　）））　丁　丁　ｒ　一　一　一　￡　￡　￡　（（（　１　２　‘Ｌ　，，　．．．．．．．．．．．．．．．．．．一／　＼１●●●●●●　Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　，，，　．．．．．．．．．。．　＋　＼、●●●●●●●●　Ｍ　，，　．．．．．．．．．．．．．．．．．．一／　＼、●●●●●●●●　ｄ　Ｏ　０　．　ｒ　Ｏ　ｌ＿　Ｏ　Ｏ　，，　．．．．．．．．．．．．．．．．．．一／