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数学建模-生物种群模型概述

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种群问题模型

种群问题模型
2
(P2，M) M (M, ) + +
许可证的数量要小于
P t m
考虑到不可控因素数量为
P t P2 或许更好。
17
4.2.2.受年龄性别影响的种群模型
例2．人口增长的年龄结构模型
1.问题的提出 根据资料建立描述人口增长的模型，并对每 一个时间段和每一个年龄组，计算出相应的 总人口数（计算年限为19个5年的时间段）
P 0, P m, P M , P 1
mM mM , P2 , m 2 M 2 mM 3 3
m2 M 2 2mM mM , m2 M 2 mM 0 0
1 m M m M mM P 0 1 3 mM m M P M 1 1 P m 1 m mM M M m P2 1 M 1 P2 m, 1 1 m 3 m m2 mm M P2 1 m 1 P2 M 1 1 2 M M 3 M
dY F (Y ) dt T Y (t ) y1 (t ), y2 (t ), , yn (t ) 式中的向量值函数
F (Y ) f1 (Y ), f 2 (Y ),, f n (Y )

与自治微分方程类似，称使方程组 F (Y ) 0 的
* * * * T 解Y y1 , y2 ,, yn 为系统
第4章 种群问题模型
• 种群问题是指种群在数量或密度上随时间 的变化问题，有单物种种群和多物种种群 问题之分。 • Malthus模型和Logistic模型就是在历史上很 有名的研究人口增长的单种群数学模型的 案例，种群数学模型对种群生态学的发展 起到了难以估计的作用。

数学建模生物种群模型(课件资料)

数学建模生物种群模型(课件资料)
案例分析中，可以采用回归分析、时间序列分析等方法建立模型，并利用历史数据对模型进行验证和优化。
THANKS
感谢观看
06
生物种群模型的实践应用与案例分析
生物种群模型是数学建模的一个重要分支，用于描述生物种群随时间变化的规律和预测未来发展趋势。
实践应用中，生物种群模型可以帮助我们理解种群动态，预测种群数量变化，制定合理的资源利用和保护策略。
生物种群模型的应用范围广泛，包括野生动物、农作物、微生物等多种生物类型。
详细描述
Verhulst模型是在Logistic模型的基础上引入了一个额外的项，以考虑种群增长过程中的饱和效应。这个模型可以更好地描述种群数量的变化趋势，特别是在种群数量接近
总结词
Malthus模型假设种群增长是无限的，没有考虑到资源限制对种群增长的影响。该模型通过一个简单的微分方程描述种群数量的指数增长，但与实际情况相比，预测结果往往过于乐观。
详细描述
VS
描述种群数量变化趋势更为准确的模型
详细描述
Gompertz模型是一个改进的种群增长模型，它考虑了种群增长初期的缓慢和后期的加速增长趋势。该模型通过一个非线性的微分方程来描述种群数量的变化，可以更好地拟合实际数据，并给出更为准确的预测结果。
总结词
03
数学建模在生物种群模型中的应用
03
风险决策分析
根据决策者对不同方案的主观偏好和效用函数，选择最优方案。
效用决策分析
在多个目标之间进行权衡和取舍，选择最优方案。
多目标决策分析
通过时间序列分析，预测某种群在未来一段时间内的数量变化趋势。
种群数量预测
根据种群数量变化趋势，制定合理的资源分配方案，以实现种群数量的有效控制和管理。

数学建模生物种群模型

数学建模生物种群模型

( t) c e c te x 11 12 y t t 1 1 t) c e c te ( 21 22
2019/2/27
t 1
t 1
p ( a d ), q ad bc
2 p p 4 q 1 ,2 2
f ( x0 , y0 ) 0 g( x0 , y0 ) 0
记为
P 0 (x 0, y 0)
2019/2/27
稳定与不稳定：如果存在某个邻域，使系统（1）的 解 (x 从这个邻域内的某一初值 (x (t),y (t)) ( 0 ),y ( 0 ))
出发，满足
lim x ( t ) x , lim y ( t ) y 0 0
的数学模型（Volterra模型）
（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C 。
( t ),x ( t ), x ( t ) 设 A，B，C t 时刻的密度分别为 x 1 2 3
假设：C 种群主要以A，B种群为食饵， A，B不 存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的； A， B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互
N 表示 t 时刻的种群数量，r 称
为内禀增长率。
r ( t t ) 0
N ( t ) N ( t ) e 0
2) 罗杰斯特(Logistic)模型
dN N r( 1 )N K表示该种群的最大容纳量。 dt K K N ( t) K N ( t) r ( t t) 1 N e ( t)
x ,y ), g ( x ,y ) ， 在平面区 假定方程组(1)的右端函数 f( 域 G 满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点 有唯一的轨线。
2019/2/27

生物数学模型第6讲 生物系统论-生物种群模型

生物数学模型第6讲 生物系统论-生物种群模型
a 记系数矩阵 A c b d
det A 0
系统（2）有唯一的平衡点（0，0）。
2018/10/10
记组(2)的系数矩阵构成的特征方程为：
a b D( ) 2 p q 0 c d (3)
其中 p (a d ), q ad bc
相互竞争、相互依存、弱肉强食。
三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的 数学模型。 这些模型用方程组表示，或用图形表示。
2018/10/10
记三个种群分别为
1
2
3
并约定 2
1）种群 1 供食于种群 2 表示为 1 2）种群 1 为密度制约可表示为 1 ）
3）种群 1 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组 成的系统）为生， 1 4）种群 1 与种群 2 相互竞争： 1
假定方程组(1)的右端函数 f ( x, y), g ( x, y) ， 在平面区 域 G 满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点 有唯一的轨线。
2018/10/10
平衡点 （Equilibrium） ：使得 f 2 ( x0 , y0 ) g 2 ( x0 , y0 ) 0 的点 ( x0 , y0 ) 为组(1)的平衡点，否则称为常点。 即 平衡点满足
C） B） A）
aij 0, i, j 1,2,3; ai 0 0, i 1,2,3
2018/10/10
说明下列微分方程组的生态意义
dx1 dt x1 (a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 (a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 (a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )

种群生态数学模型 环境生态学课件

种群生态数学模型 环境生态学课件

x(2010)=306.0
种群的相互竞争
• 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相 互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝， 竞争力强的达到环境容许的最大容量。
• 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程， 分析产生这种结局的条件。
模型假设 • 有甲乙两个种群，它们独自生存
时数量变化均服从Logistic规律;
S1 : x1 0, x2 0 S2 : x1 0, x2 0 S3 : x1 0, x2 0
t x1, x2 t x1 , x2 t x1, x2
0
从任意点出发(t=0)的相轨
S1
•P1
线都趋向P1(N1,0) (t)
0
N1 / 2
N1 x1
P1(N1,0)是稳定平衡点
平衡点稳 定性的相 轨线分析
x1 (t )
r1 x1 1
x 1
N 1
1
x 2
N 2
x2 (t)
r2 x2 1 2
x1 N
1
x2 N
2
(x1,
x2 )
1
x1 N1
1
x2 N2
(x , x ) 1 x1 x2
12
N 2 1
N2
(1) 2>1, 1<1
x2 S3
N /
2
1
0
N2 S2
S1 : 0, 0
x 2
A
N 2
(2)
0
1>1,
2>1
有相轨线趋向A 有相轨线趋向B
A, B都不 (局部)稳定
N /
2
1
• P3
P1稳定的条件：直接法2>1
0

高中二年级下学期生物《种群“S”形增长的数学建模》模教学设计

高中二年级下学期生物《种群“S”形增长的数学建模》模教学设计

种群“S”形增长的数学建模课题种群“S”形增长的数学建模教学目标 1.能阐述“S”形曲线形成的条件。

2. 能准确阐述环境容纳量的定义。

3. 能将K值和K/2值运用到生产生活当中。

教学重点 1. “S”形曲线形成的条件。

2. K值和K/2值的应用。

教学难点 1. “S”形曲线形成的条件。

教学方法利用课件通过举例分析实例构建“S”形曲线形成的原因及条件。

学法指导讲练结合、注重现象与本质的联系和推导教具（资料）多媒体课件板书设计一、“S”形曲线1.定义2.条件二、环境容纳量1.定义2.应用作业教学后记教学过程组织教学：引言：通过前面的学习，我们已经知道了在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有天敌和其他竞争物种等理想条件下，种群的数量每年将以一定的倍数增长，可是自然状态下，并不会呈现这样的理想条件。

那么在实际情况下，种群的数量又将怎么变化呢？这就是今天将要学习的内容。

新课：生态学家高斯曾经做过单独培养大草履虫的实验，在0.5ml培养液中放入5个大草履虫，每隔24h统计一次大草履虫的数量，将数据绘制成表格，同时为了更好的反映出在这段时间内种群数量增长的差异，可以将数据绘制成柱形图，而为了更好的反映出未来的一段时间内种群数量变化的趋势，将数据绘制成曲线图。

在第4天之前，种群的数量是一直增加的，在第5天左右，种群数量基本维持稳定。

像这样，种群经过一定时间的增长后，数量趋于稳定，增长曲线呈“S”形。

这种类型的种群增长称为“S”形增长。

结合前面学过的知识，种群的数量在增加，意味着出生率大于死亡率。

而随着种群数量越来越多，食物和空间的竞争趋于剧烈，导致出生率降低死亡率升高。

当死亡率升高至与出生率相等时。

种群的增长就会停止，有时会稳定在一定的水平。

其实刚刚的过程也是符合数学模型构建的过程的。

复习一下之前学过的步骤。

第一步观察研究对象，提出问题，第二步提出合理的假设，第三步根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达，即建立数学模型，第四步通过进一步实验或观察等，对模型进行检验或修正。

第1讲生物数学建模简介.ppt


P (r, t) p(r,
t p(r,0) p0 (r)
t)
p(0, t) f (t)
p(rm , t) 0
→难!
模型求解
– 若假设 (r,t)=(r)
p(r, t )
p0 (r
r
t
)e
r
1
(
s
)
ds
,0
r
t
r
f (t r)e0 (s)ds , t r
➢ 模型分析(略)
r
p0
(r
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 • 可用于短期人口增长预测 • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程
19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
不符合实际
符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
三、数学模型的分类
应用领域： 人口、生理、经济、生态 …
初等模型、几何模型、优化模型、微分方程
数学方法： 模型、图论模型、逻辑模型、统计模型等
表现特性： 确定和随机
离散和连续
静态和动态 线性和非线性
建模目的： 描述、优化、预报、决策 … …
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万）
1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4
r=0.2557, xm=392.1
阻滞增长模型(Logistic模型)

数学建模生物种群问题

所给参数，用数学软件编程计算. Mathematica
In [1] :=X=200.0; xs=75.0;x0=5.0;c=6.0. Alpha=0.5;beta= 1.0.gama= 1.5;
In [8] :=temp=gama*X/(X-xs)- (c*alpha+beta). Result=If[temp<0,X/alpha*Log [(c*alpha+beta)*(Xx0)/(gama*X)],X/alpha*Log [(X-x0)/(X-xs)]] Out[9] :=382.205
第九页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
■ 假设 ：
■ 1.本模型只对某一 品种猪进行讨论 ，故设计猪 的性质的有关 参数均可视为固定的常数。
■ 2. 由于开始进行商业性饲养时已具有一定体重 ，所以可以假设猪的
体重增长的速度将不断减慢 。设反映猪体重增长速度的参数为a。
■ 3. 由于猪的体重越大 ，单位时间消耗的饲养费用就越多 ，达
第十五页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
感谢大家观看
第十六页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
第十三页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
■ 由C dx/dt=dy/dt，
■ 有C e- 1 /xt0 (1-x0/X)=2 - βe- α /Xt0 (1-x0/X)
■ 解得t0=X/α ln (Cα+ β)(X-x0)/γX
■ 现考虑如下两种情况：
■ (1) t0>ts， 即 γX/（X-xs ） <Cα+ β ■ 这时猪应在t*=t0=X/α ln (Cα + β)(X-x0)/ γ X时售出 ■ (2) t0<=ts ， 即 γX/（X-xs)>=Cα+ β ■ 这时猪应在t*=ts=X/ α ln (X-x0)/(X-xs)时售出（因为

生物学中的数学模型及其应用研究

生物学中的数学模型及其应用研究生物学中的数学模型是指用数学语言和方法，对生物学领域或生境中的生物系统或生物现象进行描述、分析和预测的模型。

生物学中的数学模型应用于从基础研究到应用研究等方面，在生物学的各个分支领域中均有着广泛的应用。

一、生物学中的数学模型种类与应用研究1.模拟模型模拟模型是生物学中的一种数学模型，通过对生物系统的相关数据进行建模和仿真，预测和模拟生物系统的动态行为和进化过程。

生物学中，一个生物群体的增长和演化都可以被建模和仿真。

生物系统的生长率和死亡率是影响生物群体增长的主要因素。

为了预测生物群体的状态，动态方程可以用来预测时间步骤中的生物增长和死亡情况，给出一个群体的数量 vs 时间的曲线，以便了解生物群体增长和演化的情况。

2.计算模型计算模型是一种应用于生物学中的数学技术，用于研究物种之间的互动、动物行为、疾病影响等方面。

利用概率、统计学和计算机科学等技术，实现对生物进化和演化的模拟和计算。

例如：利用计算模型，研究治疗和药物治疗的效果，或者研究物种之间的交叉适应。

3.动力学模型动力学模型是生物学领域中另一个流行的模型，以研究复杂系统中的各种过程如生物进化和群体行为为目的。

动力学模型通过建立一系列方程来描述数量、时间、速度、能量等物理量的变化，模拟物种群体数量的变化过程以及物种间的相互作用，并预测物种数量的趋势和变化规律。

二、生物学中的数学模型在应对生物问题中的作用生物学中的数学模型在研究生物问题中发挥着重要的作用，它为生物学家提供了一种比较直观、全面可信的分析工具，促进了对生物系统和生态系统行为的理解。

通过使用数学模型研究生态系统的相互关系和动力学，可以了解自然界中不同物种之间的交互作用和它们对生物多样性的影响。

此外，生物学中的数学模型还有以下应用：1.预测疾病流行趋势许多生物病原体的流行趋势与时间相关。

因此，通过使用预测模型，可以预测人口密度、食品供应、气候等影响疫情的因素，从而促进公共卫生策略的制定并有效地应对流行病爆发。

数学建模 种群模型


(9)
数学建模
种群模型
15
近似方程 (9) 的一般解为：
p(t ) C e
于是有下述结论：
若
F ( p )t
p

F ( p ) 0 ，则p*
是稳定平衡点。
若
F ( p ) 0 ，则p* 不是稳定平衡点。
数学建模
种群模型
16
回到我们的问题，由于 F ( p0 ) k r F ( p1 ) r k
dh 2k r N 1 0 km dk r 2
数学建模
种群模型
19
对应的
r 1 rN hm N 1 2 2 4
N pm 2
结论
控制捕捞强度k = r/2 ，使渔场产量pm保持在
最大鱼量N 的一半时，可以获得最大的持续产 量hm = rN / 4。
1r2 a11 0 a12 2
a21
2
特征方程为
r 1r 2 0
此时，两个特征根是共轭复数，实部为0，故无法直 接判断平衡点稳定性。 为分析解的渐进行为，一种变通方法是到相空 间中去分析解轨迹的图形。在（14）、（15）中消 去dt ，得：
数学建模 种群模型 33
dx1 x1 (r1 1 x2 ) dx2 x2 (r2 2 x1 )
数学建模 种群模型 27
年份
1914 1915 1916 1917 21.4 22.1 21.2
1918 36.4
1919 27.3
1920 16.0
1921 15.9
1922 14.8
鲨鱼比例 11.9
他无法解释这种现象，于是求助于著名意大利数学 家V.Volterra，希望他能帮助建立一个P—P系统的数 学模型，来解释这种现象。 模型建立（Volterra模型）
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4）种群 1 与种群 2 相互竞争： 1 2
5）种群 1 与种群 2 互惠共存： 1 2
2021/3/24
如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系， 则三者关系有三种： 两个食饵种群，一个捕食者种群。 一个食饵种群，两个捕食者种群。 捕食链。
C
C
A
BA
B CBA
2021/3/24
下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两 种群间的影响都是线性的，建立其相互作用 的数学模型（Volterra模型）
（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C 。 设 A，B，C t 时刻的密度分别为 x1(t), x2 (t), x3 (t) 假设：C 种群主要以A，B种群为食饵， A，B不 存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的； A， B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互 竞争。图示如下：
2021/3/24
a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为密度制约； 3) a12 0, a21 0 表示甲、乙种群相互竞争； 4) a12 0, a21 0 表示甲、乙种群相互依存； 5) a12a21 0 表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。
2021/3/24
3 三种群的一般模型 三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但 建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中 每两个种群之间的关系仍可归结为：
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
2021/3/24
dx1
dt
x1 (a10
a11x1
a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
2021/3/24
（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B ， C 。
dx1
dt
x1 (a10
a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
A
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
a33x3 )（
B
C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
生物种群模型
2021/3/24
生物种群模型
简介 种群(Population)：是指在特定时间里占据 一定空间的同一物种的有机体集合。 种群生态学： 主要研究种群的时间动态及调节机理。 种群分为单种群和多种群。
2021/3/24
1 单种群的数学模型：
1)马尔萨斯(Malthus)模型
dN rN N 表示 t 时刻的种群数量，r 称 dt
a33x3 )
A） B） C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
2021/3/24
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2
a23 x3 )
为内禀增长率。
N (t) N (t0 )er (tt0 )
2) 罗杰斯特(Logistic)模型
dN r(1 N )N K 表示该种群的最大容纳量。
dt
K
K
N (t)
1
K N (t0 ) N (t0 )
er (t t0 )
2021/3/24
3） 一般的种群模型
dN Nf (N ) dt
4) 开发了的单种群模型
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13 x3 )
C
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23 x3（)
A
B）
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2 )
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
相互竞争、相互依存、弱肉强食。 三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的 数学模型。
这些模型用方程组表示，或用图形表示。
2021/3/24
记三个种群分别为 1 2 3 并约定
1）种群 1 供食于种群 2 表示为 1
2
2）种群 1 为密度制约可表示为 1 ）
3）种群 1 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组 成的系统）为生， 1
C） B） A）
2021/3/24
说明下列微分方程组的生态意义
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
a33x3 )
A） B） C）
2021/3/24
（3）捕食链：A是B的食饵， B是C的食饵。
dx1
dt
x1 (a10
a11x1
a12 x2 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23 x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a32 x2
a33 x3 )
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
r1
f1(x)
g1( y)
dy
ydt
r2
f2 (x)
g2 ( y)
线性化，得
dx dt
x(a10
a11 x
a12 y)
dy
dt
y(a20
a21 x
a22 y)
2021/3/24
dx dt
x(a10
a11 x
a12 y)
dy
dt
y(a20
a21 x a22 y)
1) a10 (a20 ) 表示甲（乙）种群的自然生长率； 2) a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为非密度制约，
2021/3/24
dx1
dt
x1 (0
a11x1 a12 x2
a13 x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a23 x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2 )
B
A） C
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
dN Nf (N ) h dt
具有常数收获率
dN Nf (N ) h(t) dt
具有时变收获率
2021/3/24
2 两种群的一般模型
两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种 情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。 设甲、乙两种群在 t 时刻的数量为 x(t), y(t) ，则
dx xdt