高考排列组合知识点总结及典型例题

排列组合是高考必考内容但却是学生心目中难题有的学生很难理解现特附上数学排列组合20种解题方法汇总文档里面交待了常见的排列组合研究方法并给以习题练习希望对于广大考生有帮助
高三数学排列组合20种解题方法汇总（含例题及解析）
排列组合是高考必考内容，但却是学生心目中难题，有的学生很难理解，现特附上数学排列组合20种解题方法汇总文档，里面交待了常见的排列组合研究方法，并给以习题练习，希望对于广大考生有帮助。

排列组合问题专项讲义知识点+例题+练习题+详细解析基本知识框架：加法原理排列数 排列数公式综合应用乘法原理 组合数 组合数公式一、基本概念：乘法原理：一般地，如果完成一件事情需要n 步，其中，做第一步有a 种不同的方法，做第二步有b 种不同的方法，…，做第n 步有x 种不同的方法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ×b ×…×x种不同的方法。

加法原理：一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有a 种不同的做法，第二类方法中有b 种不同的做法，…，第n 类有x 种不同的做法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ＋b ＋…＋x种不同的方法。

排列、排列数一般地，从n 个不同的元素中任意取出m(n ≥m)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。

记做mn A 。

m n A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)组合、组合数一般地，从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素组成一组，不计组内各元素的次序，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数。

记座mn C 。

m nC ＝m n m m A A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)÷!m 二、常见的解题策略1、特殊元素优先排列2、合理分步与准确分类3、排列、组合混合问题先选后排4、正难则反，等价转化5、相邻问题捆绑法6、不相邻问题插空法7、定序问题除法处理8、分排问题直排处理 9、“小集团”问题先整体后局部10、构造模型 11、树形图三、排列组合例题1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如下图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？8.从5个声母，3个韵母中每次取出3个声母2个韵母的排列方法有多少种？9.4名男生5名女生站成一排，如果男生不分开，女生也不分开，有多少种不同的站法？10.五对孪生兄妹排成一排，每对兄妹不能分开，共有多少种排法？11.7人站成一排，其中4名男生，3名女生；如果限定女生不站两头，且女生站在一起，一共有多少种不同的站法？四、应用排列组合解决计数问题1、在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？方法一解：三个顶点都在半圆弧上的三角形有37C ＝35（个）两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形有27C ×15C ＝105（个）一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形有17C ×25C ＝70（个）由加法原理得：35＋105＋70＝210（个）答：略方法二（排除法）解：312C －35C ＝220－10＝210（个）答：略2、如下图，问：①右图中，共有多少条线段？ A B C D E F G②下右图中，共有多少个角？解：①图中任何两点都可以得到一条线段，这是一个组合问题，图中共有7点，所以：27C ＝21共有21条线段。

排列组合专题复习及经典例题详解1.学目掌握排列、合的解策略2.重点（1）特殊元素先安排的策略：（2）合理分与准确分步的策略；（3）排列、合混合先后排的策略；（4）正反、等价化的策略；（5）相捆理的策略；（6）不相插空理的策略．3.点合运用解策略解决．4.学程 :(1)知梳理1．分数原理（加法原理）：完成一件事，有几法，在第一法中有m1种不同的方法，在第 2 法中有m2种不同的方法⋯⋯在第n 型法中有m n种不同的方法，那么完成件事共有N m1m2... m n种不同的方法．2．分步数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有m2种不同的方法⋯⋯，做第n 步有m n种不同的方法；那么完成件事共有 N m1 m2...m n种不同的方法．特提醒：分数原理与“分”有关，要注意“ ”与“ ”之所具有的独立性和并列性；分步数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之具有的相依性和性，用两个原理行正确地分、分步，做到不重复、不漏．3．排列：从 n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素，按照一定的序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的一个排列，m n叫做排列，m n 叫做全排列.4．排列数：从 n 个不同元素中，取出m(m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号P n m表示.5．排列数公式：P n m n(n1)( n2)...( n m1)(n n!（ m n,n、 m N）m)!排列数具有的性： P n m1P n m mP n m 1特别提醒：规定 0!=16．组合：从 n 个不同的元素中，任取m(m≤n) 个不同元素，组成一组，叫做从同元素中取m个不同元素的一个组合.7．组合数：从 n 个不同元素中取m(m≤n) 个不同元素的所有组合的个数，叫做从n 个不n 个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号C nm表示 .8．组合数公式：C n m Pnmn(n1)(n 2)...(n m 1)n!P m m m!m! (n m)!组合数的两个性质：① C n m C n n m；② C n m1 C n m C n m 1特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从 n 个不同元素中取出m个元素 .区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系 .(2)典型例题考点一 : 排列问题例1. 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（ 1）甲不站两端；（ 2）甲、乙必须相邻；（ 3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（ 5）甲、乙站在两端；（ 6）甲不站左端，乙不站右端 .【解析】： (1) 方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有P41种站法，然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有P55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法： P41 P55480(种)方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站，有P52种站法，然后中间 4 人有P44种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：P52 P44480（种）方法三：若对甲没有限制条件共有P66种站法，甲在两端共有2P55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：P 62P 5480(种)65（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余 4 人进行全排列有P55种站法，再把甲、乙进行全排列，有2P5 P2240(种P2种站法，根据分步乘法计数原理，共有52)方法二：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有P44种站法，再在5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有 P1种方法，最后让甲、乙全排列，有2种方法，共有P 4 P1 P2240(种) 5P2 4 5 2（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队，有 P44种站法；第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两端）中，有P52种站法，故共有站法为P44 P52480（种）此外，也可用“间接法”， 6 个人全排列有P66种站法，由（2）知甲、乙相邻有52652.P5P2240652720 240 480( )种站法，所以不相邻的站法有 P P P种（4）方法一：先将甲、乙以外的4 个人作全排列，有P44种，然后将甲、乙按条件插入站队，有 3P22种，故共有 P44（3P22） 144（种）站法.方法二：先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上，有P42种，然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列有P33种方法，最后对甲、乙进行排列，有P22种方法，故共有 P42 P33 P22144（种）站法.（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有P22种，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有 P44种，根据分步乘法计数原理，共有P22 P4448（种）站法.方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有P22种站法，然后考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 人去站，有P44种站法，由分步乘法计数原理共有P22 P4448（种）站法.（6）方法一：甲在左端的站法有P55种，乙在右端的站法有 P55种，甲在左端而且乙在右端的站法有 P44种，故甲不站左端、乙不站右端共有P66-2P55+ P44=504（种）站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有P55种站法，②甲在中间 4 个位置之一，而乙又不在右端有 P41 P41 P44种，故共有 P55+ P41P41P44=504（种）站法 .考点二 : 组合问题例2. 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人. 选派 5 人外出比赛 .在下列情形中各有多少种选派方法？（ 1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；（ 2）至少有 1 名女运动员；（ 3）队长中至少有 1 人参加；（ 4）既要有队长，又要有女运动员 .【解析】：（ 1）选法为C63C42120（种）.（2）方法一：至少 1 名女运动员包括以下几种情况： 1 女 4 男， 2 女 3 男， 3 女 2 男， 4 女1男 .14233241246（种）由分类计数原理可得总选法数为C 4 C 6 C 4 C 6 C 4 C 6 C 4C6.方法二：因“至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解.从 10 人中任选 5 人有C105种选法，其中全是男运动员的选法有 C 65种.所以“至少有 1 名女运动员”的选法C105 C 65246（种）.（3）方法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为C84；“只有女队长”的选法为C84；“男、女队长都入选”的选法为 C 83；所以共有2 C84+ C83=196（种）选法.方法二：间接法：从10 人中任选 5 人有C105种选法 . 其中不选队长的方法有 C 85种.所以“至少 1名队长”的选法为 C105- C85=196 种 .（4）当有女队长时，其他人任意选，共有 C 94种选法；不选女队长时，必选男队长，共有 C 84种选法，而且其中不含女运动员的选法有C54种，所以不选女队长时的选法共有C84 C 54种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C94(C84 C 54 ) 191 种.考点三 : 综合问题例个不同的球， 4 个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？（3）恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？【解析】：（ 1）为保证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4 个球， 3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4 个球分成 2，1，1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余2 个球放在另外 2 个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C41C42 C 31 P22144种；（2）“恰有 1 个盒内有 2 个球”，即另外 3 个盒子放2 个球，每个盒子至多放 1 个球，也就是说另外 3 个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是同一件事，所以共有144 种放法 .（3）确定 2 个空盒有C42种方法； 4 个球放进 2 个盒子可分成（ 3，1）、（ 2， 2）两类：第一类有序不均匀分组有 C 43 C11 P22 8 种方法；第二类有序均匀分组有C42 C22P22 6 种方法.P2223 1 2C42C222故共有 C4（C4 C1 P2P22P2） 84 种.当堂测试1. 从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）种种种种【解析】：分为 2 男 1 女，和 1 男 2 女两大类，共有 C 52C 41 C 51C 4270 种．解题策略：合理分类与准确分步的策略．年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）种种种种【解析】：合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有 1 人入选，先从两人中选 1 人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有 C 21C 21 P3324 种选法．（ 2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有P22 2 种方法，然后在剩余的 3 人中选 2 人做后两项工作，有P36种方法．故共有C 1 C1 P 3P 2 P3 36种选法．322323解题策略：①. 特殊元素优先安排的策略．② . 合理分类与准确分步的策略．③. 排列、组合混合问题先选后排的策略．3.从 0， 1， 2， 3， 4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）【解析】：分为两大类：（1）含有 0，分步：①从另外两个偶数中选一个，有 C 21种方法，②. 从 3 个奇数中选两个，有 C32种方法；③ . 给 0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有 C31种方法；④.其他的3 个数字进行全排列，有P33种排法，根据乘法原理共有C 21 C32C 31 P33108 种方法．（2）不含0，分步：①偶数必然是 2 和 4 ；②奇数有C32种不同的选法，③然后把 4 个元素全排列，共P44种排法，不含 0的排法有 C 32 P4472 种．根据加法原理把两部分加一块得108+72=180 个4.甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有 6 名男同学， 2 名女同学．若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（）种种种种【解析】： 4 人中恰有 1 名女同学的情况分为两种，即这 1 名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有C51 C31C 62C 52C61 C 21345 种选法．解题策略：合理分类与准确分步的策略．5. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（）【解析】：法一：甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法可以分为两类：⑴．甲、乙所选的课程中 2 门均不相同，甲先从 4 门中任选 2 门，乙选取剩下的 2 门，有C 42 C 22 6 种．⑵．甲、乙所选的课程中有且只有 1 门相同，分为 2 步：①从 4 门中先任选一门作为相同的课程，有 C 41 4 种选法，②甲从剩余的 3 门中任选 1 门，乙从最后剩余的 2 门中任选 1 门，有 C31C 21 6 种选法，由分步计数原理此时共有 C 41C 31 C 2124种．最后由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有6+24=30 种．故选 C．法二：可以先让甲、乙任意选择两门，有 C 42C 4236 种方法，然后再把两个人全相同的情况去掉，两个人全相同，可以将甲与乙看成为同一个人，从 4 门中任选两门有C 42 6 种选法，所以至少有一门不相同的选法为 C 42 C 42 C 4230 种不同的选法．解题策略：正难则反，等价转化的策略．6.用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）【解析】：第一类个位是0，共P92种不同的排法；第二类个位不是0，共C41C81C81种不同的解法．故共有 P92+ C41C81C81=328（个）．解题策略：合理分类与准确分步的策略 .7. 从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（）【解析】：合理分类，甲、乙全被选中，有 C 22C 71种选法，甲、乙有一个被选中，有 C12C 72种不同的选法，共 C 22C 17+ C 21 C 72=49种不同的选法．解题策略：（ 1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略.8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）【解析】：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有 C 42种不同的分法，然后三组进行全排列共 P33种不同的方法；最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉，共 P33种不同的排法．所以总的排法为 C42 P33- P33=30种．注意 : 这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题．解题策略：⑴.正难则反、等价转化的策略⑵. 相邻问题捆绑处理的策略⑶. 排列、组合混合问题先选后排的策略；解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步．深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑．对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决．由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解．看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复．。

排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n Nm m m L种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n Nm m m L 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为nm种一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m nAn一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11m n C十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法练习题：十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法十六. 分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除十七.化归策略例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？十八.数字排序问题查字典策略例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？十九.树图策略例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______二十.复杂分类问题表格策略例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n nA(n 为均分的组数)避免重复计数。