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导数及其应用单元测试题详细答案

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1 / 9 《导数及其应用》单元测试题

一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）

1．函数22)(xxf的导数是（ ）

(A) xxf4)( (B) xxf24)( (C) xxf28)( (D) xxf16)(

2．函数xexxf)(的一个单调递增区间是（ ）

(A)0,1 (B) 8,2 (C) 2,1 (D) 2,0

3．已知对任意实数x，有()()()()fxfxgxgx，，且0x时，()0()0fxgx，，则0x时（ ）

A．()0()0fxgx， B．()0()0fxgx，

C．()0()0fxgx， D．()0()0fxgx，

4．若函数bbxxxf33)(3在1,0内有极小值，则（ ）

（A） 10b （B） 1b （C） 0b （D）

21b

5．若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（ ）

A．430xy B．450xy C．430xy D．430xy

6．曲线xye在点2(2)e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e

7．设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

8．已知二次函数2()fxaxbxc的导数为'()fx，'(0)0f，对于任意实数x都有2 / 9 ()0fx，则(1)'(0)ff的最小值为（ ）

A．3 B．52 C．2 D．32

9．设2:()eln21xpfxxxmx在(0)，内单调递增，:5qm≥，则p是q的（ ）

Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

10． 函数)(xf的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）

（A）)2()3()3()2(0//ffff

y

（B） )2()2()3()3(0//ffff

（C）)2()3()2()3(0//ffff

（D）)3()2()2()3(0//ffff O 1 2 3 4 x

二．填空题（本大题共4小题，共20分）

11．函数()ln(0)fxxxx的单调递增区间是＿＿＿＿．

12．已知函数3()128fxxx在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为,Mm，则Mm＿＿．

13．点P在曲线323xxy上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是

14．已知函数53123axxxy(1)若函数在,总是单调函数，则a的取值范围是 . (2)若函数在),1[上总是单调函数，则a的取值范围 .

（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a的取值范围是 .

三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）

15．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

16．设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．

（1）求a、b的值； 3 / 9 （2）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围．

17．设函数3()32fxxx分别在12xx、处取得极小值、极大值.xoy平面上点AB、的坐标分别为11()xfx（,）、22()xfx（,），该平面上动点P满足•4PAPBuuuruuur,点Q是点P关于直线2(4)yx的对称点，.求

(Ⅰ)求点AB、的坐标；

(Ⅱ)求动点Q的轨迹方程.

18. 已知函数32()233.fxxx

（1）求曲线()yfx在点2x处的切线方程；

（2）若关于x的方程0fxm有三个不同的实根，求实数m的取值范围.

19．已知Raxxaaxxf14)1(3)(23

（1）当1a时，求函数的单调区间。

（2）当Ra时，讨论函数的单调增区间。

（3）是否存在负实数a，使0,1x，函数有最小值－3？

20．已知函数2afxxx，lngxxx，其中0a．

（1）若1x是函数hxfxgx的极值点，求实数a的值；

（2）若对任意的12,1xxe，（e为自然对数的底数）都有1fx≥2gx成立，求实数a的取值范围．

4 / 9 【文科测试解答】

一、选择题

1．,42)(222xxxfxxf242)(xxf28)(;

2．.)(xxexexxf21)(xxxeexexf， 1,012xeexxx选(A)

3.(B)数形结合

4.A由bxbxxf22333)(,依题意，首先要求b>0, 所以bxbxxf3)(

由单调性分析，bx有极小值，由1,0bx得.

5．解：与直线480xy垂直的直线l为40xym，即4yx在某一点的导数为4，而34yx，所以4yx在(1，1)处导数为4，此点的切线为430xy，故选A

6．（D）

7．（D）

8．（C）

9．（B）

10．B设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A处的切线为AT

点B处的切线为BQ， T

)2()3(ffABkff23)2()3(

y B

,)3(BQkf,)2(ATkf A

如图所示，切线BQ的倾斜角小于

直线AB的倾斜角小于 Q

切线AT的倾斜角

BQkABkATk O 1 2 3 4 x

所以选B

11．1,e

12．32

13．,432,0

14. (1).3)3(;3)2(;1aaa

三、解答题

15. 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为 5 / 9 230(m)35.441218＜＜xxxh.

故长方体的体积为

).230()(m69)35.4(2)(3322＜＜xxxxxxV

从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜32时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。

16．解：（1）2()663fxxaxb，

因为函数()fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f．

即6630241230abab，．

解得3a，4b．

（2）由（Ⅰ）可知，32()29128fxxxxc，

2()618126(1)(2)fxxxxx．

当(01)x，时，()0fx；

当(12)x，时，()0fx；

当(23)x，时，()0fx．

所以，当1x时，()fx取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc．

则当03x，时，()fx的最大值为(3)98fc．

因为对于任意的03x，，有2()fxc恒成立，

所以 298cc，

解得 1c或9c， 6 / 9 因此c的取值范围为(1)(9)U，，．

17．解: (1)令033)23()(23xxxxf解得11xx或

当1x时,0)(xf, 当11x时,0)(xf ,当1x时,0)(xf

所以,函数在1x处取得极小值,在1x取得极大值,故1,121xx,4)1(,0)1(ff

所以, 点A、B的坐标为)4,1(),0,1(BA.

(2) 设),(nmp，),(yxQ，4414,1,122••nnmnmnmPBPA

21PQk，所以21mxny，又PQ的中点在)4(2xy上，所以4222mxny

消去nm,得92822yx.

另法：点P的轨迹方程为,9222nm其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由2102ab，420222ab得a=8,b=-2

18．解（1）2()66,(2)12,(2)7,fxxxff ………………………2分

∴曲线()yfx在2x处的切线方程为712(2)yx，即12170xy；……4分

（2）记322()233,()666(1)gxxxmgxxxxx

令()0,0gxx或1. …………………………………………………………6分

则,(),()xgxgx的变化情况如下表

x (,0) 0 (0,1) 1 (1,)

()gx  0  0 

()gx Z 极大 ] 极小 Z

当0,()xgx有极大值3;1,()mxgx有极小值2m. ………………………10分

由()gx的简图知，当且仅当(0)0,(1)0gg

即30,3220mmm时，

函数()gx有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.

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导数应用测试题及参考答案

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导数应用测试题

一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分, 共60分)

1．设函数f(x)在0x处可导，则xxfxxfx)()(lim000等于 （ ）

A．)('0xf B．)('0xf C．)('0xf

D．)(0xf

2．若13)()2(lim000xxfxxfx，则)('0xf等于 （ ）

A．32 B．23 C．3 D．2

3．曲线xxy33上切线平行于x轴的点的坐标是

（ ）

A．（-1，2） B．（1，-2） C．（1，2） D．（-1，2）或（1，-2）

4．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切

线的倾斜角为（ ）

A．90° B．0° C．锐角 D．钝角

5．函数5123223xxxy在[0，3]上的最大值、最小值分别是

（ ）

A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－1 D．5，－16

6．一直线运动的物体，从时间t到t+△t时，物体的位移为△s，那么tst0lim为（ ）

A．从时间t到t+△t时，物体的平均速度

B．时间t时该物体的瞬时速度

C．当时间为△t 时该物体的速度

D．从时间t到t+△t时位移的平均变化率

7．关于函数762)(23xxxf，下列说法不正确的是 （ ）

A．在区间（，0）内，)(xf为增函数

B．在区间（0，2）内，)(xf为减函数

C．在区间（2，）内，)(xf为增函数

D．在区间（，0）),2(内，)(xf为增函数

8．对任意x，有34)('xxf，f(1)=-1，则此函数为 （ ）

高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc

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数学选修 2-2 第一章

单元测试题

一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )

1．函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数 f ′(x) 在( a，b)

内的图像如图所示， 则函数 f ( x) 在开区间 ( a，b) 内有极小值点 ( )

A．1

个

B．2

个

C．3

个

D．4

个

1

1 2．在区间 [ 2，2] 上，函数 f ( x) ＝x2＋px＋q 与 g( x) ＝2x＋x2在

1

同一点处取得相同的最小值， 那么 f ( x) 在 [ 2，2] 上的最大值是 ( )

C．8 D．4

2

3．点 P 在曲线 y＝x3－x＋3上移动，设点 P 处的切线的倾斜角为

α，则 α 的取值范围是 ( )

π π3

A．[0 ， 2 ] B．[0 ， 2 ] ∪[ 4π，π)

3 π 3

C．[ 4π，π ) D．[ 2 ，4π]

1

4．已知函数 f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若 f ( x) ＋9≥0恒成立，

则实数 m的取值范围是 ( )

3 3

A．m≥2 B．m＞ 2

3 3

C．m≤2 D．m＜ 2

2 2x

5．函数 f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()

f x 0＋3 － f x 0

＝1， 6．设 f ( x) 在 x＝x0 处可导，且lim Δx

Δx→0

则 f ′(x0) 等于 ( )

A．1 B．0

C．3

x＋9

7．经过原点且与曲线 y＝x＋5相切的切线方程为 ( )

A．x＋y＝0

B．x＋25y＝0

C．x＋y＝ 0 或 x＋25y＝0

D．以上皆非

8．函数 f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中 a，b，c 为实数，当 a2－

数学导数练习题和答案

数学导数练习题和答案

数学导数练习题和答案

1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的导数。

解：首先应用幂函数的导数规则，\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。

2. 计算函数 \( g(x) = \sin(x) + e^x \) 的导数。

解：利用三角函数和指数函数的导数规则，\( g'(x) = \cos(x) +

e^x \)。

3. 确定函数 \( h(x) = \ln(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数值。

解：对数函数的导数为 \( \frac{1}{x} \)，因此 \( h'(1) = 1

\)。

4. 求函数 \( k(x) = \frac{1}{x} \) 的导数。

解：使用商的导数规则，\( k'(x) = -\frac{1}{x^2} \)。

5. 计算复合函数 \( F(x) = (x^2 + 1)^3 \) 的导数。

解：应用链式法则，\( F'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x =

6x(x^2 + 1)^2 \)。

6. 求函数 \( G(x) = \sqrt{x} \) 的导数。

解：使用根号函数的导数规则，\( G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

\)。

7. 计算函数 \( H(x) = e^{2x} \) 的导数。

解：指数函数的导数规则表明，\( H'(x) = 2e^{2x} \)。

8. 确定函数 \( I(x) = \tan(x) \) 的导数。

解：正切函数的导数为 \( \sec^2(x) \)，因此 \( I'(x) =

\sec^2(x) \)。

9. 求函数 \( J(x) = \arcsin(x) \) 的导数。

解：反正弦函数的导数为 \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)，所以 \( J'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)。

导数及其应用

导数及其应用

导数及其应用

篇一：导数及其应用

导数及其应用

【专题要点】

1. 导数的定义:利用导数的定义解题; 2. 求导数(包括求导函数和某一点的导数);

3. 导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等,复现率较高; 4. 导数在实际问题中的应用(利润最大,用料最省,效率最高等优化问题);

5. 综合考查,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切

线问题等有机地结合在一起，设计综合问题。包括：

（1） 函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决单调性、参数的范围等问题，这类问题涉及含参

数的不等式、不等式的恒成立的求解；

（2） 函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值、最值等问题，这类问题涉及求极值和极值

点、求最值，有时需要借助方程的知识求解；

（3） 利用导数的几何意义求切线方程，解决与切线方程有关的问题； （4） 通过构造函数，以导数为工具证明不等式；

（5） 导数与解析几何或函数图像的混合问题，这是一个重要问题，也是高考中考察综合能力的一个

方向 【考纲要求】

⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．

⑵熟记基本导数公式（C,x(n为有理数),sinx.cosx,logax,ax,ex,lnx的导数）．掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．

【知识纵横】

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