高中数学选修2-2第1章《导数及其应用》单元测试题

数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。

高二数学选修2-2导数及其应用测试题一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．设xx y sin 12-=，则='y （ ）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln)(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（ ）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(-7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．积分=-⎰-aadx x a 22（ ）．A ．241a π B ．221a πC ．2a πD ．22a π9．由双曲线12222=-by a x ，直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）A ．238ab π B ．b a 238π C ．b a 234π D ．234ab π 10．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18B ．338C ．316 D ．1611．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中 曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个 纸花瓣的面积为（ ）． A ．2336π+ B ．223312π+ C ．26π+ D ．22336π+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分。

数学选修2-2第一章导数及其应用1．一质点的运动方程是253s t =-，则在一段时间[11]t +∆，内相应的平均速度为（ ） Ａ．3()6t ∆+ Ｂ．3()6t -∆+ Ｃ．3()6t ∆- Ｄ．3()6t -∆-2．下列说法正确的是（ ）Ａ．函数的极大值就是最大值 Ｂ．函数的极小值就是函数的最小值 Ｃ．函数的最值一定是极值 Ｄ．闭区间上的连续函数一定存在最值3．抛物线214y x =在点(21)Q ，处的切线方程（ ） Ａ．10x y -++= Ｂ．30x y +-= Ｃ．10x y -+= Ｄ．10x y +-=4．设21()(1)f x x =-，则(0)f '等于（ ） Ａ．2-Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．25．0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 (D ）非充分非必要条件6．曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)7．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -168．已知201()212x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，， ≤≤ ≤则20()f x dx =⎰（ ）Ａ．56 Ｂ．76 Ｃ．43 Ｄ．53 9．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）10．设313y x ax c =-+在()-+，∞∞上单调递增，则（ ） Ａ．0a <且0c = Ｂ．0a >且c 是任意实数 Ｃ．0a <且c 是任意实数 Ｄ．0a <且0c ≠11．从边长为10cm 16cm ⨯的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为（ ） Ａ．312cmＢ．372cmＣ．3144cmＤ．3160cm12．如图，由曲线32y x x =-与2y x =所围图形的面积为（ ） Ａ．512Ｂ．3712Ｃ．94 Ｄ．8313．若对于任意x ，有3()4(1)1f x x f '==-，，则此函数解析式为 ． 14.函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为__________________； 15.函数()323922y x x x x =---<<有极大值 ，极小值 ；16.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于 ；17、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 18.设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ； 19．计算下列定积分。

A. y 2x 1
B. y 3x 2
C. y 2x 3
D. y x 2
7.函数 f (x) e ln x x 在 (0, 2e] 上的最大值为
A.1 e C. e
B. 1 D. 0
8.若函数 f (x) x(x c) 2 在 x 2 处取得极大值，则常数 c
A. 2 C. 2 或 6
数学选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1.定积分 2 (ex 2x)dx 的值为 0
A.1
B. e2
C. e2 3
D. e2 4
2.某物体的位移 s (米)与时间 t (秒)的关系式为 s t 2 t ，则该物体在 t 2 时的瞬时速度为
A. 2 米/秒 C. 5 米/秒
B. 3 米/秒 D. 6 米/秒
3.已知曲线 y x2 上一点 P 处的切线与直线 2x y 1 0 平行，则点 P 的坐标为
A. (1,1)
B. (1,1)
C. (2, 4)
D. (3, 9)
4.已知 f (x) x2 2x f (1) ，则 f (3)
11.若函数 f (x) lnx ax 1 在[1, ) 上是单调函数，则实数 a 的取值范围为 x
A. (, 0] [1 , ) 4
B. (, 1 ] [0, ) 4
C.[ 1 , 0] 4
D. (,1]
12.已知函数 f (x) ax 1 (a 1) ln x 1 在 (0,1] 上的最大值为 3 ，则实数 a x
即 2x y 1 0 .(6 分)

选修2-2第一单元导数及其应用测试题（含解析人教版）时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝⎛⎭⎫1，－32 处的切线的倾斜角为( ) A ．－1 B ．45° C ．－45° D ．135°[答案] D[解析] y ′＝x －2，所以斜率k ＝1－2＝－1，因此倾斜角为135°.故选D. 2．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋3x ′＝1＋3x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x [答案] B[解析] ⎝⎛⎭⎫x ＋3x ′＝1－3x2，所以A 不正确； (3x )′＝3x ln3，所以C 不正确；(x 2cos x )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，所以D 不正确；(log 2x )′＝1x ln2，所以B 对．故选B. 3．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图像大致为( )[答案] A[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.4．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.因为f (x )既有极大值又有极小值，所以Δ>0，即4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0，解得a >6或a <－3.故选D.5．(2014·山东理，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4[答案] D [解析] 如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x ，y ＝x 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8. ∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4.6．(2014·黄山模拟)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2[答案] B[解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.7．(2013·北师大附中高二期中)函数y ＝ln xx 的导数为( )A ．y ′＝1xB ．y ′＝ln x －1x 2C ．y ′＝－1x 2D ．y ′＝1－ln xx2[答案] D[解析] y ′＝(ln x )′·x －(ln x )·x ′x 2＝1－ln xx2. 8．函数f (x )＝x 3－2x ＋3的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝8的位置关系是( ) A ．相切B ．相交且过圆心C ．相交但不过圆心D ．相离[答案] C[解析] 切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.圆心到直线的距离为12＝22<22，所以直线与圆相交但不过圆心．故选C.9．f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由图可知，当b >x >a 时，f ′(x )>0，故在[a ，b ]上，f (x )为增函数．且又由图知f ′(x )在区间[a ，b ]上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.10．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2[答案] D[解析] ∵y ′＝12e x2，∴在点(4，e 2)处的切线方程为y ＝12e 2x －e 2，令x ＝0得y ＝－e 2，令y ＝0得x ＝2， ∴围成三角形的面积为e 2.故选D.11．(2014·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.12．(2013·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B ) [答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．经过点(2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程为______________．[答案] x ＋y －2＝0[解析] 设切点为⎝⎛⎭⎫x 0，1x 0，则1x 0x 0－2＝－1x 20，解得x 0＝1，所以切点为(1,1)，斜率为－1，直线方程为x ＋y －2＝0.14．若函数f (x )＝ax 2－1x 在(0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x 2≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立．∴a ≥0.15．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0，f (1)<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)<0，f (1)>0，∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.16．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－2，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(本题满分12分)求定积分⎠⎛－11f (x )d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1 (x ≤0)x 2 (x >0).[解析] ⎠⎛－11 f (x )d x ＝⎠⎛－10 f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛－11 (sin x －1)d x ＋⎠⎛01x 2d x＝(－cos x －x )|0－1＋13x 3|10 ＝cos1－2＋13＝cos1－53.20．(本题满分12分)已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．[解析] 依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . 若f (x )在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上有f ′(x )≥0.恒成立．∵f ′(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，由于g (x )＝3x 2－2x 的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ≥5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0， 即f (x )在(－1,1)上是增函数． 故t 的取值范围是t ≥5.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R . (1)若f (x )在x ＝3处取得极值，求常数a 的值； (2)若f (x )在(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)． 因f (x )在x ＝3处取得极值，所以f ′(3)＝6(3－a )(3－1)＝0，解得a ＝3. 经检验知当a ＝3时，x ＝3为f (x )的极值点． (2)令f ′(x )＝6(x －a )(x －1)＝0得x 1＝a ，x 2＝1.当a <0时，若x ∈(－∞，a )∪(1，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，a )和(1，＋∞)上为增函数．当0≤a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ≥1时，若x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)和(a ，＋∞)上为增函数，从而f (x )在(－∞，0)上为增函数． 综上可知，当a ≥0时，f (x )在(－∞，0)上为增函数． 22．(本题满分14分)设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)．(1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．[解析] (1)f ′(x )＝a e x －1a ex ，当f ′(x )>0，即x >－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x )<0，即x <－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)．所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12.故a ＝2e 2，b ＝12.。

新课标⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题（含答案）新课改⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分)1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）．A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线⽅程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y 5.满⾜()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－x B. f (x )＝x C . f (x )＝0D . f (x )＝16.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线⽅程是A . 74y x =+ B. 72y x =+ C. 4y x =- D. 2y x =-7.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为 A. -4 B. 1- C. D . 48.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定 9．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最⼤值、最⼩值分别是A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－1910.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所⽰，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极⼩值点 A 1个B 2个C 3个D 4个第Ⅱ卷（⾮选择题，共60分）⼆、填空题（每⼩题5分，共15分。

选修2-2导数及其应用单元检测题一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.若函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)上单调递增，则k的取值范围是()A. (−∞,−2]B. (−∞,−1]C. [2,+∞)D. [1,+∞)2.设函数f(x)=e x(2x−1)−ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是()A. [−32e ,1) B. [−32e,34) C. [32e,34) D. [32e,1)3.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)+1>0，f(3)=−ln3，则不等式f(e x)+x>0的解集为()A. (e3,+∞)B. (0,e3)C. (ln3,+∞)D. (ln3,e3)4.函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+15.若直线l与曲线y=√x和圆x2+y2=15都相切，则l的方程为()A. y=2x+1B. y=2x+12C. y=12x+1 D. y=12x+126.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是()A.B.C.D.7.一点P在曲线y=x3−x+23上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A. [0,π2] B. [0,π2)∪[3π4,π)C. [3π4,π) D. (π2,3π4]8.函数y=2x2−e|x|在[−2,2]的图象大致为()A. B.C. D.9.设a，b∈R，函数f(x)={x,x<0,13x3−12(a+1)x2+ax,x≥0．若函数y=f(x)−ax−b恰有3个零点，则()A. a<−1，b<0B. a<−1，b>0C. a>−1，b<0D. a>−1，b>0二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）10.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．11.设函数f(x)=e xx+a ，若f′(1)=e4，则a=______．12.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______．三、解答题（本大题共9小题，共108.0分）13.已知函数f(x)=x3−kx+k2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．14.已知函数f(x)=e x−a(x+2)．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．15.已知函数f(x)=e x+ax2−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；x3+1，求a的取值范围．(2)当x≥0时，f(x)≥1216.已知函数f(x)=2ln x+1．(1)若f(x)⩽2x+c，求c的取值范围;(2)设a>0，讨论函数g(x)=f(x)−f(a)的单调性．x−a17.已知函数f(x)=e x+ax2−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;x3+1，求a的取值范围．(2)当x≥0时，f(x)⩾1218.已知函数f(x)=ae2x+(a−2)e x−x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．19.设函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]e x．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；(Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围．20.(12分)已知函数f(x)=x3−kx+k2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．21.设函数f(x)=x3+bx+c，曲线y=f(x)在点(12,f(12))处的切线与y轴垂直．(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．求出导函数f′(x)，由于函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)单调递增，可得f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立，解出即可．【解答】，解：f′(x)=k−1x∵函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)单调递增，∴f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立．∴k≥1在区间(1,+∞)上恒成立，x在区间(1,+∞)上单调递减，而y=1x<1，∴0<1x∴k≥1．∴k的取值范围是：[1,+∞)．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．设g(x)=e x(2x−1)，y=ax−a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax−a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得−a>g(0)=−1且g(−1)=−3e−1≥−a−a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g(x)=e x (2x −1)，y =ax −a ，由题意知存在唯一的整数x 0使得g(x 0)在直线y =ax −a 的下方，∵g′(x)=e x (2x −1)+2e x =e x (2x +1)，∴当x <−12时，g′(x)<0，当x >−12时，g′(x)>0，∴当x =−12时，g(x)取最小值−2e −12，当x =0时，g(0)=−1，当x =1时，g(1)=e >0，直线y =ax −a 恒过定点(1,0)且斜率为a ，故−a >g(0)=−1且g(−1)=−3e −1≥−a −a ，解得32e ≤a <1，故选D ．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的解法、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令g(x)=f(x)+lnx ，在(0,+∞)上可得g ′(x)=xf ′(x)+1x >0，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(3)=f(3)+ln3=0，进而得出解集．【解答】解：令g(x)=f(x)+lnx ，x ∈(0,+∞)．∵在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)+1>0，∴g ′(x)=f ′(x)+1x =xf ′(x)+1x >0，∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，∵g(3)=f(3)+ln3=0，而不等式f(e x)+x>0⇔g(e x)>g(3)，所以e x>3，即x>ln3．∴不等式f(e x)+x>0的解集为(ln3,+∞)．故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，是基础题．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求得f(1)，然后利用直线方程的点斜式求解．【解答】解：由f(x)=x4−2x3，得f′(x)=4x3−6x2，∴f′(1)=4−6=−2，又f(1)=1−2=−1，∴函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−(−1)=−2(x−1)，即y=−2x+1．故选：B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．根据直线l与圆x2+y2=15相切，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线与曲线y=√x求一解可得答案．【解答】解：直线l与圆x2+y2=15相切，那么直线到圆心(0,0)的距离等于半径√55，四个选项中，只有A，D满足题意；对于A选项：y=2x+1与y=√x联立可得：2x−√x+1=0，此时：无解；对于D选项：y=12x+12与y=√x联立可得：12x−√x+12=0，此时解得x=1；∴直线l与曲线y=√x和圆x2+y2=15都相切，方程为y=12x+12，故选：D．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查函数图象的应用，属于基础题．根据导函数f′(x)图象，即可判断函数f(x)的单调性，结合函数的极值，利用排除法，即可求得函数y=f(x)的图象．【解答】解：当f′(x)<0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y=f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个极值点在x轴上的右侧，排除B．故选：D．7.【答案】B【解析】【分析】此题考查利用导数研究函数的切线斜率，及由正切函数的图象研究斜率与倾斜角的关系，属于基础题．由导数确定，再由正切函数的图象易得．【解答】解：因为y′=3x2−1≥−1，所以切线的斜率tanα≥−1，又α∈[0,π),由正切函数的图象知：α∈[0,π2)∪[3π4,π)．故选B．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，考查函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f(x)=y=2x2−e|x|，定义域为R，∴f(−x)=2(−x)2−e|−x|=2x2−e|x|=f(x)，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8−e2∈(0,1)，故排除A，B；当x∈[0,2]时，f(x)=y=2x2−e x，f′(x)=4x−e x，∵f′(0)<0，f′(2)>0，∴f′(x)=4x−e x=0有解，故函数y=2x2−e|x|在[0,2]不是单调的，故排除C，故选D.9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数与方程的综合运用，属于难题．当x<0时，y=f(x)−ax−b=x−ax−b=(1−a)x−b最多一个零点；当x≥0时，y=f(x)−ax−b=13x3−12(a+1)x2+ax−ax−b=13x3−12(a+1)x2−b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【解答】解：当x<0时，y=f(x)−ax−b=x−ax−b=(1−a)x−b=0，y=f(x)−ax−b最多一个零点；当x≥0时，y=f(x)−ax−b=13x3−12(a+1)x2+ax−ax−b=13x3−12(a+1)x2−b，y′=x2−(a+1)x，当a+1≤0，即a≤−1时，y′≥0，y=f(x)−ax−b在[0,+∞)上递增，y=f(x)−ax−b最多一个零点，不合题意；当a+1>0，即a>−1时，令y′>0得x∈[a+1,+∞)，函数递增，令y′<0得x∈[0,a+1)，函数递减，函数最多有2个零点；根据题意函数y=f(x)−ax−b恰有3个零点，所以函数y=f(x)−ax−b在(−∞,0)上有一个零点，在[0,+∞)上有2个零点，如右图：∴b1−a <0且{−b>013(a+1)3−12(a+1)(a+1)2−b<0,解得b<0，1−a>0，b>−16(a+1)3，∴−16(a+1)3<b<0，−1<a<1，故选：C．10.【答案】4√15cm3【解析】【分析】本题考查三棱锥的体积，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查运算求解能力、空间想象能力，是较难题．由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=√36BC，设OG=x，则BC=2√3x，DG=5−x，三棱锥的高ℎ=√25−10x，求出棱锥体积表达式，利用导数能求出体积最大值．【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=√36BC，设OG=x，则BC=2√3x，DG=5−x，三棱锥的高ℎ=√DG2−OG2=√25−10x+x2−x2=√25−10x，S△ABC=12×√32×(2√3x)2=3√3x2，则V=13S△ABC×ℎ=√3x2×√25−10x =√3⋅√25x4−10x5，令f(x)=25x4−10x5，x∈(0,52)，则f′(x)=100x3−50x4，令f′(x)≥0，解得0<x≤2，则f(x)在(0,2]上单调递增，在(2,52)单调递减，则f(x)≤f(2)=80，∴V≤√3×√80=4√15cm3，∴体积最大值为4√15cm3．故答案为：4√15cm3．11.【答案】1【解析】解：∵函数f(x)=e xx+a ，∴f′(x)=(x+a−1)⋅ex(x+a)2，若f′(1)=ae(a+1)2=e4，∴a(a+1)2=14，则a=1，故答案为：1．先求出函数的导数，再根据f′(1)=e4，求得a的值．本题主要考查求函数的导数，属于基础题．12.【答案】y=2x【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得函数y=lnx+x+1的导数，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．【解答】解：y=lnx+x+1的导数为y′=1x+1，设切点为(m,n)，可得k=1+1m=2，解得m=1，即有切点(1,2)，则切线的方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，故答案为：y=2x．13.【答案】解：(1)f(x)=x3−kx+k2．f′(x)=3x2−k，k≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R递增，k>0时，令f′(x)>0，解得：x>√k3或x<−√k3，令f′(x)<0，解得：−√k3<x<√k3，∴f(x)在(−∞,−√k3)递增，在(−√k3,√k3)递减，在(√k3,+∞)递增，综上，k≤0时，f(x)在R递增，k>0时，f(x)在(−∞,−√k3)递增，在(−√k3,√k3)递减，在(√k3,+∞)递增；(2)由(1)得：k >0，f(x)极小值=f(√k 3)，f(x)极大值=f(−√k 3)，若f(x)有三个零点，只需{ k >0f(√k 3)<0f(−√k 3)>0，即{ k >0k 3√k 3−k√k 3+k 2<0−k 3√k 3+k√k 3+k 2>0，整理得{ k >0k −23√k 3<0k +23√k 3>0，解得：0<k <427，故a ∈(0,427).【解析】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道较难题．(1)求出函数的导数，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于k 的不等式组，解出即可．14.【答案】解：由题意，f(x)的定义域为(−∞,+∞)，且f′(x)=e x −a ．(1)当a =1时，f′(x)=e x −1，令f′(x)=0，解得x =0． ∴当x ∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；(2)①当a ≤0时，f′(x)=e x −a >0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意；②当a >0时，令f′(x)=0，解得x =lna ， 当x ∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)的极小值也是最小值为f(lna)=a −a(lna +2)=−a(1+lna)． 又当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→+∞． ∴要使f(x)有两个零点，只要f(lna)<0即可， 则1+lna >0，可得a >1e ．综上，若f(x)有两个零点，则a 的取值范围是(1e ,+∞)．【解析】(1)当a =1时，f′(x)=e x −1，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；(2)当a≤0时，f′(x)=e x−a>0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意；当a>0时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围，是中档题．15.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，设g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，可得g(x)在R上递增，即f′(x)在R上递增，因为f′(0)=0，所以当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0，所以f(x)的增区间为(0,+∞)，减区间为(−∞,0)；(2)当x≥0时，f(x)≥12x3+1恒成立，①当x=0时，不等式恒成立，可得a∈R；②当x>0时，可得a≥12x3+x+1−e xx2恒成立，设ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，则ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3，可设m(x)=e x−12x2−x−1，可得m′(x)=e x−x−1，m″(x)=e x−1，由x≥0，可得m″(x)≥0恒成立，可得m′(x)在(0,+∞)递增，所以m′(x)min=m′(0)=0，即m′(x)≥0恒成立，即m(x)在(0,+∞)递增，所以m(x)min=m(0)=0，再令ℎ′(x)=0，可得x=2，当0<x<2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,2)递增；x>2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(2,+∞)递减，所以ℎ(x)max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可得a的取值范围是[7−e24,+∞)．【解析】(1)求得a=1时，f(x)的解析式，两次对x求得导数，结合指数函数的值域判断导数的符号，即可得到所求单调性；(2)讨论x=0，不等式恒成立；x>0时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值，进而得到所求范围．本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查构造函数法，主要考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．16.【答案】解：(1)f(x)⩽2x+c等价于2ln x−2x⩽c−1，设ℎ(x)=2ln x−2x，则ℎ′(x)=2x −2=2(1−x)x，所以ℎ(x)在(0,1)上递增，在递减，ℎ(x)max=ℎ(1)=−2，所以c−1⩾−2，即c⩾−1，因此c的取值范围是．(2)因为g(x)=2(ln x−ln a)x−a(x>0,x≠a,a>0)，所以g′(x)=2x(x−a)−2ln x+2ln a(x−a)2=−2ax−2ln x+2ln a+2(x−a)2，令φ(x)=−2ax−2ln x+2ln a+2(x>0),则φ′(x)=2ax2−2x=2(a−x)x2，令φ′(x)>0，得0<x<a；令φ′(x)<0，x>a．所以，φ(x)在(0,a)上递增，在上递减；因此，φ(x)⩽φ(a)=0，即g′(x)⩽0，所以g(x)在(0,a)和都是单调递减的．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．(1)不等式等价于2ln x−2x⩽c−1，设ℎ(x)=2ln x−2x，求导判断ℎ(x)单调性及最值，即可求得c的范围;(2)对g(x)求得，再令g′(x)的分子为φ(x)=−2ax−2ln x+2ln a+2(x>0),对φ(x)求导，判断单调性及最值，进而可得g(x)的单调性．17.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，记g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，所以g(x)=f′(x)=e x+2x−1在R上单调递增，又f′(0)=0，得当x>0时f′(x)>0，即f(x)=e x+x2−x在(0,+∞)上单调递增；当x<0时f′(x)<0，即f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减．所以f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当x=0时，a∈R；②当x>0时，f(x)≥12x3+1即a≥12x3+x+1−e xx2，令ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3记m(x)=e x−12x2−x−1，m′(x)=e x−x−1令q(x)=e x−x−1，因为x>0，所以q′(x)=e x−1>0，所以m′(x)=q(x)=e x−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m′(x)=e x−x−1> m′(0)=0所以m(x)=e x−12x2−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m(x)=e x−12x2−x−1>m(0)=0，故当x∈(0,2)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(2,+∞)上单调递减；所以[ℎ(x)]max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可知，实数a的取值范围是[7−e24,+∞)．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、导数与不等式等知识，考查运算求解、逻辑推理能力及分类讨论的数学思想，难度较大．18.【答案】解：(1)由f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，则f′(x)=2ae2x+(a−2)e x−1=(2e x+1)(ae x−1)，导函数中2e x+1>0恒成立，当a≤0时，ae x−1<0恒成立，所以在x∈R上有f′(x)<0，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)>0，，令f′(x)<0，解得，∴在上，f(x)单调递减，在上，f(x)单调递增．综上可知：当a≤0时，f(x)在R单调递减，当a>0时，f(x)在(−∞,ln1a )是减函数，在(ln1a,+∞)是增函数；(2)若a≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，所以a≤0不符合题意；当a>0时，f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，函数有两个零点，f(x)的最小值必须小于0，由(1)知，，f(x)min<0，即，令，ℎ′(a)=1a2+1a>0，所以ℎ(a)在(0,+∞)上单调递增，又因为ℎ(1)=0，∴0<a<1．接下来说明0<a<1时，f(x)存在两个零点：当x<0时，ae2x>0，(a−2)e x>a−2，此时f(x)>a−2−x，故f(a−2)>0，又f(x)在上单调递减，，故存在，使得f(x1)=0，当时，易证−x>−e x，此时f(x)>ae2x+(a−3)e x=ae x[e x+(a−3)a]，故，且满足，又f(x)在上单调递增，，故存在使得f(x2)=0，所以当0<a<1时，f(x)存在两个零点．综上所述，a的取值范围是(0,1)．【解析】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于较难题．(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)的单调性；(2)由(1)知：当a>0时f(x)才可能有两个零点，求得f(x)最小值，令f(x)min<0，即可求得a的取值范围，然后分别找到两个零点所在的区间，说明存在两个零点．19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]e x的导数为f′(x)=[ax2−(a+1)x+1]e x．曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，可得(4a−2a−2+1)e2=0，解得a=12；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax2−(a+1)x+1]e x=(x−1)(ax−1)e x，若a=0，则x<1时，f′(x)>0，f(x)递增；x>1时，f′(x)<0，f(x)递减．所以x=1处f(x)取得极大值，不符题意；若a=1，则f′(x)=(x−1)2e x≥0，f(x)递增，无极值；若a>1，则1a <1，f(x)在(1a,1)递减；在(1,+∞)递增，可得f(x)在x=1处取得极小值；若0<a<1，则1a >1，f(x)在(−∞,1)递增；在(1,1a)递减，可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意；若a<0，则1a <1，f(x)在(1a,1)递增；在(1,+∞)递减，可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是(1,+∞)．【解析】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．(Ⅰ)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得f′(2)=0，解方程可得a的值；(Ⅱ)求得f(x)的导数，注意分解因式，讨论a =0，a =1，a >1，0<a <1，a <0，由极小值的定义，即可得到所求a 的范围．20.【答案】解：(1)求导得f′(x )=3x 2−k ，定义域为(−∞,+∞)，当k ≤0时，f′(x )=3x 2−k ≥0，f (x )在(−∞,+∞)上单调递增；当k >0时，令f′(x )>0得x <−√3k 3或x >√3k 3，令f′(x )<0得−√3k 3<x <√3k3，故函数f (x )在(−∞,−√3k 3),(√3k 3,+∞)上单调递增，在(−√3k 3,√3k3)上单调递减． (2)由(1)当k ≤0时，f (x )在(−∞,+∞)上单调递增，不符题意，故k >0， f (x )的极大值为f (−√3k3)，极小值为f (√3k3)，要使f (x )有三个零点，则{f (−√3k 3)=−3k √3k 27+k ⋅√3k 3+k 2>0f (√3k 3)=3k √3k 27−k ⋅√3k3+k 2<0，∵k >0，即{29√3k +k >0−29√3k +k <0，解得0<k <427．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数问题，属较难题．21.【答案】(1)解：由f(x)=x 3+bx +c ，得f′(x)=3x 2+b ，∴f′(12)=3×(12)2+b =0，即b =−34；(2)证明：设x 0为f(x)的一个零点，根据题意，f(x 0)=x 03−34x 0+c =0，且|x 0|≤1，则c =−x 03+34x 0，由|x 0|≤1， 令c(x)=−x 3+34x(−1≤x ≤1)， ∴c′(x)=−3x 2+34=−3(x +12)(x −12)，当x ∈(−1,−12)∪(12,1)时，c′(x)<0，当x ∈(−12,12)时，c′(x)>0第21页，共21页 可知c(x)在(−1,−12)，(12,1)上单调递减，在(−12,12)上单调递增．又c(−1)=14，c(1)=−14，c(−12)=−14，c(12)=14，∴−14≤c ≤14．设x 1 为f(x)的零点，则必有f(x 1)=x 13−34x 1+c =0， 即−14≤c =−x 13+34x 1≤14， ∴{4x 13−3x 1−1=(x 1−1)(2x 1+1)2≤04x 13−3x 1+1=(x 1+1)(2x 1−1)2≥0，得−1≤x 1≤1， 即|x 1|≤1．∴f(x)所有零点的绝对值都不大于1．【解析】(1)求出原函数的导函数，由题意可得f′(12)=3×(12)2+b =0，由此求得b 值；(2)设x 0为f(x)的一个零点，根据题意，f(x 0)=x 03−34x 0+c =0，且|x 0|≤1，得到c =−x 03+34x 0，由|x 0|≤1，对c(x)求导数，可得c(x)在[−1,1]上的单调性，得到−14≤c ≤14.设x 1 为f(x)的零点，则必有f(x 1)=x 13−34x 1+c =0，可得−14≤c =−x 13+34x 1≤14，由此求得x 1的范围得答案． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点与方程根的关系，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．。

（2）若对任意的 x1 , x2 Î [1，e ] （ e 为自然对数的底数）都有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立，求实数 a 的取值 范围．
第一章导数及其应用单元测试(A)参考答案
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一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A D A C B
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21． （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) = x - 3 x.
3
（1）求曲线 y = f ( x ) 在点 x = 2 处的切线方程； （2）若过点 A(1, m) ( m ¹ -2) 可作曲线 y = f ( x ) 的三条切线，求实数 m 的取值范围.
a2 ， g ( x ) = x + ln x ，其中 a > 0 ． 22． （本小题满分14分）已知函数 f ( x ) = x + x （1）若 x = 1 是函数 h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的极值点，求实数 a 的值；
第一章导数及其应用单元测试(A)
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. f ( x) = x , f '( x0 ) = 6 ，则 x0 = (
3
) D. ±1
b
A． 2 2．设连续函数
B. - 2
C. ± 2
f ( x) > 0 ，则当 a < b 时，定积分 òa f ( x )dx 的符号
2 3 21．解（1） f ¢( x ) = 3 x - 3, f ¢(2) = 9, f (2) = 2 - 3 ´ 2 = 2
………………………2 分

《选修2-2 第一章 导数及其应用》复习题一、选择题1、设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim0000x f xx f x x f x 则 （ ）A ．21 B ．－1 C ．0 D ．－22、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 3、下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是（ ）A ．x y 2sin = B ．x xe y = C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(4、函数)(x f 的定义域为（a,b ），其导函数),()(b a x f 在' 内的图象如图所示，则函数)(x f 在区间（a,b ）内极小值 点的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．45、定义在闭区间],[b a 上的连续函数)(x f y =有唯一的极值 点0x x =,且)(0x f y =极小值,则下列说法正确的是（ ）A ．函数)(x f 有最小值)(0x fB ． 函数)(x f 有最小值,但不一定是)(0x fC ．函数)(x f 的最大值也可能是)(0x fD ． 函数)(x f 不一定有最小值 6、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ） A ． 21>-<b b ，或 B ． 21≥-≤b b ，或C ． 21<<-bD ． 21≤≤-b7、一物体在力2()325F x x x =-+（力单位：N ，位移单位：m ）作用下，沿与力()F x 相同的方向由x=5m 直线运动x=10m 处做的功是（ ）A ．925JB ．850JC ．825JD ．800J8、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为（ ）A ．)3,3(-B ．)11,4(-C ． )3,3(-或)11,4(-D ．不存在8、以初速40m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度24010v t =-，则此物体达到最高时的高度为（ ）A ．1603m B ．803m C ．403m D ．203m 9、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3][3,)-∞-⋃+∞ B ．]3,3[- C ． (,3)(3,)-∞-⋃+∞ D ． )3,3(- 10、若函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2]-∞- D ．(,2]-∞二、填空题11、如右图所示，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则()5f = ，()5f '= ．12、计算：（1）1214x --⎰= ；（2）2(2)x x e dx -⎰= 。

人教版高二数学选修2-2第一章导数及其应用（含定积分）测试题（时间120分钟，分值150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1．已知32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 2、()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定3、y = ） A ．23xB ．213x C ．12- D 4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭6、关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ D ）A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间()(),02,-∞⋃+∞内，)(x f 为增函数 7、曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)--D.(1,0)和(1,4)--8、已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 21=+2,则(1)(1)f f '+等于( ）A.1B.52C.3D.09、函数())0f x x =>的导数是（ ） AB C D10．下列结论中正确的是（ ）A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D ．如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 11、积分=-⎰-a adx x a 22（ ）． A ．241a π B ．221a π C ．2a π D ．22a π12、由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18B ．338C ．316 D ．16二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知a 为实数，()()()24f x x x a =--，且()10f '-=，则a =___________． 14、函数x y x e =-上某点的切线平行于x 轴，则这点的坐标为__________． 15、在曲线323610y x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程是____________． 16、已知='+=)0(,cos sin )(f x x xe x f x 则__________ 三、解答题（共70分） 17、（10分）、求曲线y =在点18,4⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程．18、（12分）求定积分 =-+-⎰dx x x 40|)3||1(| ____________。

⾼中数学选修2-2第⼀章《导数及其应⽤》单元检测卷含解析选修2-2第⼀章《导数及其应⽤》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)⼀、选择题(本⼤题共12个⼩题，每⼩题5分，共60分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的) 1.已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的⼤⼩关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定2．任⼀作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是()A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线⽅程为( )A ．y ＝－4x －1B ．y ＝4x －1C ．y ＝4x －11D ．y ＝－4x ＋74．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜⾓为α，则⾓α的取值范围是( )A.0，π2B.0，π2∪2π3，πC.2π3，πD.0，2π35．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)6．下列等式成⽴的是( )A ．?ba 0d x ＝b －aB ．?b a x d x ＝12C ．?1－1|x |d x ＝2?10|x |d xD ．?b a (x ＋1)d x ＝?b a x d x7．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最⼤值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( ) A.33 B ．－33 C.36 D ．－369．已知?20 f (x )d x ＝3，则?20[f (x )＋6]d x 等于( )A ．9B ．12C ．15D ．1810．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有⼤于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－1311．函数f (x )＝x 1－x的单调增区间是( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)12．某银⾏准备新设⼀种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正⽐，⽐例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银⾏吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银⾏可获得最⼤利益( )A ．0.012B ．0.024C ．0.032D ．0.036第Ⅱ卷(⾮选择题共90分)⼆、填空题(本⼤题共4个⼩题，每⼩题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是__________．14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R)，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________．15.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的⾯积的最⼤值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表⽰过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜⾓均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．②f (x )的极值点有且只有⼀个．③f (x )的最⼤值与最⼩值之和等于零．其中正确命题的序号为________．三、解答题(本⼤题共6个⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤)17．(本⼩题满分10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(本⼩题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值． (1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )。

精选文档选修 2-2 第一章单元测试( 一)时间： 120分钟总分： 150分一、选择题 ( 每题 5 分，共 60 分)1．函数f ( x) ＝x·sin x的导数为 ()A．f′( x) ＝ 2x·sin x＋ x·cos x B．f′( x) ＝ 2x·sin x－x·cos xsin x sin x－ x·cos x C．f′( x) ＝＋ x·cos x D．f′( x) ＝2x 2 x 2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点 (0 ，b) 处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－ 1，b＝1C．a＝1，b＝－ 1D．a＝－ 1，b＝－ 13．设f ( x) ＝x ln x，若f′( x0) ＝2，则x＝()A．e2B．e C.ln2 D ．ln224．已知f ( x) ＝x2＋2xf′(1)，则 f ′(0)等于 () A．0B．－ 4C．－ 2D．25.图中由函数y＝f (x)的图象与x 轴围成的暗影部分的面积，用定积分可表示为()A.3B. 3f ( x)d x＋1－f ( x)d x-313f ( x)d xC.1D.13f ( x)d xf ( x)d x f ( x)d x－-3-316．如图是函数y＝f ( x) 的导函数的图象，给出下边四个判断：①f( x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是 f ( x)的极小值点；③f ( x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝2是 f ( x)的极小值点．此中，全部正确判断的序号是 ()A．①②B．②③C．③④ D ．①②③④7．对随意的x∈R，函数 f ( x)＝x3＋ax2＋7ax 不存在极值点的充要条件是 ()A．0≤a≤21B．a＝ 0 或a＝7C．a<0 或a>21D．a＝ 0 或a＝218．某商场从生产厂家以每件20 元的价钱购进一批商品，若该商品零售价定为 P 元，销售量为 Q，则销量 Q(单位：件)与零售价 P(单位：元 ) 有以下关系：Q＝8 300 －170P－P2，则最大毛收益为 ( 毛收益＝销售收入－进货支出 )()A．30 元 B．60 元 C ．28 000 元 D ．23 000 元x9．函数f ( x) ＝－e x( a<b<1)，则 ()A．f ( a) ＝f ( b)B．f(a)<f(b)C．f ( a)> f ( b)D．f(a)，f(b)大小关系不可以确立10．函数f ( x) ＝－x3＋x2＋x－2 的零点个数及散布状况为()1A．一个零点，在－∞，－3内1B．二个零点，分别在－∞，－3，(0，＋∞)内11C．三个零点，分别在－∞，－3，－3，0，(1，＋∞)内1D．三个零点，分别在－∞，－3，(0,1)，(1，＋∞)内11．关于 R 上可导的随意函数f ( x)，若知足( x－1) f ′( x)≥0，则必有()A．f (0)＋f (2)<2 f (1)B．f (0)＋f (2)≤2f (1)C．f (0)＋f (2)≥2f (1)D．f (0)＋f (2)>2 f (1)12．设f ( x) 是定义在 R上的可导函数，且知足 f ′( x)> f ( x)，对随意的正数 a，下边不等式恒建立的是()f 0a aA ．f ( a)<e f (0)B ．f ( a)>e f (0)C ．f ( a)<e af0D．f ( a)> e a二、填空题 ( 每题 5 分，共 20 分)113．过点 (2,0)且与曲线 y＝x相切的直线的方程为________．π121－x d x，N＝2cos x d x，则程序框14．已知M＝图输出的 S＝________.精选文档1m15．设函数f ( x) ＝x＋ax的导数为f′( x) ＝2x＋1，则数列 f n (n ∈N＋) 的前n项和是 ________．1216．已知函数 f ( x)＝2mx＋ln x－2x 在定义域内是增函数，则实数 m的取值范围为________．三、解答题 ( 写出必需的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)32217．(10 分) 设函数f ( x) ＝－x－2mx－mx＋1－m(此中 m>－2)的图象在 x＝2处的切线与直线y＝－5x＋12平行．(1)求 m的值；(2)求函数 f ( x)在区间[0,1]上的最小值．18．(12 分) 已知函数f ( x) ＝kx3－3( k＋1) x2－k2＋1( k>0)，若f ( x)的单一递减区间是 (0,4) ，1(1) 求k的值； (2)当 k<x 时，求证：2 x>3－x19.(12 分) 已知函数f ( x) ＝kx3－3x2＋1( k≥0) ．(1)求函数 f ( x)的单一区间；(2)若函数 f ( x)的极小值大于0，求 k 的取值范围．20.(12分)湖北宜昌“三峡人家”景色区为提升经济效益，现对精选文档某一景点进行改造升级，进而扩大内需，提升旅行增添值，经过市场检查，旅行增添值y 万元与投入 x( x≥10)万元之间知足： y＝f ( x)＝2 101xax ＋50 x－b ln10，a，b 为常数，当 x＝10时， y＝19.2；当 x＝20时， y＝35.7.(参照数据： ln2 ＝0.7 ，ln3 ＝1.1 ，ln5 ＝1.6)(1)求 f ( x)的分析式；(2)求该景点改造升级后旅行收益 T( x)的最大值．(收益＝旅行收入－投入 )131221.(12 分) 已知函数f ( x) ＝3x－2x＋cx＋d有极值．(1)求 c 的取值范围；1 2(2) 若f ( x) 在x＝ 2 处获得极值，且当x<0 时，f ( x)<6d＋2d恒成立，求 d 的取值范围．22.(12 分)(2015 ·银川一中月考 ) 设a为实数，函数f ( x) ＝e x－2x ＋2a，x∈R.(1)求 f ( x)的单一区间与极值；(2)求证：当 a>ln2－1且 x>0时，e x>x2－2ax＋1.精选文档答案1 ． C f′( x) ＝ (x )′·sin x ＋x ·(sin x)′＝1·＋2x sin x x·cos x，应选C.2．A∵y′＝2x＋a，∴曲线 y＝x2＋ ax＋b 在(0，b)处的切线方程的斜率为a，切线方程为 y－b＝ax，即 ax－y＋b＝0.∴a＝1，b＝1.3．B f ′( x)＝( x ln x)′＝ln x＋1，∴f′( x0)＝ln x0＋1＝2，∴ x0＝e.4．B f ′( x)＝2x＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即 f ′(1)＝－ 2，∴f′( x) ＝ 2x－4，∴f′(0) ＝－ 4.5．D由定积分的几何意义可知，函数y＝f ( x)的图象与 x 轴围成的暗影部分的面积为1－3f(x)d x－3f(x)d x.应选D.16．B由函数y＝f(x)的导函数的图象可知：(1)f ( x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4] 上是减函数；(2)f ( x)在 x＝－1处获得极小值，在 x＝2处获得极大值．故②③正确．7．A f′( x) ＝3x2＋2ax＋7a，当＝4a2－84a≤0，即 0≤a≤21 时， f ′( x)≥0恒建立，函数不存在极值点．应选A.8．D设毛收益为L(P)，由题意知 L( P)＝PQ－20Q＝Q( P－20)＝(8 300 －170P－P2)( P－20)＝－ P3－150P2＋11 700 P－166 000，精选文档因此 L′( P)＝－3P2－300P＋11 700，令 L′( P)＝0，解得 P＝30或 P＝－130(舍去)．此时， L(30)＝23 000.依据实质问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛收益为23 000 元．9．C f′( x) ＝－e x－x e x x－1 e x 2＝e x ，当 x<1时， f ′( x)<0，即 f ( x)在区间(－∞，1)上单一递减，又∵ a<b<1，∴ f ( a)> f ( b)．110．A利用导数法易得函数 f ( x)在－∞，－3内单一递减，在1159－3，1 内单一递加，在 (1 ，＋∞) 内单一递减，而 f －3＝－27<0，f (1)＝－1<0，故函数 f ( x)的图象与 x 轴仅有一个交点，且交点横坐1标在－∞，－3内，应选 A.11.C当1≤x≤2时，f′(x)≥0，则f(2)≥f(1)；而当 0≤x≤1 时，f′ ( x) ≤0，则f (1) ≤f (0) ，进而 f (0)＋f (2)≥2f (1)．f x f ′ x －f x12．B结构函数g(x)＝e x，则g′(x)＝e x>0，故函f x f a f 0数 g( x)＝e x在R上单一递加，因此 g( a)> g(0)，即e a>e0，即 f ( a)>e a f (0)．13．x＋y－2＝ 0分析：设所求切线与曲线的切点为P( x0，y0)，精选文档1∵y ′＝－ x 2，∴ y ′ |1y －y 0＝－ 2( x －x 0) ．x 01x ＝x 0＝－ 2，所求切 的方程 x 0∵点 (2,0) 在切 上，12∴0－y 0＝－ 2(2 －x 0) ，∴ x 0y 0＝2－x 0. ①x 0又∵ x 0y 0＝1，②x 0＝ 1， 由①②解得∴所求直 方程 x ＋y －2＝0.y 0＝ 1，14. π4分析： ＝11－ x 2 ＝ 12π π＝sinx | πd4π×1＝，＝∫cos d＝1，M 0x 4 N2x x2πM <N ，不 足条件 M >N ， S ＝M ＝4.n15. n ＋1m －1＋a ＝2x ＋1，得 m ＝2，分析： f ′( x ) ＝mxa ＝1.211 1 1f ( x ) ＝x＋x ，f n ＝n n ＋1 ＝n －n ＋ 1，111 1 1 1111其和1－2 ＋ 2－3 ＋ 3－4 ＋ ⋯ ＋ n －n ＋1 ＝ 1 － n ＋1 ＝n.n ＋116．[1 ，＋ ∞)1分析：依据 意，知 f ′( x ) ＝mx ＋x －2≥0 全部 x >0 恒建立，精选文档m 1 2 2g ( x )1 2 21211 1＋ ，令＝－＋ ＝－－ 1，则当 ＝ 时，函∴ ≥－xx x ＋xxx数 g ( x ) 获得最大值 1，故 m ≥1.2217．解： (1) 由于 f ′( x ) ＝－ 3x －4mx －m ，2因此 f ′(2) ＝－ 12－8m －m ＝－ 5，解得 m ＝－ 1 或 m ＝－ 7( 舍去 ) ，即 m ＝－ 1.(2) 令 f ′( x ) ＝－ 3x 2＋4x －1＝0，1解得 x 1＝1，x 2＝3.当 x 变化时， f ′( x ) ，f ( x ) 的变化状况以下表：x11 110，33 3，1f ′( x )－＋f ( x )2502271 50因此函数 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f 3 ＝27. 18．解： (1) f ′( x ) ＝ 3kx 2－6( k ＋1) x ，2k ＋2由 f ′( x )<0 得 0<x < k ，∵ f ( x ) 的递减区间是 (0,4) ，2k ＋2∴k＝ 4，∴ k ＝1.11 1(2) 证明：设 g ( x ) ＝2 x ＋x ， g ′( x ) ＝x －x 2.21 1当 x >1 时， 1< x <x ，∴ x >x 2，∴g ′( x )>0 ，∴ g ( x ) 在 x ∈[1 ，＋ ∞) 上单一递加．精选文档1∴x>1时， g( x)> g(1)，即2 x＋x>3，1∴2 x>3－x.19. 解： (1) 当k＝0 时，f ( x) ＝－ 3x2＋1，∴f( x)的单一增区间为(－∞，0]，单一减区间[0，＋∞)．当 k>0时， f ′( x)＝3kx2－6x＝3kx x－2，k2∴ f ( x)的单一增区间为( －∞， 0] ，k，＋∞，单一减区间为20，k .(2)当 k＝0时，函数 f ( x)不存在极小值，28 12当 k>0时，依题意 f k＝k2－k2＋1>0，2即 k >4，因此 k 的取值范围为(2，＋∞)．2101a×10＋50×10－b ln1 ＝19.2，2101a×20＋50×20－b ln2 ＝35.71解得 a＝－100，b＝1，x2101x则 f ( x)＝－100＋50 x－ln10( x≥10)．(2)由题意知x251xT( x)＝f ( x)－x＝－100＋50x－ln10( x≥10)，－x 51 1x －1 x －50则 T ′( x ) ＝ 50 ＋50－x ＝－50x， 令 T ′( x ) ＝0，则 x ＝ 1( 舍去 ) 或 x ＝50.当 x ∈(10,50) 时， T ′( x )>0，T ( x ) 在(10,50) 上是增函数；当 x ∈(50 ，＋∞) 时，T ′( x )<0，T ( x ) 在(50 ，＋∞) 上是减函数，∴x ＝50 为 T ( x ) 的极大值点，又 T (50) ＝24.4.故该景点改造升级后旅行收益 T ( x ) 的最大值为 24.4 万元．21. 解： (1) ∵f ( x ) ＝ x 3－1x 2＋cx ＋d ，321∴f ′( x ) ＝x 2－x ＋c ，要使 f ( x ) 有极值，则方程 f ′( x ) ＝x 2－x1＋c ＝0，有两个实数解，进而＝1－4c >0，∴ c <4.(2) ∵f ( x ) 在 x ＝2 处获得极值， ∴f ′(2) ＝4－ 2＋c ＝ 0，31 2∴ c ＝－ 2. ∴f ( x ) ＝3x －2x －2x ＋d .1∵ f ′( x ) ＝x 2－x －2＝( x －2)( x ＋1) ，∴当 x ∈( －∞，－1) 时，f ′( x )>0 ，函数单一递加，当 x ∈( －1,2]时， f ′( x )<0 ，函数单一递减．7∴x <0 时， f ( x ) 在 x ＝－ 1 处获得最大值 6＋d ，∵ x <0 时， f ( x )< 1d 2＋2d 恒建立，671 2∴ 6＋d <6d ＋ 2d ，即 ( d ＋7)( d －1)>0 ，∴ d <－7 或 d >1，即 d 的取值范围是 ( － ∞，－ 7) ∪(1 ，＋ ∞) ．。

a b x y)(x f y ?=O 高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷一、 选择题〔每题5分，共60分〕1.满足()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－xB. f (x )＝xC . f (x )＝0D . f (x )＝134y x x =-在点〔－1，－3〕处的切线方程是A . 74y x =+B. 72y x =+C. 4y x =-D. 2y x =-x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为A. 3-B. 1-C. 1 D . 3 4.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定5. 已知()f x =3x ·sin x x ，则(1)f '=A .31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos11+cos1 6．函数f (x )＝x 3－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－197．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，假设f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则 A f (x )=g (x ) B f (x )－g (x )为常数函数 C f (x )=g (x )=0 D f (x )+g (x )为常数函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如下图，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点A 1个B 2个C 3个D 4个9．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为〔 〕 xy O AxyOBxyOCyODxxyO10．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， 且(3)0g -=，则不等式f (x )g (x )<0的解集是A . (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3) C . (－∞，－3)∪(3，+∞) D. (－∞，－3)∪(0，3) 11.给出以下命题： ⑴假设()0b af x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶已知()()F x f x '=，且F (x )是以T 为周期的函数，则0()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.012.已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为〔 〕20122011.20112010.20102009.20092008.D C B A 二.填空题〔每题5分，共20分〕13.假设32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是__32()26(f x x x m m =-+为常数） 在[22]-，上有最大值3，那么此函数在[22]-， 上的最小值为_____20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为)(x f 为一次函数，且1()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =______ .三．解答题〔共70分〕17. (本小题总分值10分)已知曲线 32y x x =+- 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限.〔1〕求P 0的坐标；〔2〕假设直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.18．〔本小题总分值12分〕将边长为a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？19.(本小题总分值12分)已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --= 〔1〕求导数)(x f '；〔2〕假设0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值； 〔3〕假设)(x f 在(,2)-∞-和(2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围. 20.(本小题总分值12分)已知函数()ln(1)f x x x =+-． 〔1〕求函数f (x )的单调递减区间； 〔2假设1x >-，证明：11ln(1)1x x x -≤+≤+． 21. (本小题总分值12分)已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠' 〔1〕当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;〔2〕假设0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值; 〔3〕在⑵的条件下,求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积. 22．(本小题总分值12分)假设存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2()h x x =，()2eln (e x x ϕ=为自然对数的底数)． 〔1〕求()()()F x h x x ϕ=-的极值；〔2〕函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？假设存在，求出此隔离直线方程；假设不存在，请说明理由．《导数及其应用》参考答案【理科】一、选择题 CDBCB BBADD BD13.2a > 或1a <- 14. 37- 15.400027π cm 2 16. ()1f x x =- 三．解答题17.解:⑴由y =x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，由已知得3x 2+1=4，解之得x =±x =1时，y =0;当x =－1时，y =－4. 又∵点P 0在第三象限, ∴切点P 0的坐标为 (－1,－4). ⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14-, ∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+即4170x y ++=. 18．解：设小正方形的边长为x ，则盒底的边长为a －2x ，∴方盒的体积2(2)((0,)),2aV x a x x =-∈121'(2)(6),'0,,,(0,),(0,),'0,26226a a a a aV a x a x V x x x x V =--====∉∈>令则由且对于 (,),'0,62a a x V ∈<∴函数V 在点x ＝a6处取得极大值，由于问题的最大值存在，∴V (a 6)＝2a 327即为容积的最大值，此时小正方形的边长为a 6．19. 解：⑴由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f⑵由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)(='x f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(==-=--=f f f f所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750-⑶解法一:423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得 ,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即{480840a a +≥-≥ ∴－2≤a ≤2.所以a 的取值范围为[－2,2].解法二:令0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得: 21,21212)a a x x x ±+=<所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负.由题意可知,当2x -或2x 时, )(x f '≥0,从而12x -, 22x ,即⎩⎨⎧+≤+-≤+612.61222a a a a 解不等式组得－2≤a ≤2.∴a 的取值范围是[2,2]-.20.解：⑴函数f (x )的定义域为(1,)-+∞．()f x '＝11x +－1＝－1x x +. 由()f x '<0及x >－1，得x >0．∴ 当x ∈〔0，＋∞〕时，f (x )是减函数，即f (x )的单调递减区间为〔0，＋∞〕．⑵证明：由⑴知，当x ∈〔－1，0〕时，()f x '＞0，当x ∈〔0，＋∞〕时，()f x '＜0， 因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0∴ ln(1)x x +≤．令1()ln(1)11g x x x =++-+，则211()1(1)g x x x '=-++＝2(1)x x +． ∴ 当x ∈〔－1，0〕时，()g x '＜0，当x ∈〔0，＋∞〕时，()g x '＞0．∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即 1ln(1)11x x ++-+≥0，∴ 1ln(1)11x x +≥-+． 综上可知，当1x >-时，有11ln(1)1x x x -≤+≤+．21.解:⑴∵()ln f x x =,∴当0x >时,()ln f x x =; 当0x <时,()ln()f x x =-∴当0x >时,1()f x x '=; 当0x <时,11()(1)f x x x'=⋅-=-. ∴当0x ≠时,函数()ay g x x x ==+.⑵∵由⑴知当0x >时,()ag x x x=+,∴当0,0a x >>时, ()≥g x a x a =.∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2a ∴依题意得22a =∴1a =.⑶由27361y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2121322,51326x x y y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩ ∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积232271()()36S x x dx x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰=2ln 23ln 247-+22.解(1)()()()F x h x x ϕ=-=22eln (0)x x x ->，2e 2(e)(e)()2x x F x x x x'∴=-=． 当e x =()0F x '=．当0e x <<时，()0F x '<，此时函数()F x 递减；当e x >()0F x '>，此时函数()F x 递增； ∴当e x =()F x 取极小值，其极小值为0．(2)解法一：由〔1〕可知函数)(x h 和)(x ϕ的图象在e x =)(x h 和)(x ϕ的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为e (e)y k x -=，即e e y kx =+-． 由()e e(R)h x kx x ≥+-∈，可得2e e 0x kx k --+当R x ∈时恒成立． 2(2e)k ∆=-，∴由0≤∆，得2e k =．下面证明()e e x x φ≤-当0>x 时恒成立． 令()()e e G x x x ϕ=-+2eln 2e e x x =-+，则2e 2e(e )()e x G x x -'=-=， 当x e =()0G x '=．当0e x <<时，()0G x '>，此时函数()G x 递增；当e x >()0G x '<，此时函数()G x 递减； ∴当e x =()G x 取极大值，其极大值为0．从而()2e ln e e 0G x x x =-+≤，即()2e e(0)x x x φ≤->恒成立．∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的隔离直线e e y x =-． 解法二： 由(1)可知当0x >时，()()h x x ϕ≥ (当且仅当e x =) ．假设存在()h x 和()x ϕ的隔离直线，则存在实常数k 和b ，使得()()h x kx b x R ≥+∈和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立，令e x =e e b ≥且e e b ≤e e b ∴=，即e e b =-后面解题步骤同解法一．。

目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

《导数及其应用》章节测试题得分一、选择题(共12小题，每题5分,共60分)1.函数y=x2cosx的数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】A.y′=2xcosx－x2sinxB.′y=2xcosx+x2sinx22C.′y=xcosx－2xsinxD.y′=xcosx－xsinx2.以下中正确的选项是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】A.数零的点必定是极点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】B.假如在x0邻近的左f'(x)0，右f'(x)0，那么f(x0)是极大C.假如在x0邻近的左f'(x)0，右f'(x)0，那么f(x0)是极小D.假如在x0邻近的左f'(x)0，右f'(x)0，那么f(x0)是极大3.曲y cosx(0x 3)与坐成的面是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】2A.4B.5C.3D.2b5E2RGbCAP 24.函数f(x)3x3[0,1]的最大是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】4x，x1A.1B.C.0D.-1p1EanqFDPw2假如10N的力能使簧10cm，在性限度内将簧从均衡地点拉到离均衡地点6cm，战胜力所做的功⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】C.0.26JD.0.18J DXDiTa9E3d6.出以下命：⑴若b0，f(x)>0；⑵24;⑶f(x)的原函数f(x)dx sinxdxa0a a TF(x)，且F(x)是以T周期的函数，f(x)dx f(x)dx；此中正确命的个数⋯【】0 TA.1B.2C.3D.0RTCrpUDGiT7.若函数 3 2 mx 1是R上的函数，数m的取范是⋯⋯⋯【】f(x)x x1) B.( , 1 1 1A.(, ) C.[,) D.(,]3 3 3 38. 0<a<b，且f(x)＝a b 11xx，以下大小关系式建立的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】.a bA.f(a)<f( )<f( ab)B. f()<f(b)<f(ab)5PCzVD7HxA2 2C. f(a b a b)<f(ab)jLBHrnAILg ab)<f( )<f(a) D.f(b)<f(2 29. 函数f(x)ax 2,0)内是减函数，a,b足⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】b在区(Ａ．a 0且b0 Ｂ．a 0且bR Ｃ．a 0且b0 Ｄ．a 0且bR10. f (x)与g(x)是R定在上的两个可函数，若f(x) 与g(x)足f(x) g(x)，f(x)与g(x)足⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】xHAQX74J0XＡ．f(x) g(x) Ｂ．f(x) g(x) 常数函数Ｃ．f(x) g(x) 0 Ｄ．f(x) g(x) 常数函数11.(2007江)已知二次函数f(x) 2 bxc的数 f (x) ，f(0 ) 0 ，于随意数x，有axf(x)≥0， f (1)的最小⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】f (0) LDAYtRyKfEＡ． 3 Ｂ．5Ｃ．23 2Ｄ．212.(2007江西理)函数f (x)是R上以5周期的可偶函数，曲y f(x) 在x5 的切的斜率（）Ａ．1Ｂ．0 Ｃ．1Ｄ．5 5 5二、填空(共4 小，每小5 分,共20分)13．10.曲y=2x3－3x2共有____个极.14．已知f(x)一次函数，且 1 ，f (x)=_______..f (x) x 2 f(t)dt1f(1 2t) f(1)15. 若f(x) e x ，lim ___________.tt 016.已知函数f(x)3 2bx c在x2获得极，而且它的象与直y 3x3在点（1，x ax0）相切，函数f(x)的表达式__ __m 2.Zzz6ZB2Ltk三、解答题（共74分）17．（本小分10分）一物体沿直以速度v(t) 2t 3 （t 的位:秒,v 的位:米/秒）的速度作速直运，求物体从刻t=0秒至刻t=5秒运的行程?dvzfvkwMI130处的切线l18.（本小题满分12分）已知曲线y=x+x－2在点1 平行直线P4x－y－1=0，且点P0在第三象限,⑴求P的坐标;⑵若直线l l1, 且l也过切点0求直线l的方程.P,19.（本小题满分12分）已知函数 3 2 ,试判f(x)ax(a1)x 48(a2)xb的图象对于原点成中心对称断f(x)在区间4, 4上的单一性,并证明你的结论.rqyn14ZNXI120．（本小题满分14分）已知函数f(x) lnx(x0),函数g(x)af (x)(x0)f (x)⑴当⑵若x 0 时,求函数yg(x)的表达式;a 0 ,函数yg(x)在(0, )上的最小值是2,求a的值;⑶在⑵的条件下,求直线y 2 x 7 与函数y g(x)的图象所围成图形的面积.3 621．（本小题满分12分）设a≥0，f(x)x1 2 lnx2alnx(x0)．（Ⅰ）令F(x) xf (x)，议论F(x)在(0，∞)内的单一性并求极值；（Ⅱ）求证：当x 1时，恒有x 2 1．lnx2alnx22．（本小题满分14分）已知函数f(x) e x kx，x R（Ⅰ）若k e，试确立函数f(x)的单一区间；（Ⅱ）若k 0，且对于随意x R，f(x) 0恒建立，试确立实数k的取值范围；n（Ⅲ）设函数F(x) f(x) f( x)，求证：F(1)F(2)F(n)(e n12(nN)．2)。

高二数学（理）选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题一、选择题：(每小题5分，共60分)1．若质点M 受力F 的作用沿x 轴由点A (a,0)移动至点B (b ，0)，并设F 平行于x 轴，如果力F 是质点所在位置的函数F ＝F (x )，a ≤x ≤b ，则F 对质点所作的功为( )A.⎠⎛b a F (x )d xB.⎠⎛ab F (x )d x C ．F (x )(a －b ) D ．F (x )(b －a )2. 已知函数c ax x f +=2)(,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．－1D ．03．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足( ) A ．()()f x g x = B ．()()f x g x -为常数函数C ．()()0f x g x ==D ．()()f x g x +为常数函数4．函数x x y 33-=在[－1，2]上的最小值为（ ）A ．2B ．－2C ．0D ．－45．设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）6．方程0109623=-+-x x x 的实根个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．07．曲线ln(21)y x =-上的点到直线082=+-y x 的最短距离是 （ ）A 5B ．5C ．35D ．08．曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A ．34y x =-B ．32y x =-+C ．43y x =-+D ．45y x =-9．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤10．曲线)230(cos π≤≤=x x y 与坐标轴围成的面积是（ ） xy O 图1 x y O A x y O B x y O C yO DxA ．4B ．52C ．3D ．2 11．由定积分的几何意义知⎠⎛01(1－(x －1)2)d x ＝( ) A.12 B.π4 C.π－24 D.1412．若函数f (x )在R 上可导，且f (x )>f ′(x )，当a >b 时，下列不等式成立的是( )A ．e a f (a )>e b f (b )B ．e b f (a )>e a f (b )C ．e b f (b )>e a f (a )D ．e a f (b )>e bf (a )二、填空题：(每小题5分，共20分)13．已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集 .14．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3＋3x －5相切的直线方程是 . 15．若函数32()1f x x x mx =+++ 是R 是的单调函数，则实数m 的取值范围是 16．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 .三、解答题：(六小题，共70分)17．已知函数32()f x x ax bx c =+++在2x =-处取得极值,并且它的图象与直线33y x =-+ 在点( 1 , 0 ) 处相切, 求a , b , c 的值.(10分)18. 当0>x 时，证明不等式2211x x e x ++>成立. (10分)19．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值，讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；(12分)20．(12分)已知函数323()(2)632f x ax a x x =-++-； （1）当2a >时，求函数()f x 极小值；（2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。

第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析∵y'=2x+a,∴曲线y=x2+ax+b在(0,b)处的切线的斜率为a,切线方程为y-b=ax,即ax-y+b=0.∴a=1,b=1.答案A2若函数f(x)=ax5+bx3+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0解析f'(x)=5ax4+3bx2为偶函数,∴f'(-1)=f'(1)=2.答案C3若函数f(x)=a ln x+x在x=1处取得极值,则a的值为()A. B.-1 C.0 D.-解析f'(x)=+1,令f'(x)=0,得x=-a,易知函数f(x)在x=-a处取得极值.所以a=-1.答案B4已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是() A.(-1,+∞) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案B5设f(x)=∈∈则f(x)d x等于()A. B. C. D.解析f(x)d x=x2d x+d x=x3+ln x.故选A.答案A6已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是() A. B.C. D.解析因为0>y'=--≥-1,当且仅当x=0时取等号.即-1≤tan α<0,所以≤α<π. 答案D7(e x+2x)d x等于()A.1B.e-1C.eD.e+1解析∵(e x+x2)'=e x+2x,∴(e x+2x)d x=(e x+x2)=(e1+12)-(e0+0)=e.答案C8设a∈R,若函数y=e ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则()A.a>-3B.a<-3C.a>-D.a<-解析令y'=a e ax+3=0,∴e ax=-.设x=x0为大于0的极值点,∴=-.∴a<0,ax0<0.∴0<<1,即0<-<1.∴a<-3.答案B9设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()解析y'=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),令y'=0,得x=a或x=.∵a<b,∴a<.∴当x=a时,y取极大值0;当x=时,y取极小值,且极小值小于零.故选C.答案C10若函数f(x),g(x)满足-f(x)g(x)d x=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sin x,g(x)=cos x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3解析对于①,-sin x·cos x d x=-sin x d x=-sin x d x=(-cos x)-{-cos 1-[-cos(-1)]} =(-cos 1+cos 1)=0.故①为一组正交函数;对于②,-(x+1)(x-1)d x=-(x2-1)d x=---1--=-2=-≠0,故②不是一组正交函数;对于③,-x·x2d x=-x3d x=-=0.故③为一组正交函数,故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11--d x=.解析取F(x)=-,从而F'(x)=.则--d x=F(-1)-F(-2)=-.答案12若函数f(x)在x=a处的导数为A(aA≠0),函数F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则A=.解析由题知f'(a)=A,又F'(x)=f'(x)-2A2x,且F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.∵aA≠0,∴A=.答案13已知函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f'(1)=.解析令e x=t,则x=ln t,∴f(t)=ln t+t,∴f'(t)=+1,∴f'(1)=2.答案214设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.解析曲线y=e x在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x|x=0=1;由y=,可得y'=-,因为曲线y=(x>0)在点P处的切线与曲线y=e x在点(0,1)处的切线垂直,所以-=-1,解得x P=1,由y=,得y P=1,故所求点P的坐标为(1,1).答案(1,1)15已知函数f(x)为一次函数,其图象经过点(3,4),且f(x)d x=1,则函数f(x)的解析式为.解析设函数f(x)=ax+b(a≠0).∵函数f(x)的图象经过点(3,4),∴b=4-3a.∴f(x)d x=(ax+4-3a)d x=-a+4-3a=1,∴a=.∴b=.∴f(x)=x+.答案f(x)=x+三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)求定积分-d x的值.解-d x=--d x=--d x=-1d x--d x=1-2-d x=1-2ln(x+2)-=1-2ln 2.17(8分)已知曲线f(x)=2x3-3x,过点M(0,32)作曲线f(x)的切线,求切线的方程.解设切点坐标为N(x0,2-3x0),由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值,而f'(x)=6x2-3,所以切线的斜率k=f'(x0)=6-3.所以切线方程为y=(6-3)x+32.又点N在切线上,所以2-3x0=(6-3)x0+32,解得x0=-2.故切线方程为y=21x+32.18(9分)求函数y=x3+3-ln x的单调区间.解函数的定义域为(0,+∞),y'=x2--.令y'>0,则-解得x>1;令y'<0,则-解得0<x<1.故函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).19(10分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f'(x)=2a(x-5)+.令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.(2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6ln x(x>0),f'(x)=x-5+--.令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+∞);当2<x<3时,f'(x)<0,故f(x)的单调递减区间为(2,3).由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.20(10分)已知f(x)=a(x-ln x)+-,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=a---.当a≤0时,x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当a>0时,f'(x)=--.①0<a<2时,>1,当x∈(0,1)或x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.②a=2时,=1,在x∈(0,+∞)内,f'(x)≥0,f(x)单调递增.③a>2时,0<<1,当x∈或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;当0<a<2时,f(x)在(0,1)内单调递增,在内单调递减,在内单调递增;当a=2时,f(x)在(0,+∞)内单调递增;当a>2时,f(x)在内单调递增,在内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.(2)由(1)知,a=1时,f(x)-f'(x)=x-ln x+--=x-ln x+-1,x∈[1,2].设g(x)=x-ln x,h(x)=-1,x∈[1,2].则f(x)-f'(x)=g(x)+h(x).由g'(x)=-≥0,可得g(x)≥g(1)=1,当且仅当x=1时取得等号.又h'(x)=--,设φ(x)=-3x2-2x+6,则φ(x)在x∈[1,2]单调递减,因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x0∈(1,2),使得x∈(1,x0)时,φ(x)>0,x∈(x0,2)时,φ(x)<0.所以h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减.由h(1)=1,h(2)=,可得h(x)≥h(2)=,当且仅当x=2时取得等号.所以f(x)-f'(x)>g(1)+h(2)=,即f(x)>f'(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.。