复变函数（§1.1）§1.1复数运算(一)复数的基本概念一个复数z可以表为某个实数x与某个纯虚数i y的和，z = x + i y， (1.1.1) 这称为复数的代数式，x和y分别为该复数的实部和虚部，并分别记作Re z和Im z。
如果将x和y当作平面上点的坐标(图1−1)，复数z就跟平面上的点一一对应起来。
这个平面称为复数平面，两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。
如果将x和y当作矢量的直角坐标分量(图1−1)，复数z还可以用复数平面上的矢量来表示。
改用极坐标ρ和φ (图1−1)代替直角坐标x和y，两者之间的关系如下{ρ=√x2+y2，φ=arctan(yx )；{x=ρcos φ ，y=ρsin φ 。
(1 .1 .2 )则复数z可表为三角式或指数式，即z = ρ ( cos φ + i sin φ ) ，(1 .1 .3 )或z =ρe iφ(1 .1 .4 )ρ称为该复数的模，记作|z|。
φ称为该复数的幅角，记作Arg z 。
一个复数的辐角值不能唯一地确定，可以取无穷多个值，并且彼此相差2π的整数倍。
通常约定，以arg z表示其中满足条件0 ≤ Arg z <2π的一个特定值，并称arg z为Arg z的主值，或z的主幅角。
于是有φ = Arg z = arg z + 2kπ(k = 0，±1，±2 … ) 。
复数“零”(即实部x及虚部y都等于零的复数)的辐角没有明确意义。
一个复数z的共扼复数 z∗，指的是对应的点对实轴的反映，即z∗= x –i y = ρ (cos φ –i sin φ) = ρe−iφ(1 .1 .5 )(二)无限远点前面我们将模为有限值的复数跟复数平面上的有限远点一一对应起来，在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复数平面上的一点相对应，并且称这一点为无限远点。
关于无限远点，可作如下理解.把一个球放在复数平面上，球以南极S跟复数平面相切于原点，如(图1−2) 所示。
复数的引入与运算复数是数学中一个非常重要的概念，它在代数、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍复数的引入与运算，并探讨它在实际问题中的应用。
一、复数的引入复数的引入是为了解决一元二次方程 $x^2 + 1 = 0$ 无实数解的问题。
为了表示这样的解，我们引入了一个新的数 $i$，称为虚数单位。
虚数单位 $i$ 定义为 $i^2 = -1$。
同时，我们规定复数由实部和虚部组成，记作 $a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数。
二、复数的表示形式复数可以用不同的表示形式来描述。
除了通常的代数形式$a + bi$，还有极坐标形式 $r(\cos \theta + i \sin \theta)$。
其中，$r$ 是复数的模（即长度），$\theta$ 是复数的辐角（即与正实轴的夹角）。
三、复数的四则运算1. 加法和减法：复数相加减就是对应实部和虚部相加减。
例如，$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$。
2. 乘法：将两个复数相乘，实部和虚部要按特定的规则计算。
例如，$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
3. 除法：复数的除法需要借助共轭复数。
将分子分母同乘以分母的共轭复数，再根据乘法规则进行计算。
例如，$\frac{a+bi}{c+di} =\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2 + d^2}$。
4. 幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转换为极坐标形式，并运用指数的性质来计算。
例如，$(a+bi)^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$。
四、复数在实际问题中的应用1. 电路分析：复数广泛应用于电路分析中，特别是交流电路。
通过将电压和电流表示为复数形式，可以简化分析过程，并求解电路的幅值和相角。
