转动惯量和动量矩定理

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第十三章 转动惯量和动量矩定理
一、 内容提要：
1． 动量矩：
（1） 质点对固定点的动量矩：vmrvmmo)(

（2） 质点系对固定点的动量矩：vmrvmmHoo)(

（3） 质点系对固定轴的动量矩：)()()(vmmHvmmHvmmHzzyyxx
（4） 定轴转动刚体对转轴的动量矩：wJvmmHzzz)(
（5） 质点系对任一固定点O的动量矩与相对于质心的动量矩间的关系：
cccoHvmrH
2． 动量矩定理

（1） 质点对固定点的动量矩定理：)()(0Fmvmmdtdo

（2） 质点对固定轴的动量矩定理：)()(Fmvmmdtdzz
（3） 质点系对固定点的动量矩定理：)(eoOFmdtHd
（4） 质点系对固定轴的动量矩定理：)(ezzFmdtdH
（5） 质点系动量矩守恒定律：
若,0)(eoFm则常矢量oH；
若常量。，则ZezHFm0)(

（6） 质点系相对于质心的动量矩定理：)(eccFmdtHd
3． 刚体的定轴转动微分方程：

)(eZZFMJ






4． 刚体的平面运动微分方程：)(ecceycyexcxFMJFMaFMa
5． 刚体转动惯量的计算：
（1） 定义：2iiZrmJ
（2） 转动惯量的平行轴定理：2MdJJczZ
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二、 基本要求
1、能理解并熟练计算动量矩和转动惯量。
2、会应用动量矩定理解决质点系动力学两类问题，对刚体定轴转动的情况能熟练应用刚体绕
定轴转动微分方程求解有关问题。
3、对刚体平面运动情况，会正确写出系统的运动微分方程，并解决刚体平面运动动力学的两
类问题。

三、典型例题分析：
1.已知OA杆重为P，长度为L，可绕过
O点的水平轴在铅垂面内转动，杆的A端
用铰链铰接一半径为R、重为Q的均质
圆盘。若初瞬时OA杆处于水平位置，系统
静止。求当OA杆转到任意位置时的角速度
和角加速度。

解：取圆盘为研究对象，受力如图所示：
根据动量矩定理：0AJ
0,00 （因此，在摆下摆过程中，圆盘做平动。）

再取整体为研究对象，有222333lgQPlgQlgPHo

根据质点系对固定轴的动量矩定理：)(eOOFmdtdH



cos2332coscos2332lgQPQPQllPlgQP







sin332cos2332cos2332lgQPQPdlgQPQPdlgQPQPdddtddddtd两边积分得：


2、均质直杆AB长为l=3m,质量为M=100Kg,
在图示位置时，绳BD水平，AB杆静止。
若在A端作用一水平力P=1200N，求在
此瞬时绳的张力，杆与地面的摩擦系数为
f=0.3。

解：取AB杆为研究对象，根据平面运动微分方程：

A X
A

Y
A

Q

A
B
P
45
0
D

A P G
N
F

T
C
C

B
B

A
a A

a
A

a
A

a τ CA
a
τ
BA

ε
a
B

O
A
θ
ω
ε

P

Q
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0045sin2145cos21)(NFTPJmgNmaTFPmaCcycx
运动学补充方程，以A为基点，B点加速度在铅垂方向，得：
0,,2lalaaaaaBAnBABAnBAAB
在水平方向投影：


lalaAA22,220

以A为基点，C点加速度
02/,2/,2lalaaaaa
CAnCACAncA
Ac







llallaacxAcx422224222


以上共有六个方程六个未知数，联立解得：
NTNFNNsradlFmPTlmmgfFlmmgN575,370,1234,/403.242),42(,422


