第十章 定态问题的常用近似方法
10－1) 设非简谐振子的Hamilton 量表为'0H H H +=
2
22
2202
12x u dx d u H ω+-= 3'x H β=（β为实常数）
用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）。
解：已知)0()0(0n n n E H ψψ=，()x H e N n x n n αψα
2
)
0(2
2-=，
()
ω 21)
0(+=n E n ，
ωαu =
()[]
11121
+-++=n n n n n x x ψψα
ψ ()()()()()[
]222
22112121
+-+++
+++=
n n n n n n n n n x x ψψψαψ
()()()()()()()[
]31133
3321113321221++--++++
++++--=
n n n n n n n n n n n n n n n x x ψψψψα
ψ计算
一级微扰：n n n H E ψψ'
)
1(=03
==n n x ψψβ。 （也可由()⎰+∞
∞
-⋅==dx x x H E
n nn n
32
'
)
1(βψ0＝（奇）直接得出）
计算二级微扰，只有下列四个矩阵元不为0：
()()'
,33
332122n n n n H n n n x --=--=α
βψβψ
'
,13
31322n n n n H n n x --=⋅=α
βψβψ ()'
,13
3111322n n n n H n n x ++=++⋅=
α
βψβψ ()()()
',33
3332122n n n n H n n n x ++=+++⋅=
α
β
ψβψ
计算2'
kn
H
：()()6
22'
,3821αβ--=-n n n H
n
n
6232
',19αβn H n n =- 6232
',189αβn H n
n =+
()()()622'
,38321αβ+++=+n n n H
n
n
又ω 3)
0(3
)0(=--n n E E ，ω =--)0(1)0(n n E E ， ω -=-+)0(1)0(n n E E ，ω 3)
0(3)0(-=-+n n E E ，
∑
-++=++=∴k
k n kn
nn
n
n
n
n
n E E H
H
E
E
E
E
E )
0()0(2''
')0()2()1()
0(
43222811303021ωβωu n n n ⋅++-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=
)
0()0()0(''
)0()1()
0(k k
k
n kn
n
n
n
n E E H ψψ
ψ
ψψ∑
-+=+=
()()()()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-+--+---
=++--)0(3)
0(1
)0(1)0(33)0(321311133213
122n n n n n n n n n n n n n n n ψψψψωαβψ
10－2) 考虑耦合振子，'0H H H += 参 书.下册§9.2
()
2
2
212222212202
12x x u x x u H ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=ω 21'x x H λ-=（λ为实常数，刻画耦合强度） （a ）求出0H 的本征值及能级简并度。
（b ）以第一激发态为例，用简并微扰论计算'
H 对能级的影响（一级近似）。 （c ）严格求解H 的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论。 提示：作坐标变换，令()ηξ+=
21
1x ，()ηξ-=2
12x ，则H 可化为两个独立的谐振子，ηξ,称为简正坐标。 解：（a ）0H 的本征函数和本征值可分别表为
()()()21212
1
2
1,x x x x n n n n ψψψ= （1）
ωω ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21212121n n E n n
()ω 121++=n n ， ,2,1,0,21=n n （2）
令 21n n N += （3） 则能量表示式可改为 ()ω 1+=N E N ， ,2,1,0=N （4） 由式（3）可以看出，对于0≠N 情况。能级是简并的，简并度为()1+N 。 （b ）1=N 为第一激态（基态0=N ），能级为二重简并， 能量本征值为 ω 21=E
相应的本征函数为()()2110x x ψψ与()()2011x x ψψ（或考虑它们的线形迭加）
，分别记为()211,x x f 和()211,x x f 。
