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奥本海姆《信号与系统》笔记和课后习题(含考研真题)详解(上册)(周期信号的傅里叶级数表示)

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第3章 周期信号的傅里叶级数表示
3.1 复习笔记
一、线性时不变系统对复指数信号的响应
1．信号分解为复指数信号
（1）一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是
在幅度上的变化，即

对于特定的输入信号，系统的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入信号。这
样的输入信号称为系统的特征函数。幅度因子称为系统的特征值。
（2）令x(t)为三个复指数信号的线性组合，即

根据特征函数的性质，系统对其中每一个分量的响应分别是

根据叠加性质，因而
2．一个连续时间线性时不变系统的输入表示成复指数的线性组合
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那么输出为

3．一个离散时间线性时不变系统的输入表示成复指数的线性组合
那么输出为
4．信号分解为复指数信号及其相应系统响应的规律
（1）如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数的线性组合，那么系统的输出
也能够表示成相同复指数信号的线性组合。
（2）在输出表示式中的每一个系数可以用输入中相应的系数ak分别与特征函数
有关的系统特征值H（sk）或H（zk）相乘来求得。

二、连续时间周期信号的傅里叶级数表示
1．成谐波关系的复指数信号的线性组合
（1）一般周期信号的傅里叶表示方法

①k＝0这一项就是一个常数
②k＝＋1和k＝ －1这两项都有基波频率等于ω0，称为基波分量或一次谐波分量。
③k＝＋2和k＝－2这两项为二次谐波分量。
④k＝＋N和k＝－N的分量称为第N次谐波分量。
（2）实信号的傅里叶表示方法
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实信号的傅里叶系数满足：ak还是实数，且有ak＝a－k。

①以ak*取代a－k*，傅里叶表示式变为

因为在括号内的两项互为共轭，于是

若将ak以极坐标形式给出为
那么就可写成

即
②若将ak以笛卡儿坐标形式表示
其中Bk和Ck都是实数。于是可改写为

2．连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定
周期连续时间信号的傅里叶级数变换对

（1）系数{ak}称为x(t)的傅里叶数级系数或称为x(t)的频谱系数，这些复数系数是对信
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号x(t)中的每一个谐波分量大小的度量。

（2）系数a0是x(t)中的直流或常数分量，

这是x(t)在一个周期内的平均值。
三、傅里叶级数的收敛
连续时间信号的傅里叶级数收敛的条件——狄里赫利条件：
1．条件1
在任何周期内，x(t)必须绝对可积，即

这一条件保证了每一系数ak都是有限值。
2．条件2
在任意有限区间内，x(t)具有有限个起伏变化；也就是说，在任何单个周期内，x(t)的
最大值和最小值的数目有限。
3．条件3
在x(t)的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数是有限
值。

四、连续时间傅里叶级数性质
1．线性性质
x(t)和y(t)为两个周期信号，周期为T，它们的傅里叶级数系数分别为ak和bk，即
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则
2．时移性质
若

则
当一个周期信号在时间上移位时，它的傅里叶级数系数的模保持不变，即|ak|＝|bk|。
3．时间反转
若

则
（1）施加于连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的时间反
转。
（2）若x(t)为偶函数，则其傅里叶级数系数也为偶，若x(t)为奇函数，则其傅里叶级
数系数也为奇。
4．时域尺度变换
时间尺度运算是直接加在x(t)的每一次谐波分量上的，傅里叶系数仍是相同的。
x（αt）的傅里叶级数表示：
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虽然傅里叶系数没有改变，但由于基波频率变化了，傅里叶级数表示却改变了。
5．相乘
假设x(t)和y(t)是两个周期为T的周期信号，则乘积x(t)y(t)也是周期的，周期为T，就
可以将它展开成傅里叶级数，而其傅里叶级数系数hk是x(t)的傅里叶系数序列与代表y(t)
的傅里叶系数序列的离散时间卷积。

6．共轭及共轭对称
将一个周期信号x(t)取它的复数共轭，在它的傅里叶级数系数上就会有复数共轭并进行
时间反转的结果。即若

则
（1）当x(t)为实函数时，由于x(t)＝x*(t)，傅里叶级数系数一定是共轭对称的，即
（2）若x(t)为实偶函数，那么它的傅里叶级数系数也为实偶函数。
（3）若x(t)为实奇函数，那么它的傅里叶级数系数为纯虚奇函数。
7．连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理
（1）连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理：

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奥本海姆《信号与系统(第二版)》习题参考答案

奥本海姆《信号与系统(第二版)》习题参考答案

Charpt 11.21—(a),(b),(c)一连续时间信号x(t)如图original所示，请画出下列信号并给予标注：a）x(t-1)b）x(2-t)c）x(2t+1)d）x(4-t/2)e）[x(t)=x(-t)]u(t)f）x(t)[δ(t+3/2)-δ(t-3/2)](d),(e),(f)1.22一离散时间信号x[n]如图original所示，请画出下列信号并给予标注。

a)x[n-4]b)x[3-n]c)x[3n]e)x[n]u[3-n]f)x[n-2]δ[n-2]1.23确定并画出图original信号的奇部和偶部，并给予标注。

1.25判定下列连续时间信号的周期性，若是周期的，确定它的基波周期。

a)x(t)=3cos(4t+π/3)T=2π/4=π/2;b)x(t)=e )1(t j T=2π/π=2;c)x(t)=[cos(2t-π/3)]2x(t)=1/2+cos[(cos(4t-2π/3))]/2, so T=2π/4=π/2;d)x(t)=E v {cos(4πt)u(t)}定义x(0)=1/2,则T=1/2; e)E v {sin(4πt)u(t)}非周期f ）x(t)=n n t e )2(假设其周期为T 则n n t e )2(=n T n t e )22(=n T n t e ))2(2(=n n t e )2(所以T=1/2(最小正周期)；1.26判定下列离散时间信号的周期性；若是周期的，确定他们的基波周期。

(a)x[n]=sin(6π/7+1) N=7(b)x[n]=cos(n/8-π) 不是周期信号（c ）x[n]=cos(πn 2/8)假设其周期为N ，则8/8/)(22n N n ＋k 2所以易得N=8（d ）x[n]=)4cos()2cos(n n N=8(e) x[n]=)62cos(2)8sin()4cos(2n n n N=16 1.31在本题中将要说明线性时不变性质的最重要的结果之一，即一旦知道了一个线性系统或线性时不变系统对某单一输入的响应或者对若干个输入的响应，就能直接计算出对许多其他输入信号的响应。

信号与系统奥本海姆课件第3章

信号与系统奥本海姆课件第3章


只有复指数函数才能成为一切LTI系统 只有复指数函数才能成为一切 系统 的特征函数。 的特征函数。 对时域的任何一个信号 x(t ) 或 x(n) , 若能将其表示为下列形式： 若能将其表示为下列形式：
x(t) = a1e + a2e + a3e
s1t s2t
s3t
x[n] = a z + a2 z2 + a3 z3
∴
——傅里叶级数的另一种三角函数形式 傅里叶级数的另一种三角函数形式
3.4 连续时间傅里叶级数的收敛
Convergence of the Fourier series
这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的 普遍性问题， 普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可 以表示为傅里叶级数。 以表示为傅里叶级数。 一. 傅里叶级数是对信号的最佳近似
dt
∴ ∫ x (t ) e
0
T0
− jnω0 t
dt =anT0
x (t ) e
− jnω 0 t
1 即 an = T0
∫
T0
0
dt
在确定此积分时，只要积分区间是一个周 在确定此积分时，
期即可，对积分区间的起止并无特别要求， 期即可，对积分区间的起止并无特别要求， 1 因此可表示为 a 0 = ∫T x (t ) dt T 1 − jk ω 0 t ak = x (t)e dt T ∫T
a0 是信号在一个周期的平均值，通常称直 是信号在一个周期的平均值，
流分量。 流分量。 是周期函数。周期是T 设x(t) 是周期函数。周期是T0。
x (t ) =
1 a0 =T
k = −∞
∑
∫
∞
ak e
jk ω 0 t
信号与系统奥本海姆课件第3章.

信号与系统奥本海姆课件第3章.

•（线性时不变系统对周期信号的响应）
2
3.0 引言 Introduction
• 时域分析方法的基础 ： 1)信号在时域的分解。 2)LTI系统满足线性、时不变性。
• 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满 足两个要求：
1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
,
x2
1 2
,
x3
1 3
x(t) xke jk 2t : x0
k
~ x3, xk
0 for
k
3, 0
2 , T
2 0
1
x(t) 1 1 (e j2t e j2t ) 1 (e j4t e j4t ) 1 (e j6t e j6t )
4
2
3
Euler’s Constant part
Signals and Systems
A.V. OPPENHEIM, et al.
Ch3 Fourier Series Representation of Periodic Signals
第3章 周期信号的 傅里叶级数表示
1
Contents：
• Representation of Periodic Signals(周期信号描述 • Fourier Series（傅里叶级数） • Response of LTI System to Periodic Signals
z
响应合成 3 composition
2 known Relations， Properties
Y (z)
ds s
Solution:
x(t) X (s) Y (s) y(t)
dz z
奥本海姆信号与系统第一章部分习题答案

奥本海姆信号与系统第一章部分习题答案


(e)
x[n], n 1

y[n] 0,
n0
x[n 1], n 1

(e)
Байду номын сангаас[n], n 1

y[n] 0,
n0
x[n 1], n 1

(g )
y[n] x[4n 1]
+++
1.31 在本题中将要说明线性时不变性质的重要结果之一，即一旦知道了一个线性
∴ 1 = 3，1 = 0，2 = −3，2 =1（或-1）
1.19判定下列输入-输出关系的系统是否具有线性性质、时不变性质，或两者俱有。
线
性： 3 = 1 + 2
时不变性： 2 = 1 ( − 0 )
(a) = 2 ( − 1)
∴ 是线性的
∴ 不是时不变的
基波周期0 ： 使[] = + 成立的最小正整数。

离散时间复指数信号的周期： 0 ， 0 = 是有理数，则是周期的，
2
2 0

且和无公因子时，基波周期为，角频率为 =
常数通常不讨论它的周期性，但可以认为周期为1。
1
4
2
=
= ，1 = 7
2 7 × 2 7
1
3
1
[] = [cos + cos( )]
2
4
4
N1
2
* m 8, m 3
3 / 4
N1
∴ 是周期的，基波周期为 =8
2
* m 8, m 1
/4
+ + + 1.27 这一章介绍了系统的几个一般性质，这就是一个系统可能是或不是：