历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

第三届全国大学数学竞赛初赛（非数学专业）试卷一、计算下列各题（本题共4个小题，每题6分，共24分）1. 220(1)(1ln(1))lim xx x e x x →+--+。

【解析】：因为22ln(1)22(1)(1ln(1))(1ln(1))x xxx e x ee x xx++--+--+=22022ln(1)ln(1)22220002222000ln(1)lim ,2ln(1)21lim lim lim 11ln(1)1lim 2lim 2lim 2x x x xx x x x x x x e x e xx e e e x e e x x xx x x e e ex x →++-→→→→→→+=+---==-+-+===- 所以220(1)(1ln(1))lim0xx x e x x→+--+= 【注】可以考虑洛必达法则、带皮亚诺余项的麦克劳力公式，具体参见视频解析！2. 设2coscoscos222n na θθθ=⋅⋅⋅，求lim n n a →∞。

【解析】：若0θ=，则lim 1n n a →∞=。

若0θ≠，则当n 充分大，使得022nθπ<<时，2222221cos cos coscos cos cossin2222222sin 211sin cos cos cos sin 22222sin 2sin 22n n nn nn n n n n a θθθθθθθθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=从而有，sin sin lim lim 2sin 2n n n n na θθθθ→∞→∞==。

3. 求sgn(1)Dxy dxdy -⎰⎰，其中{}(,)|02,02D x y x y =≤≤≤≤。

【解析】：设11(,)|0,022D x y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，1233122321211(,)|2,0,211(,)|2,2,2112ln 2,32ln 2,sgn(1)24ln 2.D D D DD D D D x y x y x D x y x y x dxdxdy dxdy x xy dxdy dxdy dxdy ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭=+=+=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【注】由积分的几何意义，积分等于2倍3D 矩形的面积减去矩形的面积，具体分析参见解析视频。

令x=1/t,则
原式=
(ln(1t)t)1/(1t)111
2
2(1t)
t2t2
limelimelimee
t0t0t0
（3）
11
sxnnsxnsxsxn
Iexdx()xde()[xe|edx]
n0
000
ss
nnn(n1)n!n!
sxn1
exdxIII
n12n2n0n1
sssss
0
二、（15分）设函数f(x)在(,)上具有二阶导数，并且
''()(2'
t2t)2(t)''()(2'
3
dxdx/dt(22t)
=。。。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设
n
a0,Sa,证明：
nnk
k1
（1）当1时，级数
a
n
S
nn
1
收敛；
（2）当1且()
sn时，级数
n
a
n
S
nn
1
发散。
解：
（1）
a>0,
n
s单调递增
n
当
n1
a收敛时，
n
aa
nn
一、（25分，每小题5分）
（1）设
n
22
x(1a)(1a)(1a),其中|a|1,求limxn.
n
n
（2）求
x
lim e1
x
1
x
2
x
。
（3）设s0，求
sxn
Iexdxn。
(1,2,)
0
（4）设函数f(t)有二阶连续导数，

ห้องสมุดไป่ตู้
一 一
’ 河 — ／ ◎
解（1）｀／（x）为偶函数,其傅里叶级数是余弦级数
α,≡三Ⅸ…厕,
α』′≡凯…咖＝兰（〃″ …ˉl）-.||04〃,″2’
门＝l,3, ´=2’4’
由于／（x）连续,所以当x巳［-汀,冗）有
/ (工 ) ～ 一
〃 ～ ＾
乙
徽!ˉ替≡÷
忽 /|||\
］
］
牛 ～ 冗
＿ • • 吕 × + 乎
一
’
］
冯
一 一
— 斗’
『
"/ 一 ＿
工
〃 伊
″
工
□ °] 肝
＿ 一
工
口 旦
″
+觅
驴 ″
’
由题设
(〃
— ～
γ∑
儿
· ‖
]
’
门
`>/ ’
证 ’ ˉ ＂
而 … 叫 ″ ’
γ
γ +)
√+
_~
´
（2分）
四]
而 ’ ～
呻 『
儿
+
】 ＋
阎
γ
≡
（14分）
‖欠
敛 ∑
并 ＞
求 ○
其 ’
禾∏
•
％一
一
所以
一
设＂｜收敛‖有上界记＾二帆｝三（i丁川从而昨州‖剁』矛眉
8分由令1y即l1得1l厕h1y1y???一川?川乃一一14分河一一脖叼可扫五1展汀汀上的函数x司x成傅里叶级数并证明2求积分if六咖的值解1x为偶函数其傅里叶级数是余弦级数三
第六届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案 （非数学类′2015年3月）

2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题 5 分，共 20分）
(x y) ln(1 y )
1．计算 D
x dxdy ____________，其中区域 D 由直线 x y 1 与 1x y
两坐标轴所围成三角形区域.
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2 2 f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________. 0
3．曲面 z x22 y 2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是__________.
4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) d2 y ________________. dx 2
ey ln 29确定，其中 f 具有二阶导数，且 f
1 ，则
二、（5 分）求极限 lim( ex e2x
2.证明广义积分
0
sin x
x
dx
不是绝对收敛的
3.设函数 y y x 由 x3 3x2 y 2 y3 2 确定，求 y x 的极值。
4.过曲线 y 3 x x 0 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形 3
的面积为 4 ，求点 A 的坐标。
二、（满分 12）计算定积分 I
x sin x arctan ex dx 1 cos2 x
三 、（ 满 分 12 分 ） 设 f x 在 x 0 处 存 在 二 阶 导 数 f 0 ， 且
lim f x x0 x
0 。证明 ：级数 f 1 收敛。
n1
n
四 、（ 满 分 12 分 ） 设 f x
b
sin f x dx
2
a
m
,f x
0a x b，证 明