2021-2021学年黑龙江省大庆市第四中学高一下学期第三次检测数学（理）试题一、单选题1．已知平面向量(2,1)a =-，(1,)b x =．若a ∥b ，则x =（ ）． A ．12-B ．2-C ．12D ．2【答案】A【解析】利用共线向量定理的坐标运算即可. 【详解】因为a ∥b ，所以2(1)10x ⨯--⨯=，所以12x =-.故选：A 【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2．下列命题中，正确的是（ ） A ．若ac bc <，则a b < B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若0a b >>，则22a b > D ．若a b <，c d <，则a c b d -<-【答案】C【解析】根据不等式的基本性质，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断和选择. 【详解】对A ：ac bc <，也即()0c a b -<，当0c <时，a b >，故A 错误； 对B ：只有当0,0a b c d >>>>时，才有ac bd >，故B 错误； 对C ：0a b >>，则()()220a b a b a b -=+->，故22a b >，C 正确；对D ：若01a b =<=，20c d =-<=，故21a c b d -=>=-，故D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属简单题. 3．不等式102x x -≤-的解集为（ ） A ．[1,2] B ．[1,2)C ．(,1][2,)-∞⋃+∞D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞【解析】把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0． 【详解】原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得12x ≤<．故选：B ． 【点睛】本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0．4．设m ，n 是空间中不同两条直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若//m α，βn//，//αβ，则//m nB ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αC ．若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则βn//D ．若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥ 【答案】D【解析】A.根据空间两条直线的位置关系判断；B.根据直线与平面的位置关系判断；C. 根据直线与平面的位置关系判断；D.根据线面平行的性质定理和面面垂直的性质定理判断. 【详解】A.m 和n 还有可能相交，异面．故错误；B.m 可能在α内．故错误；C.n 可能在β内，故错误；D.因为 //m α，过m 作平面,n γγα=，则//m n ， 又因为m l ⊥， 所以n l ⊥，又因为n ⊂α，αβ⊥， 所以n β⊥， 则m β⊥，故正确；【点睛】本题主要考查直线，平面的位置关系命题的判断，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.5．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若1O B ''=，那么原ABO ∆的面积是( )A ．12B ．22C ．2D ．22【答案】C【解析】试题分析：由斜二测直观图还原原图形如图，因为边O ′B ′在x ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在x 轴上，且长度不变， O ′A ′在y ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在y 轴上，且长度增大到2倍， 因为O′B′=1，所以O ′A ′2 ，则2S △ABO =12OB ⨯OA=12×1×22 【考点】斜二测画法．6．在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若151051510S S -=，则2020S =（ ） A ．0 B ．2018C ．2019-D ．2020【答案】D【解析】根据等差数列前n 项和性质可知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，进而求得等差数列的公差，即可由等差数列的前n 项和公式求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由等差数列的性质可得112n S n a d n -=+为等差数列，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为2d . 151051510S S -=， 552d∴⨯=，解得2d =.则()20202020201920202018220202S ⨯=⨯-+⨯=.故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，属于基础题. 7．已知0x >， 0y >，且2520x y +=，则xy 的最大值（ ） A ．1 B ．5C ．10D ．100【答案】C【解析】利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即可得出答案.【详解】因为2225202510022x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即10100xy ≤ ， 所以10xy≤当且仅当252025x y x y +=⎧⎨=⎩即52x y =⎧⎨=⎩时，等号成立.故选：C 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，属于基础题. 8．如图为一个四棱锥的三视图，其体积为( )A ．43B ．83C ．4D ．8【答案】B【解析】根据三视图，可知该几何体为四棱锥111A DD C C -，利用椎体的体积公式即可求得该几何体的体积. 【详解】在棱长为2的正方体中还原该几何体，由几何体的三视图可知，该几何体为四棱锥111A DD C C -，如图所示，正方形11DD C C 的面积224S =⨯=， 所以111112423833A DD C C V S -=⨯⨯⨯=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查的是由三视图还原几何体以及求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于基础题.将三视图还原为空间几何体，首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.9．已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=-，n *∈N ，11a =，22a =，则2020a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】根据数列的递推关系式，求得数列的前几项，找出数列{}n a 是以6项为周期的周期数列，即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 满足21n n n a a a ++=-，且11a =，22a =， 当1n =时，可得321211a a a =-=-=； 当2n =时，可得432121a a a =-=-=-； 当3n =时，可得543112a a a =-=--=-； 当4n =时，可得6542(1)1a a a =-=---=-； 当5n =时，可得7651(2)1a a a =-=---=； 当6n =时，可得8761(1)2a a a =-=--=；可得数列{}n a 是以6项为周期的周期数列，所以20203364441a a a ⨯+===-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了数列的周期性的应用，其中解答中根据数列的递推关系式，求得数列的前几项，找出数列的周期性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．已知b R ∈，数列{}n a 为等比数列，12311,4a a a =+=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若222n b b S -≤对于*n N ∀∈恒成立，则b 的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,[1,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．⎣⎦D ．⎤⎥⎣⎦【答案】A【解析】由基本量法求出n a 的公比，由等比数列前n 项和公式得n S ，然后求出2n S 的最小值，再解相应的不等式可得b 的取值范围. 【详解】设数列{}n a 的公比是q ，又11a =，∴22314a a q q +=+=-，解得12q =-，∴11212113212nnn S ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭， ∴2221132nnS ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，它是关于n 的增函数，∴()22min 12n S S ==， 由2122b b -≤，解得112b -≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量运算，考查等比数列前n 项和公式，考查数列的最值，掌握等比数列基本量的运算是解题关键.11．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M 是1BB 的中点，则异面直线1A M 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A ．105-B ．15-C ．15D ．105【答案】D【解析】用向量1,,AB BC BB 分别表示11,AM BC ,利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】 由题意可得221111111111,5,2A M A B B M AB BB A M A B B M=+=-=+=221111,22B C BC BB B C BC BB =-=+=，()21111111111122cos ,210210AB BB BC BB AB BC BB A M B C A M B C A M B C⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⋅⎝⎭〈〉=== 0122cos604102.210⨯⨯+⨯== 故选：D 【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.12．已知三棱锥P ABC -，面PAB ⊥面ABC ，4PA PB ==，43AB =，90ACB ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积（ ）A ．20πB ．32πC ．64πD ．80π【答案】C【解析】作出图形，取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，推导出PD ⊥平面ABC ，可知球心O 在直线PD 上，然后在Rt OAD 中由勾股定理可求得外接球的半径R ，则外接球的表面积可求. 【详解】如下图所示，取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，4PA PB ==，D 为AB 的中点，PD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，交线为AB ，PD ⊂平面ABC ，PD ∴⊥平面ABC ，90ACB ∠=,D ∴为Rt ABC 外接圆圆心，则球心O 在直线PD 上，设三棱锥P ABC -外接球的半径为R ， 则2OD R =-，43AB =23AD =222PD PA AD =-=，在Rt OAD 中，由勾股定理得222OA OD AD =+， 即()22212R R =-+，解得4R =，因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2464R ππ=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解答的关键在于找出球心的位置，并通过列等式计算球的半径，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．已知等差数列{}n a ，124a a +=，346a a +=则78a a +=________. 【答案】10【解析】利用已知条件求出首项和公差，即可求出78a a +的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知：1124256a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：17412a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以781712132131042a a a d +=+=⨯+⨯=， 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及求等差数列的项，属于基础题. 14．已知(1,2)A ，(4,2)B -，则与向量AB 共线的单位向量为___________. 【答案】34,55⎛⎫-⎪⎝⎭，34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】求向量AB 的坐标和模长，即可得与向量AB 共线的单位向量 【详解】()()(4,2)1,23,4AB --==-，且235AB ==，所以与向量AB 共线的单位向量为()1343,4,555⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或()1343,4,555⎛⎫--=- ⎪⎝⎭故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了求平行向量与共线向量，涉及模长公式，属于基础题. 15．已知0x >，0y >，1411x y +=+，则x y +的最小值为______. 【答案】8【解析】根据条件等式，变形待求式11x y x y +=++-，利用基本不等式即可求解. 【详解】0x，0y >，1411x y +=+,14(1)(11448114)y x x y x y x y x y +∴+=++-=++≥++=++,当且仅当12y x +=，即3,5x y ==时等号成立， 即x y +的最小值为8， 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，式子的变形，“1”的利用，属于中档题.16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a =(sin )sin C B B A =，BC 边上的高为h ，则h 的最大值为________.【答案】32【解析】根据正弦定理得到sin c B B =，故1sin sin 262h c B B π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，求三角函数最值得到答案. 【详解】(sin )sin C B B A =+，(sin )(sin )B B a B B =+⋅=所以sin c B B =，所以1sin (sin )sin sin 262h c B B B B B π⎛⎫==+⋅=-+ ⎪⎝⎭. 因为0B π<<，所以当3B π=时，h 取得最大值为32.故答案为：32. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题17．设函数2()2(1)(,)f x ax a x b a b R =-++∈. （1）若不等式()0f x <的解集为(1,2)，求a ，b 的值； （2）若4b =，0a >时，求不等式()0f x >的解集. 【答案】（1）2a =，4b =；（2）答案见详解析.【解析】（1）由题意知：1x =和2x = 是方程22(1)0ax a x b -++=，利用根与系数的关系即可得a ，b 的值（2）对a 进行讨论，比较方程两根的大小，即可得出不等式的解集. 【详解】（1）函数2()2(1)(,)f x ax a x b a b R =-++∈，由不等式()0f x <的解集为(1,2)，得0a >， 且1和2是方程22(1)0ax a x b -++=的两根；则2(1)1212a ab a+⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得2a =，4b =；（2）4b =时，不等式为22(1)40ax a x -++>，可化为(2)(2)0ax x -->，则 因为0a >，所以不等式化为2(2)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭， 令22a=，得1a =， 当1a >时，22a <，解不等式得2x a<或2x >；当1a =时，不等式为2(2)0x ->，解得2x ≠；当01a <<时，22a>，解不等式得2x <或2x a >；综上：当1a >时，不等式的解集为2,(2,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 当1a =时，不等式的解集为{2}xx ≠∣； 当01a <<时，不等式的解集为2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了已知不等式的解集求参数的值，以及解含参数的不等式，属于中档题.18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，1A C BC ⊥，1//AC 平面1ADB .求证：（1）D 是BC 的中点； （2）平面1ADB ⊥平面11BCC B .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接1A B 交1AB 于点M ，然后根据1A C //平面1ADB ，可得DM //1A C ，最后根据M 为1A B 的中点，可得结果.（2）根据1A C BC ⊥，可知DM BC ⊥，可证明AD BC ⊥，然后根据线面垂直以及面面垂直的判定定理，可得结果. 【详解】（1）连接1A B 交1AB 于点M 如图因为1A C //平面1ADB ，且1AC ⊂平面1A BC 平面1A BC平面1=ADB DM ，所以1A C //DM又四边形11ABB A 为平行四边形，所以M 为1A B 的中点 所以在1A BC 中，1A C //DM 且M 为1A B 的中点 可知D 是BC 的中点（2）根据（1）可知：1A C //DM ，又1A C BC ⊥ 所以BC DM ⊥，由AB AC =，D 是BC 的中点 所以BC AD ⊥ 由ADDM D =,,⊂AD DM 平面1ADB所以BC ⊥平面1ADB ，又BC ⊂平面11BCC B 所以平面1ADB ⊥平面11BCC B 【点睛】本题考查线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理，熟练掌握线线、线面、面面之间的位置关系以及相关定理，属中档题. 19．如图．在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．（1）求APB ∠；（2）若ABC ．求sin PAB ∠【答案】（1）23APB ∠=π；（2）sin 38PAB ∠=． 【解析】（1）在APC △中，设AC x =， 4AC PC ⋅=，得到4PC x=，再由余弦定理2222cos 3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅⋅，解得x ，利用平面几何知识求解.（2）由ABC 1sin 23ABC S AC BC π=⋅⋅=△，解得BC ，得到则BP ，作AD BC ⊥交BC 于D ，得到AD ，PD ，进而得到AB ，然后在ABP △中，利用正弦定理求解. 【详解】（1）在APC △中，设AC x =， 因为4AC PC ⋅=，4PC x=， 又因为3C π=，2AP =，由余弦定理得：2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅⋅即：2224422cos 3x x x x π⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 解得2x =，所以AC PC AP ==， 此时APC △为等边三角形， 所以23APB ∠=π；（2）由1sin 23ABC S AC BC π=⋅⋅=△，解得5BC =， 则3BP =，作AD BC ⊥交BC 于D ，如图所示：由（1）知，在等边APC △中，3AD =，1PD =，在Rt △ABD 中2231619AB AD BD =+=+=．在ABP △中，由正弦定理得sin sin AB PBAPB PAB=∠∠，所以333572sin 19PAB ⨯∠==．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及平面几何知识，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．图1是矩形ABCD ，2AB =，1BC =，M 为CD 的中点，将AMD 沿AM 翻折，得到四棱锥D ABCM -，如图2．（Ⅰ）若点N 为BD 的中点，求证：//CN 平面DAM ； （Ⅱ）若AD BM ⊥．求点A 到平面BCD 的距离． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）2211． 【解析】（Ⅰ）取AD 中点P ，连接MP ，NP ，通过证明四边形MCNP 为平行四边形．可得//CN MP ，根据直线与平面平行的判定定理可证//CN 平面DAM ； （Ⅱ）根据A DBC D ABC V V --=，采用等体积法可求得结果. 【详解】（Ⅰ）如图1，取AD 中点P ，连接MP ，NP ， 由N ，P 分别为BD ，AD 的中点，得//NP AB 且12NP AB =． 又//MC AB 且12MC AB =，所以//MC NP 且MC NP =，所以四边形MCNP 为平行四边形．所以//CN MP 且CN ⊄平面DAM ，MP ⊂平面DAM ，所以//CN 平面DAM ．（Ⅱ）如图2，由2AM =2BM =2AB =，可得222AB AM BM =+，所以AM BM ⊥． 又BM AD ⊥，ADAM A =，所以BM ⊥平面ADM又BM ⊂平面ABCM ， 所以平面ADM ⊥平面ABCM ， 取AM 的中点为E ，连接DE ．因为1AD DM ==，AD DM ⊥，可得22DE =，且DE ⊥平面ABCM ． 所以 1236A DBC D ABC ABC V V S DE --==⨯=． 取BC 的中点为F ，连接EF ，则32EF =，EF BC ⊥． 因为DE ⊥平面ABCM ，可得DE EF ⊥，DE BC ⊥， 所以112DF =，BC ⊥平面DEF ，可得BC DF ⊥， 所以11124BCD S BC DF =⨯⨯=△． 设点A 到平面BCD 的距离为d ，则111123346A DBC BCD V S d d -==⨯=⨯△．解得11d =【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，考查了三棱锥的体积公式，考查了等体积法求点面距，属于中档题.21．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11S =，2S ，31S -，4S 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知12(1)(44)n n n n n b a a ++-+=，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）243(43)n nT n =-+.【解析】（1）111a S ==，用d 写出等差数列的前n 项和n S ，再由已知三数成等比数列可求得d ，得通项公式；（2）由（1）得n b ，把n b 拆成两项的代数和，这样2n T 中前后两项中就可以相消，从而求得结论． 【详解】（1）由11S =知等差数列{}n a 首项为1，所以n (1)2n n S n d -=+ 由2S ，31S -，4S 成等比数列可得()23241S S S -=所以2(23)(2)(46)d d d +=++解得2d =或23d =-由递增的等差数列{}n a 知0d >，所以2d = 所以12(1)21n a n n =+-=-（2）因为12(1)(44)(1)(44)11(1)(21)(23)2123n n n n n n n n b a a n n n n ++-+-+⎛⎫===-+ ⎪++++⎝⎭所以21234212n n n T b b b b b b -=++++++11111111111135577991141414143n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1143433(43)n n n =-+=-++．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，等比数列的性质，考查裂项相消法求和．数列求和中错位相减法，裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法是特殊的方法，是特殊数列的求和法．在掌握等差数列和等比数列求和公式的前提下还必须掌握这些特殊求和法．22．已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若25n a n =-，设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）*2,N n n b n =∈；（2）16,134(27)2,2,N*n n n T n n n +=⎧=⎨+-⋅≥∈⎩. 【解析】（1）当1n =时 ，211222b S ==-= ，当2n ≥时，1n n n b S S -=-，即可得数列{}n b 的通项公式.（2）由25n a n =-知，当1n =或2n =时0n a < ，可单独计算1T ，2T ，当3n ≥时，0n a >，()25n n b n c -=⋅，用乘公比错位相减求和即可.【详解】（1）当1n =时 ，211222b S ==-=，当2n ≥时，()1122222n n n n n n b S S +----==-=，经检验12b =也满足2nn b = ，所以2nn b =()*N n ∈（2）因为|25|2nn n n C a b n =⋅=-⋅， 当1n =或2n =时，0n a <， 当1n =时，16T =； 当2n =时，210T =， 当3n ≥时，250n a n =->，()252n n n n n c a b =⋅-=341101232(27)2(25)2n n n T n n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，①4512201232(27)2(25)2n n n T n n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，②①-②可得()4511082222(25)2nn n T n +-=-++++⋅⋅⋅+--⋅()31161222(25)212n n n -+-=-+⋅--⋅-，化简可得134(25)2n n T n +=+-⋅，所以16,134(27)2,2,N*n n n T n n n +=⎧=⎨+-⋅≥∈⎩. 【点睛】本题主要考查了已知n S 求n a ，乘公比错位相减求和，要注意检验1a 是否满足n a ，属于中档题.。
大庆四中2019～2020学年度第二学期第一次检测高二年级数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.复数12z i =-的虚部是（ ） A. 1B. -2C. -2iD. 2【★★答案★★】B 【解析】 【分析】根据虚部的定义直接辨析即可. 【详解】复数12z i =-的虚部是2-. 故选：B【点睛】本题主要考查了复数虚部的辨析，复数(),,z a bi a b R =+∈的虚部为b ， 属于基础题. 2.已知随机变量ξ服从正态分布()21,σN ，若()20.15ξP >=，则()01ξP ≤≤=（ ）A. 0.85B. 0.70C. 0.35D. 0.15【★★答案★★】C 【解析】试题分析：根据题意可得：(01)(12)0.5(2)0.35P P P ξξξ≤≤=≤≤=->=. 故选C. 考点：正态分布的概念3.下列四个命题正确的是（ ）①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合的效果越好； ④随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足()0E e =. A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【★★答案★★】D 【解析】【分析】根据线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模拟的拟合效果越好以及根据对于随机误差的理解即可得到★★答案★★.【详解】解：线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；故①不正确. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；故②正确.用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模拟的拟合效果越好；故③不正确. 随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足()0E e =.故④正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查两个变量的线性相关和回归方程，解题关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映的拟合效果的好坏，属于基础题.4.某种家用电器能使用三年的概率为0.8，能使用四年的概率为0.4，已知某一这种家用电器已经使用了三年，则它能够使用到四年的概率为（ ） A. 0.32B. 0.4C. 0.5D. 0.6【★★答案★★】C 【解析】 【分析】记“家用电器能使用三年”为事件A ，记“家用电器能使用四年”为事件B ，由题意可得()()=0.8=0.4P A P B ，则()=0.4P AB ，然后可算出★★答案★★.【详解】记“家用电器能使用三年”为事件A ，记“家用电器能使用四年”为事件B 由题意可得()()=0.8=0.4P A P B ， 则()=0.4P AB由条件概率的计算方法可得()0.4==0.50.8P B A 故选：C【点睛】本题考查的是条件概率，较简单.5.某市选派6名主任医生，3名护士，组成三个医疗小组分配到甲、乙、丙三地进行医疗支援，每个小组包括两名主任医生和1名护士，则不同的分配方案有（ ）A. 60种B. 300种C. 150种D. 540种【★★答案★★】D【解析】【分析】根据题意，分2步，先把医生分3组，每组2人，有22264233C C CA种方法，护士分3组，每组1人，有1种方法，再将分好的三组医生、护士分配到三地即可. 【详解】根据题意，分2步进行分析：①，将6名主任医生分成3组，每组2人，有22264233C C CA种分组方法，将3名护士分成3组，每组1人，有1种方法；②，将分好的三组医生、护士全排列，对应甲、乙、丙，有A33种情况，则有22264233C C CA⨯A33×A33＝540种，故选：D.【点睛】本题考查了排列组合，考查了分组分配法，其指导思想是先分组后分配，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意如果一些组中元素的个数相等，就存在均分现象，需消序，本题属于平均分组，属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A.14- B.45C. 4D. 5【★★答案★★】B【解析】 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得★★答案★★． 【详解】解：由题可知，输入45a =， 当1n =时，满足执行循环的条件，故14a =-，2n =， 当2n =时，满足执行循环的条件，故5a =，3n =，当3n =时，满足执行循环的条件，故45a =，4n =， 当4n =时，满足执行循环的条件，故14a =-，5n =，⋯当2015n =时，满足执行循环的条件，故5a =，2016n =， 当2016n =时，满足执行循环的条件，故45a =，2017n = 当2017n =时，不满足执行循环的条件， 故输出的a 值为45， 故选：B ．【点睛】本题考查根据循环结构程序框图求输出结果，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟循环的方法，考查理解和计算能力．7.在1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，如果第32项的系数与第72项的系数相等，则展开式的中间一项可用组合数表示为（ ） A. 52104CB. 52103CC. 52102CD. 51102C【★★答案★★】D 【解析】 【分析】先由第32项的系数与第72项的系数相等,再结合二项式的通项公式可得n 的值，从而可求得其中间项【详解】解：二项式1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为211rr n r r n rr n n T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为第32项的系数与第72项的系数相等，所以3171n n T T =，所以3171102n =+=，所以展开式的中间一项可用组合数表示为51102C 故选：D【点睛】此题考查的是二项式展开式的系数问题，属于基础题8.将,,,,A B C D E 排成一列，要求,,A B C 在排列中顺序为“,,A B C ”或“,,C B A ”（ ,,A B C 可以不相邻），这样的排列数有（ ） A. 12种B. 20种C. 40种D. 60种【★★答案★★】C 【解析】5533240A A ⨯= 9.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )A. 1242610()C AB. 242610A A 个C. 12426()10C 个D. 242610A 个【★★答案★★】A 【解析】试题分析：第一步先排两个英文字母，可以重复，所以方法数有()2126C 种；第二步排4个数字，数字要互不相同，方法数有410A 种，按照分步计数原理，放法数一共有1242610()C A 种.考点：1、排列组合；2、分步计数原理． 10.1021001210(1)x a a x a x a x -=++++，则13579a a a a a ++++=（ ）A. 512B. 1024C. 1024-D. 512-【★★答案★★】D【解析】 【分析】根据题意分别令1x =和1x =-得到的两个式子相减即可得到结论. 【详解】解：令1x =，得0123100a a a a a =+++++；令1x =-，得100123102a a a a a =-+-++；两式相减得，()101357922a a a a a -=++++，所以10913579225122a a a a a -++++==-=-.故选：D.【点睛】本题主要考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于基础题. 11.随机变量ξ的分布列如下，且满足()2E ξ=，则()E a b ξ+的值（ ）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定，与a ，b 有关【★★答案★★】B 【解析】 【分析】根据数学期望定义得到一个等式，概率和为1得到一个等式.计算()E a b ξ+代入前面关系式，化简得到★★答案★★. 【详解】()2E ξ=由随机变量ξ的分布列得到：232a b c ++=， 又1a b c ++=，解得a c =，∴21a b +=，∴()2(1)E a b aE b a b ξξ+=+=+=． 故选B ．【点睛】本题考查了数学期望的计算，意在考查学生的计算能力.12.设45123451010,10x x x x x ≤<<<≤=. 随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值2334455112,,,,22222x x x x x x x x x x +++++的概率也为0.2.若记1D ξ、2D ξ分别为1ξ、2ξ的方差，则 （ ）A. 1D ξ＞2D ξB. 1D ξ＝2D ξ.C. 1D ξ＜2D ξ.D. 1D ξ与2D ξ的大小关系与1234,,,x x x x 的取值有关.【★★答案★★】A 【解析】 【详解】由已知条件可得12E E ξξ=,又4523345145121234510101022222x x x x x x x x x x x x x x x +++++≤<<<<<<≤<<<=，所以变量1ξ比变量2ξ的波动大，即12D D ξξ>. 故本题正确★★答案★★为A.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.设m R ∈，复数22(21)(23)z m m m m i =+-+-++，若z 为纯虚数，则m =_____.【★★答案★★】12【解析】 【分析】直接由纯虚数的定义，得出z 实部为0且虚部不为0，从而求得实数m 的值． 【详解】解：复数22(21)(23)z m m m m i =+-+---为纯虚数，∴22210230m m m m ⎧+-=⎨---≠⎩，解得：12m =．故★★答案★★为：12． 【点睛】本题考查复数的基本概念，考查由复数为纯虚数求参数值，属于基础题． 14.随机变量X 服从二项分布134B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，若随机变量42X ξ=+，则()D ξ=________. 【★★答案★★】9 【解析】 【分析】先求解()D X ，再根据二项分布的方差性质求解即可. 【详解】由题，()119314416D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故()29424916D X +=⨯=. 故★★答案★★为：9【点睛】本题主要考查了二项分布的方差与方差的性质以及计算，属于基础题.15.6的展开式中的常数项为______．（用数字作答） 【★★答案★★】-20 【解析】 【分析】直接利用二项式定理计算得到★★答案★★【详解】6的展开式的通项为：()631661rrr rr r r T C C x --+⎛==- ⎝. 取3r =得到常数项为：3620C -=-.故★★答案★★为：20-.【点睛】本题考查了二项式定理求常数项，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 【★★答案★★】：35【解析】 【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32332A A ⨯，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A =，三门文化课中相邻排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，由此求得所求事件的概率．【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有33A 种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32133272A A A =， ②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A =， ③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体， 然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为7221614437205++=，故★★答案★★为：35． 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.） 17.在甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为27．（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可能性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？参考公式及数据：K 2=()()()()2n(ad bc)a b c d a c b d -++++．【★★答案★★】（1）； （2）按95%的可能性要求，可以认为“成绩与班级有关系”. 【解析】 【分析】（1）根据随机抽取1人为优秀的概率为27，得出优秀的总人数，从而得出乙班优秀人数，同时也能得出甲班非优秀的人数，其余数据进而可求；（2）根据公式K 2=()()()()2n(ad bc)a b c d a c b d -++++，求出相关指数k 的值，然后进行对比临界值，即可得出结果.【详解】解：（1）优秀人数为105×27=30， ∴乙班优秀人数为30-10=20（人）， 甲班非优秀人数为105-30-30=45（人）， 故列联表如下：（2）根据列联表中的数据，2105(10302045)k 6.109 3.84155503075＞⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯所以若按95%的可能性要求，可以认为“成绩与班级有关系”.【点睛】本题考查了古典概型、列联表及利用列联表进行独立性检验的思想方法，熟练掌握独立性检验的思想方法是解题的关键.18.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,22t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρθ=. （1）求出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求||AB的值.【★★答案★★】（1）l 普通方程为20y -+-=，曲线C 的直角坐标方程为22(3x y +=；（2）【解析】 【分析】（1）利用加减消元法消去参数t ，得到直线l 的普通方程，将极坐标方程两边同乘ρ，再利用互化公式转换，即可得到曲线C 的直角坐标方程； （2）由（1）知曲线C 的圆心为，半径r =求出曲线C 的圆心到直线l 的距离d ，最后利用垂径定理求出||AB ．【详解】解：（1）1222t x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数），∴2y -=，即直线l 的普通方程为3230x y -+-=，由23sin ρθ=得223sin ρρθ=，即2223x y y +=，∴曲线C 的直角坐标方程为2223x y y +=，即22(3)3x y +-=．（2）由（1）知曲线C 的圆心为(0,3)，半径3r =，∴曲线C 的圆心(0,3)到直线l ：3230x y -+-=的距离为：()()22303232323123+-1d ⨯-+--===-， 222||223(31)2231AB r d ∴=-=--=-．【点睛】本题考查利用消参法将参数方程转化为普通方程，利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程，以及点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系和圆的弦长问题，考查化简计算能力．19.某单位利用周末时间组织职工进行一次“健康之路、携手共筑”徒步走健身活动，有n 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[25,30),[30,35),[35,40),[40,45)，[45,50),[50,55]六组，其频率分布直方图如图所示，已知[35,40)岁年龄段中的参加者有8人.（1）求n 的值并补全频率分布直方图；（2）从[30,40)岁年龄段中采用分层抽样方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[30,35)岁的人数为ξ，求ξ的分布列. 【★★答案★★】（1）40；见解析（2）见解析 【解析】 分析】(1)根据[35,40)岁年龄段中的参加者有8人，再结合频率计算总人数，再根据频率之和为1求解第二组的频率，算出矩形的高补全即可.(2)根据分层抽样的性质可得[30,35)岁中有3人，[35,40)岁中有2人，再根据超几何分布的方法列出分布列即可.【详解】解：（1）年龄在[35,40)之间的频率为004502..⨯=，∵80.2n=，∴8400.2n==. ∵第二组的频率为：1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，∴矩形高为0.30.065=.所以频率分布直方图如图所示.（2）由（1）知，[30,35)之间的人数为0.0654012⨯⨯=，又[35,40)之间的人数为8，因为[30,35)岁年龄段人数与[35,40)岁年龄段人数的比值为12:83:2=，所以采用分层抽样抽取5人，其中[30,35)岁中有3人，[35,40)岁中有2人.由题意，随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3.1232353(1)10C CPCξ===，2132353(2)5C CPCξ===，3335(3)110CPCξ===.所以随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3P31035110【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用、分层抽样以及超几何分布，属于基础题.20.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立， 课 程初等代数初等几何初等数论微积分初步合格的概率34232312（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望．【★★答案★★】(1)512;(2) 见解析. 【解析】 【分析】(1)先将合格事件标记，然后根据题目给出的条件求出复赛的资格的概率. (2)直接根据离散型随机变量的概率计算方法解答.【详解】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ,则“甲能修得该课程学分”的概率为()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++,事件,,,A B C D 相互独立，3221322132115()()()43324332433212P ABCD P ABCD P ABCD ++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=. (2)0337(0)()12P C ξ==，12357(1)()()1212P C ξ==，22357(2)()()1212P C ξ==,3335(3)()12P C ξ==因此，ξ的分布列如下：因为ξ～53,12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以553.124E ξ=⨯= 考点：1.离散型随机变量的分布列；2.数学期望；3.相互独立事件的概率.21.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望. 【★★答案★★】（Ⅰ）14（Ⅱ）98【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式求解，关键是明确A 表示事件“第4局甲当裁判”和1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”之间个独立关系；（2）明确X 的可能取值，然后利用独立事件和互斥事件的公式逐一求解.因当x=1时较为复杂，故采用对立事件概率问题进行求解，即(1)1(0)(2).P X P X P X ==-=-= 【详解】（Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”. 则12=?A A A12121()=P(?)()()4P A A A P A P A ==.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，1B 表示事件“第1局结果为乙胜丙”，2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则1231231(0)(?•)()()()8P X P B B A P B P B P A ====13131(2)(?)()=4P X P B B P B P B ===（），115(1)1-(0)(2)1848P X P X P X ===-==--=，9()0?(0)1?(=1)+2?(2)8E X P X P X P X ==+==.【点睛】本题考查独立事件和互斥事件的概率问题已经离散型数学期望，考查分析问题和计算能力.22.某商店每天（开始营业时）以每件15元的价格购入A 商品若干（A 商品在商店的保鲜时间为8小时，该商店的营业时间也恰好为8小时），并开始以每件30元的价格出售，若前6小时内所购进的A 商品没有售完，则商店对没卖出的A 商品将以每件10元的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A 商品）.该商店统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，由于某种原因销售量频数表中的部分数据被污损而不能看清，制成如下表格（注：视频率为概率）.（1）若某天商店购进A 商品4件，试求商店该天销售A 商品获取利润ξ的分布列和期望； （2）若商店每天在购进4件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值集合. 【★★答案★★】（1）见解析（2）[45,70]，*x N ∈.【解析】 【分析】（1）设商店某天销售A 商品获得的利润为ξ，分别可求得当需求量为3，4，5时的利润ξ的值，进而可得分布列和期望；（2）可得商店每天购进的A 商品的件数取值可能为3件，4件，5件．当购进A 商品3件时，45EY =，同理可得当购进A 商品4件时，54EY =，当购进A 商品5件时，630.2EY x =-，结合条件可得出x 的取值范围．【详解】解：（1）设商店某天销售A 商品获得的利润为ξ（单位：元） 当需求量为3时，1535(43)40ξ=⨯-⨯-=， 当需求量为4时，15460ξ=⨯=， 当需求量为5时，15460ξ=⨯=，ξ的分布列为则400.3600.754E ξ=⨯+⨯=（元），所以商店该天销售A 商品获得的利润均值为54元. （2）设销售A 商品获得的利润为Y ， 依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为3件，4件，5件, 当购进A 商品3件时，(3015)30.3(3015)30.4(3015)30.345EY =-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=，当购进A 商品4件时，70[(3015)3(1510)1]0.3[(3015)4][(3015)4]54100100x xEY -=-⨯--⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=，当购进A 商品5件时，[(3015)3(1510)2]0.3[(3015)4(1510)1]100x EY =-⨯--⨯⨯+-⨯--⨯⨯70[(3015)5]630.2100xx -+-⨯⨯=- 即630.2EY x =-，由题意630.254x -≤，解得45x ≥，又知1003070x ≤-=， 所以x 的取值范围为[45，70]，*x ∈N ．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，以及数学期望的实际应用和不等式的解法，属于中档题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
![黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二数学上学期第二次月考试题理[附答案]](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/a7c44074580216fc700afd91.webp)
黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二数学上学期第二次月考试题 理考试时间：120分钟 分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；条形码粘贴在指定位置．2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷纸上作答无效．．．．．．．．．．如需作图先用铅笔定型，再用黑色签字．．．．．．．．．．．．．．．．．笔描绘。
．．．．一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．抛物线：2x y =的焦点坐标是 （ ） A.)21,0( B.)41,0( C.)0,21( D.)0,41(2. 已知p ，q 是简单命题，那么“p ∧q 是真命题”是“￢p 是真命题”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3、命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 （ ） A 、任意一个无理数，它的平方是有理数 B 、任意一个无理数，它的平方不是有理数 C 、存在一个无理数，它的平方是有理数 D 、存在一个无理数，它的平方不是有理数4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为 ( ) A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝15.已知双曲线2222:1y x C a b-=（0,0a b >>）的离心率为2，则C 的渐近线方程为（ ）A.3y x =B.3y x =C.2y x =±D.5y x =±6.设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 该抛物线准线的距离之和的最小值为 （ ） A.172 B.3 C.5 D.928．若椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ） A.2 B.-2 C.13 D.12- 9．已知一动圆P 与圆O :x 2+y 2=1外切,而与圆C :x 2+y 2-6x+8=0内切,则动圆的圆心P 的轨迹（ ）A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x－1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是 ( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ． (2，＋∞) 12．直线l 与抛物线C ：22y x =交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率1k ，2k 满足1223k k =，则l 一定过点 （ ） A ．()3,0-B ．()3,0C ．()1,3-D,()2,0-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.在空间直角坐标系中，点(5,3,1)M -关于x 轴的对称点的坐标为14．已知命题2:,x 0p x R a ∀∈-≥，命题2000:,x 220q x R ax a ∃∈++-=.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________．15.22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率是 .16.过椭圆22194x y +=内一点(2,0)M 引椭圆的动弦AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.） 17.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点4,4A π⎛⎫⎪⎝⎭，直线为sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x 轴的非负半轴, 建立平面直角坐标系,椭圆cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩23(ϕ为参数)，（1）求点4,4A π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标与椭圆的普通方程； （2）求点4,4A π⎛⎫⎪⎝⎭到直线sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离. 18. （本小题满分12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=. 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x 轴的非负半轴, 建立平面直角坐标系, 直线l 的参数方程是: 22{(t )22x m t y t=+=为参数 .(Ⅰ) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程, 将直线的参数方程化为普通方程; (Ⅱ) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点, 且|AB |14=试求实数m 值.19．（本小题满分12分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求弦CD 长．20. （本小题满分12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1+cos {()sin x y ϕϕϕ==为参数．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C 的交点为O 、P ，与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长．21．（本小题满分12分）过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)，作倾斜角互补的两直线AB 、AC 交抛物线于B 、C . 求证:直线BC 的斜率为定值． 22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，圆Q :224230x y x y +--+=的圆心Q 在椭圆C 上，点(0,1)P 到椭圆C 的右焦点的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若tan AQB S AQB ∆=∠，求直线l 的方程.大庆四中2019～2020学年度第一学期第二次检测高二年级数学（理科）试题答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BDBAAAADABDA二、填空题（每小题5分，共20分）13、(-5,-3,-1) 14、 --∞（，2] 15. 102 16、()229114x y -+= 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 解：（1）点4,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭化成直角坐标为()22,22.椭圆普通方程22143x y +=.直线sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化成直角坐标方程为22122x y +=，即20x y +-=. （2）由题意可知，点4,4π⎛⎫⎪⎝⎭到直线sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离，就是点()22,22到直线20x y +-=的距离，由距离公式可得2222232d +-==.18解: (I) 曲线C 的极坐标方程是化为直角坐标方程为:直线的直角坐标方程为:，(Ⅱ): 把(是参数) 代入方程, 得,.所以 ，所以或19. 解(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0， 所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝5|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，20．.（Ⅰ）圆的普通方程是，又所以圆的极坐标方程是.（Ⅱ）设为点的极坐标，则有，解得，设为点的极坐标，则有，解得，由于，所以，所以线段的长为.21．[证明] 设B (x 21，x 1)，C (x 22，x 2)(|x 1|≠|x 2|)， 则k BC ＝x 1－x 2x 21－x 22＝1x 1＋x 2；k AB ＝x 1－2x 21－4，k AC ＝x 2－2x 22－4. ∵AB ，AC 的倾斜角互补．∴k AB ＝－k AC . ∴x 1－2x 21－4＝－x 2－2x 22－4，∴x 1＋2＝－(x 2＋2)，∴x 1＋x 2＝－4.∴k BC ＝－14为定值．22、解：（1）因为椭圆C 的右焦点(,0)F c ，||2PF =，所以 因为(2,1)Q 在椭圆C 上，所以由223a b -=，得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为（2）由tan AQB S AQB ∆=∠得：即cos 2QA QB AQB ⋅∠=，可得2QA QB ⋅=u u u r u u u r，①当l 垂直x 轴时，此时满足题意，所以此时直线l 的方程为0x =； ②当l 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为1y kx =+，消去y 得22(12)440k x kx ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 代入2QA QB ⋅=u u u r u u u r可得：1122(2,1)(2,1)2x y x y --⋅--=，代入111y kx =+，221y kx =+，得21212(2)(2)2x x k x x --+=，经检验满足题意，则直线l 的方程为440x y -+=， 综上所述直线l 的方程为0x =或440x y -+=。
