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微积分1方法总结

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第一章 函数、极限、连续

注 “★”表示方法常用重要.

一、求函数极限的方法

★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等.

★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法

运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。

三、无穷小量阶的比较的方法

利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开

四、函数的连续与间断点的讨论的方法

如果是)(xf初等函数，若)(xf在0xx处没有定义，但在0x一侧或两侧有定义，则0xx是间断点，再根据在0xx处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(xf是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。

五、求数列极限的方法

★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理；

4. )()(lim)()(limAnfAxfnx；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若1nna收敛，则0limnna；8. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量；9.等价量替换等.

【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或n时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算，

2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用 2 单调有界定理

3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则.

4.由数列na中的通项是n的表达式，即).(nfan而)(lim)(limxfnfxn与是特殊与一般的关系，由归结原则知

★5. 有lim1011()()nniiffxdxnn或1lim1001()()nniiffxdxnn

第二章 一元函数微分学

★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法：

利用导数定义，经常用第三种形式

二、研究导函数的连续性的方法：

1.求出()fx，对于分段函数的分界点要用左右导数定义或导数定义求. 2.'()fx讨论的连续性，

★三、求初等函数的导数的方法：

在求导之前尽可能的化简，把函数的乘除尽量化成加减，利用对数微分法转化为方程确定隐函数的求导等等，从而简化求导过程. 要熟练记住基本初等函数的导数公式、导数的四则运算，理解并掌握复合函数的求导法则.

四、求分段函数的导数的方法：

求分段函数导数不在分界点可直接利用求导公式。在分界点

（1）若在分界点两侧的表达式不同，求分界点的导数有下述两种方法：

（i）利用左右导数的定义。 （ii）利用两侧导函数的极限。

（2）若在分界点两侧的表达式相同，求分界点的导数有下述两种方法：

（i）利用导数定义。 （ii）利用导函数的极限。

★五、求参数式函数的导数的方法

若0'',',,ttttytx存在且，则 ttdtdxdtdydxdy'' 3 22()'()()"()tdydydytdtydxdxdxtdt

★六、求方程确定隐函数的导数的方法：

解题策略 求方程yxgyxf,,确定的隐函数xyy的导数时，由y是x的函数，此时方程两边是关于x表达式的恒等式，两边同时对x求导，会出现含有y'的等式，然后把y'看成未知数解出即可。

★七、求变上下限函数的导数的方法：

解题策略 利用变上下限函数求导定理，注意化成变上下限函数的成标准形式

八、求函数的高阶导数的方法：

求导之前，对函数进行化简，尽量化成加减，再用高阶导数的运算法则

九、方程根的存在性

把要证明的方程转化为f(x)=0的形式。对方程f(x)=0用下述方法：

★ 1．根的存在定理 若函数f(x)在闭区间],[ba上连续，且,0)()(bfaf则至少存在一点ba,，使.0)(f

★2．若函数f(x)的原函数)(xF在],[ba上满足罗尔定理的条件，则f(x)在（a,b）内至少有一个零值点.

3．用泰勒公式证明方程根的存在性.

4．实常系数的一元n次方程)0(001110aaxaxaxannnn，当n为奇数时，至少有一个实根。

证

设)111()(11101110nnnnnnnnnxaxaxaaxaxaxaxaxf

由,00a不妨设a0>0。由于,0,1,)(0limNMxfx取当x>N0时，都有f(x)>1>0。

取b>N0，有f(b)>0，0,1,)(1limNMxfx取，当x<-N1时，都有f(x)<-1<0。 4 取a<-N1

5．实系数的一元n次方程在复数范围内有n个复数根，至多有n个不同的实数根。

★ 6．若f(x)在区间上连续且严格单调，则f(x)=0在内至多有一个根。若函数在两端点的函数（或极限）值同号，则f(x)=0无根，若函数在两端点的函数（或极限）值异号，则f(x)=0有一个根。

★7．求具体连续函数f(x)=0在其定义域内零值点的个数：首先求出f(x)的严格单调区间的个数，若有m个严格单调区间，则至多有m个不同的根。至于具体有几个根，按照6研究每个严格单调区间是否有一个根。

8.若函数f(x)的原函数F(x)在某点x0处取极值，在x0处导数也存在，由费马定理知F'(x0)=0，即f(x0)=0。（用的较少）

★9.方程中含有字母常数，讨论字母常数取何值时，方程根有几个根地方法：（1）把要证明的方程转化为()gxk的形式，求出()gx的单调区间、极值，求出每个严格单调区间两端函数（极限）值，画草图，讨论曲线与yk轴相交的情况，确定方程根的个数.；（2）把要证明的方程转化为f(x)=0的形式。求出f(x)的单调区间，极值，求出每个严格单调区间两端函数（极限）值，画草图，讨论曲线与x轴相交的情况，确定方程根的个数.

【评注】 在证明方程根的存在性的过程中，我们经常要用拉格朗日定理，积分中值定理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程根的存在性所需的条件，然后利用上述的方法来证明方程根的存在性。

十、证明适合某种条件下的等式

★ 1. 常用的方法有罗尔定理、泰勒公式、根的存在定理、柯西定理、拉格朗定理；

2. 如果证明适合某种条件下,的等式，要用两次 上面的定理3. 证明存在(a,

b),使,0)()()(0)()()(xgxfxfgff有一个根.而

cdxxgdxxfxfxgxfxfxgxfxfln)()()()()()(0)()()(

)()(ln)()(lnln)()()(1xgCexfCxgxfCxgxdfxf 5 ,)()(Cexfxg令)()()(xgexfxF, 即0)()()()()(xgxfxfCxF

故对)(xF在21,xx上满足罗尔定理条件,至少存在一点)(2,1xx,使,0)(F即

0)()()(gff.

十一、证明不等式的方法：

★1．拉格朗日定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数（值）的不等式

★2．泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数（值）或低阶导函数（值）的不等式.

★3．单调性定理.（i）对于证明数的大小比较的不等式，转化为同一个函数在区间两端点函数（或极限）值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明.

(ii) 对于证明函数大小比较的不等式，转化为同一个函数在区间内上任意一点函数值与区间端点函数（或极限）值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明.

4．利用函数最大值，最小值证明不等式.

把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间上某点0x处的函数值大小的比较，然后证明)(0xf为最大值或最小值，即可证不等式成立。

★5．利用函数取到唯一的极值证明不等式.

把待证的不等式转化为区间上任意一点函值与区间内某点0x处的函数值大小的比较，然后证明)(0xf为唯一的极值且为极大值或极小值，即)(0xf为最大值或最小值，即可证不等式成立。

6．用柯西定理证明不等式.

7．利用曲线的凹向性证明不等式.

第三章 一元函数积分学

★1.基本积分表（13个公式，略）

★2.要知道下列重要不定积分的推导过程，记住这些不定积分结果. 6 1. 1axaxedxeCa；2. 1cossinaxdxaxCa；

3. 1sincosaxdxaxCa；

4. 221arcsinxdxCaax；5.221dxax1arctanxCaa；

6.tanlncosxdxxC；7.cotlnsinxdxxC；

8.2211(0)ln2axdxaCaxaax； 9.cscxdxlncsccotxxC;

10.seclnsectanxdxxxC;

11.dxax22122lnxxaC.（a＞0）.

证 令taxtan,

原式dttatatdaatasecsectantan12222

.tanseclnsecsecsec)2,2(2ctttdtdtttt

,tanaxt由作出直角三角形,可知,sec22axat于是

原式2222lnlnlnaxxcxxacaaa

221ln()xxac

12.caxxdxax2222ln1。

一、求不定积分的方法： t

a x 22xa

图 3-1

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物理竞赛微积分知识点总结

物理竞赛微积分知识点总结

物理竞赛微积分知识点总结

1.导数与微分

导数是微积分的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。对于物理竞赛而言，导数在描述速度、加速度等动力学量时有着重要的应用。另外，在曲线的切线方程、求解最值等问题中，导数也发挥着重要作用。微分是导数的一种运算形式，它可以捕捉函数在某一点附近的局部线性变化。在物理问题中，微分常用于描述微小的变化量，比如位移、速度、加速度等。

2.积分与定积分

积分是导数的逆运算，它可以用来求解函数的原函数或不定积分。在物理竞赛中，积分常用于计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量、平均值等。定积分是对指定区间上的函数值进行积分，它可以用于求解质点在一段时间内的位移、速度、加速度等物理量，还可以用于计算某些物理量的平均值、总量等问题。

3.微积分基本定理

微积分基本定理是微积分的核心定理，它建立了积分与导数之间的联系。第一积分基本定理将不定积分与定积分联系起来，可以将积分问题转化为求解原函数的问题。第二积分基本定理则给出了定积分的计算方法，它将定积分与不定积分联系在一起，为求解定积分提供了便利。在物理竞赛中，微积分基本定理在积分问题的求解中起着十分重要的作用。

4.微分方程

微分方程是描述变化规律的数学工具，在物理竞赛中经常出现。一阶微分方程描述了变量的变化率与变量本身之间的关系，它常用于描述弹簧振子、RC电路、衰减问题等。对于线性微分方程，可以通过特征方程的求解来求解微分方程的通解。在物理竞赛中，熟练掌握微分方程的解法对于解决物理问题是十分重要的。

5.级数与收敛性

级数是无穷个数项的和，它在物理问题中也常常出现。级数的收敛性是级数是否有意义的重要标志，熟练掌握级数的收敛性判别方法对于求解物理问题十分重要。常见的级数有等比级数、调和级数、幂级数等，在物理竞赛中需要能够熟练应用级数的性质及收敛性的判别方法。

6.多元函数微积分

多元函数微积分是微积分的拓展，它描述的是多元函数的变化规律。对于物理竞赛而言，多元函数微积分在描述多变量物理量之间的关系、求解多元函数的极值等问题中有着重要的应用。对于多元函数的偏导数、全微分、方向导数、梯度等概念，需要掌握清楚，并能够熟练应用这些概念解决物理问题。 在物理竞赛中，微积分是解决物理问题的重要数学工具。熟练掌握微积分的基本原理、方法和技巧对于物理竞赛中的数学题目至关重要。希望通过本文的总结，读者们能够对微积分在物理竞赛中的应用有所了解，也能够在微积分的学习中更加得心应手。

物理微积分知识点总结

物理微积分知识点总结

物理微积分知识点总结

微积分作为数学的一个分支，是研究函数的变化规律、求积分与求导数的学科。在物理学中，微积分是非常重要的工具，它可用于描述物体的运动规律、研究场景中的能量变化、求解力学问题等方面。本文将从宏观角度对物理微积分知识进行总结，主要包括导数、积分、微分方程和级数发散收敛等方面。

一、导数

导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。对于给定函数y=f(x)，函数在点x处的导数可以用极限的概念表示，即导数f'(x)等于函数在x+h处减去x处的函数值除以h，当h趋近于0时得到：

f'(x)=lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h

导数的应用十分广泛，如物理学中的速度、加速度等概念都与导数有关。例如，对于物体的位移函数s(t)，它的导数s'(t)就是物体在t时刻的瞬时速度；再对速度函数求导得到加速度函数就可以描述物体在某一时刻的瞬时加速度。

二、积分

积分是导数的逆运算，它描述了函数在某一区间上的总体变化量。对于给定函数y=f(x)，函数在区间[a,b]上的积分可以用定积分的概念表示，即

积分{a到b}f(x)dx=lim(n->∞)(b-a)/n*Σi=1到n(f(xi*)),

其中xi*是区间[a,b]上的任意取点。

物理学中使用积分的情况也非常多，例如能量的积分就描述了物体在某一过程中的总体变化量，物理场景中的力对位移的积分可以求得功等。

三、微分方程

微分方程是描述自变量与因变量之间的关系，并且含有导数或者积分的方程。它在物理学中的应用同样很广泛，例如描述运动物体的牛顿运动定律可以形式化为微分方程，电路中的电压和电流关系也可以用微分方程来描述。

微分方程的求解有很多不同的方法，其中包括分离变量法、变换法、特解法等。这些方法可以用来求解一阶或者高阶的微分方程，常见的微分方程类型有线性微分方程、非线性微分方程等。

四、级数的发散和收敛

级数是一种无穷项的无穷和，对于数列a1,a2,a3,...,an,...，它的部分和Sn=a1+a2+...+an，当n趋近于无穷时得到级数的和。级数的收敛性是物理学中重要的概念，例如在量子力学中薛定谔方程的解就是一个级数展开，确定这个级数的收敛性对于理解量子力学的基本问题十分重要。

多元函数微积分学总结

多元函数微积分学总结

多元函数微积分学总结

多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究多个变量之间的关系以及对这些变量的变化进行分析和计算。本文将对多元函数微积分学的主要内容进行总结，并介绍常见的方法和技巧。

一、空间坐标系和极坐标系

在多元函数微积分学中，我们通常使用空间坐标系和极坐标系来描述多维空间中的点和曲线。

空间坐标系是由三个相互垂直的坐标轴x、y、z组成，用来表示三维空间中的点。我们可以通过向量运算、平面的方程等方式来研究空间中的曲线、曲面以及相关的计算方法。

极坐标系是在平面上建立的坐标系，由极径r和极角θ组成。极坐标系可以用来描述平面上的点和曲线，通过坐标变换的方法可以与空间坐标系进行转换。

二、多元函数的极限和连续性

多元函数的极限和连续性是多元函数微积分学的基础概念。类似于一元函数的极限和连续性，多元函数的极限和连续性也可以通过定义、性质等方式进行研究和计算。

对于多元函数的极限，我们需要考虑函数在不同方向上的极限以及函数在某点处的极限。通过使用极限的定义和极限运算法则，我们可以判断多元函数在某点处的极限是否存在，并进行具体的计算。

多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，即函数在某点附近的函数值和极限值之间存在一个足够小的常数δ，使得当自变量的取值在这个常数范围内时，函数值的变化足够小。通过使用连续函数的定义和连续性的性质，我们可以判断多元函数在某点处是否连续，并进行具体的计算。

三、多元函数的偏导数和全微分

多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数变化的重要工具，在微积分学中有着广泛的应用。

对于多元函数的偏导数，我们可以通过定义和偏导数的性质来进行计算。偏导数可以表示函数在某个方向上的变化率，它在多个方向上的值决定了函数的变化趋势和比例。通过计算偏导数和一阶偏导数的矩阵，我们可以得到多元函数的梯度，进而进行更复杂的分析和计算。 多元函数的全微分则广义地描述了函数在某一点附近的变化情况。全微分可以通过偏导数和偏导数向量的运算来进行计算，并可以表示函数值的一个线性近似。通过全微分的计算和性质，我们可以进行高阶偏导数的计算、Taylor展开式的推导等。

大一微积分每章知识点总结

大一微积分每章知识点总结

大一微积分每章知识点总结

微积分是数学的重要分支之一，用于研究变化率与累积效应。在大一微积分课程中，我们学习了许多重要的知识点，这些知识点为我们进一步学习高级数学打下了坚实的基础。本文将对大一微积分每章的知识点进行总结，以帮助读者巩固所学内容。

第一章：函数与极限

在这一章中，我们学习了函数的概念与性质，以及极限的定义与运算法则。函数是一种将一个数集映射到另一个数集的规则，可以用数学公式或图形表示。极限是函数在某个点无限接近于某个值的情况，是微积分的基础概念之一。

第二章：导数与微分

导数是用来描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。我们学习了导数的计算方法，包括基本导数公式、加减乘除法则、链式法则等。微分则是导数的应用，用于计算函数在某一点的近似值，并研究函数的局部特征。

第三章：微分中值定理与导数的应用 在这一章中，我们学习了微分中值定理和导数的应用。微分中值定理是描述函数在某个区间内存在某点的斜率等于该区间的平均斜率的定理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。导数的应用包括函数的单调性、极值点、凹凸性等的判断与求解。

第四章：不定积分

不定积分是导数的逆运算，用于求解函数的原函数。我们学习了不定积分的基本性质和常用的积分公式，包括换元法、分部积分法、有理函数的积分等。通过不定积分，我们可以求解函数的面积、曲线长度等问题。

第五章：定积分与定积分的应用

定积分是用来计算曲线下面积的工具，也可以表示变化率与累积效应。我们学习了定积分的定义和性质，以及计算定积分的方法，如换元法、分部积分法和定积分的几何应用等。定积分的应用包括计算曲线的弧长、质量、物体的质心等。

第六章：微分方程

微分方程是用导数和未知函数构成的方程，研究函数之间的关系。我们学习了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶线性微分方程和可分离变量的方程等。微分方程是实际问题建模与求解的重要工具，应用广泛于物理、化学、工程等领域。