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菱形与正方形_的性质和判定讲义

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菱形的性质及判定【知识梳理】1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．一、菱形的性质【例1】⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．【例3】如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．【例4】如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC 于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？课堂练习：1.如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A=60°，则对角线BD 的长度为（ ）A ．2B． C ．4D．2.已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）A 、B 、16C 、D 、83. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A 、M （5，0），N （8，4） B 、M （4，0），N （8，4）C 、M （5，0），N （7，4）D 、M （4，0），N （7，4）二、填空题4. 如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积 为5. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离6. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于二、菱形的判定【例5】如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．第4题第5题第6题F EDCBAODEFCAB【例6】☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ， 求证：四边形BEDF 是菱形【例7】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.C'DCB A E【例8】如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '. 求证：四边形CDC E '是菱形．【例9】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．PMF E DG CBA正方形性质与判定知识梳理：正方形的定义：.正方形的性质：（边）（角）（对角线）（对称性）正方形的判定：既是又是四边形是正方形．课堂练习：7、已知平行四边形ABCD，在以下4个条件中再选哪两个条件，能使平行四边形ABCD成为正方形？有种选法. ①AB=BC②AC⊥BD ③∠ABC=90°④AC=BD8、下列说法不正确．．．的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形考点剖析：考点1：正方形与等腰三角形例10：如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.求证：PM = QM.课堂练习：9、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°10、如图，四边形ABCD是正方形，延长CD到E，使CE=CB，则∠DBE＝°.11、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：（1）∠E=22.5°；(2) ∠AFC=112.5°；(3) ∠ACE=135°；（4）AC=CE；(5) AD∶CE=1∶ 2.其中正确的有（）A．5个 B.4个 C.3个 D.2个12、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°.13、已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°.第9题图第10题图第11题图第12题图考点2：正方形的判定和性质例11：如图(1)所示，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N.(1)求证：MD＝MN.(2)若将上述条件中“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图(2)所示，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．课堂练习：14、已知：如图所示，正方形ABDE和正方形ACFG，DM⊥BC，FN⊥BC求证：BC=DM＋FN考点3：图形的折叠例12．如图，长方形ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，求DE 和EF的长．课堂练习：15、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若254AF cm，则AD的长（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm16、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ，若6CD =，则AF 等于___________．17、如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ．（1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接填写在横线上）课堂练习：18、将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是 .19、如图，在正方形ABCD 中，P 、Q 分别是AD 、BC 上的点，将四边形ABQP 沿PQ 翻折，使得点A 落在CD 边的M 上，若12AB =，13PQ =，则CM 的长度为______20、 边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A对应点为A '，且C B '=3，则AM 的长是PMABCD课后作业：一．选择题1．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）A、163B、16 C、83D、82．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．5.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2 B．C．4 D．二．填空题6、若正方形的一条对角线长为2，则它的边长是.7、若正方形的面积是9，则它的对角线长是.8、正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，•面积是________．9、如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，•则∠AFC=________．10、如图所示，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠BEC=________，∠DCE=__________为等边三角形，则∠ABE=_________，11、如图，E是正方形ABCD内一点，且BCE∠AEB=__________12、正方形的边长为2，则对角线长为________，正方形的对角线长为2，则边长为________。

13、正方形ABCD的对角线交于O，则图中共有_______个等腰直角三角形，共有________对全等三角形。

14、E为正方形对角线AC上一点，且AE=AB，则∠ABE=__________．15、如图，正方形ABCD的周长为15 cm，则矩形EFCG的周长是__________．三．解答题16．已知：如图所示，在ABCD中，∠BAD的平分线与BC边相交于点E，∠ABC的平分线与AD边相交于点F．求证：四边形ABEF是菱形．17、如图，已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F.请问四边形DECF是菱形.吗?说明理由.图1118、如图11，四边形ABCD 是矩形，E 是BD 上的一点，∠BAE ＝∠BCE ，∠AED ＝∠CED ，点G 是BC 、AE 延长线的交点，AG 与CD 相交于点F ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）当AE ＝2EF 时，判断FG 与EF 有何数量关系？并证明你的结论．19、 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，4AD AB ==，7BC =，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点'C 处． （1）求'C DE ∠的度数； （2）求△'C DE 的面积．C'EDCBA。

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矩形菱形正方形讲义

矩形菱形正方形讲义

特殊平行四边形第一节 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。

矩形性质⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=为矩形长宽）、（面积公式轴对称图形；既是中心对称图形又是两条对角线相等；四个角为直角；有平行四边形性质；b a ab S矩形判定⎪⎩⎪⎨⎧形；对角线相等的平行四边；三个角为直角的四边形形；有一个直角的平行四边【重点内容】①具有的一切性质； ②内角都是直角； ③对角线相等； ④全等三角形的个数；⑤等腰三角形的个数； ⑥对称轴的条数； ⑦斜边中线定理； ⑧平方等式；⑨两种面积计算方法； ⑩有一个直角的→矩形；⑾有三个直角的四边形→矩形； ⑿对角线相等的→矩形.【典型例题】1、矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等2、（2015春•南京校级月考）下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，︒=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。

4、如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．5、（2015•南平）如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ． 求证：BE=CF ．6、（2015•湘西州）如图，在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）求证：四边形BFDE 为矩形．AOD巩固训练1、平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ） A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等 2、矩形各内角平分线所围成的四边形是（ ）A 、矩形B 、平行四边形C 、正方形D 、菱形3、（2015•甘州区校级模拟）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A ．测量对角线是否相互平分 B ．测量两组对边是否分别相等 C ．测量对角线是否相等 D ．测量其中三个角是否都为直角4、顺次连结四边形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，可使四边形EFGH 为矩形的是（ ） A 、CD AB =B 、BD AC =C 、BD AC ⊥D 、AD//BC5、若矩形的对角线长为4cm ，一条边长为2cm ，则此矩形的面积为（ ）A ．83cm 2B ．43cm 2C ．23cm 2D ．8cm26、矩形ABCD 的周长为56，对角线AC ，BD 交于点O ，△ABO 与△BCO 的周长差为4，•则AB 的长是（ ）A ．12B ．22C ．16D ．267、（2015•宁化县模拟）如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件 ．（只添一个即可），使平行四边形ABCD 是矩形．8、矩形的两条对角线的交角之一是︒60，矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm ，则对角线的长为 ，较短的边的长为 ，较长的边的长为 。

菱形、矩形、正方形的性质及判定

菱形、矩形、正方形的性质及判定

【知识精讲】
特殊
四边
边
形
菱
形
菱形、矩形、正方形的性质判定
性
质
角
对角线
面积
对称性
判定
边
角
对角线
矩 形
正 方 形
【例题精讲】
【例 1】如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD，垂足为 E，∠DAE :∠BAE = 3 :1, 求∠EAC的度数。
【拓展练习】
如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相较于点 O，∠AOB=60°，AE 平分∠BAD ，交 BC 于 E，求 ∠BOE的度数
C.AD//BC，∠A =∠C
D.OA=OC，OB=OD，AB=BC
13,.在矩形 ABCD 的边 AB 上有一点 E，且 CE=DE，若 AB=2AD，则∠ADE 等于（
A.45°
B.30°
C.60°
D.75°
14.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成 3 和 5 两部分，则该矩形的周长是（
A.16
8.菱形的周长为 16，两邻角度数的比为 1:2，此菱形的面积为（
）
A.4 3
B.8 3
C.10 3
D.12 3
9.已知 E 是矩形 ABCD 的边 BC 的中点，那么 SΔ AED =
S矩形ABCD （
）
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
2
4
5
6
10.如图，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形，则矩形 ABCD 的面积为
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
6.已知菱形 ABCD，AE⊥BC 于 E，若 S菱形ABCD = 24 ，且 AE=6，则菱形的边长为（
求菱形与正方形的面积比

求菱形与正方形的面积比

求菱形与正方形的面积比早在小学时，我们就开始接触形状和面积的概念，比如正方形、长方形、三角形等等。

然而，在我们的日常生活中，还有一种形状并不常见，那就是菱形。

本文将探讨求菱形与正方形的面积比这一问题。

一、菱形与正方形的定义菱形是一个四边形，有四个平等长的边，每对相对的角度相等，角度为90度。

而正方形则是一种有四个平等长的边和四个直角的矩形。

菱形和正方形都是对称的，并且都可以使用相同的长度单位进行测量。

二、菱形与正方形的图形性质菱形和正方形都有一些重要的性质。

首先，它们都是几何图形中的对称图形，因此每个边的长度和每个角的大小都相等。

此外，它们都是封闭形状，即它们所有的边都连接到形状内部，从而形成了一个区域。

不过，菱形和正方形的尺寸和形状是不同的。

正方形的四个边都是平等的，并且每个角都是90度。

在菱形中，四个角仍然是90度，但是每个边的长度可以不同。

菱形中除了对角线长相等外，其余两边长可能不相等。

三、如何求菱形与正方形的面积比在计算菱形和正方形的面积之前，我们需要先了解它们的公式。

正方形的面积公式为：S = a²其中a表示边长。

而菱形的面积公式为：S = (d1 x d2) / 2其中d1和d2分别表示两个对角线的长。

要比较这两个形状的面积，我们需要计算它们的比率。

因此，可以使用以下公式得到菱形和正方形的面积比：S（菱形）/ S（正方形）= (d1 x d2) / 2 / a²根据这个公式，我们可以利用具体的数值计算出两个形状的面积比。

例如，如果正方形的边长为6厘米，而菱形的对角线长度分别为4厘米和8厘米，则可以使用下面的公式来计算它们的面积比：S（菱形）/ S（正方形）= (4 x 8) / 2 / 6² = 16 / 36 = 4 / 9因此，菱形的面积是正方形面积的4/9。

四、应用场景了解菱形与正方形面积比的概念可以应用于多个场景。

例如，在几何学中，这个比率可以用于计算空间中其他形状的比率，或者在房屋设计中，这可以用于确定区域大小，例如墙壁或地板的大小。

菱形、正方形的性质与判定教案(基础知识整理与巩固)

菱形、正方形的性质与判定教案(基础知识整理与巩固)

菱形第一部分：知识点梳理ADC1、定义：2、性质：①边：②角： ③对角线：3、判定定理：① 的平行四边形是菱形② 的平行四边形是菱形 ③ 的四边形是菱形第二部分：边学边练1、下列说法正确的是（ ）A 、对角线互相平分的四边形是菱形B 、对角线互相垂直平分的四边形是菱形C 、对角线相等的四边形是菱形D 、对角线相等且互相平分的四边形是菱形 2、菱形的周长为40cm ，一内角为600 ，则面积为 3、在菱形ABCD 中，5,6AB AC ==，则面积是 4、顺次连接矩形各边中点，所得的四边形是 ，理由是 。

5、如图，AD 是ABC ∆的角平分线，过点D 分别作DE ∥AC 与DF ∥AB ，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由。

B6、如图，ABCD中，AC 交BD 于点O ，过点O 作AC 的垂线，分别交AD 、BC 于点E 、F ，①求证：四边形AECF 是菱形；②如果ABCD 的周长为20cm ，求CDE ∆的周长。

FBD正方形第一部分：知识点梳理D1、定义：① 的菱形是正方形② 的矩形是正方形2、性质：①边：②角： ③对角线：3、判定定理：------定义（两种）第二部分：边学边练1、①正方形的边长为5cm ，则对角线为 ②正方形对角线的为5cm ，则边长为2、如图，正方形ABCD 中，BE BC =，则CDE ∠= ；DCE ∠= 。

3、对角线互相垂直平分且相等的四边形是（ ） A 、平行四边形 B 、菱形 C 、矩形 D 、正方形4、下列说法不正确得是（ ）A 、有一个角是直角的菱形是正方形B 、两条对角线相等的菱形是正方形C 、对角线互相垂直的矩形是正方形D 、四条边都相等的平行四边形是正方形5、已知四边形ABCD 中，090A B C ∠=∠=∠=，添加一个条件，即可推出四边形ABCD 是正方形。

那么这个条件可以是（ ）A 、090D ∠=B 、AB CD =C 、AC BD = D 、AB BC = 6、如图，在正方形ABCD 中，BF CE =，则下列结论不正确的是（ ） A 、BE AF = B 、DAF BEC ∠=∠ C 、AF BE ⊥ D 、090AFB BEC ∠+∠=E7、如图，在正方形ABCD 中，在AD 上取点F ，作C E C F ⊥交AB 的延长线于点E ，①求证CE CF =；②若64ABCDS =正方形，50CEF S ∆=，求CBE S ∆EB课堂综合练习一、填空1、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。