第六节 离散型随机变量及其分布列
一、基础知识
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示 (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：
X x 1 x 2 … x i … x n P
p 1
p 2
…
p i
…
p n
此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列.有时也用等式P X ＝x i ＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列.
(2)分布列的性质
①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；② i ＝1n
p i ＝1.
3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列
X 0 1 P
1－p
p
若随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称X 服从两点分布❸，并称p ＝P X ＝1
为成功概率.
(2)超几何分布列
在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －
k N －M
C n N
，
k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.
X 0
1
… m
P
C 0M C n －
N －M
C n N
C 1M C n －
1
N －M
C n N
…
C m M C n －
m
N －M
C n
N
. 若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)也是随机变量． 表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率． 两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.
超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
(1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数；
(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布．
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. m ＝min{M ，n }的理解
m 为k 的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即n ≤M 时，k (抽取的样本中次品的件数)的最大值为m ＝n ；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n ＞M 时，k 的最大值为m ＝M .
考点一 离散型随机变量的分布列的性质
1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1 P
1
3
2－3q
q 2
则q 的值为( )
A.1
B.32±336
C.32－336
D.32＋336
解析：选C 由分布列的性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧
2－3q ≥0，q 2
≥0，13＋2－3q ＋q 2
＝1，
解得q ＝32－33
6
.
2.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a
n n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常
数，则P ⎝⎛⎭⎫12
＜X ＜5
2的值为( ) A.23 B.34 C.45
D.56
解析：选D 由⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a ＝1，知45a ＝1，得a ＝54
.
故P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝56. 3.设离散型随机变量X 的分布列为
(1)求随机变量Y ＝2(2)求随机变量η＝|X －1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X 2的分布列. 解：(1)由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 首先列表为：
从而Y ＝2X ＋1
(2)列表为
∴P (η＝0)＝P (X ＝1)P (η＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P (η＝2)＝P (X ＝3)＝0.3， P (η＝3)＝P (X ＝4)＝0.3. 故η＝|X －1|的分布列为
(3)首先列表为
从而ξ＝X 2的分布列为
考点二 超几何分布
[典例精析]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽
取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列.
[解] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M ＝C 48
C 510＝518
. (2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则
P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 1
4
C 510＝521，
P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34
C 510＝521，
P (X ＝4)＝C 16C 44
C 510＝142
.
因此X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 P
1
42
521
1021
521
142
[题组训练]
某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X ，求X 的分布列.
解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X 的分布列服从参数N ＝8，M ＝3，n ＝3的超几何分布.
X 的所有可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝i )＝C i 3C 3－
i 5C 3
8(i ＝0,1,2,3)，则P (X ＝0)＝C 03C 35
C 38＝528，P (X ＝1)＝C 13C 25C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 23C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 0
5
C 38＝156
.
所以X 的分布列为
X 0 1 2 3 P
528
1528 1556
156
