专题03 相似三角形的存在性问题(解析版)

第五讲相似之存在性问题（讲义）一、知识点睛●存在性问题是研究动态过程中是否符合某种几何特征的综合题，常见的几何特征包括等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、面积等．●存在性问题通常解题思路先分类：根据不变特征确定分类标准；再画图：分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形；后计算：根据不变特征建等式，验证结果．对动态过程中不变特征的处理，是解决存在性问题的核心．●存在性问题中的常见不变特征及其处理方法1．直角特征：首先依________________进行分类①直角顶点是定点且所在直线表达式完整，可考虑根据_________________建等式；②直角顶点是动点，可考虑利用_______________建等式；③三个顶点中动点比较多，可考虑表达出各边长，利用________________建等式．2．相似特征：首先寻找目标三角形①目标三角形确定，首先需要研究目标三角形的_________，表达相关线段长，借助函数或几何特征建等式；②目标三角形不确定，首先从角入手，通过角的对应关系确定大致情形，然后根据相似比建等式．二、精讲精练1.如图，点A，B的坐标分别为(0，2)和(4，0)．将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，点D在线段AB上，点D Array不与A，B两点重合），使点B落在x轴上，点B的对应点为点E．设点C的坐标为(x，0)，是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，直线y=2x+4与坐标轴交于A，B两点，点P为直线x=1上一动点，连接AP，BP．试探究△ABP能否为直角三角形？若可以，求出点P的坐标；若不可以，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，点A(1，0)，以线段OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D为x正半轴上一动点（OD>1），点Q为y轴负半轴上一动点，连接BD，BQ，DQ．设点D(1+t，0)，点Q(0，-2t)，随着t值的改变，请探究△QBD能否为直角三角形？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．4. 如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过点P 作PF ⊥AE 于点F ． （1）求证：△PFA ∽△ABE ；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA =x ，是否存在实数 x ，使以P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在， 请求出x 的值；若不存在，请说明理由．ABCDE PFAB C DE5. 如图，在△ABC 中，AB =BC =5，AC =6，BO ⊥AC ，垂足为点O ．过点A作射线AE 平行BC ，点P 为边BC 上任意一点，连接PO 并延长，与射线AE 相交于点Q ，过点Q 作直线BC 的垂线，垂足为R ．设BP =x ，当x 为何值时，△PQR 与△CBO 相似？B COEA AQEO P R CB6.如图，直线44=+y x 与直线4y x =-+交于点D ，与x 轴的交点分别为A ，B ．在线段BD 上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为点M ，过点M 作MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM 和△BMD 相似？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．三、 回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

专题03 利用常见模型证明三角形相似【考情说明】相似三角形的证明是中考数学中常考的考点，尤其在压轴题中需要证明三角形相似，再利用相似三角形的性质得到角或线段的数量关系，本专题主要为考生总结一些三角形相似的模型，在考试中如果看到常见的三角形相似的模型可以直接利用，或帮助考生打开思路，以证明三角形相似。

【知识重构】1.“A”字模型①条件：DE//BC；②结论：△ADE∽△ABC。

2.反“A”字模型①条件：∠AED=∠B；②结论：△ADE∽△ACB。

3.共边反“A”字模型①条件：∠ACD=∠B；②结论：△ADC∽△ACB。

4.剪刀反“A”字模型1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！①条件：∠AED=∠ACB；②结论：△ACB∽△AED。

5.“8”字模型①条件：AB//CD；②结论：△EBA∽△ECD。

6.反“8”字模型①条件：∠A=∠C；②结论：△AEB∽△CED。

7.母子模型①条件：AD是Rt△ABC斜边上的高；②结论：△ADB∽△CDA∽△BAC。

8.母子模型2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3①条件：AD 是Rt △ABC 斜边上的高； ②结论：△ADB ∽△CDA ∽△BAC 。

9.一线三等角型①条件：∠ABC=∠ACE=∠CDE ； ②结论：△ABC ∽△CDE 。

【例题透析】11．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且DE ∥BC ，AF AEFE EC． （1）求证：DF ∥BE ；（2）如且AF ＝2，EF ＝4，AB ＝63．求证△ADE ∽△AEB ．12．如图，CE 与BD 交于点A ，AC =2，AE =3，AB =4，AD =6，求证：ADE ABC △△∽．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！413．（2021·北京房山·九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ． 求证：ACD ABC △∽△．【巩固训练】一、单选题1．如图，以下四个条件中不能判定△ABC ∽△ACD 的是（ ）A ．∠B =∠ACD B ．∠ACB =∠ADC C ．AB •CD =AC •BC D ．AC 2=AD •AB2．（2021·四川兴文·九年级期中）如图，AB CD ∥，AE FD ∥，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中的相似三角形共有（ ）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对3．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，添加下列条件仍不能判定△ADE 与△ABC 相似（ ）A ．DE ∥BCB ．∠ADE=∠ACBC ．AD AEAC AB= D ．AD DEAB BC= 4．（2021·山东高新技术产业开发区·九年级期中）如图，△ABC 中，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，CE 与BD 交于点F ，则图中相似三角形有几对（ ）A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对5．如图，D 、E 分别是AB AC 、上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中能使ABE △和ACD △相似的是（ ）．A ．BE CD =B ．BOD COE ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．::AD AB AE AC =原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！66．已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB 、CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）A ．只有（1）相似B ．只有（2）相似C ．都相似D ．都不相似二、填空题7．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）如图，AB 、CD 相交于点O ，添加一个条件 ___，可以使△AOD 与△BOC 相似．8．（2021·云南·昆明市第三中学九年级期中）如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形有___________对．9．如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，垂足分别为B 、C ，且8AB =，6DC =，14BC =，点P 在BC 上，且使得ABP △与△DCP 相似，则BP =__________．10．如图，已知C B ∠=∠，则______∽______，______∽______．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7三、解答题11．（2021·上海市新泾中学九年级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BD ＝2，CE ＝5，求证：△AED ∽△ABC ．12．如图，在△ABC 中，//DE BC ，且3AD =，2DB =．写出图中的相似三角形，并指出其相似比．13．如图，Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高．求证：（1）ACD ABC △∽△； （2）CBD ABC ∽△△． 14．（2021·福建周宁·九年级期中）如图，F 为四边形ABCD 边CD 上一点，连接AF 并延长交BC 延长线于原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8点E ，已知D DCE ∠=∠．（1）求证：ADF ECF ∽△△； （2）若ABCD 为平行四边形，6AB =，2EF AF =，求FD 的长度．15．如图，点M 是AB 上一点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）求证：△AMF ∽△BGM ； （2）请你再写出两对相似三角形．16．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，过点C 任作一直线l ，过点A 作AD l ⊥于点D ，过点B 作BE l ⊥于点E ．（1）指出图中的一对相似三角形并证明；（2）当△ABC ∽△CBE 时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可)17．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F .∆≅∆；(1)求证：APD CPD(2)求证：△APE∽△FPA；EF=，求PC的长.(3)若2PE=，618．（2021·四川·隆昌市第二初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；EF=，BD＝6．求AD的长．（2）若CE＝5，25【挑战压轴】19．如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，(1)求DE的长；(2)过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；(3)过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10。

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）专题03 等边三角形【题型1】等边三角形的性质1．（2022·全国·八年级课时练习）下列条件中，不能判断ABC V 是等边三角形的是（ ）．A ．AB AC =，60B Ð=oB ．AB AC =，B A Ð=ÐC ．60A B Ð=Ð=oD ．2A B CÐ+Ð=Ð【答案】D【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可．【详解】解：A 选项：∵AB =AC ．∠B =60°．∴△ABC 是等边三角形，故A 选项不符合题意；B 选项：∵∠B =∠A ，∴AC =BC ，∵AB =AC ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故B 选项不符合题意；C 选项：∵∠A =∠B =60°，∠C =180°−∠A −∠B =60°，∴∠A =∠B =∠C ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故C 选项不符合题意；D 选项：∵∠A +∠B =2∠C ，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠C =60°，不能判断△ABC 是等边三角形，故D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．【变式1-1】2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC 是等边三角形，且BD ＝CE ，∠1＝15°，则∠2的度数为____°．【答案】60【分析】根据等边三角形的性质可得AB BC =，A ABC CB =Ð∠，证明△ABD ≌△BCE （SAS ），根据全等三角形的性质可得∠1＝∠CBE ，根据三角形外角的性质可得∠2＝∠1+∠ABE ，继而根据等量代换可得∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ，即可求解．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB BC =，A ABC CB =Ð∠，在△ABD 和△BCE 中，AB BC ABC ACB BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠1＝∠CBE ，∵∠2＝∠1+∠ABE ，∴∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ＝60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．【题型2】等边三角形的判定1．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，已知P 、Q 是△ABC 的BC 边上的两点，BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小为（ ）A ．120°B ．110°C ．100°D ．90°【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP =∠CAQ =30°，从而求解．【详解】解：∵PQ =AP =AQ ，∴△APQ 是等边三角形，∴∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，∵BP ＝AP ， QC ＝AQ∴∠B =∠BAP ，∠C =∠CAQ ．又∵∠BAP +∠ABP =∠APQ =60°，∠C +∠CAQ =∠AQP =60°，∴∠BAP =∠CAQ =30°．∴120BAC BAP PAQ CAQ Ð=Ð+Ð+Ð=°．故∠BAC 的度数是120°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了运用等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．【变式2-1】2．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD上，且2ED＝BC，则∠ACE＝_______【题型3】等边三角形的判定和性质1．（2022·山东·济南市济阳区垛石街道办事处中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN=_________．【答案】2cm【分析】作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【详解】连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠MAB=∠B=∠CAN=∠C=30°∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∵BC=6cm，∴MN=2cm．故答案为：2cm．【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式3-1】2．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ＝CD ，∠A ＝60°，延长DE 交于AB 于F ，若EF ＝2，则DF ＝_________．【答案】6【分析】由AB AC =，60A Ð=°得到△ABC 是等边三角形，由等边三角形的性质和AE EC CD ==，推出BE =4，再由∠DBE =∠CDE =30°，推出ED =BE =4，从而求出DF 的长度．【详解】解：∵AB AC =，60A Ð=°，∴△ABC 是等边三角形，又∵AE EC =，∴∠AEB =90°，∠ABE =∠DBE =30°，∵∠ACB =60°，EC CD =，∴∠CED =∠CDE =30°，∴∠AEF=30°，∴∠FEB =60°，∴∠BFE =90°，∵2EF =，∴BE =4，∵∠DBE=∠CDE =30°，∴ED=BE =4，∴DF = ED+EF =6．故答案为6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是根据已知条件推出△BEF 是直角三角形．【题型4】含30度角的直角三角形1．（2020·湖北·公安县教学研究中心八年级期中）如图，∠B =∠D =90°，AB =AD ，∠2=60°，BC =5，则AC =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2.5【答案】B 【分析】利用HL 证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ，推出∠1=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵∠B =∠D =90°，AB =AD ，AC =AC ，∴Rt △ACB ≌Rt △ACD （HL ），∴∠ACB =∠ACD =60°，∴∠1=30°，∵BC =5，∴AC =2BC =10，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ．【变式4-1】2．（2022·湖南·澧县教育局张公庙镇中学八年级期末）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，BE 平分ABC Ð，ED 垂直平分AB 于D ．若9AC =，则AE 的值是______．【答案】6【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得,AE BE ABE CBE A =Ð=Ð=Ð，再根据三角形的内角和定理可得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE x =-，在Rt BCE V 中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得．【详解】解：BE Q 平分ABC Ð，ABE CBE \Ð=Ð，ED Q 垂直平分AB ，AE BE \=，ABE A \Ð=Ð，ABE CBE A \Ð=Ð=Ð，又90C Ð=°Q ，90ABE CBE A \Ð+Ð+Ð=°，解得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE AC AE x =-=-，Q 在Rt BCE V 中，90C Ð=°，30CBE Ð=°，2BE CE \=，即()29x x =-，解得6x =，即6AE =，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．一．选择题1．（2020·全国·九年级专题练习）如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若12AB cm =，则阴影部分的面积是（ ）A ．12B ．18C ．24D ．362．（2022·广东清远·八年级期中）如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，1BC =，则AB =（ ）A ．2B C D ．1.5【答案】A 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC ，代入求出即可．【详解】解：Q 在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，2AB BC \=，1BC =Q ，2AB \=，故选：A ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质定理，能根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC 是解此题的关键．3．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在等边△ABC 中，AB ＝4cm ，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且30E Ð=o ，则CE 的长是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若BC ＝6，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2021·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）如图，D 是等边ABC V 的边AC 上的一点，E 是等边ABC V外一点，若BD CE =，12Ð=Ð，则对ADE V 的形状最准确的是（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形【答案】C 【分析】先根据已知利用SAS 判定△ABD ≌△ACE 得出AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，从而推出△ADE 是等边三角形．【详解】解：∵三角形ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∵BD ＝CE ，∠1＝∠2，在△ABD 和△ACE 中，12AB AC BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定方法，掌握等边三角形的判定和全等三角形的判定是本题的关键，做题时要对这些知识点灵活运用．6．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB ＝20米，AC ＝30米，∠A ＝150°，草皮的售价为a 元/米2，则购买草皮至少需要（ ）A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元【答案】C 【详解】如图，过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∵CD⊥BD，AC=30m，∴CD=15m，∵AB=20m，∴S△ABC=AB×CD÷2=×20×15÷2=150m2，∵草皮的售价为a元/米2，∴购买这种草皮的价格：150a元．故选C．二、填空题7．（2022·广东·平洲一中八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝_____cm．8．（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且Ð=_____．Ð=120°，那么BDC=，AOBOD OA【答案】60°【分析】由AOB Ð的度数利用邻补角互补可得出60AOD Ð=°，结合OD OA =可得出AOD D 为等边三角形，而根据旋转全等模型由SAS 易证出BAO CAD D @D ，根据全等三角形的性质可得出120ADC AOB Ð=Ð=°，再根据BDC ADC ADO Ð=Ð-Ð即可求出BDC ∠的度数．【详解】解：ABC D Q 为等边三角形，AB AC \=，60BAC Ð=°．120AOB Ð=°Q ，180AOD AOB Ð+Ð=°，60AOD \=°∠．又OD OA =Q ，AOD \D 为等边三角形，AO AD \=，60OAD Ð=°，60ADO Ð=°．60BAO OAC OAC CAD Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，BAO CAD \Ð=Ð．在BAO D 和CAD D 中，AB AC BAO CAD AO AD =ìïÐ=Ðíï=î，()BAO CAD SAS \D @D ，120ADC AOB \Ð=Ð=°，60BDC ADC ADO \Ð=Ð-Ð=°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明BAO CAD D @D ，找出120ADC AOB Ð=Ð=°是解题的关键．9．（2022·山东临沂·八年级期末）已知等腰ABC V 的一底角∠B =15°，且斜边AB ＝6cm ，则ABC V 的面积为__10．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且//a b，142Ð=°，则2Ð的度数为________．【答案】102°【分析】根据题意可求出BACÐ的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．【详解】Q三角形ABC为等边三角形\Ð=°BAC60//Qa b\Ð=Ð+Ð=°+°=°BAC214260102故答案为：102°．【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．11．（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区秋实学校八年级阶段练习）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE = ，则BC =________．12．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB AC =，点D 在BC 上，AD DE =，如果20BAD Ð=o ，∠AED ＝60o ，那么∠EDC 的度数为___度．【答案】10【分析】先证明△ADE 是等边三角形，从而得到∠ADE =∠AED =60°，再根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质得到∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，据此求解即可．【详解】解：∵AD =DE ，∠AED =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠AED =∠C +∠EDC ，∴∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，∴2∠EDC =60°-∠C +∠B -40°，∴∠EDC =10°，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ADE 是等边三角形是解题的关键．三、解答题13．（2021·辽宁营口·九年级期中）ABC V 与CDE △都是等边三角形，连接AD 、BE ．（1）如图①，当点B 、C 、D 在同一条直线上时，则BCE Ð=______度；（2）将图①中的CDE △绕着点C 逆时针旋转到如图②的位置，求证：AD BE =．【答案】（1）120；（2）证明见解析．【分析】（1）根据CDE △是等边三角形及点B 、C 、D 在同一条直线上即可求解；（2）证明BCE ACD D D ≌即可求解．【详解】解：（1）∵CDE △是等边三角形，∴60DCE Ð=°，∵点B 、C 、D 在同一条直线上，∴180BCE DCE ÐÐ+=°，∴180120BCE DCE ÐÐ=°-=°（2）∵ABC V 与CDE △都是等边三角形，∴BC =AC ，CE =CD ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在BCE V 与ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BCE ACD SAS D D ≌，∴BE =AD ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．14．（2021·江苏·南通田家炳中学一模）如图，已知点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE Ð的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90o．【分析】（1）作AF BC ^于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE V 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ^于F ．Q AB AC =，AD AE =，\BF CF =，DF EF =，15．（2021·江西·信丰县第七中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC与点D，交AC于点E．求证：（1）AE=DE；（2）若AE=6，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）由垂直平分线可得EB=EC，则得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分线性质可得AE=DE；（2）根据直角三角形中，30°所对直角边为斜边的一半．即可得到答案．【详解】（1）证明：连接BE，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠C=30°．∵DE垂直平分BC，16．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点C 为线段AB 上一点，ACM V ，CBN V 是等边三角形，直线AN MC 、交于点E ，直线BM CN 、交于点F ．（1）求证：AN BM =；（2）求证：EC FC =；（3）求证：//AB EF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）只需要证明△CAN ≌△CMB 即可得到答案；（2）根据△CAN ≌△CMB 得到∠EAC =∠FNC ，再由AC =MC ，∠ACE =∠MCF =60°，即可证明△AEC ≌△MFC ，得到CE =CF ；（3）根据CE =CF ，∠ECF =60°，推出△ECF 是等边三角形，则∠CEF =∠ACE =60°，即可得证．【详解】解：（1）∵△ACM 和△CBN 都是等边三角形，∴AC =MC ，CN =CB ，∠ACM =∠BCN =60°，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠BCN =60°，∴∠CAN =∠ACM +∠MCN =∠MCN +∠BCN =∠BCM =120°，∴△CAN ≌△CMB （SAS ），∴AN =BM ；（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠EAC=∠FNC，∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，∴△AEC≌△MFC（ASA），∴CE=CF；（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，∴△ECF是等边三角形，∴∠CEF=∠ACE=60°，∴EF∥AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17．（2022·全国·八年级课时练习）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定△ADE的形状是_____三角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为_____．【答案】等边 6【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；（2）证明△ACE≌△CBG（S A S），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证△CEF≌△GBF（AA S），由全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．【详解】解：（1）∵BC＝2BD，∴BD＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∵点D关于直线AC的对称点为点E，∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．故答案为：等边；（2）∵点D关于直线AC的对称点为点E．∴△ACD≌△ACE，∴CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，∵BG＝CD，∴CE＝BG，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，∴∠ACD＝∠GBC＝120°，∴∠ACE＝∠GBC＝120°，∴△ACE≌△CBG（S A S），∴AE＝CG，∵∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，∴∠BCE+∠BGC＝180°，∴BG∥CE，∴∠G＝∠FCE，∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△CEF≌△GBF（AA S），∴CF＝GF，18．（2021·河北唐山·八年级期末）在三角形纸片ABC 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，4AC =，点E 在AC 上，3AE =．将三角形纸片ABC 按图中方式折叠，使点A 的对应点A ¢落在AB 的延长线上，折痕为ED ，A E ¢交BC 于点F ．（1）求CFE Ð的度数；（2）求BF 的长度．【答案】（1）60°；（2）1．【分析】（1）先根据折叠的性质可得30A A ¢Ð=Ð=°，再根据邻补角的定义可得90A BF =¢Ð°，然后根据直角三角形的性质可得60A FB ¢Ð=°，最后根据对顶角相等即可得；（2）先根据线段的和差可得1CE =，再根据等边三角形的判定与性质可得1EF CE ==，然后根据折叠的性质可得3A E AE ¢==，从而可得2A F ¢=，最后利用直角三角形的性质即可得．【详解】（1）由折叠的性质得：30A A ¢Ð=Ð=°，90ABC Ð=°Q ，点A ¢落在AB 的延长线上，18090ABC A BF ¢Ð=°Ð=-\°，9060A FB A ¢¢\Ð=°-Ð=°，由对顶角相等得：60CFE A FB ¢Ð=Ð=°；（2）4,3C E A A ==Q ，1CE AC AE \=-=，Q 在ABC V 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，9060C A \Ð=°-Ð=°，由（1）知，60CFE Ð=°，。

专题03 解三角形大题解题模板解三角形的的基本策略1、π=++C B A ，主要解决两类问题：(1)C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+；(2)若A 、B 、C 成等差数列，则3π=B 。

2、大边对大角，小边对小角，两边之和大于第三边，两边之差大于第三边。

3、sin 值一定正，cos 值可正可负但最多一个负，遇切化弦。

4、求角或边的比值，一般通过正弦定理把边化成角通过三角函数恒等变换求出。

5、求边或三角形面积，一般先通过余弦定理列出关于第三边的一元二次方程，通过解方程求出第三边，然后通过正弦定理求三角形面积。

6、求范围：(1)先用正弦定理把边化成角，再用辅助角公式化一角一函数形式，注意角的范围；(2)先用余弦定理把角化成边，再应用基本不等式及其重要变形，注意三角形是否有要求。

例1．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且bca B C -=3cos cos ， (1)求B sin 的值；(2)若24=b ，且c a =，求ABC ∆的面积。

审题路线图：(1)通过正弦定理把边全化为角→进行三角函数变换→求B sin 的值；(2)通过正弦定理形成关于边的方程→解出边长→应用正弦定理求三角形面积。

规范解答：【解析】(1)在ABC ∆中，π=++C B A ， 由正弦定理得BCA b c aBC sin sin sin 33cos cos -=-=， 2分 即B C B A C B cos sin cos sin 3cos sin ⋅-⋅=⋅，∴B A C B cos sin 3)sin(⋅=+，又∵A C B sin )sin(=+，∴B A A cos sin 3sin ⋅=， 4分 ∵0sin ≠A ，∴31cos =B ，322sin =B ； 6分(2)在ABC ∆中，由余弦定理可得323222=-+ac c a ，又c a =， 9分 ∴有32342=a ，即242=a ，∴28sin 21sin 212=⋅=⋅=∆B a B ac S ABC 。