专题三 相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。
2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。
【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MB MC -的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）215322y x x =++；（2）点M 的坐标为（52-，12-）时，MB MC -2；（3）存在点(1,6)P ． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据三角形的三边关系可知：当点B 、C 、M 三点共线时，可使MB MC -的值最大，据此求解即可；（3）先求得90ACB ∠=︒，再过点P 作PQ PA ⊥于点P ，过点P 作PG y ⊥轴于点G ，如图，这样就把以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似问题转化为以A ，P ，G 为顶点的三角形与ABC ∆相似的问题，再分当13PG BC AG AC ==时与3PG ACAG BC==时两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）将(0,3)A ，(3,0)C -代入212y x bx c =++得：39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）解方程组：215322132y x x y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得1103x y =⎧⎨=⎩，2241x y =-⎧⎨=⎩，∵(0,3)A ，∴(4,1)B -当点B 、C 、M 三点不共线时，根据三角形三边关系得MB MC BC -<， 当点B 、C 、M 三点共线时，MB MC BC -=，∴当点B 、C 、M 三点共线时，MB MC -取最大值，即为BC 的长， 如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，则在Rt BEC ∆中，由勾股定理得：222BC BE CE =+=，∴MB MC -取最大值为2；易求得直线BC 的解析式为：y =－x －3，抛物线的对称轴是直线52x =-，当52x =-时，12y =-，∴点M的坐标为（52-，12-）；∴点M 的坐标为（52-，12-）时，MB MC -取最大值为2；（3）存在点P ，使得以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似．设点P 坐标为215,3(0)22x x x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭， 在Rt BEC ∆中，∵1BE CE ==，∴45BCE ∠=︒， 在Rt ACO ∆中，∵3AO CO ==，∴45ACO ∠=︒， ∴180454590ACB ∠=︒-︒-︒=︒，AC =过点P 作PQ PA ⊥于点P ，过点P 作PG y ⊥轴于点G ，如图， ∵90PGA APQ ∠=∠=︒，PAG QAP ∠=∠，∴PGA ∆∽QPA ∆， ∵90PGA ACB ∠=∠=︒，∴①当13PG BC AG AC ==时，PGA ∆∽BCA ∆， ∴211533322x x x =++-，解得11x =，20x =，（舍去）∴点P 的纵坐标为215113622⨯+⨯+=，∴点P 为(1,6)；②当3PG AC AG BC==时，PGA ∆∽ACB ∆，∴23153322xx x =++-，解得1133x =-（舍去），20x =（舍去），∴此时无符合条件的点P ； 综上所述，存在点(1,6)P ． 【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，主要考查待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、两函数的交点和线段差的最值等问题，其中（1）题是基础题型，（2）题的求解需运用三角形的三边关系，（3）题要注意分类求解，避免遗漏，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法． 【举一反三】（2019·海南模拟）抛物线y =ax 2+bx +3经过点A （1，0）和点B （5，0）． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线335y x =+ 相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ．①连结PC 、PD ，如图1，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似?若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2318355y x x =-+；（2）① 102940；② 存在，（（2，95）或（349，5527-）．【解析】 【详解】试题分析：（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P 点坐标，则可表示出M 、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C 、D 的坐标，过C 、D 作PN 的垂线，可用t 表示出△PCD 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值； ②当△CNQ 与△PBM 相似时有PQ PM CQ BM= 或NQ BMCQ PM =两种情况，利用P 点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．试题解析：（1）∵抛物线23y ax bx =++经过点A （1，0）和点B （5，0），∴3025530a b a b ++=⎧⎨++=⎩ ，解得35185a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴该抛物线对应的函数解析式为2318355y x x =-+ ； （2）①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，∴可设P （t ，2318355t t -+）（1＜t ＜5）， ∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ， ∴M （t ，0），N （t ，335t +），∴22331837147335555220PN t t t t ⎛⎫⎛⎫=+--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.联立直线CD 与抛物线解析式可得2335318355y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩ 或7365x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴C （0，3），D （7，365）， 分别过C 、D 作直线PN 的直线，垂足分别为E 、F ，如图1，则CE =t ，DF =7﹣t ， ∴11772222PCD PCN PDN S S S PN CE PN DF PN =+=+==V V V g g 22371472171029522010240t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ∴当72t =时，△PCD 的面积有最大值，最大值为102940； ②存在．∵∠CQN =∠PMB =90°， ∴当△CNQ 与△PBM 相似时，有PQ PM CQ BM= 或NQ BMCQ PM =两种情况， ∵CQ ⊥PM ，垂足为Q ，∴Q （t ，3），且C （0，3），N （t ，335t + ）， ∴CQ =t ，333355Q t N t +-==， ∴35CQ NQ = ， ∵P （t ，2318355t t -+），M （t ，0），B （5，0）， ∴BM =5﹣t ，223183180335555PM t t t t ⎛⎫=--+=-- ⎪⎝+⎭， 当PQ PM CQ BM =时，则35PM BM =，即()2318335555t t t --=+-，解得t =2或t =5（舍去），此时P （2，95 ）； 当NQ BM CQ PM =时，则35BM PM =，即2318355355t t t ⎛⎫-=+ ⎪⎝-⎭-，解得349t =或5t =（舍去），此时P （349，5527-）； 综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为P （2，95）或（349，5527-）． 类型二 【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC 中，AO =10，AB =8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点.(1)求AD 的长及抛物线的解析式；(2)一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？(3)点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【解析】（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED 、△CBD 全等，首先在Rt △CEO 中求出OE 的长，进而可得到AE 的长；在Rt △AED 中，AD =AB -BD 、ED =BD ，利用勾股定理可求出AD 的长．进一步能确定D 点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于∠DEC =90°，首先能确定的是∠AED =∠OCE ，若以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似，那么∠QPC =90°或∠PQC =90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t 的值； （3）由于以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论： ①EC 做平行四边形的对角线，那么EC 、MN 必互相平分，由于EC 的中点正好在抛物线对称轴上，所以M 点一定是抛物线的顶点；②EC 做平行四边形的边，那么EC 、MN 平行且相等，首先设出点N 的坐标，然后结合E 、C 的横、纵坐标差表示出M 点坐标，再将点M 代入抛物线的解析式中，即可确定M 、N 的坐标． 试题解析：（1）∵四边形ABCO 为矩形， ∴∠OAB =∠AOC =∠B =90°，AB =CO =8，AO =BC =10， 由题意，得△BDC ≌△EDC ，∴∠B =∠DEC =90°，EC =BC =10，ED =BD ，由勾股定理易得EO =6， ∴AE =10﹣6=4，设AD =x ，则BD =ED =8﹣x ，由勾股定理，得()22248x x +=﹣ ， 解得，x =3，∴AD =3，∵抛物线2y ax bx c =++过点D （3, 10），C （8, 0），O （0, 0），∴9310{ 6480a b a b +=+=，解得 23{163a b =-=，∴抛物线的解析式为： 221633y x x =-+；（2）∵∠DEA +∠OEC =90°，∠OCE +∠OEC =90°， ∴∠DEA =∠OCE ，由（1）可得AD =3，AE =4，DE =5， 而CQ =t ，EP =2t ，∴PC =10﹣2t ， 当∠PQC =∠DAE =90°，△ADE ∽△QPC ，∴CQ CP AE DE =，即 10245t t-=， 解得4013t =，当∠QPC =∠DAE =90°，△ADE ∽△PQC ，∴PC CQ AE DE =，即 10245t t -=， 解得257t =， ∴当4013t =或257t =时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似；（3）假设存在符合条件的M 、N 点，分两种情况讨论：①EC 为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC 中点，若四边形MENC 是平行四边形，那么M 点必为抛物线顶点； 则： 3243M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN 必被EC 中点（4，3）平分，则1443N ⎛⎫-⎪⎝⎭，； ②EC 为平行四边形的边，则EC //MN ，EC =MN ，设N （4，m ）， 则M （4﹣8，m +6）或M （4+8，m ﹣6）；将M （﹣4，m +6）代入抛物线的解析式中，得：m =﹣38， 此时 N （4，﹣38）、M （﹣4，﹣32）；将M （12，m ﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m =﹣26， 此时 N （4，﹣26）、M （12，﹣32）；综上，存在符合条件的M 、N 点，且它们的坐标为：①()1432M --，， ()1438N -，； ②()21232M -，， 2(426N -，）； ③33243M ⎛⎫⎪⎝⎭，， 31443N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解． 【举一反三】（2019·湖南模拟）如图，已知直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y =-x 2+bx +c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B /秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）t=1或t=32；（3）点F的坐标为（2，3）．（4）94．【解析】【详解】试题分析：（1）先由直线AB的解析式为y=-x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA2t，P A=3-t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可；（3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标；（4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t2M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值．试题解析：（1）∵y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），将A（3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得930{3b cc-++==，解得2{3bc==∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，∴∠QAP=45°．如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA2t，P A=3-t．在Rt△PQA中，22QAPA=，即：2232tt=-，解得：t=1；如图②所示：∠QP A=90°时，设运动时间为t秒，则QA2t，P A=3-t．在Rt△PQA中，22PAQA=222t=，解得：t=32．综上所述，当t=1或t=32时，△PQA是直角三角形；（3）如图③所示：设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2．∵EP∥FQ，EF∥PQ，∴EP=FQ．即：3-t=3t-t2．解得：t1=1，t2=3（舍去）．将t=1代入F（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），得点F的坐标为（2，3）．（4）如图④所示：设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t2．∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴点M的坐标为（1，4）．∴MB22112+=当△BOP∽△QBM时，MB BQOP OB=2(3)2t-=，整理得：t2-3t+3=0，△=32-4×1×3＜0，无解：当△BOP ∽△MBQ 时，BM BQ OB OP =即：2(3)2t -=，解得t =94． ∴当t =94时，以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似． 类型三 【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2019·江苏中考真题）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =；②92155n <<. 【解析】 【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可； （2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n =275时，N （2，275），可求DA =952，DN =185，CD =365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，DP 5PQ 与AB 不平行时，DP 5②当PQ ∥AB ，DB =DP 时，DB 5，DN =245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ； 故答案为()2,9； （2）对称轴2x =，9(2,)5C ∴，由已知可求5(,0)2A -， 点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，(5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，2DA ∴=，182DN =，365CD =当PQ AB ∥时，PDQ DAB ∆∆:，DAC DPN ∆∆Q :，DP DNDA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆:，DNQ DCA ∴∆∆:，DP DNDB DC∴=，DP ∴=综上所述DP = ②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DNDA DC∴=， 245DN ∴=，21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键． 【举一反三】（2018武汉中考）抛物线L ：y =﹣x 2+bx +c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x =1交于点B ． （1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线y =kx ﹣k +4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．【答案】（1）y =﹣x 2+2x +1；（2）-3；（3）当m =2﹣1时，点P 的坐标为（0，）和（0，）；当m =2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）． 【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线x =1且抛物线过点A （0，1）利用待定系数法进行求解可即得；（2）根据直线y =kx ﹣k +4=k （x ﹣1）+4知直线所过定点G 坐标为（1，4），从而得出BG =2，由S △BMN =S △BNG ﹣S △BMG =BG •x N ﹣BG •x M =1得出x N ﹣x M =1，联立直线和抛物线解析式求得x =，根据x N ﹣x M =1列出关于k 的方程，解之可得；（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．【详解】（1）由题意知，解得：，∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；（2）如图1，设M点的横坐标为x M，N点的横坐标为x N，∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，∴点B（1，2），则BG=2，∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG•（x N﹣1）-BG•（x M-1）=1，∴x N﹣x M=1，由得：x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，解得：x==，则x N=、x M=，由x N﹣x M=1得=1，∴k=±3，∵k＜0，∴k=﹣3；（3）如图2，设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），设P（0，t），（a）当△PCD∽△FOP时，，∴，∴t2﹣（1+m）t+2=0①；(b)当△PCD∽△POF时，，∴，∴t=（m+1）②；（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，△=（1+m）2﹣8=0，解得：m=2﹣1（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根t1=t2=，方程②有一个实数根t=，∴m=2﹣1，此时点P的坐标为（0，）和（0，）；（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：（m +1）2﹣（m +1）+2=0， 解得：m =2（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根t 1=1、t 2=2， 方程②有一个实数根t =1，∴m =2，此时点P 的坐标为（0，1）和（0，2）； 综上，当m =2﹣1时，点P 的坐标为（0，）和（0，）；当m =2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）．【新题训练】1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C 1：y ＝﹣1m（x +2）（x ﹣m ）（m ＞0）与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点E ．（1）求点B 、点C 的坐标；（2）当△BCE 的面积为6时，若点G 的坐标为（0，b ），在抛物线C 1的对称轴上是否存在点H ，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H 的坐标（用含b 的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点B 、C 的坐标分别为：（﹣2，0）、（m ，0）；（2）存在，点H （1，34b ）；（3）存在，m ＝222+ 【详解】 解：（1）()()()120y x x m m m=-+->，令y ＝0，则x ＝﹣2或m ， 故点B 、C 的坐标分别为：（﹣2，0）、（m ，0）； （2）存在，理由：()()12y x x m m=-+-，令x ＝0，则y ＝2，故点E （0，2）， △BCE 的面积为：()1122622BC OE m ⨯⨯=+⨯= ，解得：m ＝4，则抛物线的对称轴为： ()12412x =-+= ，点B 关于函数对称轴的对称点为点C （m ，0），连接CE 交对称轴于点H ，则点H 为所求， 将点C 、E 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CE 的表达式为： 14y bx b =-+ ，当x ＝1时,34y b = ， 故点H （1，34b ）； （3）∵OE ＝OB ＝2，故∠EBO ＝45°，过点F 作FT ⊥x 轴于点F ； ①当△BEC ∽△BCF 时，则BC 2＝BE •BF ，∠FBO ＝EBO ＝45°，则直线BF 的函数表达式为：y ＝﹣x ﹣2，故点F （x ，﹣x ﹣2）； 将点F 的坐标代入抛物线表达式得： ()()122x x x m m--=-+- 解得：x ＝﹣2（舍去）或2m ， 故点F （2m ，﹣2m ﹣2）， 则)221,22BF m BE =+= ∵BC 2＝BE •BF ，则())2222221m m +=+ 解得： 222m =±（舍去负值）， 故2m =②当△BEC ∽△FCB 时，则BC 2＝BF •EC ，∠CBF ＝∠ECO ， 则△BFT ∽△COE ， 则2TF EO BT CO m == ，则点()2,2F x x m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦将点F 的坐标代入抛物线表达式得： ()()()2122x x x m m m-+=-+- 解得：x ＝﹣2（舍去）或m +2； 则点()22,4F m m m ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦BC 2＝BF •EC ，则()()()2222242222m m m m m +⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭化简得：m 3+4m 2+4m ＝m 3+4m 2+4m +16， 此方程无解； 综上，m ＝222+．2．（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似？（3）点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）212(2)33y x =-+；（2）1t =或52t =时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似；（3）存在，四边形MDEN 是平行四边形时，1(2,1)M ，1(4,2)N ；四边形MNDE 是平行四边形时，2(2,3)M ，2(0,2)N ；四边形NDME 是平行四边形时，322,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，312,3N ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】解：（1）过点E 作EG x ⊥轴于G 点.∵四边形OABC 是边长为2的正方形，D 是OA 的中点， ∴2OA OC ==，1OD =，90AOC DGE ∠=∠=︒. ∵90CDE ∠=︒，∴90ODC GDE ∠+∠=︒. ∵90ODC OCD ∠+∠=︒，∴OCD GDE ∠=∠.在OCD ∆和GED ∆中COD DGEOCD GDE DC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ODC GED AAS ∆∆≌，1EG OD ==，2DG OC ==. ∴点E 的坐标为(3,1).∵抛物线的对称轴为直线AB 即直线2x =，∴可设抛物线的解析式为2(2)y a x k =-+，将C 、E 点的坐标代入解析式，得421a k a k +=⎧⎨+=⎩，解得1323a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴抛物线的解析式为212(2)33y x =-+； （2）①若DFP COD ∆∆∽，则PDF DCO ∠=∠，//PD OC ， ∴90PDO OCP AOC ∠=∠=∠=︒，∴四边形PDOC 是矩形， ∴1PC OD ==，∴1t =；②若PFD COD ∆∆∽，则PDF DCO ∠=∠，∴PD DFCD OD=. ∴9090PCF DCO DPF PDF ∠=︒-∠=-∠=∠. ∴PC PD =，∴12DF CD =. ∵22222215CD OD OC =+=+=，∴5CD =，∴5DF =. ∵PD DFCD OD=， ∴55522PC PD ==⨯=，52t =，综上所述：1t =或52t =时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似： （3）存在，①若以DE 为平行四边形的对角线，如图2，此时，N 点就是抛物线的顶点（2，23）， 由N 、E 两点坐标可求得直线NE 的解析式为：y ＝13x ； ∵DM ∥EN ，∴设DM 的解析式为：y ＝13x ＋b ， 将D （1，0）代入可求得b ＝−13，∴DM 的解析式为：y ＝13x −13，令x ＝2，则y ＝13，∴M （2，13）；②过点C 作CM ∥DE 交抛物线对称轴于点M ，连接ME ，如图3，∵CM ∥DE ，DE ⊥CD ， ∴CM ⊥CD ， ∵OC ⊥CB ， ∴∠OCD ＝∠BCM ， 在△OCD 和△BCM 中BCM OCD CBM COD CO CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△OCD ≌△BCM （ASA ）， ∴CM ＝CD ＝DE ，BM ＝OD ＝1， ∴CDEM 是平行四边形， 即N 点与C 占重合， ∴N （0，2），M （2，3）；③N 点在抛物线对称轴右侧，MN ∥DE ，如图4，作NG ⊥BA 于点G ，延长DM 交BN 于点H ， ∵MNED 是平行四边形，∴∠MDE ＝MNE ，∠ENH ＝∠DHB ， ∵BN ∥DF ，∴∠ADH ＝∠DHB ＝∠ENH ，∴∠MNB ＝∠EDF ， 在△BMN 和△FED 中MBN EFD BNM FDE MN DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BMN ≌△FED （AAS ）， ∴BM ＝EF ＝1， BN ＝DF ＝2，∴M （2，1），N （4，2）； 综上所述，四边形MDEN 是平行四边形时，1(2,1)M ，1(4,2)N ； 四边形MNDE 是平行四边形时，2(2,3)M ，2(0,2)N ； 四边形NDME 是平行四边形时，322,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，312,3N ⎛⎫⎪⎝⎭. 3．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，﹣83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AEAB的值． （3）点C 关于x 轴的对称点为H ，5FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）224233y x x =--；（2）E （﹣15，﹣85）5；（3）（1133+1133-）或Q（1，2）或Q（1，﹣32）．【详解】（1）由题可列方程组：2823ca a c=-⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：232ac⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线解析式为：y＝23x2﹣43x﹣2；（2）由题意和勾股定理得，∠AOC＝90°，AC＝5，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则k b0b2-+=⎧⎨=-⎩，解得：22kb=-⎧⎨=-⎩，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时AOCAEBSS△△＝（ACAB）252＝516，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝165，∴12AB×|y E|＝165，AB＝4，则y E＝﹣85，则点E（﹣15，﹣85）；由△AOC∽△AEB得：5AO AEAC AB==∴AE5 AB5=；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CFsin∠FCG＝5 CF，∴5CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3×12＝32，∴当y＝﹣32时，即点F（0，﹣32），5CF+BF有最小值；①当点Q为直角顶点时（如图3）F（0，﹣32），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+32），解得：m 133±，则点Q（1133+1133-）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣32）；综上，点Q的坐标为：（1，1334+）或（1，1334-）或Q（1，2）或Q（1，﹣32）．4．（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1) 抛物线的解析式为y=13x2-2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是814，点P（92，﹣54）；(3) Q（4,1）或（-3，1）.【详解】解：(1)将A(0，1)，B(9，10)代入函数解析式得：13×81＋9b＋c＝10，c＝1，解得b＝−2，c＝1，所以抛物线的解析式y＝13x2−2x＋1；(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，∴13x2−2x＋1＝1，解得x1＝6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(6，1)，∵点A(0，1)，点B(9，10)，∴直线AB的解析式为y＝x＋1，设P(m，13m2−2m＋1)，∴E(m，m＋1)，∴PE＝m＋1−(13m2−2m＋1)＝−13m2＋3m.∵AC⊥PE，AC＝6，∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝12AC⋅EF＋12AC⋅PF＝12AC⋅(EF＋PF)＝12AC⋅EP＝12×6(−13m2＋3m)＝−m2＋9m.∵0<m<6，∴当m＝92时，四边形AECP的面积最大值是814，此时P(9524，)；(3)∵y＝13x2−2x＋1＝13(x−3)2−2，P(3，−2)，PF＝y F−y p＝3，CF＝x F−x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的点Q，设Q(t，1)且AB＝92，AC＝6，CP＝32，∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，CQ:AC＝CP:AB，(6−t):6＝32:92，解得t＝4，所以Q(4，1)；②当△CQP∽△ABC时，CQ:AB＝CP:AC，(6−t):9232:＝6，解得t＝−3，所以Q(−3，1).综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似，Q点的坐标为(4，1)或(−3，1).5．（2020·河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ． （1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =--+；（2）PG =24833m m --；（3）存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似，此时m 的值为﹣1或2316-．【详解】解：（1）∵抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，4）， ∴40{34b c c -++==，解得8{34b c =-=. ∴抛物线的解析式为248433y x x =--+. （2）∵E （m ，0），B （0，4），PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，∴P （m ，248433m m --+），G （m ，4）. ∴PG =224848443333m m m m --+-=--.（3）在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似． ∵248433y x x =--+，∴当y =0时，2484033x x --+=，解得x =1或﹣3.∴D（﹣3，0）．当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．设直线BD的解析式为y=kx+4，将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=4 3 .∴直线BD的解析式为y=43x+4. ∴H（m，43m+4）．分两种情况：①如果△BGP∽△DEH，那么BG GPDE EH=，即248334343m mmm m---=++.由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1.②如果△PGB∽△DEH，那么PG BGDE HE=，即248334343m m mm m---=++.由﹣3＜m＜0，解得m=2316-．综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或2316-．6．（2020·浙江初三期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2y x=的对称轴为直线l，将直线l绕着点()0,2P顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB两点（点A在点B的左侧），点Q是该抛物线上一点（1）若45α∠=︒，求直线AB的函数表达式（2）若点p将线段分成2:3的两部分，求点A的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q在y轴左侧，过点p作直线//l x轴，点M是直线l上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标 【答案】（1）2y x =+；（2）234,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,3-；（3）(1,2)-，(2,2)-，(13,2)--，(13,2)- 【详解】（1）如图①，设直线AB 与x 轴的交点为M ．∵∠OP A =45°，∴OM =OP =2，即M （-2，0）．设直线AB 的解析式为y =kx +b （k ≠0），将M （-2，0），P （0，2）两点坐标代入，得0(202)k bk b ⨯+⨯-⎩+⎧⎨＝＝， 解得，12k b ⎧⎨⎩＝＝．故直线AB 的解析式为y =x +2； （2）①:2:3AP PB = 设()22,4A a a-()23,9B a a （a ＞0）∵点A 、点B 在直线y =x +2上和抛物线y =x 2的图象上， ∴2422a a =-+，2932a a =+∴24212a a -=-，292=13a a -∴22429223a a a a--=-解得，13a =，23a =-（舍去） 234,3A ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭②:3:2AP PB = 设()23,9A a a-()22,4B a a （a ＞0）∵点A 、点B 在直线y =x +2上和抛物线y =x 2的图象上， ∴2932a a =-+，2422a a =+∴29213a a -=-，242=12a a -∴22924232a a a a--=- 解得：133a =，233a =-（舍去） (3,3)A ∴-综上234,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,3-（3）45MPA ∠=︒，45QPB ∠≠︒ (1,1)A -，(2,4)B①45QBP ∠=︒此时B ，Q 关于y 轴对称，PBQ ∆为等腰直角三角形1(1,2)M ∴-2(2,2)M -②45BQP ∠=︒此时()2,4Q -满足，左侧还有Q '也满足BQP BQ P '∠=∠QQ '∴，B ，P ，Q 四点共圆，易得圆心为BQ 中点()0,4D设()2,Q x x'，()0x <∵Q D BD '=()2222(0)42x x ∴-+-=()()22430xx --=0x <Q 且不与Q 重合3x ∴=(3,3)Q '∴-，2Q P '=2Q P DQ DP ''===Q DPQ '∴∆为正三角形，160302PBQ '∠=⨯=︒︒过P 作PE BQ '⊥，则2PE Q E '==2BE =26Q B '∴=∵Q PB PMA '∆∆: ∴PQ Q BPA PM''=∴262+=解得，13PM =+ ∴(13,2)M -- ∵Q PB PMA '∆∆: ∴PQ Q B PM PA''=∴2262PM +=解得，31PM =- ∴(13,2)M -综上所述，满足条件的点M 的坐标为：(1,2)-，(2,2)-，(13,2)--，(13,2)-. 7．（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠P AB ＝45°．求证：△PQA ∽△ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．【答案】（1）y ＝13x 2﹣83x +5，点A 坐标为（0，5）；（2）详见解析；（372．【详解】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝13x2+mx+n，得1126+n,250=5,3mm n=+⎧⎪⎨++⎪⎩解得，m＝﹣83，n＝5，则抛物线的解析式为：y＝13x2﹣83x+5，点A坐标为（0，5）；（2）∵AC＝225552+=，BC＝22(65)12-+=，AB＝22(51)6213-+=，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，当∠P AB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y轴于点Q，∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠P AB＝135°，∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，∵∠QAP+∠QP A＝90°，∴∠QP A＝∠CAB，又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，∴k＝﹣32，∴y AB'＝﹣32x+5，联立235,218533y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得，x 1＝72，x 2＝0（舍去），则F '（72，﹣14）， 将B （6，1），B '（4，﹣1）代入直线y ＝mx +n ， 得，61,41,k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得，1,5.k b =⎧⎨=-⎩∴y BB '＝x ﹣5，由题意知，k FF '＝K BB '，∴设y FF '＝x +b ， 将点F '（72，﹣14）代入，得，b ＝﹣154，∴y FF '＝x ﹣154， 联立25,354y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得，21,43.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴F （214，32）， 则FF '＝2221731()()4224-++＝724．8．（2019·江苏初三期末）如图，抛物线y ＝ax 2＋5ax ＋c （a ＜0）与x 轴负半轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，D 是抛物线的顶点，过D 作DH ⊥x 轴于点H ，延长DH 交AC 于点E ，且S △ABD ：S △ACB ＝9：16，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若△DBH 与△BEH 相似，试求抛物线的解析式． 【答案】(1) 4c a =;(2) 见解析. 【解析】 【详解】解：（1）222525525(5)()4424y a x x a c a x a c =++-+=+-+ ∴525,24D a c ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭∵C (0，c ) ∴OC =-c ，DH =254a c -+ ∵S △ABD ：S △ACB ＝9∶16 ∴25();()9:164DH a c c OC =-+-= ∴4c a = ∴254(1)(4)y ax ax a a x x =++=++ ∴ (4,0),(1,0)A B --（2）① ∵EH ∥OC ∴△AEH ∽△ACO ∴EH AHOC AO= ∴1.544EH a =- ∴ 1.5EH a =- ∵ 2.25DH a EH =-≠ ∵△DBH 与△BEH 相似 ∴∠BDH =∠EBH , 又∵∠BHD =∠BHE =90°∴△DBH ∽△BEH ∴DH BHBH EH = ∴ 2.25 1.5a BH BH a-=- ∴63a =±（舍去正值） ∴265646y =9．（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；（3）点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ==x 2-4x +3；（2）AS △ACD =2；（3）①∠DFE =90°时，E 1（22）; E 2（22）；②∠EDF =90°时，E 3（1，2）、E 4（4，-1）． 【详解】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 y =a （x -2）2-1，代入C （O ，3）后，得： a （0-2）2-1=3，a =1∴抛物线的解析式：y =（x -2）2-1=x 2-4x +3． （2）由（1）知，A （1，0）、B （3，0）；设直线BC 的解析式为：y =kx +3，代入点B 的坐标后，得： 3k +3=0，k =-1 ∴直线BC ：y =-x +3；由（1）知：抛物线的对称轴：x =2，则 D （2，1）； ∴AD 22AG DG +2，AC 22OC OA +10CD 22(31)2-+2，即：AC 2=AD 2+CD 2，△ACD 是直角三角形，且AD ⊥CD ； ∴S △ACD =12AD •CD =12×2×2=2． （3）由题意知：EF ∥y 轴，则∠FED =∠OCB ，若△OCB 与△FED 相似，则有： ①∠DFE =90°，即 DF ∥x 轴；将点D 纵坐标代入抛物线的解析式中，得： x 2-4x +3=1，解得 x =2±2； 当x 2时，y =-x 2；当x =2-2时，y =-x +3=1+2；∴E 1（2+2，1-2）、E 2（2-2，1+2）． ②∠EDF =90°；易知，直线AD ：y =x -1，联立抛物线的解析式有： x 2-4x +3=x -1， x 2-5x +4=0， 解得 x 1=1、x 2=4； 当x =1时，y =-x +3=2； 当x =4时，y =-x +3=-1； ∴E 3（1，2）、E 4（4，-1）；综上，存在符合条件的点E ，且坐标为：（2+2，1-2）、（2-2，1+2）、（1，2）或（4，-1）．10．（2019·西安市铁一中学中考模拟）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,1)-，并且与y轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO V 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．。
