2相似三角形存在性问题解题策略

相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC与△DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC∽△DEF ,②△ABC∽△FDE、③△ABC∽△EFD、3、若题目中为△ABC与△DEF并且有∠A、∠D（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC∽△DEF ，②、△ABC∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2017年湖北鄂州中考）已知，抛物线23y ax bx =++（a ＜0）与x 轴交于A （3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴是直线x =1，D 为抛物线的顶点，点E 在y 轴C 点的上方，且CE =12． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）求证：直线DE 是△ACD 外接圆的切线；（3）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12PAC ACD S S ∆∆=，求点P 的坐标； （4）在坐标轴上找一点M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ACD 相似，直接写出点M 的坐标．【举一反三】（2017年山东省济宁附中二模）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，（点A 在点B的左侧），与直线AC交于点C（2，3），直线AC与抛物线的对称轴l相交于点D，连接BD．（1）求抛物线的函数表达式，并求出点D的坐标；（2）如图2，若点M、N同时从点D出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA、DB运动，连接MN，将△DMN沿MN翻折，得到△D′MN，判断四边形DMD′N的形状，并说明理由，当运动时间t为何值时，点D′恰好落在x轴上？（3）在平面内，是否存在点P（异于A点），使得以P、B、D为顶点的三角形与△ABD相似（全等除外）？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2017年广东省深圳市模拟）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线2=++经过O，D，C三点.y ax bx c(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.本题考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解．【举一反三】（2017年云南昆明市官渡区一中模拟）如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B、C两点,与x轴交于D、E两点,且D 点坐标为（1,0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2017年江苏省徐州市中考数学模拟）如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．（1）设a=12，m=﹣2时，①求出点C、点D的坐标；②抛物线y=ax2+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，利用解方程组是求C点坐标的关键；利用菱形的对角线垂直且互相平分是求G 点的关键；利用相似三角形的性质的出关于a的方程是解题关键，又利用了平行线分线段成比例．【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，并且与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2．平面直角坐标系xOy 中，对称轴平行与y 轴的抛物线过点()1,0A 、()3,0B 和()4,6C ．（1）求抛物线的表达式．（2）现将此抛物线先沿x 轴方向向右平移6个单位，再沿y 轴方向平移k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点D 、E （点D 在点E 的左边），且使ACD AEC ∽（顶点A 、C 、D 依次对应顶点A 、E 、C ），试求k 的值，并说明方向．3．已知：关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 经过点（﹣1，0）和（2，6）．（1）求b 和c 的值．（2）若点A （n ，y 1），B （n+1，y 2），C （n+2，y 3）都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n ，使123111310y y y ++=？若存在，请求出n ；若不存在，请说明理由． （3）若点P 是二次函数图象在y 轴左侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x 沿y 轴向下平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，请求出所有符合条件点P 的坐标．4．如图，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于点A ()1,0-、B ()4,0，与y 轴交于点C ． （1）a = ； b = ；（2）点P 为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ，①求线段PQ 的最大值；②若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标．5．如图，抛物线28y ax bx =+-交x 轴于A ， B 两点，交y 轴于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称交于点E ，连接CE ，点A ， D 的坐标分别为()2,0-， ()6,8-． （1）求抛物线的解析式，并分别求出点B 和点E 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点F ，使FOE ≌FCE ，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；（3）抛物线y=﹣x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．9．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），顶点为B．点C （5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；学=科网（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。

2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。

判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。

2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。

判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件：① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

二次函数背景下的相似三角形存在性问题
二次函数背景下的相似三角形存在性问题是中考数学常考的题型，在考试中一般出现在压轴题的位置，综合性强，难度略大。

这篇文章主要来讨论下二次函数背景下的相似三角形存在性问题的解题思路方法及应用举例。

【模型解读】
在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．
【相似判定】
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
【题型分析】
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．
【思路总结】
根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！
所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等．
事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？
搞定这两个问题就可以了．
【例题】
【分析】
综上所述，点P的坐标为（3，2）或（3，9）．
【总结】
【练习】
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授课题目专题相似三角形的存在性问题解题策略授课日期2０19年3月教师授课学时学生课型师生活动一、要点归纳相似三角形的存在性问题是苏州中考数学的热点问题、解相似三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准,分类标准寻找的恰当,能够使得解的个数不重复不遗漏,也能够使得列方程和解方程又好又快。

二、课前热身△ABC中,点D、E分别在AB、ＡC边上,假如△ＡＤＥ与△ABＣ相似,请确定点E的位置、三、例题讲解1、如图１,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BＤ⊥DＣ,BC=10cm,CD＝６cm、在线段ＢC、CD 上有动点Ｆ、E,点Ｆ以每秒2cｍ的速度,在线段BC上从点B向点C匀速运动;同时点Ｅ以每秒1cm的速度,在线段CＤ上从点Ｃ向点D匀速运动、当点F到达点C时,点E同时停止运动、设点F运动的时间为ｔ(秒)、(1)求ＡD的长;(2)点F、E在运动过程中,假如△CEＦ与△BＤC相似,求线段BF的长、图1 备用图２、如图1,抛物线y=ax2+ｂx+ｃ(a>0)交x轴于Ａ、B两点(A点在B点左侧),交y轴于点C、已知B(8,0),tan ∠AＢC＝0。

5,△AＢC的面积为8、(1)求抛物线的解析式;(２)若动直线ＥF(EF//x轴)从点C开始,以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平移,且分别交y轴、线段BC于E、F两点,动点P同时从点B出发,在线段ＯB上以每秒2个单位的速度向原点Ｏ运动、联结FP,设运动时间t秒。

是否存在ｔ的值,使以P、Ｂ、F为顶点的三角形与△AＢC相似、若存在,试求出t 的值;若不存在,请说明理由、图13、如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线,经过点A(1,3),Ｂ(0,1)、(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标;(2)过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C、①求△AＢC的面积;②在y轴上取一点P,使△ＡBP与△ＡBC相似,求满足条件的所有P点坐标、图1４、如图,抛物线经过点Ａ(４,０)、B(1,0)、C(0,－2)三点、(1)求此抛物线的解析式;(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥ｘ轴,垂足为M,是否存在点P,使得以Ａ、P、M为顶点的三角形与△OAＣ相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;5、如图,已知抛物线ｙ＝aｘ2＋ｂx+ｃ与ｘ轴交于A、B两点,与ｙ轴交于点C, D为OC的中点,直线AD交抛物线于点E(２,6),且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2、(１)求直线ＡD和抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴与x轴相交于点F,点Q为直线ＡD上一点,且△ＡBQ与△ADＦ相似,直截了当写出．．．．．．点Ｑ点的坐标、图１6、如图１,△ABＣ中,AB=5,AC＝3,cos A＝。

AB_DEAC~DFAB_DF再一次列方程求相似三角形存在性处理策略知识必备一、相似的判定1、两边成比列且夹角相等的两个三角形相似，不妨简称为述.2、两角分别相等的两个三角形相似，不妨简称为加.二、相似于“s”1、一般的，若MBC 与△门肋1相似，则不具备对应关系，需要分类讨论.2、若山恥sAD 肿，贝倶备对应关系. 三、定边与定角1、“定边定长”：确定的边，其长度确定，必可求。

2、“定角定长”：确定的角，其三角函数值确定，必可求。

方法提炼一、导边处理（&LS 法）相似三角形存在性问题，基本上都可以按部就班，如下解决：第一步：先找到一组关键的等角，有时明显，有时隐蔽第二步：以这两个相等角的两邻边分两种情况对应比例列方程不妨称此通法为3法举例；如图4-2-1,在LABC 与岂DEF中，若已确定=Z D,则要使MBC与'DEF相似，需要分两种情形讨论:二、导角处理（也法）第一步：先找到一组关键的等角第二步：另两个内角分两类对应相等不妨称此通法为：加法举例：如图4-2-1,在LABC与bDEF中，若已知ZA=ZD,要使与^DEF相似，需要分两种情形讨论:Z E Z或二/F,再导角分析处理.三、温馨提示解法一（临法），通用性更强，普适性更广，往往是首选2、解法二（迅4法），导角分析，常转化为角的存在性问题若相似三角形中有一个确定的三角形，可以先对其边、角作研究，定边求定长，定角求定比然后再寻求所要的三角形，基本可以做到无往不利。

实战分析（一）显性的“相等角”【例1】如图4-3-1,在四边形曲CQ中，AZ?//90°,AB=^,AD=3,BC=4,点尸为AB上一动点，若曲尸刀与AF5C相似，则满足条件的点尸共有（）个A、1B、2C、3D、4—q DEE<團4-3-1反思：相似三角形存在性问题，分类时可以先固定其中一个三角形的字母顺序，将另一个三角形换序即可，例如本体中的^ADP^KBCP或UDPsbEPC,所列方程也是3438-^固定等式的一边，将另一边的分子，分母颠倒即可，如或(一)隐性的“相等角”【例2】如图4-3-6已知二次函数的图像经过型?0),S(-3r R及原点0,顶点为U求此二次函数解析式连接EC交兀轴于点月，卩轴上是否存在点尸•使得心FOC与相似？若存在，求出尸点的坐标，若不存在，请说明理由。

相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程(组)．例题解析例❶如图1-1,抛物线y=1x2-3x+4与X轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C.动82直线EF(EF//x轴)从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段0B上以每秒2个单位的速度向原点0运动.是否存在t,使得△匕卩卩与厶ABC相似.若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由.图1-1【解析】ABP卩与厶ABC有公共角ZB，那么我们梳理两个三角形中夹ZB的两条边.△ABC是确定的.由y=x2-x+4，可得A(4,0)、B(&0)、C(0,4).782于是得到BA=4,BC=4*5.还可得到C E=C0=1.EF OB2△BPF中，BP=21,那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了. 在RtAEFC中，CE=t,EF=21,所以CF=^5t.因此BF=处5-呂二*；5(4-1).于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程BABP ①当—时，BCBF42t44_—.解得t—（如图1-2）. 4冒55（4-1）3BABF ②当—时，BCBP4—〔5（4-1）.解得1—20（如图1-3）. 4f5217得顶点M(1,-图1-2 图1-3例❷如图2-1,在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,ZAOB=120°.(1)这条抛【解析】AABC与AAOM中相等的一组角在哪里呢?本题由简到难，层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第(2)题求ZAOM的大小作铺垫；求得了ZAOM的大小，第(3)题暗示了要在△ABC中寻找与ZAOM相等的角.(1)如图2-2,过点A作AH丄y轴，垂足为H.容易得到A(-1,3).再由A(-1,J3)、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为y二辜x2-睾x.⑵由y吕x2一斗x召(x-1)2-斗,v33(3)由A (-1,\：'3)、B(2,0),可得ZABO=30°. 因此当点C 在点B 右侧时，ZABC=ZA0M=150°. 所以△ABC 与AAOM 相似，存在两种情况：① 当燮=_°A 仝时，BC =BA ==2.此时C(4,0)(如图2-3).BCOM J3弋3 BC OA —② 当==时，BC =x/3BA =\3x 2\；3=6.此时C (8,0)(如图2-4).BAOM图2-3.图2-4例❸如图3-1,抛物线y=ax 2+bx —3与x 轴交于A(l,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点D,顶点为C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在x 轴下方的抛物线上是否存在点M,过M 作MN 丄x 轴于点N,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.图3-1【解析】AAMN 是直角三角形，因此必须先证明△BCD 是直角三角形.一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程.所以 tan ZBOM=.所以ZBOM=30。

相似三角形的存在性问题解题策略
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澹。

相似三角形的存在性问题基本思路1、〖画一画〗：D 是等腰△ABC 边AB 上一点，AB=AC=6，BC=3，BD=4，过D 点画直线DE ，点E 在射线BC 上，使△ABC 和△BDE 相似，这样的三角形可以画几个？并在图中画出线段DE.（图中每一格的长度相同）【解题思路】1、确定两个三角形中相等的角2、以相等的角的两边，或者是抓住相等角除外的一个角的对应关系，分类讨论。

3、找到对应边的比例关系，建立方程。

4、解方程，检验。

例题1、（2017黄浦）已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （0,3），其顶点为D .（1）求此抛物线的表达式；（2）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若△DPH 与△AOB 相似，求点P 的坐标.O xy例题2、（2017长宁）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．备用图例题3、（2017金山）如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，3sin5B ，P是线段BC上一点，以P为圆心，P A为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设BP=x．（1）求证△ABP∽△ECP；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．AB CD图9备用图。

相似三角形的解题技巧与策略相似三角形作为几何学中的重要概念，广泛应用于各类数学问题中。

解题过程中，正确掌握相似三角形的性质和解题技巧是至关重要的。

本文将介绍相似三角形的定义、性质，并提供几种常用的解题策略。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。

具体定义如下：定义1：若两个三角形的对应角相等且对应边成比例，则这两个三角形是相似的。

根据这个定义，相似三角形的性质如下：性质1：对应角相等。

相似三角形的对应角相等，即两个相似三角形的所有内角相等。

性质2：对应边成比例。

相似三角形的对应边成比例，即两个相似三角形的三条对应边的比值相等。

性质3：比例常数。

相似三角形的对应边之比等于一个常数。

这个常数被称为相似比例。

二、1. 判断相似三角形判断两个三角形是否相似的常用方法是比较它们的对应角和对应边是否成比例。

当给定两个三角形的所有对应角相等时，可以使用如下方法判断它们是否相似：方法1：对应角相等且有一个对应边成比例，则两个三角形相似。

方法2：对应角相等且两个对应边成比例，则两个三角形相似。

当给定两个三角形的某些对应角相等时，可以使用如下方法判断它们是否相似：方法3：如果两个三角形的两组对应角之比相等，则两个三角形相似。

2. 求解相似比例在解题过程中，一个常见的问题是求解相似三角形的相似比例。

以下介绍几种常见的求解方法：方法1：已知相似比例和一个对应边的长度，可以求解另一个对应边的长度。

方法2：已知相似比例和一个对应边的长度，可以求解相似三角形的周长。

方法3：已知两个相似三角形的面积比例和一个对应边的长度，可以求解另一个对应边的长度。

3. 求解未知边长当一个三角形是另一个大三角形的相似三角形时，可以使用以下方法求解未知边长：方法1：已知大三角形的一条边与相似三角形的对应边之比，可以求解相似三角形的对应边长。

方法2：已知大三角形的所有边长，可以求解相似三角形的所有边长。

三、示例与应用以下列举几个相似三角形的解题示例：1. 已知两个相似三角形的一个对应边长和相似比例，求解另一个对应边长。

第4讲相似三角形存在性处理策略在数学领域中，相似三角形的存在性处理策略是指确定两个或多个三角形是否相似的方法和步骤。

相似三角形是指具有相同形状但可能有不同大小的三角形。

下面列举了几种常见的相似三角形存在性处理策略：1.AA相似定理（角-角相似定理）AA相似定理是指当两个三角形的两个对应角度分别相等时，这两个三角形是相似的。

具体的处理策略是在已知两个角度相等的前提下，确定三角形的其它对应角是否相等。

如果三角形的所有对应角度都相等，则可以得出结论这两个三角形是相似的。

2.SSS相似定理（边-边-边相似定理）SSS相似定理是指当两个三角形的三个对应边的比例相等时，这两个三角形是相似的。

处理策略是确定两个三角形的三个对应边的比例是否相等。

如果比例都相等，则可以得出结论这两个三角形是相似的。

3.SAS相似定理（边-角-边相似定理）SAS相似定理是指当两个三角形的一个对应角相等，而且两个对应边的比例相等时，这两个三角形是相似的。

处理策略是在已知一个对应角相等和两个对应边的比例相等的前提下，确定三角形的其它对应角是否相等。

如果三角形的所有对应角度都相等，则可以得出结论这两个三角形是相似的。

4.HL相似定理（斜边-斜边相似定理）HL相似定理是指当两个直角三角形的斜边长度相等，而且一个锐角和一个直角对应角相等时，这两个三角形是相似的。

处理策略是在已知一个锐角和一个直角对应角相等以及斜边长度相等的前提下，确定三角形的其它对应边是否成比例。

如果两个对应边成比例，则可以得出结论这两个三角形是相似的。

在处理相似三角形存在性时，需要注意以下几点：1.已知条件的准确性：确保已知条件是准确的，否则可能会导致错误的结论。

2.证明过程的逻辑性：需要有清晰的思路和逻辑关系，按照合理的步骤进行证明。

3.几何图形的正确绘制：确保几何图形的绘制准确无误，以便更好地理解问题和推导结论。

4.先验知识的运用：相似三角形的存在性处理策略需要运用一些先验知识和数学定理，例如角度和边的性质，三角函数的概念等。

初三数学相似三角形解题技巧摘要：1.相似三角形的判定方法2.相似三角形的性质应用3.解题步骤与实例分析正文：相似三角形在初中数学中占有重要地位，掌握相似三角形的判定方法和性质对解决各类题目有很大帮助。

本文将为大家介绍相似三角形的解题技巧，帮助大家更好地运用这一知识点。

一、相似三角形的判定方法1.两角法：如果两个三角形有两个对应角相等，则这两个三角形相似。

2.边比例法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。

3.面积比例法：如果两个三角形的面积成比例，则这两个三角形相似。

4.角-边-角法：如果两个三角形的一组对应角相等，且夹在这两个角之间的那组对应边成比例，则这两个三角形相似。

二、相似三角形的性质应用1.相似三角形的对应边成比例。

2.相似三角形的对应角相等。

3.相似三角形的面积比等于相似比的平方。

4.相似三角形的高成比例。

5.相似三角形的周长比等于相似比。

三、解题步骤与实例分析1.观察题目，找出已知条件和所求问题。

2.判断三角形是否相似，若相似，利用相似三角形的性质解题。

3.根据题目条件，运用相似三角形的判定方法，确定相似三角形的存在。

4.利用相似三角形的性质，将问题转化为简单的计算或几何问题。

5.进行计算或几何分析，得出最终答案。

实例：已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB/DE = 2，BC/EF = 3，求AC/DF。

解：由相似三角形的性质可知，三角形ABC与三角形DEF的对应边成比例。

因此，AC/DF = AB/DE × BC/EF = 2 × 3 = 6。

总之，掌握相似三角形的判定方法和性质，并能灵活运用这些知识解决实际问题，是提高初三数学解题能力的关键。

相似三角形如何求解题技巧相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。

在求解相似三角形的题目时，可以运用以下几个技巧：1. 角的对应关系：相似三角形中，对应角是相等的。

可以通过已知的角度信息，推导出其他角度的大小关系，从而进一步求解问题。

2. 边的比例关系：相似三角形中，对应边是成比例的。

可以利用已知的边的长度信息，求解其他边的长度关系。

3. 高度的比例关系：当两个三角形相似时，它们的高度与底边的比例也是相等的。

这个性质可以用来求解两个相似三角形的高度。

4. 三角形面积的比例关系：相似三角形的面积比也等于边的比例的平方。

这个性质可以应用于求解两个相似三角形的面积比。

下面我们将通过例题来说明这些技巧的应用。

例题1：在三角形ABC中，角A=30°，角C=90°，并且AC=6 cm，BC=8 cm。

如果三角形DEF与三角形ABC 相似，且EF=10 cm，求DE的长度。

解析：根据已知条件，我们可以推导出角B的大小：角B = 180° - 30° - 90° = 60°。

由于三角形ABC与三角形DEF相似，所以对应边是成比例的。

因此，我们可以列出比例关系：AC/DE = BC/EF代入已知条件，得到：6/DE = 8/10解此方程，可得：DE = (6 x 10) / 8 = 7.5 cm分析：通过利用相似三角形的边的比例关系，我们可以求解出DE的长度。

例题2：在三角形ABC中，角A=30°，角B=60°，如图所示。

如果三角形DEF与三角形ABC相似，且面积比为16:25，求DE的长度。

解析：根据已知条件，我们可以推导出角C的大小：角C = 180° - 30° - 60° = 90°。

我们知道相似三角形的面积比等于边的比例的平方，所以我们可以得到：面积比 = (DE/AB)^2代入已知条件，得到：16/25 = (DE/AB)^2由于已知角A和角B的大小，我们可以利用正弦定理求解出AB的长度：AB/sinC = AC/sinBAB/sin90° = AC/sin60°AB = AC x sin90°/sin60°代入已知条件，得到：AB = 6 x 1/√3 = 2√3 cm解方程，可得：(DE/2√3)^2 = 16/25解得DE ≈ 2.65 cm分析：通过利用相似三角形的面积比和三角形的正弦定理，我们可以求解出DE的长度。

第四讲相似三角形存在性问题知识必备一、相似的判定1、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，简称为”SAS”2、两角分别相等的个三角形相似，简称为“AA二、相似与∽1、一般地，若△ABC 与△DEF相似，,则不具备对应关系,需分类求解2、若△ABC ∽△DE,，则具备对应关系三、定边与定角1、定边与定长：确定的边、其长度确定,必可求；2、定角定比：确定的角、其三角函数值确定,必可求。

方法提炼一、导边处理(“AA”法)相似三角形存在性问题、基本上都可以按部就班,如下解决：第一步：先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；第二步：以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程此法为通法。

如图4-2-1、在△ABC 和△DEF 中,若已确定∠A=∠D,则要使△ABC 与△DEF 相似，需要分两种情形讨论:AB/AC=DE/DF或AB/AC=DF/DE,再依次列方程求解二、导角处理(“AA法)第一步先找到一组关键的等角第二步:另两个内角分两类对应相等。

不称此通法为”AA法举例:如图4-2-1,在△ABC 和△DEF 中,若已确定∠A=∠D,要使△ABC 与△DEF 相似，需要分两种情形讨论:∠B=∠E 或∠B=∠F,再导角分析处理。

三温馨提示1.解法一(“SAS法),通用性更强,普适性更广,往往是首选。

2.解法二(“AA法),导角分析，常转化为角的存在性问题。

举例（一）显性的相等角例1、在四边形ABCD中，AD//BC,∠B=90°，AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上的一动点，若△PAD与△PBC相似，则满足条件的点P共有（）个A.1B. 2C. 3D.4（二）隐形的相等角例2、已知二次函数的图像经过A(-2,0),B(-3,3)及原点，顶点为C。

（1）求此二次函数的解析式；（2）连接BC，交x轴于点F，y轴上是否存在点P,使得△POC与△BOF相似?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。