高中数学 第二章 余弦定理教案1 北师大版必修5

a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，

课 题：余 弦 定 理编制人：徐 璟 主审人： 曹 飞一、新课引入问 题：（1）设ABC ∆，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，若角=C 45°，85a b ==，，求边c .（2）设ABC ∆，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，若角7,5,3===c b a ，求角C . 这两个问题正弦定理能解决吗？二、概念建构引导学生从平面几何、实践作图方面对上述问题进行估计判断，请同学们阅读课本. 问题1：有更好的具体的量化方法吗？从平面几何、三角函数、坐标法等方面进行分析讨论想法1：在ABC ∆中，已知,AC b,AB BAC c α∠===，利用向量的方法来求出2BC ，并由此证明余弦定理想法2：在ABC ∆中，已知,AC b,AB BAC c α∠===，如图建立直角坐标系，利用两点之间的距离公式计算2BC ，并由此证明余弦定理.余弦定理 : 在一个三角形中,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即：A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=ABC问题2：你能由余弦定理写出它的恒等变形吗？222cos 2b c a A bc +-=； 222cos 2a c b B ac +-=； 222cos 2a b c C ab+-=.问题3：利用余弦定理可以解决三角形中的哪些类型问题？（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．三、例题选讲例1.已知在ABC ∆中，12a b ==，，060,C =则c 等于( ) A.3 B.2 C.5 D ．5【答案】A变式：在△ABC 中，边,a b 的长是方程2520x x -+=的两个根，060,C =求边c .思路：可利用韦达定理【答案】c例2.已知ABC ∆的三边长为3,4,a b c ===求△ABC 的最大内角．解析：根据“大边对大角”， c 边最大，C 为最大角由余弦定理得，C ab b a c cos 2222-+= 2221cos 22a b c C ab +-==-),0(π∈C Θ ，32π=∴C 为最大角. 变式：求长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和． 【答案】120︒.例3.用余弦定理证明：在△ABC 中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<.解析：当C 为锐角时，cos 0.C >由余弦定理得，222cos 0,2a b c C ab +-=>2220,a b c +->222.a b c +>即当C 为钝角时，cos 0.C <由余弦定理得，222cos 0,2a b c C ab+-=<2220,a b c +-<222.a b c +<即小题总结：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角. 变式：在ABC ∆中，2,2,3+1,a b c === 判断三角形形状 【答案】钝角三角形.例4.在ABC ∆中，()()3,a b c b c a bc +++-=sin 2sin cos ,A B C =判断三角形形状思路：充分利用余弦定理与正弦定理 【答案】等边三角形.例5.用余弦定理证明：平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和． 证明：平行四边形ABCD ，,B A π+=cos cos A B =-,,AB CD =AD BC =在ABD ∆中，2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅在ABC ∆中，222222cos 2(cos )AC AB BC AB BC B CD BC AB AD A =+-⋅⋅=+-⋅⋅- 以上两式相加得，222222AC BD AB AD CD BC +=+++ 即平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和．例6.如图，已知圆内接四边形ABCD 中，2=AB ，6=BC ，4==DC AD ，求四边形ABCD 的面积？解析：连接,AC 圆内接四边形对角互补，,B D π+=cos cos D B =-在ABC ∆中，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅ 22226226cos 4024cos ;AC B B =+-⨯⨯⋅=-在ADC ∆中，2222cosD AC AD DC AD DC =+-⋅⋅ 22244244cos 3232cos 3232cos ;AC D D B =+-⨯⨯⋅=-=+4024cos 3232cos B B ∴-=+，1cos ,7B ∴=43sin ,7B ∴=11sin sinD 8 3.22S AB BC B AD DC ∴=⋅⋅+⋅⋅=DCAB．O例7.海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为90 n mile/h .此时海盗船距观测站107 n mile ,20 min 后测得海盗船距观测站20 n mile ，再过 min ，海盗船到达商船．解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20 min 后，海盗船到达D 处，在ADC ∆中，710=AC ，20=AD ，30=CD ，由余弦定理得:302027009004002cos 222⨯⨯-+=⋅-+=∠CD AD AC CD AD ADC 21cos =∠∴ADC ， ）（π,0∈A Θ ∴ADC ∠＝60°.在△ABD ∆中，由已知得ABD ∠＝30°， ∴BAD ∠＝60°－30°＝30°， ∴20==AD BD ，340609020=⨯(min)．三、当堂检测1．在ABC ∆中，已知A ＝30°，且1233==b a ，则c 的值为( )A ．4B ．8C ．4或8D ．无解【答案】C2.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,，若222a b c bc =++，则A =（ ）A ．30°B ．120°C ． 60°D ．150°【答案】B3.若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足sin :sin :sin 5:12:13A B C =，则ABC ∆一定是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 【答案】C4.（多选题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，.则下列关系式中,一定成立的有（ ）A ．sin sin aB b A =； B ．cos cos a bC B =+； C ．2222cos a b c ab C +-=D ．sin sin b c A a C =+.【答案】A B C5.在ABC ∆中，已知三边长分别是y x ，，22y xy x ++，则最大角的度数为_______【答案】120︒.6．在平行四边形ABCD 中，已知3=AB ，4=BC ，︒=∠120ABC ， 则对角线=BD ； =AC【答案】 BD =AC =7．在ABC ∆中，︒=60A ，8=b ，面积310=S ，求边长a ． 【答案】 7a =.8.在△ABC 中，2224a b c S +-=，则角C 的度数是【答案】45︒.9.沿一条小路前进，从A 到B 方位角（从正北方向顺时针转到AB 方向所经的角）是︒30，距离是400m ，从B 到C 方位角是︒90，距离是500m ，求AC 之间的实际距离为多少米．【答案】10.在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别是c b a ,,，32π=B ，4,13=+=c a b ，求边长a .解：由余弦定理得，B ac c a b cos 2222-+=ac c a ac c a ac c a -+=++=-+=22222)(32cos2π又因为4,13=+=c a b ，所以3=ac ， 联立⎩⎨⎧==+34ac c a解得3,1==c a 或1,3==c a . 所以a 等于1或3.11.锐角三角形的边长分别是2，3，x ，求x 的取值范围．【答案】 x ∈.四、课堂总结1.理解余弦定理的推导方法，理解两种方法体现的数形结合和等价转化等数学思想；2.掌握余弦定理的两种表示形式；熟练运用余弦定理解决两类基本的三角形问题；3.判断三角形形状时，往往利用正、余弦定理，实现边角互化，过程中往往结合和角公式、恒等变换等.已知两边及一角求三角形时，用余弦定理求角.若使用正弦定理求角，有时要讨论解的个数问题，希望大家引起注意.五、课后作业1．在ABC ∆中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么C cos 等于 （ ）A ．23B ．23-C ．13-D ．14-【答案】D2．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知a =3c =，2cos 3A =，则b =（ ） A ．3B ．1C ．1或3D ．无解【答案】C3．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,，若()222a b ctanB -+=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π【答案】D4．（多选）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,，有下列结论：A ．若222a b c >+，则ABC ∆为钝角三角形；B ．若20,a c A ===30°，则B =105°；C ．若222a b c +>，则ABC ∆为锐角三角形；D ．若::1:2:3A B C =，则::1:2:3a b c =. 以上结论错误的有（ ） 【答案】B C D5.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,，已知a =，c =，cos A =，则=b ________. 【答案】2.6.在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，则ABC ∆的面积为__________【答案】7.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,，若2cos cos cos c bc A ca B ab C =++，则ABC ∆是三角形______（填“锐角”“直角”或“钝角”）. 【答案】直角.8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,.若27cos cos ,2=-=A b B a c . （1）求A b cos 的值；（2）若a ＝4，求ABC ∆的面积． 解：（1）27cos cos =-A b B a Θ， 根据余弦定理得，2722222222=-+⨯--+⨯bc a c b b ac b c a a ，∴c b a 72222=-， 又∵2=c ， ∴722=-b a ，∴432cos 222-=-+⨯=∴bc a c b b A b .（2）由27cos cos =-A b B a ，且43cos -=A b ，得411cos =B a .又∵a ＝4，∴1611cos =B ， ∴16153cos 1sin 2=-=B B ，∴4153sin 21==∆B ac S ABC .9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,，且2(cos cos )3c a B b A b -=． （1）求证：2a b =； （2）若3C π=，求cos B 的值．解：（1）证：2(cos cos )3c a B b A b -=Q ，2222222322a c b b c a ac bc b ac bc+-+-∴⋅-⋅=，()22222226a c b b c a b ∴+--+-=，即2228a b =， 2a b ∴=；（2）解：由（1）知2a b =，222222212cos(2)4332c a b ab b b b b π∴=+-=+-⋅=， c ∴=，222222cos 2a c b B ac +-∴===六、课后反思:。

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D C2 N
解法1:参见教材第46页---第47页.
250 km A 300 km
40 km/h
C1 45° B
D C2 N H 40 km/h
250 km A 300 km
C1 45° B
七、拓展整合
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D C2 N 40 km/h
250 km A 300 km
九、及时巩固
1.书面作业
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(1)教材第52页习题2-1的A组第5题；
(2)教材第64页复习题二的A组第3题； (3)补充习题：
在△ABC中,已知AC＝5, BC＝8,
5 D A
∠ACB＝60 °, 且D是AB的中点,
求CD的长.
C
60° 8 B
2.课外阅读:《余弦定理的证明十法》. 欢迎登陆,免费注册后即可下载相关资料！
C1 45° B
问题6 对于解答本题的这三种解法，你有什么看法？
八、课堂小结
1.知识要点
（1）余弦定理及其推论.
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（2）余弦定理的作用.
（3）解三角形的各种类型. ① 已知两角及一边 ②已知两边及一边的对角
③ 已知两边及夹角
④已知三边
2.思想方法: 分类讨论思想；化归与转化的思想；方程的思想.
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在△ABC中,已知AC＝b, BC＝a, 以及角C, 求边AB的长c.
(2)关注各解法在求解问题3和问题4时的异同！
A
b
C
a
B
由问题4可得：c a b 2ab cos C .
2 2 2
四、余弦定理

1．2 余弦定理(一)明目标、知重点 1.把握余弦定理，会利用向量的数量积证明余弦定理.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.[情境导学]我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对边能用正弦定理解三角形，假如已知两边和夹角怎样解三角形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解三角形求三个角呢？这是余弦定理所能解决的问题，这一节我们就来学习余弦定理及其应用．探究点一 利用向量法证明余弦定理问题 假如已知一个三角形的两条边及其所夹的角，依据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、外形完全确定的三角形．如何利用已知的两边和夹角来解三角形呢？思考1 如何用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角来解三角形”？ 答 在△ABC 中，已知AB ＝c ，AC ＝b 和角A ，求边a 和角B ，C .思考2 我们可以先争辩计算第三边长度的问题，联系已经学过的学问和方法，我们又从哪些角度争辩这个问题能得到一个关系式或计算公式？答 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量的数量积，或用解析几何的两点间距离公式来争辩这个问题． 思考3 如图，如何用b ，c 和角A 表示出边c?答 a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2. 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可以证明：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .小结 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .思考4 我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来争辩，写出各个顶点的坐标，你能否利用平面内两点间的距离公式来推导余弦定理？答 如下图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (c,0)，C (b cos A ，b sin A )，∴BC 2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ， 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证：b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .例1 如图所示，有两条直线AB 和CD 相交成80°角，交点是O .甲乙两人同时从点O 分别沿OA ，OC 方向动身，速度分别为4 km/h 和4.5 km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1 km)?思考 如何把题目中的已知条件和求3时后两人相距多远的问题，转化成解三角形中的问题？(写出例题的解题过程)答 经过3时，甲到达点P ，OP ＝4×3＝12(km)，乙到达点Q ，OQ ＝4.5×3＝13.5(km)，问题转化为在△OPQ 中，已知OP ＝12 km ，OQ ＝13.5 km ，∠POQ ＝80°，求PQ 的长．解 经过3时后，甲到达点P ，OP ＝4×3＝12(km)，乙到达点Q ，OQ ＝4.5×3＝13.5(km)． 依余弦定理，知PQ ＝OP 2＋OQ 2－2OP ·OQ cos ∠POQ＝122＋13.52－2×12×13.5cos 80°≈16.4(km)．答 3时后两人相距约16.4 km.反思与感悟 利用余弦定理解决实际生活中的问题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化，从而转变成解三角形问题．跟踪训练1 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m. 答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点， 在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°(m)＝30，∠C ＝30°， AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900， 所以AB ＝30(m)．探究点二 余弦定理的变形思考1 余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？答 从余弦定理的三个关系式中，分别出角的余弦，又可得到以下推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝b 2＋a 2－c 22ba.思考2 依据余弦定理及其推论，你认为余弦定理及其推论的基本作用有哪些？答 (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；(2)已知三角形的三条边就可以求出其他角． 例2 如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数2，3，5…的图形．试计算图中线段BD 的长度及∠DAB 的大小(长度精确到0.1，角度精确到1°)． 思考 依据图中标出的数据，你能求出∠BCD 的大小吗？ 答 由△ABC 中标出的数据知，△ABC 为等腰直角三角形， 所以∠ACB ＝45°，又由于∠ACD ＝90°， 所以∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝45°＋90°＝135°. 解 在△BCD 中，BC ＝1，CD ＝1，∠BCD ＝135°.由于BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝12＋12－2×1×1cos 135°＝2＋2，所以BD ≈1.8. 在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝2＋2，AD ＝ 3.由于cos ∠DAB ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD＝12＋(3)2－(2＋2)2×1×3≈0.169 1，所以∠DAB ≈80°.反思与感悟 已知三边求三角：余弦值是正值时，角是锐角；余弦值是负值时，角是钝角． 跟踪训练2 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，推断三角形的外形． 解 由于a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5， 所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0)． c 最大，cos C ＝(2k )2＋(4k )2－(5k )22×2k ×4k <0，所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形． 探究点三 余弦定理在实际生活中的应用例3 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心马上把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207. 由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角， 故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30° ＝277×32－217×12＝2114. 反思与感悟 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题确定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后依据条件，画出示意图，转化为三角形问题．跟踪训练3 在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，连续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 m D ．100 3 m答案 B解析 方法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600 m ，BC ＝DC ＝200 3 m. 在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)， 故选B.方法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos 2θ，即300＝2003cos 2θ.cos 2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)， 故选B.1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4答案 B解析 设另一边长为x ，则x 2＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴x ＝213.2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角， 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 3．假如等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32D.78答案 D解析 设顶角为C ，由于l ＝5c ，且a ＝b ＝2c ，∴C 为最小角，由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.4．在△ABC 中，已知A ＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x 2－7x ＋11＝0的两根，则第三边的长为 ． 答案 4解析 设最大边为x 1，最小边为x 2， 则x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝11， ∴第三边长＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2(1＋cos A )＝4.[呈重点、现规律]1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角．2．当所给的条件是边角混合关系时，推断三角形外形的基本思想：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．3．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (1)假如一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． (2)假如一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． (3)假如一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．一、基础过关1．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ca ＝2a 22a ＝a ＝2.2．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.3．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危急区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危急区内的时间为( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h 答案 B解析 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km 时，AP ＝x ， 在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°， 化简得x 2－402x ＋700＝0.设该方程的两根为x 1，x 2，则P 点的位置有两处，即P 1，P 2. 则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20， 即P 1P 2＝20(km)，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1(h )．故选B.4．在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 答案 D解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32. ∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.5．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为 km. 答案6－1解析 由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2 km ，AB ＝3 km ， 设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°， 即9＝4＋x 2－2×2x ×⎝⎛⎭⎫－12，整理得x 2＋2x －5＝0， 解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.6．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为 ． 答案 120° 解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°.7．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，所以x ＝7. 所以AC 边上的中线长为7. 二、力气提升8．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的外形为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a22bc，∴a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理， 所以△ABC 为直角三角形．9．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 答案 B解析 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ， 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴22＝a 2＋(23)2－2a ×23cos 30°， 即a 2－6a ＋8＝0，解得a ＝2或a ＝4. 当a ＝2时，三边为2,2,23可组成三角形； 当a ＝4时，三边为4,2,23也可组成三角形． ∴满足条件的三角形有两个．10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是 ． 答案3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 11．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1. (1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B )] ＝－cos(A ＋B )＝－12.又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.12．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边长．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝4a ＋c ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4c ＝b －4.∴a >b >c ，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝⎛⎭⎫－12， 即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10. 当b ＝10时，a ＝14，c ＝6. 三、探究与拓展13．△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．解 (1)由cos A ＝1213，得sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.又12bc sin A ＝30，∴bc ＝156. AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A ) ＝1＋2×156×⎝⎛⎭⎫1－1213＝25，∴a ＝5.。