模型组合讲解——行星模型

模型组合讲解一一行星模型 马文萍

［模型概述］ 所谓“行星”模型指卫星绕中心天体，或核外电子绕原子旋转。它们隶属圆周运动，但 涉及到力、电、能知识，属于每年高考必考内容。

［模型讲解］ 例1•已知氢原子处于基态时， 核外电子绕核运动的轨道半径 r1 0.5 10 10m

，则氢原

子处于量子数n 1、2、3,核外电子绕核运动的速度之比和周期之比为： （ ） 3 3 3 A. V1 : V2 : V3 1:2:3 ； T1 : T2 : T3 3 : 2 : 1

1:丄:1; T1 :T2 :T3 1: 23: 33 2 3

周期为T 又根据玻尔理论，对应于不同量子数的轨道半径 rn与基态时轨道半径r1有下述关系式: 2 rn n *。

由以上几式可得 v的通式为:

B. V| : v2 : v3 C. v1 : v2 : v3 33

D.以上答案均不对。 解析：根据经典理论，氢原子核外电子绕核作匀速率圆周运动时, 由库仑力提供向心力。

ke2 2 v

m 一，从而得

r

线速度为v e k v1

vn

n * mri n

所以电子在第1、2、3不同轨道上运动速度之比为: 1 1 yv1 :v2 : v3 1: : 6:3:2

2 3

而周期的通式为： 2 n r1 v1

/n

由此可知，只有选项 B是正确的。 例2•卫星做圆周运动，由于大气阻力的作用， 其轨道的高度将逐渐变化 （由于高度变化 很缓慢，变化过程中的任一时刻，仍可认为卫星满足匀速圆周运动的规律） ，下述关于卫星 运动的一些物理量的变化情况正确的是： （ ）

A.线速度减小；B.轨道半径增大；C.向心加速度增大；D.周期增大。 解析：假设轨道半径不变，由于大气阻力使线速度减小，因而需要的向心力减小，而提 供向心力的万有引力不变， 故提供的向心力大于需要的向心力， 卫星将做向心运动而使轨道

GM 2 3

半径减小，由于卫星在变轨后的轨道上运动时，满足 V J ——和T2 r3，故v增大而T \ r

评点：一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的运动 速率及轨道半径就要发生变化， 万有引力做功，我们将其称为不稳定运动即变轨运动； 而当 它所受万有引力刚好提供向心力时， 它的运行速率就不再发生变化， 轨道半径确定不变从而 做匀速圆周运动，我们称为稳定运行。

对于稳定运动状态的卫星，（1）运行速率不变；（2）轨道半径不变；（3）万有引力提供向心力， 2 即GMm .叱 成立，其运行速度与其运动轨道处于一一对应关系，即每一轨道都有一确

r r

定速度相对应。而不稳定运行的卫星则不具备上述关系, 变化。

n3「 所以，电子在第 1、2、3不同轨道上运动周期之比为:

减小，又a GM 2 r

，故a增大，则选项C正确。

其运行速率和轨道半径都在发生着

3 V1 ［模型要点］ 人造卫星的运动属于宏观现象，氢原子中电子的运动属于微观现象，由于支配卫星和电 1 子运动的力遵循平方反比律，即F —，故它们在物理模型上和运动规律的描述上有相似 r

点。

公式 F GMm F 2 r F kqg F 2 r 类似

适用条件 质点 点电荷 都是理想模 型

研究对象 有质量的两个物体 带有电荷的两个物体 类似 相互作用 引力与引力场 电场力与静电场 都是场作用 方向 两质点连线上 两点电荷的连线上 相同 实际应用 两物体间的距离比物体 本身线度大得多 两带电体间的距离比带 电体本身线度大得多 相同

适用对象 引力场 静电场 不同 ［特别说明］ 线速度与轨道半径的关系 设地球的质量为 M，卫星质量为 m,卫星在半径为r的轨道上运行，其线速度为 v,可

可见，卫星或电子的线速度都与轨道半径的平方根成反比。 二.动能与轨道半径的关系 卫星运动的动能为 Ek GMm即Ek -。 2r

GMm 2 r

m 一，从而v

r

GM ,即 v r

设质量为m'、带电量为e的电子在第 n条可能轨道上运动，其线速度大小为 V,则有 1 。

2 2 ke v

亍 m ，从而v rn rn 地球自转角速度相同， 所以地球同步卫星的轨道半径为 r 4.24 104km

。其离地面高度也

氢原子核外电子运动的动能为: 匸 ke2 1

Ek 即 Ek

2rn rn

可见，在这两类现象中，卫星与电子的动能都与轨道半径成反比。

三.运动周期与轨道半径的关系

2 r 2 对卫星而言，T ，将v与r的关系式代入，得 T2 v

对于电子，同样可得到这个关系式 T2 rn-。 该式即为开普勒第三定律，解题时可以直接使用。

四•能量与轨道半径的关系 运动物体能量等于其动能与势能之和，即 E Ek E p。 从离地球较远轨道向离地球较近轨道运动，万有引力做正功，势能减少，动能增大，总 能量减少 从离氢原子较远轨道向离氢原子较近轨道运动， 库仑力做正功，电势能减少，动能增大, 总能量减少。

推论：卫星（或电子）的轨道半径与卫星（或电子）在该轨道上的能量的乘积不变。 由于描述运动规律的各物理量都是轨道半径 r的函数，故各个物理量之间的关系都可以 通过r这个桥梁来相互转化，一个量变化，其他各量都随之变化。

五.地球同步卫星 1.地球同步卫星的轨道平面：非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角，而 同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上。

2•地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。

2 3 4GM-，即T2

3•地球同步卫星的轨道半径：据牛顿第二定律有 GMm 2- r o 是一定的，距地面高度 h 3.59 104km

处。

4.地球同步卫星的线速度：地球同步卫星的线速度大小为 v 0r 3.08 103m/s

,

为定值，绕行方向与地球自转方向相同。

［误区点拨］ 天体运动问题：人造卫星的轨道半径与中心天体半径的区别；人造卫星的发射速度和运 行速度；卫星的稳定运行和变轨运动； 赤道上的物体与近地卫星的区别； 卫星与同步卫星的 区别。

人造地球卫星的发射速度是指把卫星从地球上发射出去的速度， 速度越大，发射得越远, 发射的最小速度，恰好是在地球表面附近的环绕速度， 但人造地球卫星发射过程中要克服地 球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上， 在地面上所需要的发射速 度就越大。

混淆连续物和卫星群：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，而对 双星系统中的向心力中的距离与圆周运动中的距离的差另阮 ［模型演练］ (2005年大联考)经过用天文望远镜长期观测， 人们在宇宙中已经发现了许多双星系统， 通过对它们的研究， 使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识， 双星系 统由两个星体组成， 其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离， 一般双星系统距离其 他星体很远，可以当作孤立系统来处理。

现根据对某一双星系统的光度学测量确定；该双星系统中每个星体的质量都是 M ,两者 相距L,它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。

(1 )试计算该双星系统的运动周期 T计算；

(2)若实验中观测到的运动周期为 T观测，且T观测：T计算1「N (N 1)。 为了理解T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为， 在宇宙中可能存在一种望远 镜观测不到的暗物质。 作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均 匀分布这种暗物质。若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星

卫星来讲，其线速度 v 系间这种暗物质的密度。 答案：（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为

MV2 G^, v GM L L2 2L

T计算

2 L/2 L 2L

:GM V

（2） 根据观测结果, 星体的运动周期

T观测 1 T ----- 1计算 “ N T计算

这种差异是由双星系统（类似一个球）内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布双星系统 内的暗物质对双星系统的作用，与一个质点（质点的质量等于球内暗物质的总质量 M'且位

于中点0处）的作用相同。考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度 v1，则有：

V： GM 2 MM ' G(M 4M ') M 2~ G 2 , v1 „ ------------------------------------- L L2 (L/2)2 2L

2

因为周长一定时，周期和速度成反比，得: 丄 Vi

N 1 有以上各式得 M ' ----------- M 4

设所求暗物质的密度为 ，则有

（2）3

3(N 1)M 2 L3

V,得: