2020高三物理模型组合讲解——磁偏转模型

磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。

带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。

带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。

2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。

一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。

二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。

可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。

如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。

磁偏转问题中确定圆心的几种方法山东莘县第一中学郭英进（252400）带电粒子在磁场中的偏转问题，是典型的力学、电磁学相结合的综合题，此类问题在历年全国和各省、市高考中经常出现。

解决匀强磁场中的带电粒子，只在洛伦兹力作用下，做圆周或圆弧运动这类问题的思路是：运用平面几何知识，确定圆心的位置，根据r=mv/qB 作出粒子的运动轨迹（圆周或圆弧），再根据长度、角度关系和相关物理规律列方程进行求解。

其中确定圆心的位置，是解决此类问题的关键，那么如何快速准确地确定圆心呢？一、数学模型：由过圆的切线、弦确定圆心的三条线（如右图所示）（1）已知圆的切线，过切点作它垂线，垂线过圆心O。

（2）已知圆上的弦AB，作弦的中垂线,中垂线过圆心O。

（3）已知圆的两条切线，切线夹角的角平分线过圆心O。

二、应用举例：（一）由两速度的垂线定圆心带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨迹上任意两点处的速度方向必沿圆的两条切线方向。

由数学模型（1）知，过这两点分别作速度的垂线，则两垂线的交点就是圆心。

例1（08年高考理综宁夏卷）如图1-1所示，在xOy平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于y轴向下；在x轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向外。

有一质量为m，带有电荷量+q的质点由电场左侧平行于x轴射入电场。

质点到达x轴上A点时，速度方向与x轴的夹角ϕ，A点与原点O的距离为d。

接着，质点进入磁场，并垂直于OC飞离磁场。

不计重力影响。

若OC与x轴的夹角为ϕ，求（1）粒子在磁场中运动速度的大小；（2）匀强电场的场强大小。

解析：(1)质点在磁场中的轨迹为一圆弧。

由于质点飞离磁场时，速度垂直于OC，故圆弧的圆心在OC上。

依题意，质点轨迹与x轴的交点为A，过A点作与A点的速度方向垂直的直线，与OC交于O＇，则AO＇垂直于C O＇，则O＇就是圆弧的圆心。

设圆弧的半径为R ，则有R =dsin ϕ①由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得Rv m qvB 2=②将①⎺式代入②式，得ϕsin mqBdv =③(2)质点在电场中的运动为类平抛运动。

一模型界定本模型是指速率相同的同种带电粒子在经过圆形匀强磁场运动的过程中,当粒子运动轨迹半径与磁场区域半径相等时所引起的一类会聚与发散现象.二模型破解如图1所示,设粒子在磁场中沿逆时针旋转,粒子从磁场边界上P点以相同速率沿各个方向进入圆形有界匀强磁场.粒子运动轨迹半径为r,磁场区域半径为R.(i)沿任意方向入射的粒子出射方向都相同,出射速度都在垂直于入射点所在直径的方向上.(ii)若初速度与磁场边界上过P点的切线之间的夹角为θ,则粒子在磁场中转过的圆心角度也为θ.如图2所示,当2πθ=时,粒子出射点在与PO垂直的直径端点上;当32πθ=时（即与入射点所在磁场直径成300夹角时）粒子在磁场中运动的轨迹圆心在磁场边界上,运动轨迹通过磁场区域的圆心，出射点的坐标为（R23，R23）.(iii)如图3所示,相同速率的同种粒子以相同的初速度射向圆形匀强磁场时,若粒子在磁场中运动的轨迹半径与磁场区域的半径相等,则经过磁场区域的所有粒子都会聚到磁场区域的一条直径的端点处,该直径与粒子初速度相垂直.欲使所有粒子都会聚到同一点,磁场区域的直径应等于粒子束的宽度d,从而磁场强弱也随之确定:qBmvd=2.如图4所示，粒子进入磁场时速度与所在磁场半径的夹角与穿出磁场时速度与所在磁场半径的夹角相等。

图3图1 图2例1.如图所示，真空中有一以（r ，O ）为圆心，半径为r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里，在y≤一r 的范围内，有方向水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E 。

从0点向不同方向发射速率相同的电子，电子的运动轨迹均在纸面内。

已知电子的电量为e ，质量为m ，电子在磁场中的偏转半径也为r ，不计重力及阻力的作用，求：（1）电子射入磁场时的速度大小；（3）速度方向与x 轴正方向成30°角（如图中所示）射入磁场的电子，到达y 轴的位置到原点O 的距离。

【答案】（1）m eBr v=（2）22m mr eB eE π+（3）mEer Br r r y 3+=+∆例1题图（3）电子在磁场中转过120°角后从P 点垂直电场方向进入电场，如图所示 P 点距y 轴的距离为r r r x 5.160cos 1=︒+=设电子从进入电场到达到y 轴所需时间为t 3，则 由23121t meE x =得： eEmrt 33=在y 方向上电子做匀速直线运动，因此有mEer Brvt y 33==∆ 所以，电子到达y 轴的位置与原点O 的距离为mEer Brr r y 3+=+∆ 。

高考物理带电粒子在磁场中偏转带电粒子在磁场中偏转的求解策略带电粒子在磁场中偏转问题是历年高考的重点问题，同时也是热点问题。

总结考试中的诸多失误，集中在对这类问题的解法缺乏规律性的认识。

为此本文就求解这类题型的某些规律归纳如下。

一、基本思想因为洛伦兹力F始终与速度v垂直，即F只改变速度方向而不改变速度的大小，所以运动电荷垂直磁感线进入匀强磁场且仅受洛伦兹力时，一定做匀速圆周运动，由洛伦磁力提供向心力，即F qvB mv R==2/。

带电粒子在磁场中运动问题大致可分两种情况：1. 做完整的圆周运动（在无界磁场或有界磁场中）；2. 做一段圆弧运动（一般在有界磁场中）。

无论何种情况，其关键均在圆心、半径的确定上。

二、思路和方法1. 找圆心方法1：若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心。

方法2：若已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向，则可作出此两点的连线（即过这两点的圆弧的弦）的中垂线，再画出已知点v的垂线，中垂线与垂线的交点即为圆心。

方法3：若已知粒子轨迹上的两点和能求得的半径R ，则可作出此两点连线的中垂线，从连线的端点到中垂线上的距离为R 的点即为圆心。

方法4：若已知粒子入射方向和出射方向，及轨迹半径R ，但不知粒子的运动轨迹，则可作出此两速度方向夹角的平分线，在角平分线上与两速度方向直线的距离为R 的点即为圆心。

方法5：若已知粒子圆周运动轨迹上的两条弦，则两条弦的中垂线的交点即为圆心。

2. 求半径圆心确定下来后，半径也随之确定。

一般可运用平面几何知识来求半径的长度。

3. 画轨迹在圆心和半径确定后可根据左手定则和题意画出粒子在磁场中的轨迹图。

4. 应用对称规律从一边界射入的粒子，若从同一边界射出时，则速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，若粒子沿径向射入，则必沿径向射出。

三、实例分析例1. 如图1所示，两电子沿MN 方向射入两平行直线间的匀强磁场，并分别以v v 12、的速度射出磁场。

“电偏转”和“磁偏转”的区别“电偏转”和“磁偏转”分别是利用电场和磁场对运动电荷施加作用，从而控制其运动方向。

由于电场和磁场对运动电荷的作用具备着不同的特征，这使得两种偏转也存在着以下几个方面的差别。

（一）受力特征的差别在“电偏转”中，质量为m ，电荷量为q 的粒子以速度v 0垂直射入电场强度为E 的匀强电场中时，所受到的电场力F 电=qE 与粒子的速度v 0无关，F 电是恒力。

在“磁偏转”中，质量为m ，电荷量为q 的粒子以速度v 0垂直射入磁感应强度为B 的匀强磁场中时，所受到的磁场力（即洛伦磁力）F 磁=qvB 与粒子的速度v 0有关，F 磁所产生的加速度是粒子的速度方向发生变化，而速度方向的变化反过来又导致F 磁的方向变化，F 磁是变力。

（二）运动规律的差别在“电偏转”中，恒定的F 电使粒子做匀变速曲线运动——“类平抛运动”，其运动规律分别由沿垂直于电场和平行于电场的两个相互垂直的方向给出：沿平行于电场的方向：粒子做匀速直线运动，有v x = v 0 x= v 0t沿垂直于电场的方向: 粒子做初速度为零的匀加速直线运动，有a=qE m v y =qE m ⋅t y=12qE m⋅t 2在“磁偏转”中，变化的F 磁使粒子做变速曲线运动——匀速圆周运动，其运动规律由洛伦磁力充当向心力可得：F 磁=F 向 即qvB=m 2v R∴R=mvqB又由T=2R v π 得 T=2mqBπ（三）偏转情况的差别在“电偏转”中，粒子的运动方向的偏转角tan θ=y xv v ，显然θ<2π，且在相等时间内偏转的角度往往是不相等的。

在“磁偏转”中，粒子的运动方向所能偏转的角度不受限制， θ=ωt=vt R =qBmt ，且在相等时间内偏转的角度总是相等的。

（四）动能变化的差别在“电偏转”中，由于F 电与粒子的运动方向间的夹角越来越小，且总小于900，F 电对粒子做正功，所以其动能将不断增大，且增大越来越快。

垂直磁场方向进入有边界的匀强磁场区域的带电粒子，若只受洛伦兹力作用，它在磁场中做不足一个圆周的运动后，将离开磁场区域，出射速度的方向将发生偏转。

这就是磁偏转问题。

一、磁偏转运动的特点1．粒子的速度大小不变。

这是由于粒子在磁场中运动时的洛伦兹力提供向心力，粒子做匀速圆周运动。

2．粒子的入射速度方向、出射速度方向关于连接入、出射点的弦对称．即入射速度方向、出射速度方向与连接入、出射点的弦的夹角相等。

这与匀强磁场的边界是直线、曲线、折线无关。

由于粒子从进入到离开磁场，做圆周运动，它在入、出射点的速度方向垂直于轨迹圆在该点的切线方向。

因此，入射速度方向与连接这两点的弦的夹角是圆弧在该点的切线与圆弧所对弦形成的弦切角，出射速度方向与该弦的夹角是圆弧在该点的切线与弦形成的弦切角的对顶角，由几何关系可知，这两个弦切角都等于圆弧所对的圆心角之半，如图1所示。

3．粒子运动的偏转角等于入射速度方向与入、出射点连线（弦）夹角的2倍。

也就是说，无论磁场的边界是直线还是曲线，粒子运动偏转角只由入射速度方向决定。

图1中，设离子从A点射入磁场，从B点离开磁场，图中的实线圆弧，就是粒子在磁场中偏转的轨迹，θ角就是表示入射或出射速度方向的弦切角，α就是偏转角由几何关系可知。

4．轨迹圆弧所对应的弦的长度，由入射方向及圆弧的半径决定。

如图1所示，设圆弧半径为r，由几何关系可知，圆弧所对弦的长度AB与半径r的关系为：或。

因此，知道粒子的入射方向或偏转角和粒子轨迹的半径，可求出、入射点间的距离；若知道粒子的入射方向或偏转角及出、入射点间的距离，可求出粒子轨迹的半径。

5．轨迹半径由粒子的质量、电量及速度大小、磁场的磁感应强度共同决定。

对于垂直入射匀强电场区域的粒子在磁场中的圆周运动，由洛伦兹力公式及牛顿第二定律有：，解得：。

由于常将粒子的电量与质量的比值称为粒子的比荷，因此，也可以说，粒子的轨迹半径是由粒子的比荷、运动速度和磁场的磁感应强度共同决定。

高考回归复习—电磁场之带电粒子在电、磁场中的偏转模型1．如图所示，在平面直角坐标系xoy 的第二象限内有平行于y 轴的匀强电场，电场强度大小为E ，方向沿y 轴负方向。

在第一、四象限内有一个半径为R 的圆，圆心坐标为（R ，0），圆内有方向垂直于xoy 平面向里的匀强磁场。

一带正电的粒子（不计重力），以速度为v 0从第二象限的P 点，沿平行于x 轴正方向射入电场，通过坐标原点O 进入第四象限，速度方向与x 轴正方向成30︒，最后从Q 点平行于y 轴离开磁场，已知P 点的横坐标为2-h 。

求：（1）带电粒子的比荷q m； （2）圆内磁场的磁感应强度B 的大小；（3）带电粒子从P 点进入电场到从Q 点射出磁场的总时间。

2．物理学中，常用电场或磁场控制带电粒子的运动轨迹。

如图所示，质量为m ，电量为e 电子，由静止开始经电压U 加速后，从枪口P 沿直线OM 射出，若要求电子能击中偏离OM 方向α角、与枪口相距d 的靶Q ，不计电子的重力。

试求在以下两种情况下，所需的匀强磁场B 的大小和匀强电场E 的大小。

（1）若空间有垂直纸面向里的匀强磁场；（2）若空间有在纸面内且垂直于PQ 斜向上的匀强电场。

3．如图所示，在直角坐标系xOy 的第一象限内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 面向里，第四象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E ，磁场与电场图中均未画出。

一质量为m 、带电荷量为+q 的粒子自y 轴的P 点沿x 轴正方向射入第四象限，经x 轴上的Q 点进入第一象限。

已知P 点坐标为（0，-l ），Q 点坐标为（2l ，0），不计粒子重力。

O（1）求粒子经过Q点时速度的大小和方向；（2）若粒子在第一象限的磁场中运动一段时间后以垂直y轴的方向进入第二象限，求磁感应强度B的大小。

4．如图所示，两平行金属板AB中间有互相垂直的匀强电场和匀强磁场。

A板带正电荷，B板带等量负电荷，电场强度为E；磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B1。

磁聚焦与磁发散•常规磁聚焦与磁发散一束平行粒子经有界磁场偏转后会聚于一点，此现象为磁聚焦；一束粒子从一点向不同方向经有界磁场偏转后平行射出，此现象为磁发散砮如图砱所示，当圆形磁场区域半径R与轨迹圆半径r相等时，从磁场边界上任一点向各个方向射人圆形磁场的粒子全部平行射出，方向与过该点的磁场圆直径垂直（磁发散）砮反之，平行粒子束射入圆形磁场必会聚在磁场边界上某点，且过该点的磁场圆直径与粒子的入射速度方向垂直（磁聚焦）砮证明：如图砲所示，任意取一带电粒子以速率v从A点射入时，粒子在磁场中的运动轨迹圆半径为R，有界圆形磁场的半径也为R，带电粒子从区域边界C点射出，其中O为有界圆形磁场的圆心，B为轨迹圆的圆心砮图中AO、OC、CB、BA的长度均为R，故AOCB为菱形砮由几何关系可知CB//AO，即从C点飞出的粒子速度方向与OA垂直，因此粒子飞出圆形有界磁场时速度方向均与OA垂直砮反之也成立砮微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从应强度的大小与方向砮与硸轴相交的区域，并说明理由砮速度变为砲v，那么它们与x轴相交的区域又在的带电微粒在恰好没有磁场力，则会射向x轴的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场．相交的区域范围是x>砰.•其他磁聚焦与磁发散方式（砱）叶子型磁场如图破所示，两个半径R相等的四分之一圆弧相交的部分存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，带正电的粒子从O点以相同的速度v向第一象限入磁场砮当R 砽mvqB，即粒子的轨迹半径与磁场半径相等时，粒子将平行硸轴射出砮反之，逆过程也成立，平行射入磁场的粒子会从同一点射出砮（砲）蝴蝶型磁场如图砵所示，在xOy 平面上有一片稀疏的电子处在−H <y <H 的范围内，从x 负半轴的远处以相同的速率v 沿着x 轴正方向平行地向y 轴射来砮当H 砽mveB 1，即电子在y 轴左侧区域的轨迹半径与磁场半径相等时，由“叶子型”磁场的磁聚焦原理可知电子会全部经过坐标原点当砲H 砽mveB 2，即电子在y 轴右侧区域的轨迹半径与磁场半径相等时，由“叶子型”磁场的磁聚焦原理可知电子会平行x 轴射出，且射出区域为−砲H <y <砲H 砮（砳）抛物线型磁场如图砶所示，质量均为m ，电荷量均为砫q 的一簇粒子在P 砨−a,砰砩点朝xOy 上半平面各个方向以速率v 散开，垂直于xOy 平面的匀强磁场将这些离子汇聚于R 砨a,砰砩点，设粒子间的相互作用可以忽略，磁感应强度大小为B ，则磁场的边界该如何？圆形磁场根据圆形磁场的磁聚焦与磁发散原理，只需要在硹轴左右两侧添加圆形磁场即可，如图所示砮磁场区域的圆心分别为砨−a,r 砩、砨a,r 砩，且磁场区域半径需满足r 砽mv qB抛物线型磁场离子在磁场中做匀速圆周运动，离开磁场做匀速直线运动砮因为硐、硒相对硹轴对称，因此离子的运动轨迹、磁场区域必然关于硹轴对称砮如图所示为离子在第一象限内的运动轨迹砮设轨迹圆心在砨砰,b砩点，半径为r砽mvqB，离子在磁场边界点砨x,y砩外切费力圆轨道指向R点砮由相似三角形的知识，可得y−b x 砽a−xy①因为砨x,y砩点在圆轨道上，所以有x2砫砨y−b砩2砽r2②将①2带入②可得砨r2−x2砩y2砽砨a−x砩2x2同理在第二象限有砨r2−x2砩y2砽砨a砫x砩2x2故磁场边界可表示为y砽x砨a−x砩砨r2−x2砩砻x 砰y砽−x砨a砫x砩砨r2−x2砩砻x<砰下面分几种情况来讨论可汇聚于R点的离子发射角度的范围ϕ及磁场区域砮硉砮若设r<a，即mvqB<a，离子束中射出角ϕ<砹砰◦的离子均可汇聚于R点，而ϕ 砹砰◦的均不能到达R点，如图所示砮硉硉砮若设r砽a，即mvqB砽a，离子束中射出角ϕ 砹砰◦的离子均可汇聚于R点，而ϕ>砹砰◦的均不能到达R点，如图所示砮硉硉硉砮若设r>a，即mvqB>a，离子束中射出角ϕ ϕmax砽硡硲硣硴硡确a√r2−a2的离子均可汇聚于R点，如图所示砮部分布在Oa边 部分布在ab边布在ab边 部通过b点•磁聚焦的应用——磁透镜（砱）磁透镜的概念磁透镜是指能够把匀速带电粒子束会聚，并且把这样的束程中的物体形成像的轴对称磁场砮这样的磁场砨磁透镜砩可以由螺线管、电磁铁或永磁体产生砮用于电子和离子显微镜、带电粒子加速器及其他装置中砮（砲）磁透镜聚焦的原理如果一个带电粒子进入匀强磁场时，其速度v的方向与磁感强度硂的方向成任意角度θ，则可将v分解成平行于B和垂直于B的两个分量v//和v⊥砮因磁场的作用，垂直于B的速度分量v⊥虽不改变大小，却不断改变方向砮在垂直于B的平面内作匀速圆周运动，平行于B的速度分量v//不变，其运动是沿B方向的匀速直线运动，这两种运动的合成，为螺旋线运动砮此带电粒子作螺旋运动时，螺旋线的半径砨即电子在磁场中作圆运动的回旋半径砩为r砽mv⊥qB砽mv硳硩确θqB粒子每转一周前进的距离称为螺距，用符号表示，则：s砽v//T砽v硣硯硳θ·砲πm qB上式中的T是粒子转过一周所需的时间，称为回转周期砮在匀强磁场中某点A处有一束带电粒子，当带电粒子的速度v与B的夹角很小、各粒子速率v大致相同时，这些粒子具有相同的螺距砮经一个回转周期后，他们各自经过不同的螺距轨道重新会聚到A 点砮发散粒子依靠磁场作用会聚于一点的现象称为磁聚焦，它与光束经光学透镜聚焦相类似砮实际应用中，更多利用它产生的非匀强磁场聚焦，短线圈的作用类似光学中的透镜，称为磁透镜，也可用于电子显微镜中砮学透镜成像时，物距L1、象距L2、焦距f三者之间满足关系式：砱f 砽砱l1砫砱L2由于光学透镜的焦距f是不能改变的，要满足成像条件，必须同时改变L1和L2砮与光学透镜相似，电磁透镜成像时也必须满足关系式砬但磁透镜的焦距可以通过改变线圈中通过电流的大小来调节砮采用磁透镜成像时，可以在固定L1的情况下，改变f和L2来满足成像条件；也可以保持L2不变，改变f和L1来满足成像条件砮方向向左射入磁场，将由CO答案硁硄O解析硁．由题意可知，粒子由圆周上的M点沿平行OD方向向右射出磁场，则粒子在磁场中向右偏转，粒子刚进入磁场时所受洛伦兹力与v垂直向上，由左手定则可知，粒子带负电，故硁正确；硂．粒子带负电，若粒子在M点以速度v沿平行DO方向向左射入磁场，由左手定则可知，粒子将向上偏转，粒子不会从C点射出磁场，故硂错误；硄．有磁聚焦规律可知，粒子运动的半径与磁场的半径相等，则有R砽mv qB解得B砽mv qR故硄正确；硃．粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r 砽R ，从C 点以速度v 沿纸面射入磁场、速度v 的方向与CO 夹角为砳砰◦的粒子运动轨迹如图所示CO MO 是菱形，O 点一定在运动轨迹上，即粒子运动过程中经过O 点，故硃错误.时，常常将其分解为两个简单的运动形式，你认为？O 答案砨砱砩电子的螺旋运动可分解为P O 方向的匀速直线运动和垂直P O 方向的匀速圆周运动砨砲砩e m 砽砸π2U B 2l 2O 解析砨砱砩电子沿P O 方向进入，不受力，做匀速直线运动；竖直方向由于洛伦兹力做匀速圆周运动，故电子的螺旋运动可分解为P O 方向的匀速直线运动和垂直P O 方向的匀速圆周运动.砨砲砩从发散点到再次汇聚点，两个方向的分运动时间相等，由t直砽t圆加速电场eU砽砱砲mv2①匀速直线运动t直砽lv②匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力evB砽m v2R③T砽砲πRv砽砲πmeB④t圆砽T⑤①②③④⑤联立解得e m 砽砸π2UB2l2习题砱（$$$）如图所示，在xOy平面内有许多电子（质量为m，电量为e），从坐标原点O不断的以相同大小的速度v沿不同方向射入硉象限，现加一个垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴向砫x方向运动，试求符合该条件的磁场的最小面积砮习题砲（$$$$$）如图砨硡砩所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上，在xOy平面内有与硹轴平行的匀强电场在半径为R的圆形区域加有与xOy平面垂直的匀强磁场，在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置砮它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q砨q>砰砩和初速为v0的带电粒子，已知重力加速度大小为g．（砱）当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿硸轴正方向运动，求电场强度和磁感应强度的大小和方向砮（砲）调节坐标原点处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入第硉象限，如图砨硢砩所示．现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积．；方向与x轴的夹角为多大时，粒子在磁场中运习题砱砮O 答案S min砽砨π−砲砩m 2v 2砲e 2B 2O 解析从O 点射出的电子经磁场偏转后平行射出，由磁聚焦与磁发散的规律可知，在第I 象限存在圆形磁场，且圆形磁场的半径与电子在磁场中运动的半径相同.R 砽mv eB又由电子由不同的方向射入第I 象限，可知磁场区域最小为“叶子型”磁场，如图所示磁场区域的最小面积为S min砽砲砨砱破πR 2−砱砲R 2砩砽砨π−砲砩m 2v 2砲e 2B 2习题砲砮O 答案砨砱砩B 砽mv 0qR ；方向垂直纸面向外砨砲砩S min 砽砨π砲−砱砩R 2O 解析砨砱砩由磁聚焦的规律可知，粒子的运动轨迹与磁场区域的半径相同，即R 砽mv 0qB解得B 砽mv 0qR 由左手定则可知磁场方向垂直纸面向外.砨砲砩由题意可知，最小磁场区域为“叶子型”磁场，如图所示磁场区域的最小面积为S min 砽砲砨砱破πR 2−砱砲R 2砩砽砨π砲−砱砩R 2习题砳砮O 答案砨砱砩B 砽√砳mv aq 砨砲砩θ砽π砳；S min 砽砨π砲−砱砩R 2O 解析砨砱砩设磁场的磁感应强度为B ，粒子在磁场中做圆周运动的半径为r ，圆心为C ，从D 处射出磁场，其坐标为D 砨x,y 砩，如图砨硡砩所示硒硴码CED ∼硒硴码DGF可得ya −x 砽x √r 2−x 2且P OQ 的曲线方程为y 砽x 砨a −x 砩…a2砳−x 2解得r 砽√砳砳a又r砽mv qB解得B砽√砳mv aq砨砲砩设粒子射入磁场时的速度方向与x轴夹角为θ时，粒子在磁场中运动的轨迹与P Q相切，则运动的时间最长，最长时间为t，如图砨硢砩所示.由几何关系得砲√砳a砳砽r砫y−r硣硯硳θx砽r硳硩确θ解得硳硩确θ砽√砳砲θ砽π砳粒子在磁场中运动时间最长为t砽砲θmqB砽砲√砳πa砹v。

高三物理一轮复习资料【电磁偏转模型】1．带电粒子在电场中的模型(1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU＝12m v2－12m v2来求解，对于匀强电场，电场力做功也可以用W＝qEd来求解．(2)偏转运动：研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题，对于类平抛运动可直接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动的合成与分解的方法来处理．(3)带电粒子在周期性变化的电场中的运动可借助运动图象进行过程分析，进而利用运动规律进行求解分析．2．带电粒子在匀强磁场中运动的模型解答关键是画粒子运动轨迹的示意图，确定圆心，半径及圆心角．此类问题的解题思路是：(1)画轨迹：即确定圆心，用几何方法求半径并画出运动轨迹．(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、入射方向、出射方向相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系．(3)用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式．3．带电粒子在复合场中运动问题的模型(1)正确分析受力：除重力、弹力和摩擦力外，要特别注意电场力和磁场力的分析．(2)正确分析物体的运动状态：根据时间先后顺序分析运动过程(即进行运动分段)，明确每阶段的运动性质．找出物体的速度、位置及其变化特点，如果出现临界状态，要分析临界条件，带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子的受力情况．(3)应用牛顿运动定律、圆周运动的知识和动能定理解决粒子运动的问题．视角1：带电粒子在电场中运动的模型1．如图所示，光滑绝缘水平面上方存在电场强度大小为E、方向水平向右的匀强电场．某时刻将质量为m、带电量为－q的小金属块从A点由静止释放，经时间t到达B点，此时电场突然反向且增强为某恒定值，又经过时间t小金属块回到A点．小金属块在运动过程中电荷量保持不变．求：(1)A、B两点间的距离；(2)电场反向后匀强电场的电场强度大小．解析：(1)设t末小金属块的速度大小为v1，电场反向后匀强电场的电场强度大小为E1，小金属块由A 点运动到B 点过程a 1＝Eq mx ＝12a 1t 2 联立解得x ＝Eq2m t 2.(2)v 1＝a 1t 解得v 1＝Eqmt小金属块由B 点运动到A 点过程a 2＝－E 1qm－x ＝v 1t ＋12a 2t 2联立解得E 1＝3E . 答案：(1)Eq2mt 2 (2)3E2．如图所示，一重力不计的带电粒子从平行板电容器的上极板左边缘处以某一速度沿极板方向射入电容器．若平行板电容器所带电荷量为Q 1，该粒子经时间t 1恰好打在下极板正中间，若平行板电容器所带电荷量为Q 2，该粒子经时间t 2恰好沿下极板边缘飞出．不考虑平行板电容器的边缘效应，求两种情况下：(1)粒子在电容器中运动的时间t 1、t 2之比； (2)电容器所带电荷量Q 1、Q 2之比．解析：(1)设粒子在极板间的运动时间为t ，沿极板方向的位移为x ， 则：t ＝xv 0 即t ∝x由条件可知：t 1t 2＝12.(2)设电容器电容为C ，极板间电压U ，极板间距d ，极板间场强为E ，则： U ＝Q CE ＝U d粒子的加速度a ＝qEmd ＝12at 2 联立可得Q ∝1t 2解得Q 1Q 2＝41.答案：(1)t 1t 2＝12 (2)Q 1Q 2＝41视角2：带电粒子在匀强磁场中运动的模型3．如图所示，第四象限内有互相垂直的匀强电场E 与匀强磁场B 1，E 的大小为0.5×103 V/m ，B 1大小为0.5 T ；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界与x 轴重合．一质量m ＝1×10－14kg 、电荷量q ＝1×10－10C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点沿直线运动，经P 点即进入处于第一象限内的磁场B 2区域．一段时间后，微粒经过y 轴上的N 点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出. M 点的坐标为(0，－10 cm)，N 点的坐标为(0，30 cm)，不计微粒重力．(1)请分析判断匀强电场E 的方向并求出微粒的运动速度v ； (2)匀强磁场B 2的大小为多大； (3)B 2磁场区域的最小面积为多少？解析：(1)粒子重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受电场力和洛伦兹力，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动．这样，电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，由左手定则可知，粒子所受的洛伦兹力方向与微粒运动的方向垂直斜向上，即与y 轴正方向成30°角斜向上，则知电场E 的方向与微粒运动的方向垂直，即与y 轴负方向成30°角斜向下．由力的平衡条件得：Eq ＝B 1q v ， 代入数据解得：v ＝1×103 m/s.(2)画出微粒的运动轨迹如图．由几何关系可知粒子在第一象限内做圆周运动的半径为：R＝315 m；微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律得：q v B2＝m v2R，代入数据解得：B2＝32 T.(3)由图可知，磁场B2的最小区域应该分布在图示的矩形P ACD内．由几何关系易得：PD＝2R sin 60°，代入数据解得：PD＝0.2 m，P A＝R(1－cos 60°)＝330 m，故所求磁场的最小面积：S＝PD·P A＝0.2×330 m2＝3150 m2.答案：(1)与y轴负方向成30°角斜向下103 m/s(2)32 T(3)3150 m24．如图所示，速度选择器两板间电压为U、相距为d，板间有垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场；在紧靠速度选择器右侧的圆形区域内，分布着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B未知，圆形磁场区域半径为R.一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子在速度选择器中做直线运动，从M点沿圆形磁场半径方向进入磁场，然后从N点射出，O为圆心，∠MON＝120°，粒子重力可忽略不计．求：(1)粒子在速度选择器中运动的速度大小； (2)圆形磁场区域的磁感应强度B 的大小； (3)粒子在圆形磁场区域的运动时间．解析：(1)粒子在速度选择器中做直线运动，由力的平衡条件得 q v B 0＝qE ＝q Ud解得：v ＝UdB 0.(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示：设其半径为r ，由向心力公式得：q v B ＝m v 2r由几何关系得：Rr ＝tan 30°联立解得：B ＝mU 3qRdB 0＝3mU3qRdB 0.(3)粒子在磁场中运动周期为：T ＝2πr v ＝2πmqB根据几何关系可知粒子在磁场中的圆心角为60°，联立以上可得运动时间为：t ＝60°360°T＝16T ＝3πRdB 03U. 答案：(1)U dB 0 (2)3mU 3qRdB 0 (3)3πRdB 03U视角3：带电粒子在组合场、复合场中运动问题的模型5．如图所示，直角坐标系仅第一象限有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E，仅在第二象限有垂直坐标轴平面向里的匀强磁场，在x轴上有一无限长平板，在(0，L)处有一粒子发射源S，粒子发射源可向坐标轴平面内的各个方向发射速度可变化的同种粒子，粒子质量为m，带电量为q.已知当沿x轴负方向发射粒子的速度大小为v0时，粒子恰好垂直打到平板上，不计粒子的重力．(1)只改变发射源在坐标轴平面内发射粒子的方向(仅向y轴左侧发射)，若粒子打在x 轴负半轴上，求带电粒子在磁场中运动的最短时间；(2)只改变发射源在坐标轴平面内发射粒子的速度大小(方向仍沿x轴负方向)，要使带电粒子打在x轴正半轴上的平板上的距离最远，求发射速度的大小．解析：(1)根据题意和粒子的运动轨迹可知，带电粒子带正电且在磁场中的轨道半径为R＝L，由洛伦兹力提供向心力B v0q＝m v20R ，解得mqB＝L v，带电粒子打到O点时(对应路程最短)在磁场中运动时间最短，运动轨迹对应的圆心角为θ＝π3可得运动的最短时间t＝πL3v0.(2)设粒子发射速度大小为v，由洛伦兹力提供向心力B v q＝m v2R′可得R′＝L v v，粒子打在平板上x轴右侧，则2R′<L，即v＜12v0在电场中运动L－2R′＝12at2x＝v t解得x＝2mLv0qE(v0－2v)v2求导可知，当v＝13v0时，x有最大值，带电粒子打到平板上落点的距离最远．答案：(1)πL3v0(2)13v0。

高考回归复习—电磁场之带电粒子在磁场中多次偏转模型1．如图所示，在x 轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B 。

x 轴下方有一匀强电场，电场强度为E 。

屏MN 与y 轴平行且相距L ，一质量为m ，电荷量为e 的电子，在y 轴上某点A 自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN 上，那么：(1)电子释放位置与原点O 点之间的距离s 需满足什么条件？(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？2．如图，xOy 坐标系中存在垂直平面向里的匀强磁场，其中，x ≤0的空间磁感应强度大小为B ；x >0的空间磁感应强度大小为2B 。

一个电荷量为+q 、质量为m 的粒子a ，t =0时从O 点以一定的速度沿x 轴正方向射出，之后能通过坐标为（2h ，32h ）的P 点，不计粒子重力。

(1)求粒子速度的大小；(2)在a 射出t ∆后，与a 相同的粒子b 也从O 点以相同的速率沿y 轴正方向射出。

欲使在运动过程中两粒子相遇，求t ∆。

（不考虑粒子间的静电力）3．“太空粒子探测器”是由加速装置、偏转装置和收集装置三部分组成的，其原理可简化如下：如图所示，辐射状的加速电场区域边界为两个同心圆，圆心为O ，外圆的半径12R m =，电势150V ϕ=，内圆的半径21R m =，电势20ϕ=，内圆内有磁感应强度大小3510B T -=⨯、方向垂直纸面向里的匀强磁场，收集薄板MN 与内圆的一条直径重合，收集薄板两端M 、N 与内圆间各存在狭缝．假设太空中漂浮着质量101.010m kg -=⨯、电荷量4410q C -=⨯的带正电粒子，它们能均匀地吸附到外圆面上，并被加速电场从静止开始加速，进入磁场后，发生偏转，最后打在收集薄板MN 上并被吸收(收集薄板两侧均能吸收粒子)，不考虑粒子相互间的碰撞和作用．(1)求粒子刚到达内圆时速度的大小；(2)以收集薄板MN 所在的直线为x 轴建立如图的平面直角坐标系．分析外圆哪些位置 的粒子将在电场和磁场中做周期性运动．指出该位置并求出这些粒子运动一个周期内在磁场中所用时间．4．如图所示虚线矩形区域NPP' N ’、MNN ’M ’内分别充满竖直向下的匀强电场和大小为B 垂直纸面向里的匀强磁场，两场宽度均为d 、长度均为4d ， NN ’为磁场与电场之间的分界线。