2018年高中数学人教A版选修2-2第2章推理与证明 检测A习题含解析

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作《数学选修2-2》推理与证明第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、 下列表述正确的是( ).①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤. 2、分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( ) Ａ.充分条件 Ｂ.必要条件 Ｃ.充要条件 Ｄ.等价条件 3、在ABC △中,sin sin cos cos A C A C >,则ABC △一定是( ) Ａ.锐角三角形 Ｂ.钝角三角形 Ｃ.直角三角形 Ｄ.不确定 4、下面使用类比推理正确的是 ( )A.直线a,b,c ,若a //b,b //c ,则a //c .类推出:向量a,b,c ,若a //b ,b //c ,则a //cB.同一平面内,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a //b .类推出:空间中,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a //b .C.实数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.类推出:复数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.D.以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为222x y r +=.类推出:以点(0,0,0)为球心,r 为半径的球的方程为2222x y z r ++=.5、(1)已知332p q +=,求证2p q +≤,用反证法证明时,可假设2p q +≥;(2)已知a b ∈R ，,1a b +<,求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1,即假设11x ≥,以下结论正确的是( )A.(1)的假设错误,(2)的假设正确B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)与(2)的假设都错误 6、观察式子:213122+<,221151233++<,222111712344+++<,,则可归纳出式子为( )Ａ.22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ.22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ.222111211(2)23n n n n -++++<≥Ｄ.22211121(2)2321n n n n ++++<+≥ 7、已知扇形的弧长为l ,所在圆的半径为r ,类比三角形的面积公式:12S =⨯底⨯高,可得扇形的面积公式为( )Ａ.212rＢ.212l Ｃ.12rl Ｄ.不可类比8、定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( )(1) (2) (3) (4) (A) (B)A.D A D B **,B.C A D B **,C.D A C B **,D.D A D C **, 9、观察下列各式:211=,22343++=,2345675++++=,2456789107++++++=,,可以得出的一般结论是( )A.2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-=B.2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-C.2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-=D.2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-10、用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····,从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为( )A.2(21)k +B.21k +C.211k k ++ D.231k k ++ 11、正整数按下表的规律排列1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8712 19 16 15 14 13 20 2524232221则上起第2009行,左起第2010列的数应为( )A.22009B.22010C.20092010+D.20092010⨯12、为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem ),其加密、解密原理如下图:现在加密密钥为)2(log +=x y a ,如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.问:若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为( )A.12B.13C.14D.15第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于______________. 14、已知经过计算和验证有下列正确的不等式:112>,111123++>,111312372++++>, 111122315++++>,,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式 .15、已知命题:“若数列{}n a 是等比数列,且0n a >,则数列12()nn n b a a a n *=∈N 也是等比数列”.可类比得关于等差数列的一个性质为________________________________.16、若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ,记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=,试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值,推测出.________________)(=n f三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)解密密钥密码加密密钥密码明文密文密文发送明文已知:23150sin 90sin 30sin 222=++2223sin 10sin 70sin 1302++=23125sin 65sin 5sin 222=++通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明.18、(12分)如图(1),在三角形ABC 中,AB AC ⊥,若AD BC ⊥,则2AB BD BC =·;若类比该命题,如图(2),三棱锥A BCD -中,AD ⊥面ABC ,若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ,则有什么结论?命题是否是真命题.19、(12分)已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=,1ac bd +>,求证a b c d ，，，中至少有一个是负数.20、(12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1. (1)写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.21、(12分)已知命题:“若数列{}n a 为等差数列,且,m n a a a b ==),,(+∈≠N n m n m ,则m n ma nb a m n+-=-”.现已知数列{}),0(+∈>N n b b n n 为等比数列,且,a b m =b b n =),,(+∈≠N n m n m.(1)请给出已知命的证明;(2)类比(1)的方法与结论,推导出m n b +.22、(14分)在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A 由全体二元有序实数组组成,在A 上定义一个运算,记为,对于A 中的任意两个元素(,)a b α=,(,)c d β=,规定:αβ=(,)ad bc bd ac +-.(1)计算:)3,2()4,1(-;(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律,并给出证明;(3)若“A 中的元素(,)I x y =”是“对A α∀∈,都有α=I I αα=成立”的充要条件,试求出元素I .参考答案1.D 由归纳推理、演绎推理和类比推理的概念知①③⑤正确.2.A 由分析法的定义知A 正确.3.B 由已知得sin sin cos cos cos()0,A C A C A C -=-+>∴cos()0,A C +< ∴A C +为锐角,得B 为钝角,ABC △为钝角三角形.4.D 若向量b =0,则a //c 不正确;空间内,直线a 与b 可以相交、平行、异面,故B 不正确;方程200(1)0x ix i ++-±=有实根,但24a b ≥不成立;设点(,,)P x y z 是球面上的任一点,由OP r =,得222x y z r ++=,D 正确.5.A 用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定.所以2p q +≤ 的假命题应为.2>+q p6.Ｃ 由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知,选C.7.Ｃ 三角形的高类比扇形半径,三角形的底类比扇形的弧.8.B 观察知A 表示“︱”,B 表示“□”,C 表示“－”,D 表示“○”,故选B. 9.B 等式右边的底数为左边的项数.10.A 当n k =时,左边=(1)(2)()k k k k ++⋅⋅+1,[(1)1][(1)2][(1)(1)]n k k k k k =+=++++⋅⋅+++当时左边(2)(3)()(1)(2)k k k k k k k k =++⋅⋅⋅+++++(1)(2)(1)(2)()1k k k k k k k k k ++++=++⋅⋅⋅++(1)(2)()[2(21)]k k k k k =++⋅⋅⋅++,∴从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为2(21)k +.11.D 由上的规律可知,第一列的每个数为所该数所在行数的平方,而第一行的数则满足列数减1的平方再加1.依题意有,左起第2010列的第一个数为220091+,故按连线规律可知,上起第2009行,左起第2010列的数应为220092009+=20092010⨯.12.C 由其加密、解密原理可知,当x =6时,y =3,从而a =2;不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b,则有)2(log 42+=b ,从而有14224=-=b .13.32 1547,1220,91120,6511,325=-=-∴=-=-=-x x ,∴32x =14.一般不等式为:1111()23212n n n *++++>∈-N . 15.若数列{}n a 是等差数列,则数列12nn a a a b n +++=也是等差数列.证明如下:设等差数列{}n a 的公差为d ,则12nn a a a b n+++=11(1)2(1)2n n dna d a n n -+==+-,所以数列{}n b 是以1a 为首项,2d为公差的等差数列. 16.2()22n f n n +=+ 22332222141)13(1,31)12(1,21)11(1=+==+==+=a a a 1211113(1)11(1)(1),22222f a =-=-=-+=⨯ 同理1222111324(2)(1)(1)(1)(1)232233f a a =--=--=⨯⨯⨯123222111132435(3)(1)(1)(1)(1)(1)(1)234223344f a a a =---=---=⨯⨯⨯⨯⨯∴222111()(1)(1)[1]23(1)f n n =--⋅⋅⋅-+111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)223311n n =-+-+⋅⋅⋅-+++ 1324322 (223341122)n n n n n n ++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++ 17.解:一般性的命题为2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=证明:左边001cos(2120)1cos 21cos(2120)222ααα----+=++003[cos(2120)cos 2cos(2120)]232ααα=--++-=所以左边等于右边18.解:命题是:三棱锥A BCD -中,AD ⊥面ABC ,若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ,则有2ABC BCMBCD S S S =△△△·是一个真命题.证明如下: 在图(2)中,连结DM ,并延长交BC 于E ,连结AE ,则有DE BC ⊥.因为AD ⊥面ABC ,,所以AD AE ⊥. 又AM DE ⊥,所以2AE EM ED =·. 于是22111222ABCBCM BCD SBC AE BC EM BC ED S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····. 19.证明:假设a b c d ，，，都是非负实数,因为1a b c d +=+=, 所以a b c d ，，，[01]∈，,所以2a c ac ac +≤≤,2b cbd bd +≤≤, 所以122a cb dac bd ++++=≤, 这与已知1ac bd +>相矛盾,所以原假设不成立,即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数.20.解:(1) a 1＝23, a 2＝47, a 3＝815,猜测 a n ＝2－n 21(2) ①由(1)已得当n ＝1时,命题成立;②假设n ＝k 时,命题成立,即 a k ＝2－k21, 当n ＝k ＋1时,a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1,且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k ∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3, ∴2a k ＋1＝2＋2－k 21, a k ＋1＝2－121+k , 即当n ＝k ＋1时,命题成立. 根据①②得n ∈N + , a n ＝2－n21都成立. 21.解:(1)因为在等差数列{a n }中,由等差数列性质得⎩⎨⎧+=+=++mda a nda a n n m m n m ,又,m n a a ab ==,∴m n m n a a nd a b md ++=+⎧⎨=+⎩,得m n m n ma ma mndna nb mnd++=+⎧⎨=+⎩,两式相减得()m n m n a ma nb +-=-,∴m n ma nba m n+-=-.(2)在等比数列{}n b 中,由等比数列的性质得⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=++mn n m nm n m qb b qb b ,又,m n b a b b ==, ∴n m n m m n b a q b b q ++⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩,得m m mnm n n n mnm n b a q b b q++⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩,两式相除得m m nm n n a b b -+=, ∴mm n m nn a b b-+=.22.解:(1))3,2(⊙)14,5()4,1(=-. (2)交换律:αββα=,证明如下:设(,)a b α=,(,)c d β=,则αβ=(,)ad bc bd ac +-,βα=(,)c d (,)a b =(,)cb da db ca +-=(,)ad bc bd ac +-.∴αββα=.(3)设A 中的元素(,)I x y =,对A α∀∈,都有α=IIαα=成立,由(2)知只需I ⊙αα=,即),(y x ⊙=),(b a ),(b a (,)(,)bx ay by ax a b ⇔+-= ①若)0,0(=α,显然有I ⊙αα=成立; ②若)0,0(≠α,则bx ay a ax by b +=⎧⎨-+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩,∴当对A α∀∈,都有α=II αα=成立时,得(0,0)I =或(0,1)I =,易验证当(0,0)I =或(0,1)I =时,有对A α∀∈,都有α=IIαα=成立∴(0,0)I =或(0,1)I =.。

第二章测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是()A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”,但大前提错误D.使用了“三段论”,但小前提错误答案:C2.观察下面图形的规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为()A.■B.△C.□D.○解析:由每一行中图形的形状及黑色图形的个数,则知A正确.答案:A3.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A.各正三角形内任一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.答案:C4.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199解析:记a n+b n=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123.答案:C5.数列{a n}满足a1=,a n+1=1-,则a2 015等于()A.B.-1 C.2 D.3解析:∵a1=,a n+1=1-,∴a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-,a5=1-=-1,a6=1-=2,∴a n+3k=a n(n∈N*,k∈N*).∴a2 015=a2+3×671=a2=-1.答案:B6.已知f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2,则f(1)+f(2)+…+f(n)不能等于()A.f(1)+2f(1)+…+nf(1)B.fC.D.f(1)解析:f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=1,得f(2)=2f(1),令x=1,y=2,f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)︙f(n)=nf(1),所以f(1)+f(2)+…+f(n)=(1+2+…+n)f(1)=f(1).所以A,D正确.又f(1)+f(2)+…+f(n)=f(1+2+…+n)=f,所以B也正确.故选C.答案:C7.对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,依此类推,则每组内奇数之和S n与其组的编号数n的关系是() A.S n=n2 B.S n=n3C.S n=n4D.S n=n(n+1)解析:∵当n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33;∴归纳猜想S n=n3,故选B.答案:B8.在等差数列{a n}中,若a n>0,公差d>0,则有a4a6>a3a7,类比上述性质,在等比数列{b n}中,若b n>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是()A.b4+b8>b5+b7B.b4+b8<b5+b7C.b4+b7>b5+b8D.b4+b7<b5+b8解析:b5+b7-b4-b8=b4(q+q3-1-q4)=b4(q-1)(1-q3)=-b4(q-1)2(1+q+q2)=-b4(q-1)2.∵b n>0,q>1,∴-b4(q-1)·<0,∴b4+b8>b5+b7.答案:A9.已知x>0,不等式x+≥2,x+≥3,x+≥4,…,可推广为x+≥n+1,则a的值为()A.2nB.n2C.22n-2D.n n解析:由x+≥2,x+=x+≥3,x+=x+≥4,…,可推广为x+≥n+1,故a=n n.答案:D10.将石子摆成如图的梯形形状.称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2 012项与5的差,即a2 012-5=()A.2 018×2 012B.2 018×2 011C.1 009×2 012D.1 009×2 011解析:由已知可得a2-a1=4a3-a2=5a4-a3=6……a2 012-a2 011=2 014.以上各式相加得a2 012-a1==1 009×2 011.∵a1=5,∴a2 012-5=1 009×2 011.答案:D第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上)11.在△ABC中,D为BC的中点,则),将命题类比到三棱锥中得到的命题为.答案:在三棱锥A-BCD中,G为△BCD的重心,则)12.用数学归纳法证明+…+(n>1且n∈N*),第一步要证明的不等式是.解析:∵n>1,∴第一步应证明当n=2时不等式成立,即.答案:13.f(n)=1++…+(n∈N*),经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,推测当n≥2时,有.解析:观测f(n)中n的规律为2k(k=1,2,…),不等式右侧分别为,k=1,2,…,所以f(2n)>(n≥2).答案:f(2n)>(n≥2)14.若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1,x2,…,x n,总满足[f(x1)+f(x2)+…+f(x n)]≤f,称函数f(x)为D上的凸函数;现已知f(x)=sin x在(0,π)上是凸函数,则△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是.解析:因为f(x)=sin x在(0,π)上是凸函数(小前提),所以(sin A+sin B+sin C)≤sin(结论),即sin A+sin B+sin C≤3sin.因此,sin A+sin B+sin C的最大值是.答案:15.观察下图:则第行的各数之和等于2 0112.解析:经观察知,图中的第n行的各数构成一个首项为n,公差为1,共(2n-1)项的等差数列,其各项和为:S n=(2n-1)n+=(2n-1)n+(2n-1)(n-1)=(2n-1)2.令(2n-1)2=2 0112,得2n-1=2 011,故n=1 006.答案:1 006三、解答题(本大题共5小题,共40分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题6分)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:.证明:因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0.要证明原不等式成立,只需证明a,即证b2-ac<3a2,从而只需证明(a+c)2-ac<3a2,即(a-c)(2a+c)>0,因为a-c>0,2a+c=a+c+a=a-b>0,所以(a-c)(2a+c)>0成立,故原不等式成立.17.(本小题6分)已知实数x,且有a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,求证:a,b,c中至少有一个不小于1.证明:假设a,b,c都小于1,即a<1,b<1,c<1,则a+b+c<3.∵a+b+c=+(2-x)+(x2-x+1)=2x2-2x+=2+3,且x为实数,∴2+3≥3,即a+b+c≥3,这与a+b+c<3矛盾.∴假设不成立,原命题成立.∴a,b,c中至少有一个不小于1.18.(本小题8分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a1,a2∈R,且a1+a2=1,求证:.证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+.因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,所以Δ=4-8()≤0,从而得.(1)若a1,a2,…,a n∈R,且a1+a2+…+a n=1,请写出上述结论的推广式;(2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.(1)解:若a1,a2,…,a n∈R,a1+a2+…+a n=1,则+…+.(2)证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2=nx2-2(a1+a2+…+a n)x++…+=nx2-2x++…+.因为对一切x∈R,都有f(x)≥0,所以Δ=4-4n(+…+)≤0,从而证得+…+.19.(本小题10分)已知等差数列{a n}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,数列{b n}的前n项和为S n,且S n=1-b n.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=a n·b n,求证:c n+1≤c n.(1)解:∵a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,且数列{a n}的公差d>0,∴a3=5,a5=9,公差d==2.∴a n=a5+(n-5)d=2n-1.由题意得,当n=1时,b1=S1=1-,∴b1=.当n≥2时,b n=S n-S n-1=(b n-1-b n),∴b n=b n-1(n≥2).∴数列{b n}是以为首项,为公比的等比数列.∴b n=.(2)证明:由(1)知,c n=a n·b n=,c n+1=,∴c n+1-c n=≤0.∴c n+1≤c n.20.(本小题10分)用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)(n∈N*).证明:(1)当n=1时,左边=12,右边=×1×(4×1-1)=1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即12+32+52+…+(2k-1)2=k(4k2-1),则当n=k+1时,12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=k(4k2-1)+(2k+1)2=k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2=(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]=(2k+1)(2k2+5k+3)=(2k+1)(k+1)(2k+3)=(k+1)(4k2+8k+3)=(k+1)[4(k+1)2-1],即当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式成立.。

人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2第二章检测(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.有一段演推理是的:“若直平行于平面,直平行于平面内的所有直;已知直b? 平面α,a? 平面α,直 b∥平面α,直 b∥直 a”,个然是的,是因 ()A. 大前提B. 小前提C.推理形式D.非以上解析“若直平行于平面 ,直平行于平面内的所有直”是的 ,即大前提是的.故 A .答案 A已知∈ N* 猜想f( x)的表达式()2.f( x+1)),A .f(x)C.f(x)解析当 x= 1 ,f(2)当x=2 ,f(3)当x=3 ,f(4)故可猜想 f(x) B .答案 B3.如所示,4只小物座位,开始鼠,猴,兔,猫分坐1,2,3,4 号座位 ,如果第 1 次前后排物互座位 ,第 2 次左右列物互座位 ,第 3 次前后排物互座位⋯⋯交替行下去,那么第 2 018次互座位后 ,小兔坐在 ()号座位上 .A.1B.2C.3D.4解析由意得第 4 次互座位后 ,4 只小物又回到了原座位,即每 4 次互座位后,小物回到原座位 ,而 2 018= 4×504+ 2,所以第 2 018 次互座位后的果与第 2 次互座位后的果相同,故小兔坐在 2 号座位上 , B .答案 B4.已知x∈(0,+∞),不等式x≥ 2,x≥ 3,x≥ 4,⋯ ,可推广 x≥ n+ 1, a 的 ()n2C.22(n- 1)nA .2 B.n D.n123n 解析∵第一个不等式中 a= 1,第二个不等式中a= 2 ,第三个不等式中a= 3 ,∴第 n 个不等式中a=n .答案 D5.若△A1B1C1的三个内角的余弦分等于△A2B2C2的三个内角的正弦 , ()A. △A1B1C1和△A2B2C2都是角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是角三角形C.△A1B1C1是角三角形 ,△A2B2 C2是角三角形D.△A1B1C1是角三角形 ,△A2 B2C2是角三角形解析因正弦在 (0° ,180°)内是正 ,所以△A1B1C1的三个内角的余弦均大于0,因此△A1B1C1是角三角形 .由于△A1B1C1的三个内角的余弦分等于△A2B2C2的三个内角的正弦 ,因此△A2B2C2不可能直角三角形 ,故假△A2 B2C2也是角三角形,并 cos A1= sin A2, cosA1= cos(90° -A2),所以 A1= 90° -A2 .同理 cos B1= sin B2,cos C1= sin C2,有 B1= 90° -B2 ,C1= 90° -C2 .又 A1+B 1+C 1= 180° ,(90° -A 2)+ (90°-B2)+(90° -C2)= 180° ,即A2+B 2+C 2= 90° .与三角形内角和等于180°矛盾 ,所以原假不成立.故 D .答案 D6.察下列各式:a+b= 1,a2+b 2= 3,a3+b 3= 4,a4+b 4= 7,a5+b 5= 11,⋯ , a10+b 10等于 ()A.28B.76C.123D.199解析利用法:a+b= 1,a2+b 2= 3,a3+b 3= 4= 3+ 1,a4+b 4= 4+3= 7,a5 +b 5= 7+ 4= 11,a6+b 6= 11+ 7= 18,a7+b 7= 18+ 11= 29,a8 +b 8= 29+ 18= 47,a9+b 9= 47+29= 76,a10+b 10= 76+ 47= 123.律从第三开始,其果前两果的和.答案 C7.大于或等于 2 的自然数的正整数运算有如下分解方式:2= 1+322= 1+3+ 5324= 1+ 3+ 5+ 723= 3+ 543= 13+ 15+ 17+ 19根据上述分解律23的分解中最小的正整数是21, m+n 等于 () ,若 m = 1+ 3+ 5+⋯ + 11,nA .10 B.11 C.12 D.132解析∵m = 1+ 3+ 5+ ⋯ + 11∴m=6.∵23= 3+ 5,33= 7+ 9+11, 43= 13+15+ 17+ 19,∴53= 21+ 23+25+ 27+ 29.又 n3的分解中最小的正整数是21,∴n3= 53,n= 5,∴ m+n= 6+ 5= 11.答案 B8.于奇数列1,3,5,7,9,⋯ ,在行如下分:第一有 1 个数 {1}, 第二有 2 个数 {3,5}, 第三有3个数 {7,9,11}, ⋯⋯ ,依此推 ,每内奇数之和S n与其的号数n(n∈N* )的关系是 ()A. S n=n 2B. S n =n 3C.S n=n 4D.S n=n (n+ 1)解析当 n= 1,S1=1;当n= 2 ,S2= 8= 23;当n= 3 ,S3= 27=33.猜想 S n=n 3.故 B .答案 B9.古希腊人常用小石子在沙上成各种形状来研究数,比如 :(1)(2)他研究 (1) 中的 1,3,6,10,⋯ ,由于些数能表示成三角形,将其称三角形数;似地 ,称 (2)中的 1,4,9,16,⋯的数正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378解析根据图形的规律可知 ,第 n 个三角形数为 a n第 n 个正方形数为 b n=n 2,由此可排除选项D(1 378 不是平方数 ),将选项 A,B,C 代入到三角形数与正方形数的表达式中检验可知,符合题意的是选项 C,故选 C.答案 C10.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲所示 ,在平行四边形ABCD 中 ,有2222AC +BD = 2(AB +AD ),那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A 1B1C1D1中,等于A.2( AB2+AD 2 +C.4(AB 2+AD 2 +解析如图 ,连接 A1C1,AC,则四边形 AA1C1C 是平行四边形,故A1C2+连接 BD ,B1D 1,则四边形 BB1D 1D 是平行四边形 ,故又在 ?ABCD 中 ,AC2+BD 2=2(AB 2+AD 2),则故选 C.答案 C二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时 ,甲说 :我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市 ;乙说 :我没去过 C 城市 ;丙说 :我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B 城市 ,因此甲一定去过 A 城市和 C 城市 .又乙没去过 C 城市 ,所以三人共同去过的城市必为A, 故乙去过的城市就是 A .答案 A312.已知函数f(x)=x +x ,a,b,c∈R ,且 a+b> 0,b+c> 0,c+a> 0,则 f(a)+f (b)+f (c)的值一定比零(填“大”或“小”).3解析∵f(x)=x +x 是R上的奇函数 ,且是增函数 ,又由 a+b> 0 可得 a>-b ,∴f(a)>f ( -b)=-f (b),∴f(a)+f (b) >0.同理 ,得 f(b)+f (c)> 0,f(c) +f (a)> 0.三式相加 ,整理得 f(a)+f (b)+f (c) >0.答案大13.在平面几何中,△ABC 的内角平分线CE 分 AB 所成线段的比为把这个结论类比到空间在三棱锥中如图所示平面平分二面角且与相交于则类比后得到的结论是解析∵CE 平分∠ ACB,而平面 CDE 平分二面角A-CD-B ,可类比成△故结论为△△△答案△△14.已知集合{ a,b,c} = {0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b= 2;③c≠0有且只有一个正确,则 100a+ 10b+c 等于.解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当①成立时 ,则 a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立 ;(2)当②成立时 ,则 a= 2,b= 2,c=0,此种情况不成立 ;(3)当③成立时 ,则 a= 2,b≠2,c≠0,即 a= 2,b= 0,c=1,所以 100a+ 10b+c= 100×2+ 10×0+ 1=201.故答案为 201.答案 20115.把数列的所有项按照从大到小的原则写成如下数表-1人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2⋯第 k 行有 2k-1个数 ,第 t 行的第 s 个数 (从左数起 )A(t,s), A(6,10)=.01234个数 ,A(6,10) 数列的第41 .解析前 5 行共有 2+2 + 2 + 2 + 2 =31∵ a n-答案三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)某同学在一次研究性学中,以下五个式子的都等于同一个常数:①s in 213° +cos217° -sin 13° cos 17°;②s in 215° +cos215° -sin 15° cos 15°;③s in 218° +cos212° -sin 18° cos 12°;④s in 2(-18° )+ cos248° -sin( -18°)cos 48° ;⑤s in 2(-25° )+ cos255° -sin( -25°)cos 55° .(1)从上述五个式子中一个 ,求出个常数 ;(2) 根据 (1)的算果 ,将同学的推广三角恒等式,并明你的.解法一 (1)② 式,算如下:sin215° +cos215° -sin 15° cos 15°=130°= 1(2)三角恒等式sin2α+ cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)明如下 :sin2α+ cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)= sin2α+(cos 30° cos α+ sin 30° sin α)2-sin α·(cos 30° cos α+ sin 30 °sin α)= sin2ααcosααcosα解法二 (1) 同解法一 .22(2)三角恒等式sin α+ cos (30° -α)-sin α·cos(30° - α)明如下 :22-°-2α60° cos 2α+ sin 60° sin 2α)αcosαsin 2α2α2α2α2α2α) = 12α2α17.(8分)已知函数f(x)=a x-(1)证明函数 f(x)在 (-1,+ ∞)内为增函数 ;(2)用反证法证明方程 f( x)=0 没有负数根 .分析对第 (1) 小题 ,可用定义法证明;对第 (2)小题 ,可按反证法证明命题的步骤加以证明.证明 (1)设 x1,x2是 (- 1,+ ∞)内的任意两个实数,且 x1<x 2.∵a> 1,又x1+ 1> 0,x2+ 1> 0,--于是 f(x2)-f(x1)故函数 f(x)在 (-1,+ ∞)内为增函数 .(2)假设存在x0<0( x0≠-1) 满足 f( x0)= 0,则于是 0<-且 0-即这与假设 x0< 0 矛盾 ,故方程 f(x)= 0 没有负数根 .18.(9分)先解答(1),再通过结构类比解答(2):(1)求证 :ta-(2)设 x∈R ,a 为非零常数 ,且 f(x+a )试问是周期函数吗证明你的结论-(1) 证明由两角和的正切公式得ta--即 ta命题得证 .-(2)解猜想 f(x)是以 4a 为周期的周期函数 . 证明过程如下 :∵ f(x+ 2a)=f [(x+a )+a ]∴f(x+ 4a)=f [(x+ 2a)+ 2a]=∴ f(x)是以 4a 为周期的周期函数.故 f(x) 是周期函数 ,其中一个周期为4a.19.(10分)已知0<b<a< e,其中e是自然对数的底数.(1)试猜想 a b与 b a的大小关系 ;(2)证明你的结论 .(1) 解取 a= 2,b= 1 可知 a b>b a,又当 a= 1,b时,a b>b a,由此猜测 a b>b a对一切 0<b<a< e 成立 .(2)证明要证 a b >b a对一切 0<b<a< e 成立 ,需证 ln a b> ln b a,需证 bln a>a ln b,需证设函数 f(x)∈ (0,e),-f'(x)当x∈ (0,e)时 ,f'(x)> 0 恒成立 .所以 f(x)在(0,e)内单调递增,所以 f(a)>f (b), 即所以a b>b a.20.(10分)已知数列{ a n}和{ b n}满足:a1=λ,a n+1其中为常数为正整数(1)求证 :对任意实数λ,数列 { a n } 不是等比数列 ;(2)求证 :当λ≠-18 时 ,数列 { b n} 是等比数列 ;(3) 设 S n为数列 { b n} 的前 n 项和 ,是否存在实数λ,使得对任意正整数 n,都有 S n>- 12?若存在 ,求实数λ的范围 ;若不存在 ,请说明理由 .分析解答本题 ,需综合运用等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能,并注意分类讨论思想的应用.(1) 证明假设存在实数λ,使得数列{ a n}是等比数列,则有又因为 a2所以--即则 9=0,这是不可能的.所以假设不成立,原结论成立 .故对任意实数λ,数列 { a n} 不是等比数列.(2)证明因为λ≠-18,所以 b1=- (λ+ 18)≠0.又b n+ 1= (-1)n+ 1[a n+ 1-3(n+ 1)+21]= (-1)n+-==所以 b n≠0,所以∈N *).故当λ≠-18 时 ,数列 { b n} 是以 -(λ+ 18)为首项 ,为公比的等比数列.(3)解当λ≠-18 时,由 (2)得-b n=- (λ+ 18) ·-所以 S n- -=当λ=- 18 时 ,b n= 0,从而 S n= 0,(* )式仍成立 .要使对任意正整数n,都有 S n>- 12,即解得λ- -令 f(n) =1-则当n为正奇数时,1<f (n)≤当n为正偶数时≤ f(n)< 1,故对任意正整数n,f(n)的最大值为f(1)所以λ<20综上所述 ,存在实数λ,使得对任意正整数n,都有 S n>- 12,此时实数λ的取值范围是(-∞,-6).。

学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．知识点一合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．知识点二演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．知识点三直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．知识点四数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n ＝n 0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n ＝k 时结论成立，推得当n ＝k ＋1时结论也成立．类型一 合情推理的应用例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f (n )(n ∈N *)与组的编号数n 的关系式为________． 答案 f (n )＝n 3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)在平面几何中，对于Rt △ABC ，AC ⊥BC ，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则 ①a 2＋b 2＝c 2； ②cos 2A ＋cos 2B ＝1；③Rt △ABC 的外接圆半径为r ＝a 2＋b 22.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明． 解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.下面对①的猜想进行证明．如图在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，面ABC ，面ABD ，面ACD 为三个两两垂直的侧面．设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2，S Rt △ABC ＝12ab .同理，CD ＝b 2＋c 2，S Rt △ACD ＝12bc .BD ＝a 2＋c 2，S Rt △ABD ＝12ac .∴S △BCD ＝14[BC 2·BD 2－14(BC 2＋BD 2－CD 2)2]. 经检验，S 2Rt △ABC ＋S 2Rt △ACD ＋S 2Rt △ABD ＝S 2△BCD .即所证猜想为真命题．反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n 个图形中有________个小正方形．(2)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：________________. 答案 (1)n 2＋3n ＋22(2)数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝1 解析 (1)第1个图有3个正方形记作a 1， 第2个图有3＋3个正方形记作a 2， 第3个图有6＋4个正方形记作a 3， 第4个图有10＋5个正方形记作a 4， …，正方形的个数构成数列{a n }， 则a 2－a 1＝3， (1) a 3－a 2＝4, (2) a 4－a 3＝5, (3) ⋮⋮ a n －a n －1＝n ＋1，(n －1)(1)＋(2)＋…＋(n －1)，得a n －a 1＝3＋4＋5＋…＋(n ＋1)，a n ＝3＋(n －1)(4＋n )2＝n 2＋3n ＋22.类型二 综合法与分析法例2 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．证明 方法一 (综合法) 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥4， 所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (分析法)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋a ＋bab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋(1b ＋1a )≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab≥2恒成立，所以原不等式成立．反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 已知x >0，y >0，求证：1222()x y +>1333()x y +. 证明 要证明1222()x y +>1333()x y +， 只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2.只需证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 只需证3x 4y 2＋3x 2y 4>2x 3y 3. 又x >0，y >0，∴x 2y 2>0， ∴只需证3x 2＋3y 2>2xy .∵3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy ， ∴3x 2＋3y 2>2xy 成立， 故1222()x y +>1333()x y +.类型三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx <2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾．故1＋x y <2与1＋y x<2至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 类型四 数学归纳法 例4 观察下列四个等式： 第一个式子 1＝1 第二个式子2＋3＋4＝9 第三个式子3＋4＋5＋6＋7＝25 第四个式子4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 (1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明． 解 (1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.证明：①当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立， 即有k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＝(2k －1)2. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝(2k －1)2＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝4k 2－4k ＋1＋8k ＝(2k ＋1)2 ＝[2(k ＋1)－1]2. 右边＝[2(k ＋1)－1]2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据①②知，等式对任意n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74.a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)方法一 猜想a n ＝2n －12n －1.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k－12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k，满足上式，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立，由①②可知，对于n ∈N *，都有a n ＝2n －12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)．设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1为首项，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·q n －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n －12n －1.1．观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为( ) A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9 B ．9(n －1)＋n ＝10n －9 C ．9n ＋(n －1)＝10n －1 D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10 答案 B解析 由已知中的式子，我们观察后分析： 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号， 等式右边是一个等差数列． 根据已知可以推断：第n (n ∈N *)个等式为9(n －1)＋n ＝10n －9. 故选B.2．在平面直角坐标系中，方程x a ＋yb ＝1表示x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( ) A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋zxca＝1 D．ax＋by＋cz＝1答案 A解析∵在平面直角坐标系中，方程xa＋yb＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”．类比到空间坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为xa＋yb＋zc＝1.故选A.3．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案 A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A. 4．如图，这是一个正六边形的序列：则第n个图形的边数为________．答案5n＋1解析图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为a n＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.5．用数学归纳法证明(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．证明当n＝1时，左边＝－14，右边＝－1·2·7＝－14，等式成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)·(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)．那么当n＝k＋1时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[4k2＋12k＋9－4k2－6k－2]＝－(k＋1)[4k2＋3k＋2(6k＋7)]＝－(k＋1)[4k2＋15k＋14]＝－(k ＋1)(k ＋2)(4k ＋7)＝－(k ＋1)[(k ＋1)＋1][4(k ＋1)＋3]． 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．根据以上论证可知，等式对任何n ∈N *都成立．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n ＝n 0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n ＝k 时，结论成立，推得当n ＝k ＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．课时作业一、选择题1．古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A ．n B.n (n ＋1)2C ．n 2－1 D.n (n －1)2答案 B解析 观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．非以上错误答案 C解析 演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断．本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误． 3．用反证法证明命题：“a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”时的假设为( ) A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数 B ．a ，b ，c ，d 全为正数 C ．a ，b ，c ，d 全部大于等于0 D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数 答案 C解析 “a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定为“a ，b ，c ，d 全都大于等于0”． 4．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”x 2a 21－y 2b 21＝1中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1)．故选A.5．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x ＜0)，则f (x )( ) A ．有最大值B ．有最小值C ．为增函数D ．为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值． 故选A.6．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算?为：A i ?A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3，则满足关系式(x ?x )?A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 当x ＝A 0时，(x ?x )?A 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x ?x )?A 2＝A 2?A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x ?x )?A 2＝A 0?A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x ?x )?A 2＝A 2?A 2＝A 0，成立．故选B.7．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析 如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD 的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．二、填空题8．已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______． 答案 p ＞q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .9．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________．答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)10．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 方法一 (补集法)令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0 即⎩⎪⎨⎪⎧ －2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32. 方法二 (直接法)依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32. 三、解答题11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－S n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值并写出其通项公式；(2)用三段论证明数列{a n }是等比数列．(1)解 由a n ＝2－S n ，得a 1＝1；a 2＝12；a 3＝14； a 4＝18，猜想a n ＝(12)n －1(n ∈N *)． (2)证明 对于通项公式为a n 的数列{a n }，若a n ＋1a n＝p ，p 是非零常数，则{a n }是等比数列，大前提因为通项公式a n ＝(12)n －1，又a n ＋1a n ＝12，小前提 所以通项公式为a n ＝(12)n －1的数列{a n }是等比数列．结论 12．设a ，b ，c 为任意三角形三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证：3S ≤I 2<4S . 证明 I 2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca＝a 2＋b 2＋c 2＋2S .欲证3S ≤I 2<4S ，即证ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca .先证明ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2，只需证2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ca ，即(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2≥0，显然成立；再证明a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证a 2－ab －ac ＋b 2－ab －bc ＋c 2－bc －ca <0，即a (a －b －c )＋b (b －a －c )＋c (c －b －a )<0，只需证a <b ＋c ，且b <c ＋a ，且c <b ＋a ，由于a ，b ，c 为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3S ≤I 2<4S .13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立． 证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立． 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0.又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．四、探究与拓展14．设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x ，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________． 答案 1e解析 由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x －ln x －1，则g ′(x )＝－1x 2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x ，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 15．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立．(2)证明 当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512.n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. 综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立．。