第一章函数极限与连续总结

微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。

3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。

\large δ：是邻域半径。

2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。

从左从右逼近相同值。

●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。

●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。

●极限运算性质1、满足四则运算。

2、满足复合函数嵌套极限。

3、极限存在则左右极限相等。

●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。

●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。

第一章 函数.极限和连续第一节 函数1. 决定函数的要素：对应法则和定义域2. 基本初等函数：（六类）（1） 常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）；（3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。

注:分段函数不是初等函数。

特例：y =√x 2是初等函数3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。

4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。

5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。

第二节 极限1.分析定义∀&>0(任意小) ∃∂>0当|x |>ð（或0<|x −x 0|<ð ）时总有 |f (x )−A |<&称 lim x→∞f (x )=0 (或lim x→x0f (x )=A)2.极限存在的充要条件lim x→x0f (x )=A ↔lim x→x 0+f (x )=lim x→x 0−f (x )=A 3.极限存在的判定准则（1）夹逼定理f 1（x ）≤f(x)≪f 2(x) ,且 lim x→x0f 1(x )=A = lim x→x0f 2(x ) 所以lim x→x0f (x )=A（2）单调有界准则单调有界数列一定有极限。

4.无穷小量与无穷大量，则称 时，f （x ）为无穷小量 ， 则称 时，f （x ）为无穷大量 注：零是唯一的可作为无穷小的常数。

性质1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。

注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。

5. 定义 设 是同一极限过程中的无穷小， 则若 则称 α 是β比高阶的无穷小,记作若 则称α是比β 低阶的无穷小∞=→)(lim 0x f x x ）（或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0)(,)(x x ββαα==,0)(≠x β且,0lim =βα);(βαo =,lim ∞=βα,0lim ≠=C βα若 则称 α 是β的同阶无穷小;特别地，当c=1 时，则称α 是β的等价无穷小,记作若 则称α是关于β 的 k 阶无穷小。

第一章 函数、极限、连续（小结）一、函数1. 邻域：()U a ,()U a 以a 为中心的任何开区间；2. 定义域：tan {};2y x x k ππ=≠+ cot {};y x x k π=≠arctan {,(,)}22y x x R y ππ=∈∈-；arcsin {[1,1],[,]}22y x x y ππ=∈-∈-arccos {[1,1],[0,]}y x x y π=∈-∈.二、极限1. 极限定义：（了解）lim n n x a →∞=⇔ 若对于0ε∀>，N Z +∃∈，.st 当n N >时，有||n x a ε-<；Note ：||?n x a n ε-<→>lim ()x x f x A →=⇔0ε∀>，0δ∃>，.st 当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<；Note ：0()?f x A x x ε-<→-<左极限00()lim ()x x f x f x A --→==，右极限00()lim ()x x f x f x A ++→==。

lim ()x f x A →∞=⇔0ε∀>，0X ∃>，.st 当x X >时，有()f x A ε-<；Note ：()?f x A x ε-<→>lim (),lim ()x x f x A f x A →+∞→-∞==。

2.极限的基本性质（1） 唯一性：函数和数列的极限若存，则唯一。

（2） 有界性：收敛数列必有界。

局部有界0lim ()x x f x A →=0,0M δ⇒∃>>0,(,):x U x δ∀∈()f x M <。

（3） 保号性：lim 0n n x A →∞=>(或0<)，则存在正数N ，使得当n N >时，有0n x >(或0n x <)。

同济高数每章知识点总结第一章：函数的极限，连续，导数，微分1。

函数及其性质：(1)函数定义域是全体实数;(2)任意实数x， y与z， y与z之间都存在着一一对应的关系;(3)当自变量趋于无穷时，因变量也无穷，则函数也无穷; (4)函数可以有两个或两个以上的解;(5)函数不可能单调递增或单调递减;(6)两个互为相反数的函数相加，和仍为函数;(7)函数f(x) =-kx+m， 0<m<0，则f(x)>0;(8)在某区间上，函数f(x)f(x+u)，函数的图像关于曲线y=f(x)dx=f(x+u)dx上对称;(9)函数f(x)=x。

1。

函数的概念：给定一个实际的开区间和一个函数f，那么这个开区间就是所求解的值集合或区间，这个函数就叫做原函数或所要求的解。

2。

函数的定义域：原函数的定义域就是所求值集合或区间。

2。

定义域的取法：先用配方法求出未定式a的系数，然后设未知数f的系数为k，用x-a=f(x-k)，即f(x-k)f(x)=a(f(x)-x)((x-k)-x)>0，那么我们就把k的集合定为该函数的定义域，例如： f(x)=x，当k=0时， x=-1，函数没有定义，那么我们就把-1定为函数的定义域，这种方法叫做换元法。

例如f(x)=ax+b，当k=0时，函数为f(x)=x，当k=1时，函数为f(x)=2x+b，当k=2时，函数为f(x)=3x+b，当k=3时，函数为f(x)=4x+b。

6。

原函数的极限与函数的极限的定义：函数的极限就是自变量趋向某个值时，因变量也随之趋向该值的过程，但函数的极限与原函数无关，例如y=f(x)dx=f(x+u)dx=x+u(x-u)，当u=0时， y=f(x)，所以函数的极限也是自变量趋于0时，因变量也趋于0，但它们却不是同一个量。

函数极限的求法是利用微积分基本定理中的极限法则来确定的。

函数极限的定义，简洁、直观，并且完全符合函数单调性的要求，常被用来证明极限的存在性。

高数第一章知识点总结导读：篇一：高数第一章知识点总结1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。

3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。

此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。

数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。

6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。

差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法打有准备之战，胜算才能更大。

希望各2015考研生抓紧时间复习，在考研中取得好成绩。

一分耕耘一分收获。

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