【精品】第一章极限与连续

第1章极限与连续万丈高楼平地起，打好基础最要紧．——陈景润初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学则是以极限为基本工具，以变量及变量间的依赖关系，即函数关系为研究对象的一门数学课程．所谓函数关系就是变量之间的依赖关系．极限是研究微积分学的重要工具，是高等数学中最重要的概念之一，微积分学中的许多重要概念，如导数、定积分等，均通过极限来定义．因此，掌握极限的思想与方法是学好微积分学的基础．本章主要介绍变量、函数、极限等基本概念，并引出高等数学中有着广泛应用的一类重要的连续函数．1.1函数1.1.1常量与变量一、常量与变量在研究实际问题时，会遇到各种各样的量．如长度、面积、体积、时间、距离、速度等．这些量可分为两种：—种是在某种过程中保待不变的量，这种量称为常量；还有一种是在某种过程中不断改变的量，这种量称为变量．注意：一个量是常量还是变量，要视具体情况而定．例如，物体在做自由落体运动过程中，在一定高度内重力加速度可看作常量，但超出一定高度时，重力加速度则应看作变量．常用字母a，b，c等表示常量，用字母x，y，z等表示变量．对某一问题，变量只能在一定范围内取值．为简便起见，变量的取值范围常用区间表示．常用区间有以下几种∈<，列表如下（表1.1）：(,,)a b R a b特别地，(,) a a δδ-+称为点a 的δ 邻域，（其中a ，δ 是实数，且δ>0），记作：U (a ，δ)，点a 叫做这个邻域的中心．δ 叫做这个邻域的半径.如图1.1所示．即{}(, )| ||U a x x a δδ=-<点a 的δ 邻域去掉中心a 后，称为a 的空心δ 邻域，记作U (a ，δ)．如图1.2所示. 即U (a ，δ)=｛x | 0<｜x -a ｜<δ｝图1.1图1.21.1.2 函数的概念一、函数的定义定义 设有两个非空实数集D ，M ，如果对于数集D 中的每一个数x ，按照确定的法则f ，在数集M 中有唯一的一个数y 与之对应，则称y 是在对应法则f 作用下关于x 的在数集D 上的函数．记作y =f (x )，x 称为自变量，y 称为因变量．数集D 称为函数的定义域，数集W =｛y |y = f (x )，x ∈D ｝称为函数的值域，显然W ⊆M ，与x 对应的y 的数值称为函数f 在x 处的函数值．函数y =f (x )中表示对应法则的记号f 也可改用其他字母，例如“ϕ”，“F ”，等．这时函数就记作y =ϕ(x )，y =F (x )，等．在研究同一问题时出现的不同函数，应该用不同的记号．如果对自变量x 的某一个值x 0有确定的y 值f (x 0)与之对应，就说函数y =f (x )在x 0有定义．函数的定义域是自变量的取值范围．定义域和对应关系是函数的两个基本要素．两个函数只有定义域和对应关系完全相同时，才被认为是相同的．例如，函数22sin cos 1y x x y =+=与，它们的定义域和对应关系都相同，所以是相同的函数．又如，函数2111x y y x x -==-与＋，它们的定义域不同，所以是不同的函数．如果自变量在定义域内取某些数值时，对应多个y 值，就称这个对应规则为多值函数，而一个x 有唯一的y 值与之对应的情形，又称为单值函数．以后若无特别说明，函数都是指单值函数．函数可以用公式法、图形法、表格法等给出．在实际问题中，还会遇到一个函数在定义域的不同范围内，用不同的解析式表示，如电子技术中的矩形脉冲,0<2,2T E t u T E t T ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩这种函数称为分段函数．注意：分段函数在整个定义域上是一个函数，而不是几个函数，求分段函数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中计算．二、函数的定义域研究函数必须注意函数的定义域．在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义来确定．若不涉及实际问题，其定义域就是使函数表达式本身有意义的自变量的取值范围．例如：（1）在分式中，分母不能为零． （2）在实数范围内，负数不能开偶次方． （3）在对数式中，真数要大于零．（4）在三角函数和反三角函数中，要使三角函数和反三角函数有意义．（5）如果函数表达式中同时含有分式、根式、对数式、三角函数式或反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集．【例1.1.1】 求下列函数的定义域：211(1) lg (3) arcsin413x x y y y x x +===--21(1) 4y x =+－解2240 220x x x x ≠±⎧-≠⎧⎨⎨≥-+≥⎩⎩即 故：函数的定义域为(22)(2)-∞,,+．(2) lg1xy x =- ，使其有意义，须 0 1xx >- 即 10x x ><或故：函数的定义域为(0)(1).-∞+∞,,1(3)arcsin3x y += ，使其有意义，须 -1≤13x +≤1即 -3≤x +1≤3, -4≤x ≤2故：函数的定义域为[4,2].-1.1.3函数的几种特性函数的四个特性在初等数学中已作详细介绍，在此将定义和几何意义列表如下(表1.2)，以方便复习之用（表中Ｄ为函数f (x )定义域）.表１.21.1.4初等函数一、基本初等函数所谓基本初等函数，是指以下这些函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数．现将这些常用的基本初等函数及其定义域与值域、图像、特性列于表1.3．表1.3+∞(0,)续表1.３续表1.３二、复合函数以后我们经常会遇到由几个函数复合起来而得到的函数，例如，y =u 2，而u =sin x ，则y 通过u 而成为x 的函数y =sin 2x ，这时称y =sin 2x 为y =u 2和u =sin x 复合而成．定义 如果y 是u 的函数()y f u =，而u 又是x 的函数()u x ϕ=，且()x ϕ的值域与()y f u =的定义域的交集非空，则y 通过中间变量u 成为x 的函数，把[()]y f x ϕ=称为x 的复合函数，u 称为中间变量．注意 （1）并非任何两个函数都可复合.如22y u x ==+,就不能复合. (2)复合函数也可由两个以上的函数复合而成,复合的方法就是代入. 如ln y u =,sin u v =,2x v =,则lnsin 2xy =,这里,u v 都是中间变量. 【例1.1.2】 指出下列各复合函数的复合过程和定义域．（1）y =（2）y =lg(1-x )解 （1）y 21y u x ==+复合而成，它的定义域为(-∞，+∞)=R ． （2）y =lg (1-x )是由y =lg u 与u =1-x 复合而成，它的定义域是(,1)x ∈-∞．三、初等函数由基本初等函数和常数经过有限次四则运算与有限次的函数复合得到的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：212sin ,ln ,21,arcsin ,x xy y y x x y a y y x======等都是初等函数．注意：分段函数一般都不是初等函数.但是,由于分段函数在其定义域的各个子区间上都是由初等函数表示,故仍可通过初等函数来研究.某些分段函数仍是初等函数，如：, 0, 0x x y x x ⎧=⎨-<⎩≥能化为y，而y是由2y u x =复合而成的，所以这个分段函数是一个初等函数．*1.1.5 经济学中常用的函数一、需求与供给函数1. 需求函数需求是指消费者在一定价格下对商品的需要，消费者愿意购买而且有支付能力的有效需求，需求价格是指消费者对所需要的一定量商品所愿支付的价格．商品的需求量Q 可看成是商品价格p 的函数，称为需求函数. 记为Q ＝()p ϕ ,一般来说，当商品价格增加时，商品需求量将减少．因此需求函数是递减函数．需求函数的图像称为需求曲线，需求曲线如图1.3所示.需求函数的反函数1()p Q ϕ-=在经济学中也称为需求函数或价格函数.图 1.3图 1.42. 供给函数供给是指在某一时期内，生产者在一定条件下，愿意并可能出售的产品.供给价格是指生产者为提供一定量商品所愿意接受的价格．商品的供给量Q 可看成是商品价格p 的函数，称为供给函数. 记为() , 0Q f p p =>一般来说，当商品价格增加时，商品供给量将增加．因此供给函数是递减函数．供给函数的图像称为供给曲线，供给曲线如图1.4所示．局部市场均衡：当商品的需求价格与供给价格相一致时的价格，称为均衡价格，即当市场的需求量与供给量一致时的商品数量称为均衡数量，需求函数(),d Q p ϕ=供给函数(),s Q f p =（图1.5）则()()d s ds Q p Q f p Q Qϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 二、收益、成本与利润函数１. 收益函数收益是指生产者出售商品的收入.总收益是指将一定量产品出售后所得到的全部收入.总收益记为R .总收益R 为销售价格p 与销售量Q 的乘积，若以销量Q 为自变量，总收益R 为因变量，则R 与Q 之间的函数关系称为总收益函数．在已知需求函数Q ＝()p ϕ时，有1()()R R Q pQ Q Q ϕ-===⋅平均收益函数为1()()R Q AR Q p Qϕ-====总收益销量 ２．成本函数与利润函数总成本是指生产特定产量的产品所需要的成本总额.它包括两部分：固定成本和可变成本.二者之和即为总成本.0()()C C Q C V Q ==+平均成本函数为()C Q AC Q==总成本销量 利润函数是指在假设产量与销量一致的情况下，将总利润函数定义为总收益函数与总成本函数之差.即：()()()L Q R Q C Q =-习 题 1.11． 下列各题中，函数f (x )与g (x )是否相同？为什么？21()ln ()2ln f x x g x x ==（）(2) () ()f x x g x =(3)()()f x g x =2． 求下列函数的定义域：2211(1) (2) 12(3) 32y y x xxy y x x =+=--==-+3． 设|sin |,||30,||3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩（） ≥求2644πππϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，（-），并作出函数的图形．4． 下列函数中哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？21(1)()cos (2) ()(e e )211(3) ()(e e ) (4) ()ln21x x x x f x x x f x xf x f x x--==+-=-=+5．指出下列各复合函数的复合过程：122(1) e3(3) sin (4) cos(31)2(5) arccos(1)xy yxy y xy y x+====+==-6．设f(x)的定义域是[0，1]，问：（1）f(x2)；（2）f(sin x)；（3）f(x+a)，(a>0)；（4）f(x+a)+f(x-a)，(a>0)的定义域各是什么？7．设1, ||1()0, || 1 , ()e,1, ||1xxf x xg xx<⎧⎪===⎨⎪->⎩求f[g(x)]和g[f(x)]，并作出这两个函数的图像．8．有等腰梯形（如图1.6）当垂直于x轴的直线扫过该梯形时，若直线与x轴的的交点坐标为（x, 0），求直线扫过的面积S与变量间的函数关系，指明定义域，并求S(1)，S(3)，S(4)，S(6)的值．9．设某商品的需求关系是2Q+P = 40其中，Q是商品量，P是该商品的价格，求销售10件时的总收入．1.2 函数的极限1.2.1 函数极限的概念一、自变量趋于有限值时函数的极限先来考察f (x )=x +1与g (x )=211x x --两个不同函数，从图1.7和图1.8可看出，当x 无限趋近于1时，f (x )=x +1与g (x )=211x x --都无限趋近于2． f (x )=x +1在x =1处有定义，g (x )=211x x --在x =1处无定义．也就是说，当x 无限趋近于1时，f (x )与g (x )的极限是否存在与其在x =1处是否有定义无关．211x x -- 图1.8+1 图1.7一般说来．为了使0x x →时函数()f x 的极限定义适用范围更广泛，不必要求()f x 在0x 点有定义，只需要求()f x 在点0x 的空心邻城内有定义．于是给出如下定义：定义1 设函数y =f (x )在点0x 的空心邻域0(,)U x δ内有定义，如果当自变量x 在0(,)U x δ内无限趋近于0x 时，相应的函数值f (x )无限趋近于某一个固定的常数A ，则称常数A 为函数f (x )当0x x →时的极限．记为0() () ()→=→→lim 或x x f x A f x A x x注意：(1)定义中只须要求是0x 的空心邻域0(,)U x δ内有定义，而与0x 是否有定义无关；(2) 0x x →，意指x 从0x 的左右两侧趋于0x 的两种情形．有时为了研究问题的需要，变量x 变化趋势仅需考察从0x 的单侧方向情形，我们给出以下定义．定义2 设函数y =f (x )在点0x 的右半空心邻域00(,)x x δ+内有定义，如果当自变量x 在此半邻域内从x 0右侧无限趋近于x 0时，相应的函数值f (x )无限趋近于某个固定的常数A ，则称常数A 为f (x )在x 0处的右极限．记为0()+→=lim x x f x A或简记为 f (00+x )=A 或 0()()+→→f x A x x 定义3 设函数y =f (x )在点x 0的左半空心邻域00(,)x x δ-内有定义，如果当自变量x 在此半邻域内从x 0左无限趋近于x 0时，相应的函数值f (x )无限趋近于某个固定的常数A ，则称常数A 为f (x )在x 0处的左极限．记为-0()→=lim x x f x A或简记为 f (00-x )=A 或 0()()-→→f x A x x 函数的左极限和右极限统称单侧极限． 【例1.2.1】 设, 0()1, 0, 0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩画出该函数的图形，并讨论0lim ()lim ()lim ()x x x f x f x f x -+→→→，，是否存在．解 f (x )的图形如图1.9所示，由图不难看出：-00lim ()0 , lim ()0 , lim ()0x x x f x f x f x +→→→=== 【例1.2.2】 设21, 0(), 0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩ 画出该函数的图形，并讨论0lim ()lim ()lim ()x x x f x f x f x -+→→→，，是否存在． 解 f (x )的图形如图1.10所示，由图1.10不难看出：-00lim ()1, lim ()0,x x f x f x +→→== 所以，0lim ()x f x →不存在.由左右极限的定义及上述的两个例子不难看出，左右极限存在如下关系：定理1 函数f (x )在x 0处的极限为A 的充分必要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都为A ．即：()()+-→→==lim lim x x x x f x f x A 二、自变量趋向无穷大时函数的极限定义4 设函数y =f (x )在|x |>a (a >0的某个实数)时有定义，如果当自变量x 的绝对值无限增大时，相应的函数值f (x )无限趋近于同一个固定的常数A ，则称A 为x →∞时函数f (x )的极限.记为() () ()→∞=→→∞lim 或x f x A f x A x由图1.11可知： 1lim0x x→∞= 注意：x → ∞表示x 既取正值而无限增大(x → +∞)，同时也取负值而绝对值无限增大（x → -∞）两种情形．但有时x 的变化趋势只是一种情形，我们给出以下定义：定义5 设函数y =f (x )在（a ，+∞）(a 为某个实数)时有定义，如果当自变量|x |无限增大且x >0时，相应的函数值f (x )无限趋近于某一个固定的常数A ，则称A 为x →+∞时f (x )的极限.记为()→+∞=lim x f x A由图1.12可知： lim e 0x x -→+∞=定义6 设函数y =f (x )在（-∞，a ）(a 为某个实数)时有定义，如果当自变量|x |无限增大且x <0时，相应的函数值f (x )无限趋近于某一个固定的常数A ，则称A 为x →-∞时f (x )的极限.记为()→∞=lim x f x A －易得出下面的与定理1相同的结果．图1.13图1.12定理2 lim ()x f x A →∞=的充分必要条件为()()→+∞→∞==lim lim x x f x f x A －由图1.13可知：lim arctan lim arctan 22x x x x ππ→+∞→-∞==-，，故 limarctan x x →∞不存在．1.2.2 数列的极限定义7 定义域为自然数集的函数f (n )，如果记a n = f (n )， n =1，2，3，…则数串a 1，a 2，a 3，…，a n …称为数列或序列，简记为{a n }．其中的每个数称为数列的项，第n 项a n 称为数列的通项或一般项．若数列{}n a 对于每一个正整数n ，都有n a ≤1n a +，则称数列{}n a 是单调递增数列；若数列{}n a 对于每一个正整数n ，都有n a ≥1n a +，则称数列{}n a 是单调递减数列．定义8 设数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 无限趋近于某一固定的常数A ，则称数 列a n 当n 无限增大时以常数A 为极限．记为()→∞=→→∞lim 或n n n a A a A n这时也称当n →∞时，数列{}n a 收敛于A ．如果当n →∞时，数列{}n a 不趋近于某一固定常数A ，则称当n →∞时，数列{}n a 发散．【例1.2.3】 观察下列数列的极限：2n11(1) (2) 21(3)(4) 82n n n n a a nn a a ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭解 计算出数列前几项，考察当n →∞时数列的变化趋势，列于表1.4.表 1.4由表1.4可以看出，它们的极限分别是：2n11(1) lim lim =0(2) lim lim(2)21(3) lim lim =0(4) lim lim882n n n n n n n n n n n n a a nn a a →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞==-=⎛⎫=-== ⎪⎝⎭一般地,有下列结论：1(1)lim0 (>0) ,(2)lim 0 (|q|<1),(3)lim n n n n q C C n αα→∞→∞→∞===注意：上述关于函数与数列极限的定义都是一种描述性的定义，从某种角度讲，这种叙 述不够严密．“无限趋近”，不是一个纯粹的数学概念，其精确化的严密定义有“εδ-”，“N ε-”等定义，有兴趣可参看其他书籍，这里不再细述.1.2.3 极限的性质定理3（局部保号性） 若0lim ()x x f x →=A ，且A >0 (或A <0)，则存在点x 0的某一空心邻域，当x 在该邻域内时，就有f (x )>0(或f (x )<0)．定理4如果在x 0的某一空心邻域内f (x )≥0 (或f (x )≤0)，而且0lim ()x x f x →=A ，则A ≥0 (或A ≤0)定理5（局部有界性） 如果0lim ()x x f x →=A 存在，则f (x )必在x 0的某空心邻域内有界．定理6（唯一性） 若0lim ()x x f x →=A 存在，则极限值是唯一的．说明 （1）上述定理中把x →x 0改为x →∞，相应结论仍成立. （2）收敛数列也具有上述相类似的性质．习 题 1.21． 观察并写出下列极限：332221(1) lim (2) lim 24(3) lim (4) lim(52)2x x x x x x x x x →∞→-→+-++ 2． 求||(),(),x x f x x x xϕ==当x →0时的左、右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在．3． 证明函数21, 1()1, 11, 1x x f x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩在x →1时极限不存在．4． 观察并写出下列极限：21311lim(2) lim 21lim 0.9999n n n n n n n →∞→∞→∞→∞++⋅⋅⋅（）个1.3 无穷小量和无穷大量极限运算法则1.3.1 无穷小与无穷大一、无穷小的概念与性质定义1 如果一个变量在某一变化过程中以零为极限，则称它为无穷小量，简称无穷小． 【例1.3.1】 因为1lim 10x x →-=（），所以函数x -1当x →1时为无穷小．因为1lim 0x x →∞＝，所以函数1x当x →∞时为无穷小． 注意：（1）一个函数f (x )是无穷小，必须指明自变量x 变化趋势.（2）不要把一个绝对值很小的常数(如0.0000001)说成是无穷小,因它的极限不为零. （3）数“0”可看成无穷小． 无穷小有下列性质：性质1 两个无穷小的代数和仍为无穷小．注意：本定理可推广为有限个无穷小的代数和仍为无穷小，但无限个无穷小的代数和就不一定是无穷小．例如：22222123(1)111lim lim lim 2222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+⎡⎤⎡⎤++++==+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 性质2 有界变量与无穷小的乘积为无穷小．推论 常数与无穷小的乘积为无穷小，有限个无穷小的乘积也为无穷小． 不难推出，函数与其极限，无穷小三者间存在如下关系：定理1 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，则该常数就是该函数的极限．即0()() (→=⇔=+→lim x x f x A f x A x x αα是时的无穷小）二、无穷大的概念与无穷小的关系定义2 如果一个变量在某个变化过程中，绝对值无限增大，我们就把这类变量称为无穷大量，简称无穷大．例如，变量f (x )为0x x →时的无穷大，记作0lim ()x x f x →=∞；变量f (x )为0x x →时的正无穷大，记作0lim ()x x f x →=+∞；变量f (x )为0x x →时的负无穷大，记作0lim ()x x f x →=-∞．对于自变量x 的其他变化过程中的无穷大，正无穷大，负无穷大可用类似方法描述．当0x x → (x →∞)时为无穷大的函数f (x )，按函数极限定义来说，极限是不存在的．为 了便于叙述函数的这一形态，也说“函数的极限是无穷大”．不难知道：1011lim,lim 1x x x x-→→=∞=-∞-注意：（1）一个函数f (x )是无穷大，必须指明自变量x 变化趋势.（2）不要把一个绝对值很大的常数(如1000000)说成是无穷大,因它的极限为其本身，其绝对值不能无限增大．易知，无穷大与无穷小存在如下关系：定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f (x )是无穷大，则()1f x 为无穷小；反之，如果f (x )是无穷小，且f (x )≠０，则()1f x 为无穷大． 1.3.2 无穷小的比较虽然无穷小都以零为极限，但它们趋向于零的过程有“快、慢”之别，这种趋向于零的“快、慢”就是无穷小的比较．我们用两个无穷小之比的极限来衡量．定义3 设α (x )，β (x )是同一个变化过程中的两个无穷小．如果()()limx x αβ= 0，就说α(x )是比β (x )高阶的无穷小，记作α(x )=o (β (x ))； 如果()()lim x x αβ=∞，就说α(x )是比β(x )低阶的无穷小；如果()()lim x x αβ=C ≠0；就说α(x )与β(x )是同阶的无穷小；如果()()lim x x αβ=1，就说α(x )与β(x )是等价无穷小，记作α (x )～β (x )．显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形．我们可推出一些重要的等价无穷小，记住这些对求某些函数的极限非常有益．0x →当时，有以下常见的等价无穷小: 21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ,1cos ,e 1,ln(1)2xx x x x x x xx xx x x x --+定理3 设α(x )~α'(x )，β (x )~β '(x )，且()()''limx x αβ存在，则()()()()'='limlim x x x x ααββ 注意：本定理说明可利用等价无穷小求积商问题的极限，若不是积商情形要进行必要转化，切记不得胡乱套用．【例1.3.2】 比较下列无穷小阶的高低：(1)x →∞时，无穷小213x x与2(2) 1 11x x x →--时，无穷小与 解 2221111313(1)lim lim 0,.33x x x o x x x x x x →∞→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭因所以是比高阶的无穷小，即22x 111(2)lim lim(1)2, 11.1x xx x x x →→-=+=---因所以与是同阶无穷小【例1.3.3】 求0tan 2lim sin5x xx→．解 当x →0时，tan2~2,sin5~5x x x x ，所以00tan 222lim= lim sin555x x x x x x →→=【例1.3.4】 求30sin lim3x x x x→+．解 当x →0时，3sin ~,3x x x x +与其本身是等价无穷小，所以332000sin 11limlim lim 3333x x x x x x x x x x →→→===+++ 1.3.3 极限运算法则在下面的讨论中，记号“lim ”下面没有标明自变量的变化过程，是指x →x 0（或x →∞）这同一个变化过程，以后如遇到这种记号，均这样理解．实际上，下面的定理对于x →x 0及x →∞都成立．定理4 设u ，v 是同一个自变量的函数，并且在同一个极限过程中都有极限：lim u =A ，1im v =B ．则有：（1）lim(u ±v ) =lim u ±lim v=A ±B （2）lim(u ·v ) =lim u ·lim v=A ·B （3）如果B ≠0，则==lim limlim u u Av v B定理4中结论（2）的一个特例是当u =C (C 为常数)，v =f (x )时，得()0→lim ()x x Cf x =C ·0→lim ()x x f x上述定理可推广到有限函数四则运算的情形． 对任意正整数n。

第一章极限与连续第一节 数列的极限 一、数列极限的概念按照某一法则,对于每一个+∈N n ,对应一个确定的实数n x ,将这些实数按下标n 从小到大排列,得到一个序列,,,,21n x x x称为数列,简记为数列}{n x ,n x 称为数列的一般项。

例如:,1,,43,32,21+n n ,2,,8,4,2n,21,,81,41,21n,)1(,,1,1,11+--n,)1(,,56,43,34,21,21n n n --+ 一般项分别为1+n n ,n 2,n 21,1)1(+-n ,n n n 1)1(--+数列}{n x 可瞧成自变量取正整数n 的函数,即)(n f x n =,+∈N n设数列nn x n n 1)1(--+=,来说明数列}{n x 以1为极限。

为使100111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ,只需要100>n ,即从101项以后各项都满足1001|1|<-n x , 为使100000111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ,只需要100000>n ,即从100001项以后各项都满足1000001|1|<-n x , 为使ε<=--+=--nn n x n n 11)1(|1|1(ε就是任意给定的小正数),只需要ε1>n ,即当ε1>n 以后,各项都满足ε<-|1|n x 。

令]1[ε=N ,当N n >时,ε1>n ,因此有ε<-|1|n x ,即任意给定小正数ε,总存在正整数]1[ε=N ,当N n >时的一切n x 都满足ε<-|1|n x ,则定义:设}{n x 为一数列,如果存在常数a ,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得当N n >时的一切n x 都满足不等式ε<-||a x n则说常数a 就是数列}{n x 的极限,或者说数列}{n x 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim 或 a x n →)(∞→n如果不存在这样的常数a ,则说数列}{n x 没有极限,或者说数列}{n x 发散。

第1章极限与连续万丈高楼平地起，打好基础最要紧．——陈景润初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学则是以极限为基本工具，以变量及变量间的依赖关系，即函数关系为研究对象的一门数学课程．所谓函数关系就是变量之间的依赖关系．极限是研究微积分学的重要工具，是高等数学中最重要的概念之一，微积分学中的许多重要概念，如导数、定积分等，均通过极限来定义．因此，掌握极限的思想与方法是学好微积分学的基础．本章主要介绍变量、函数、极限等基本概念，并引出高等数学中有着广泛应用的一类重要的连续函数．1.1函数1.1.1常量与变量一、常量与变量在研究实际问题时，会遇到各种各样的量．如长度、面积、体积、时间、距离、速度等．这些量可分为两种：—种是在某种过程中保待不变的量，这种量称为常量；还有一种是在某种过程中不断改变的量，这种量称为变量．注意：一个量是常量还是变量，要视具体情况而定．例如，物体在做自由落体运动过程中，在一定高度内重力加速度可看作常量，但超出一定高度时，重力加速度则应看作变量．常用字母a，b，c等表示常量，用字母x，y，z等表示变量．对某一问题，变量只能在一定范围内取值．为简便起见，变量的取值范围常用区间表示．常用区间有以下几种(,,)a b R a b ∈<，列表如下（表1.1）： 表 1.1特别地，(,) a a δδ-+称为点a 的δ 邻域，（其中a ，δ 是实数，且δ>0），记作：U (a ，δ)，点a 叫做这个邻域的中心．δ 叫做这个邻域的半径.如图1.1所示．即{}(, )| ||U a x x a δδ=-<点a 的δ 邻域去掉中心a 后，称为a 的空心δ 邻域，记作U o(a ，δ)．如图1.2所示.即U o(a ，δ)=｛x | 0<｜x -a ｜<δ｝图1.1图1.21.1.2 函数的概念一、函数的定义定义 设有两个非空实数集D ，M ，如果对于数集D 中的每一个数x ，按照确定的法则f ，在数集M 中有唯一的一个数y 与之对应，则称y 是在对应法则f 作用下关于x 的在数集D 上的函数．记作y =f (x )，x 称为自变量，y 称为因变量．数集D 称为函数的定义域，数集W =｛y |y = f (x )，x ∈D ｝称为函数的值域，显然W ⊆M ，与x 对应的y 的数值称为函数f 在x 处的函数值．函数y =f (x )中表示对应法则的记号f 也可改用其他字母，例如“ϕ”，“F ”，等．这时函数就记作y =ϕ(x )，y =F (x )，等．在研究同一问题时出现的不同函数，应该用不同的记号．如果对自变量x 的某一个值x 0有确定的y 值f (x 0)与之对应，就说函数y =f (x )在x 0有定义．函数的定义域是自变量的取值范围．定义域和对应关系是函数的两个基本要素．两个函数只有定义域和对应关系完全相同时，才被认为是相同的．例如，函数22sin cos 1y x x y =+=与，它们的定义域和对应关系都相同，所以是相同的函数．又如，函数2111x y y x x -==-与＋，它们的定义域不同，所以是不同的函数．如果自变量在定义域内取某些数值时，对应多个y 值，就称这个对应规则为多值函数，而一个x 有唯一的y 值与之对应的情形，又称为单值函数．以后若无特别说明，函数都是指单值函数．函数可以用公式法、图形法、表格法等给出．在实际问题中，还会遇到一个函数在定义域的不同范围内，用不同的解析式表示，如电子技术中的矩形脉冲,0<2,2T E t u T E t T ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩这种函数称为分段函数．注意：分段函数在整个定义域上是一个函数，而不是几个函数，求分段函数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中计算．二、函数的定义域研究函数必须注意函数的定义域．在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义来确定．若不涉及实际问题，其定义域就是使函数表达式本身有意义的自变量的取值范围．例如：（1）在分式中，分母不能为零．（2）在实数范围内，负数不能开偶次方． （3）在对数式中，真数要大于零．（4）在三角函数和反三角函数中，要使三角函数和反三角函数有意义．（5）如果函数表达式中同时含有分式、根式、对数式、三角函数式或反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集．【例1.1.1】 求下列函数的定义域：211(1) lg (3) arcsin413x x y y y x x +===--21(1) 4y x =+－解2240 220x x x x ≠±⎧-≠⎧⎨⎨≥-+≥⎩⎩即 故：函数的定义域为(22)(2)-∞U ,,+．(2) lg1xy x =- ，使其有意义，须 0 1xx >- 即 10x x ><或故：函数的定义域为(0)(1).-∞+∞U ,, 1(3)arcsin 3x y += ，使其有意义，须 -1≤13x +≤1即 -3≤x +1≤3, -4≤x ≤2 故：函数的定义域为[4,2].-1.1.3函数的几种特性函数的四个特性在初等数学中已作详细介绍，在此将定义和几何意义列表如下(表1.2)，以方便复习之用（表中Ｄ为函数f (x )定义域）.表１.21.1.4初等函数一、基本初等函数所谓基本初等函数，是指以下这些函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数．现将这些常用的基本初等函数及其定义域与值域、图像、特性列于表1.3．二、复合函数以后我们经常会遇到由几个函数复合起来而得到的函数，例如，y =u 2，而u =sin x ，则y 通过u 而成为x 的函数y =sin 2x ，这时称y =sin 2x 为y =u 2和u =sin x 复合而成．定义 如果y 是u 的函数()y f u =，而u 又是x 的函数()u x ϕ=，且()x ϕ的值域与()y f u =的定义域的交集非空，则y 通过中间变量u 成为x 的函数，把[()]y f x ϕ=称为x 的复合函数，u 称为中间变量．注意 （1）并非任何两个函数都可复合.如22y u x =+,就不能复合. (2)复合函数也可由两个以上的函数复合而成,复合的方法就是代入. 如ln y u =,sin u v =,2xv =,则lnsin 2x y =,这里,u v 都是中间变量.【例1.1.2】 指出下列各复合函数的复合过程和定义域．（1）y （2）y =lg(1-x )解 （1）y21y u x ==+复合而成，它的定义域为(-∞，+∞)=R ． （2）y =lg (1-x )是由y =lg u 与u =1-x 复合而成，它的定义域是(,1)x ∈-∞．三、初等函数由基本初等函数和常数经过有限次四则运算与有限次的函数复合得到的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：212sin ,ln ,21,arcsin , x xy y y x x y a y y x ======等都是初等函数．注意：分段函数一般都不是初等函数.但是,由于分段函数在其定义域的各个子区间上都是由初等函数表示,故仍可通过初等函数来研究.某些分段函数仍是初等函数，如：, 0, 0x x y x x ⎧=⎨-<⎩≥能化为y，而y是由2y u x =复合而成的，所以这个分段函数是一个初等函数．*1.1.5 经济学中常用的函数一、需求与供给函数1. 需求函数需求是指消费者在一定价格下对商品的需要，消费者愿意购买而且有支付能力的有效需求，需求价格是指消费者对所需要的一定量商品所愿支付的价格．商品的需求量Q 可看成是商品价格p 的函数，称为需求函数. 记为Q ＝()p ϕ , 一般来说，当商品价格增加时，商品需求量将减少．因此需求函数是递减函数．需求函数的图像称为需求曲线，需求曲线如图1.3所示.需求函数的反函数1()p Q ϕ-=在经济学中也称为需求函数或价格函数.图 1.3图 1.42. 供给函数供给是指在某一时期内，生产者在一定条件下，愿意并可能出售的产品.供给价格是指生产者为提供一定量商品所愿意接受的价格．商品的供给量Q 可看成是商品价格p 的函数，称为供给函数. 记为() , 0Q f p p => 一般来说，当商品价格增加时，商品供给量将增加．因此供给函数是递减函数．供给函数的图像称为供给曲线，供给曲线如图1.4所示．局部市场均衡：当商品的需求价格与供给价格相一致时的价格，称为均衡价格，即当市场的需求量与供给量一致时的商品数量称为均衡数量，需求函数(),d Q p ϕ=供给函数(),s Q f p =（图1.5）则()()d s ds Q p Q f p Q Qϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 二、收益、成本与利润函数１. 收益函数 收益是指生产者出售商品的收入.总收益是指将一定量产品出售后所得到的全部收入.总收益记为R .总收益R 为销售价格p 与销售量Q 的乘积，若以销量Q 为自变量，总收益R 为因变量，则R 与Q 之间的函数关系称为总收益函数．在已知需求函数Q ＝()p ϕ时，有1()()R R Q pQ Q Q ϕ-===⋅平均收益函数为1()()R Q AR Q p Qϕ-====总收益销量 ２．成本函数与利润函数总成本是指生产特定产量的产品所需要的成本总额.它包括两部分：固定成本和可变成本.二者之和即为总成本.0()()C C Q C V Q ==+平均成本函数为()C Q AC Q==总成本销量 利润函数是指在假设产量与销量一致的情况下，将总利润函数定义为总收益函数与总成本函数之差.即：()()()L Q R Q C Q =-习 题 1.11． 下列各题中，函数f (x )与g (x )是否相同？为什么？21()ln ()2ln f x x g x x ==（）(2) () ()f x x g x =(3)()()f x g x =2． 求下列函数的定义域：2211(1) (2) 12(3) 32y y x xxy y x x =+=--==-+3． 设|sin |,||30,||3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩（） ≥求2644πππϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，（-），并作出函数的图形．4． 下列函数中哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？21(1)()cos (2) ()(e e )211(3) ()(e e ) (4) ()ln21x x x x f x x x f x xf x f x x--==+-=-=+5． 指出下列各复合函数的复合过程：122(1) e 3(3) sin(4) cos (31)2(5) arccos(1)x y y xy y x y y x +====+==- 6． 设f (x )的定义域是[0，1]，问：（1）f (x 2)；（2）f (sin x )；（3）f (x +a )，(a >0)；（4）f (x +a )+f (x -a )，(a >0)的定义域各是什么？7． 设1, ||1()0, || 1 , ()e , 1, ||1x x f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩求f [g (x )]和g [f (x )]，并作出这两个函数的图像．8． 有等腰梯形（如图1.6）当垂直于x 轴的直线扫过该梯形时，若直线与x 轴的的交点坐标为（x , 0），求直线扫过的面积S 与变量间的函数关系，指明定义域，并求S (1)，S (3)，S (4)，S (6)的值．9．设某商品的需求关系是2Q+P = 40其中，Q是商品量，P是该商品的价格，求销售10件时的总收入．1.2函数的极限1.2.1 函数极限的概念一、自变量趋于有限值时函数的极限先来考察f(x)=x+1与g(x)=211xx--两个不同函数，从图1.7和图1.8可看出，当x无限趋近于1时，f(x)=x+1与g(x)=211xx--都无限趋近于2．f(x)=x+1在x=1处有定义，g(x)=211xx--在x=1处无定义．也就是说，当x无限趋近于1时，f(x)与g(x)的极限是否存在与其在x=1处是否有定义无关．211xx--图1.8+1图1.7一般说来．为了使x x→时函数()f x的极限定义适用范围更广泛，不必要求()f x在x 点有定义，只需要求()f x在点x的空心邻城内有定义．于是给出如下定义：定义1设函数y=f(x)在点x的空心邻域(,)U xδo内有定义，如果当自变量x在(,)U xδo内无限趋近于x时，相应的函数值f(x)无限趋近于某一个固定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x x→时的极限．记为()() ()→=→→lim或x xf x A f x A x x注意：(1)定义中只须要求是0x 的空心邻域0(,)U x δo内有定义，而与0x 是否有定义无关；(2) 0x x →，意指x 从0x 的左右两侧趋于0x 的两种情形．有时为了研究问题的需要，变量x 变化趋势仅需考察从0x 的单侧方向情形，我们给出以下定义．定义2 设函数y =f (x )在点0x 的右半空心邻域00(,)x x δ+内有定义，如果当自变量x 在此半邻域内从x 0右侧无限趋近于x 0时，相应的函数值f (x )无限趋近于某个固定的常数A ，则称常数A 为f (x )在x 0处的右极限．记为()+→=lim x x f x A或简记为 f (00+x )=A 或 0()()+→→f x A x x 定义3 设函数y =f (x )在点x 0的左半空心邻域00(,)x x δ-内有定义，如果当自变量x 在此半邻域内从x 0左无限趋近于x 0时，相应的函数值f (x )无限趋近于某个固定的常数A ，则称常数A 为f (x )在x 0处的左极限．记为-0()→=lim x x f x A或简记为 f (00-x )=A 或 0()()-→→f x A x x 函数的左极限和右极限统称单侧极限．【例1.2.1】 设, 0()1, 0, 0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩画出该函数的图形，并讨论0lim ()lim ()lim ()x x x f x f x f x -+→→→，，是否存在．解 f (x )的图形如图1.9所示，由图不难看出：-0lim ()0 , lim ()0 , lim ()0x x x f x f x f x +→→→=== 【例1.2.2】 设21, 0(), 0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩ 画出该函数的图形，并讨论0lim ()lim ()lim ()x x x f x f x f x -+→→→，，是否存在．解 f (x )的图形如图1.10所示，由图1.10不难看出：-0lim ()1, lim ()0,x x f x f x +→→== 所以，0lim ()x f x →不存在.由左右极限的定义及上述的两个例子不难看出，左右极限存在如下关系：定理1 函数f (x )在x 0处的极限为A 的充分必要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都为A ．即：()()+-→→==lim lim x x x x f x f x A 二、自变量趋向无穷大时函数的极限定义4 设函数y =f (x )在|x |>a (a >0的某个实数)时有定义，如果当自变量x 的绝对值无限增大时，相应的函数值f (x )无限趋近于同一个固定的常数A ，则称A 为x →∞时函数f (x )的极限.记为 () () ()→∞=→→∞lim 或x f x A f x A x由图1.11可知： 1lim0x x→∞= 注意：x → ∞表示x 既取正值而无限增大(x → +∞)，同时也取负值而绝对值无限增大（x → -∞）两种情形．但有时x 的变化趋势只是一种情形，我们给出以下定义： 定义5 设函数y =f (x )在（a ，+∞）(a 为某个实数)时有定义，如果当自变量|x |无限增大且x >0时，相应的函数值f (x )无限趋近于某一个固定的常数A ，则称A 为x →+∞时f (x )的极限.记为()→+∞=lim x f x A由图1.12可知： lim e 0x x -→+∞=定义6 设函数y =f (x )在（-∞，a ）(a 为某个实数)时有定义，如果当自变量|x |无限增大且x <0时，相应的函数值f (x )无限趋近于某一个固定的常数A ，则称A 为x →-∞时f (x )的极限.记为()→∞=lim x f x A －易得出下面的与定理1相同的结果．图1.13图1.12定理2 lim ()x f x A →∞=的充分必要条件为()()→+∞→∞==lim lim x x f x f x A －由图1.13可知：lim arctan lim arctan 22x x x x ππ→+∞→-∞==-，，故 limarctan x x →∞不存在．1.2.2 数列的极限定义7 定义域为自然数集的函数f (n )，如果记a n = f (n )， n =1，2，3，…则数串a 1，a 2，a 3，…，a n …称为数列或序列，简记为{a n }．其中的每个数称为数列的项，第n 项a n 称为数列的通项或一般项．若数列{}n a 对于每一个正整数n ，都有n a ≤1n a +，则称数列{}n a 是单调递增数列；若数列{}n a 对于每一个正整数n ，都有n a ≥1n a +，则称数列{}n a 是单调递减数列．定义8 设数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 无限趋近于某一固定的常数A ，则称数 列a n 当n 无限增大时以常数A 为极限．记为()→∞=→→∞lim 或n n n a A a A n这时也称当n →∞时，数列{}n a 收敛于A ．如果当n →∞时，数列{}n a 不趋近于某一固定常数A ，则称当n →∞时，数列{}n a 发散．【例1.2.3】 观察下列数列的极限：2n11(1) (2) 21(3) (4) 82n n n n a a n na a ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭解 计算出数列前几项，考察当n →∞时数列的变化趋势，列于表1.4.由表1.4可以看出，它们的极限分别是：2n11(1) lim lim =0 (2) lim lim(2)21(3) lim lim =0 (4) lim lim882n n n n n n n n n n n n a a n na a →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞==-=⎛⎫=-== ⎪⎝⎭一般地,有下列结论：1(1)lim 0 (>0) ,(2)lim 0 (|q|<1),(3)lim n n n n q C C n αα→∞→∞→∞=== 注意：上述关于函数与数列极限的定义都是一种描述性的定义，从某种角度讲，这种叙 述不够严密．“无限趋近”，不是一个纯粹的数学概念，其精确化的严密定义有“εδ-”，“N ε-”等定义，有兴趣可参看其他书籍，这里不再细述.1.2.3 极限的性质定理3（局部保号性） 若0lim ()x x f x →=A ，且A >0 (或A <0)，则存在点x 0的某一空心邻域，当x 在该邻域内时，就有f (x )>0(或f (x )<0)．定理4如果在x 0的某一空心邻域内f (x )≥0 (或f (x )≤0)，而且0lim ()x x f x →=A ，则A ≥0 (或A ≤0)定理5（局部有界性） 如果0lim ()x x f x →=A 存在，则f (x )必在x 0的某空心邻域内有界．定理6（唯一性） 若0lim ()x x f x →=A 存在，则极限值是唯一的．说明 （1）上述定理中把x →x 0改为x →∞，相应结论仍成立. （2）收敛数列也具有上述相类似的性质．习 题 1.21． 观察并写出下列极限：332221(1) lim (2) lim 24(3) lim (4) lim(52)2x x x x x x x x x →∞→-→+-++ 2． 求||(),(),x x f x x x xϕ==当x →0时的左、右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在．3． 证明函数21, 1()1, 11, 1x x f x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩在x →1时极限不存在．4． 观察并写出下列极限：21311lim (2) lim21lim 0.9999n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞++⋅⋅⋅14243（）个1.3 无穷小量和无穷大量极限运算法则1.3.1 无穷小与无穷大一、无穷小的概念与性质定义1 如果一个变量在某一变化过程中以零为极限，则称它为无穷小量，简称无穷小．【例1.3.1】 因为1lim 10x x →-=（），所以函数x -1当x →1时为无穷小．因为1lim 0x x →∞＝，所以函数1x 当x →∞时为无穷小．注意：（1）一个函数f (x )是无穷小，必须指明自变量x 变化趋势.（2）不要把一个绝对值很小的常数(如0.)说成是无穷小,因它的极限不为零. （3）数“0”可看成无穷小． 无穷小有下列性质：性质1 两个无穷小的代数和仍为无穷小．注意：本定理可推广为有限个无穷小的代数和仍为无穷小，但无限个无穷小的代数和就不一定是无穷小．例如：22222123(1)111lim lim lim 2222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+⎡⎤⎡⎤++++==+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L 性质2 有界变量与无穷小的乘积为无穷小．推论 常数与无穷小的乘积为无穷小，有限个无穷小的乘积也为无穷小． 不难推出，函数与其极限，无穷小三者间存在如下关系：定理1 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，则该常数就是该函数的极限．即0()() (→=⇔=+→lim x x f x A f x A x x αα是时的无穷小）二、无穷大的概念与无穷小的关系定义2 如果一个变量在某个变化过程中，绝对值无限增大，我们就把这类变量称为无穷大量，简称无穷大．例如，变量f (x )为0x x →时的无穷大，记作0lim ()x x f x →=∞；变量f (x )为0x x →时的正无穷大，记作0lim ()x x f x →=+∞；变量f (x )为0x x →时的负无穷大，记作0lim ()x x f x →=-∞．对于自变量x 的其他变化过程中的无穷大，正无穷大，负无穷大可用类似方法描述．当0x x → (x →∞)时为无穷大的函数f (x )，按函数极限定义来说，极限是不存在的．为 了便于叙述函数的这一形态，也说“函数的极限是无穷大”．不难知道：1011lim,lim 1x x x x-→→=∞=-∞-注意：（1）一个函数f (x )是无穷大，必须指明自变量x 变化趋势. （2）不要把一个绝对值很大的常数(如)说成是无穷大,因它的极限为其本身，其绝对值不能无限增大．易知，无穷大与无穷小存在如下关系：定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f (x )是无穷大，则()1f x 为无穷小；反之，如果f (x )是无穷小，且f (x )≠０，则()1f x 为无穷大． 1.3.2 无穷小的比较虽然无穷小都以零为极限，但它们趋向于零的过程有“快、慢”之别，这种趋向于零的“快、慢”就是无穷小的比较．我们用两个无穷小之比的极限来衡量．定义3 设α (x )，β (x )是同一个变化过程中的两个无穷小．如果()()lim x x αβ= 0，就说α(x )是比β (x )高阶的无穷小，记作α(x )=o (β (x ))；如果()()limx x αβ=∞，就说α(x )是比β(x )低阶的无穷小； 如果()()lim x x αβ=C ≠0；就说α(x )与β(x )是同阶的无穷小；如果()()lim x x αβ=1，就说α(x )与β(x )是等价无穷小，记作α (x )～β (x )．显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形．我们可推出一些重要的等价无穷小，记住这些对求某些函数的极限非常有益． 0x →当时，有以下常见的等价无穷小:21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ,1cos ,e 1,ln(1)2xx x x x x x x x x x x x x --+:::: 定理3 设α(x )~α'(x )，β (x )~β '(x )，且()()''limx x αβ存在，则 ()()()()'='lim lim x x x x ααββ注意：本定理说明可利用等价无穷小求积商问题的极限，若不是积商情形要进行必要转化，切记不得胡乱套用．【例1.3.2】 比较下列无穷小阶的高低：(1)x →∞时，无穷小213x x与 2(2) 1 11x x x →--时，无穷小与解 2221111313(1)lim lim 0,.33x x x o x x x x x x→∞→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭因所以是比高阶的无穷小，即 22x 111(2)lim lim(1)2, 11.1x x x x x x →→-=+=---因所以与是同阶无穷小 【例1.3.3】 求0tan 2lim sin5x x x→． 解 当x →0时，tan2~2,sin5~5x x x x ，所以00tan 222lim = lim sin555x x x x x x →→= 【例1.3.4】 求30sin lim 3x x x x→+． 解 当x →0时，3sin ~,3x x x x +与其本身是等价无穷小，所以332000sin 11lim lim lim 3333x x x x x x x x x x →→→===+++ 1.3.3 极限运算法则在下面的讨论中，记号“lim ”下面没有标明自变量的变化过程，是指x →x 0（或x →∞）这同一个变化过程，以后如遇到这种记号，均这样理解．实际上，下面的定理对于x →x 0及x →∞都成立．定理4 设u ，v 是同一个自变量的函数，并且在同一个极限过程中都有极限：lim u =A ，1im v =B ．则有：（1）lim(u ±v ) =lim u ±lim v=A ±B（2）lim(u ·v ) =lim u ·lim v=A ·B（3）如果B ≠0，则==lim lim lim u u A v v B定理4中结论（2）的一个特例是当u =C (C 为常数)，v =f (x )时，得()0→lim ()x x Cf x =C ·0→lim ()x x f x 上述定理可推广到有限函数四则运算的情形．对任意正整数n。

第一章 函数 极限 连续知识点拔1.1 函数一、函数的概念设D 是一个非空数集，若存在一个对应法则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与之对应，则称这个对应法则f 是定义在数集D 上的一个函数，记作：)(x f y =，其中x 叫自变量，y 叫因变量或函数，数集D 称为函数的定义域，而数集}),(|{D x x f y y z ∈==叫函数的值域.如果D x ∈0，称函数)(x f 在0x 处有定义，函数)(x f 在0x 处的函数值记为0x x y =或)(0x f .注释:①函数定义的两个要素：定义域和对应法则；②两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：22)(2---=x x x x f 与1)(+=x x g 不同，因定义域不同；x x f 2sin )(=与x x g sin )(=不同，因对应法则不同；x x x x f 222cos sin )(++=与1)(2+=t t g 相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同.③若定义域内的每一个x 只对应一个函数值y ，则称该函数为单值函数，若同一个x 值可对应于多于一个的函数值y ，这种函数称为多值函数.二、函数的基本性质1、函数的单调性：设函数在区间D 上有定义，如果对2121,x x D x x <∈∀且，恒有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称)(x f 在区间D 上严格单调增加（或严格单调减少）的.如果对于D x x ∈∀21,21x x <且，有)()(21x f x f ≤ (或)()(21x f x f ≥)称)(x f 在区间D 上是单调增加（或单调减少）的.注释：（1）函数的有界性与单调性是与某个区间密切相关的，区间不同函数的有界性与单调性也不同.（2）增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减，增的倒数为减，减的倒数为增. （3）增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数. （4）增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数.2、函数的奇偶性：设D 是对称于原点的区间，若对D x ∈∀，)()(x f x f -=-有，则称)(x f 是奇函数；若有)()(x f x f =-，称)(x f 是偶函数.注释：①奇（偶）函数的定义域必须是关于原点对称的区间. ②奇函数)(x f 的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. ③奇偶函数的运算性质1°奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数；奇函数与偶函数的代数和为非奇非偶函数；2°偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数； 3°一奇一偶函数的积是奇函数；4°奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；5°奇函数的原函数是偶函数；偶函数)(x f 的原函数⎰=xa dt t f x F )()(是奇函数的充要条件是0=a ，即在所有原函数中只有一个函数是奇函数.④任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式，即=)(x f 2)()(2)()(x f x f x f x f -++--.3、函数的有界性：设)(x f 在区间D 上有定义，如果存在0>M ,使得对一切D x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在D 上有界，否则称为无界，即对0>∀M ，若存在D x ∈0，使得M x f >)(，称)(x f 在D 上是无界的.注释：函数的有界性与x 的取值区间有关. 若函数xy 1=在区间),1(+∞上有界，但在)1,0(内是无界的，因为在这个区间上函数满足定义的M 不存在，即函数的有界性与x 的取值区间有关.4、函数的周期性：设)(x f 的定义域为D ，若存在常数0>T ，伎得对D x ∈∀，必有D T x ∈±，并且有)()(x f T x f =+成立，则称)(x f 是以T 为周期的周期函数，T 称为函数)(x f 的周期，所有周期中的最小正周期叫函数)(x f 的周期.注释：①周期函数的定义域必须是无限点集，但不能是有限区间. 如：x y tan =的定义域是（+∞∞-,）且....,2,1,0,2=+≠k k x ππ②若)(x f 的周期为T ，则)(φω+x f 的周期为ωT(0≠ω)；③周期函数的和、差、积仍为周期函数，且周期为各个函数周期的最小公倍数，如：x x y 3cos 4sin +=周期是32,42ππ的最小公倍数π2，但也有例外，如：x sin ,x cos 的周期为2π，但x x y cos sin +=的周期为π；④周期函数的导数仍为周期函数，且周期不变； ⑤设)(x f 是周期为T 的函数，则它的原函数⎰=xadt t f x F )()(为周期函数的充要条件是0)(0=⎰Tdx x f ，或者说，周期函数的原函数不一定是周期函数，如：x x f cos 1)(+=是以2π为周期的函数，但其任一个原函数C x x x F ++=sin )(不是周期函数.⑥不是每一个周期函数都有最小正周期的,如:狄利克雷函数⎩⎨⎧=无理数有理数x x y ,0,1任何有理数r 都是它的周期,即若x 为有理数, r x +也是有理数,故有)(1)(r x f x f +==;若x 为无理数, r x +也是无理数,故)(0)(r x f x f +==,可见r 为)(x f 的周期,但它没有最小的正周期. 又如：C y =，C 为常数，它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数.三、反函数设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M ，如果对于M 中的某一个y 值（M y ∈），都可以从关系式)(x f y =确定唯一的x （D x ∈）与之对应，这样就确定了一个以y 为自变量的新函数，记为：)(1y fx -=，称函数)(1y f x -=为函数)(x f y =的反函数，它的定义域为M ，值域为D .注释：①习惯上自变量用x 表示，函数用y 表示，因此函数)(x f y =的反函数)(1y f x -=通常表示为)(1x fy -=.②反函数的定义域就是其原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域，且有)]([)]([11x f f x x f f --==.③原来函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=的图像关于x y =对称（前提是在同一坐标系中），)(x f y =的图像与其反函数)(y x φ=的图像重合.④只有一一对应的函数才有反函数.⑤若)(x f 在区间I 内单调⇒)(x f 在区间I 内一定存在单值反函数，反之不一定成立，即若)(x f 在区间I 内存在单值反函数但)(x f 在区间I 内不一定单调，如： ⎩⎨⎧≤≤+≤--=10,101,)(x x x ＜x x f 在区间]1,1[-内存在单值反函数，但它在]1,1[-上不单调.四、复合函数若函数)(x u φ=在0x 处有定义，而)(u f y =在)(00x u φ=处有定义，则)]([x f y φ=称为由)(u f y =和)(x u φ=复合而成的复合函数，u 称为中间变量.注释：①只有当函数)(x u φ=的值域与)(u f y =的定义域的交集不是空集时才构成复合数. ②函数的复合：先利用外层函数关系，再利用内层函数关系而构成，如：设x x f sin )(=，x e x =)(φ，则x e x x f sin )](sin[)]([==φφ.③复合函数的分解：先找到外层函数关系，设其内部整体为中间变量u ，再依次分解，如：21)]sin [arctan(x x y +=，可设)sin arctan(x x u +=,x x v sin +=，则原来函数是由21u y = , v u arctan =，x x v sin +=复合而成.五、初等函数1、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统称为基本初等函数.2、初等函数：由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算且可用一个数学解析式表示的函数叫初等函数.注释：初等函数必须用一个式子表示，不能用一个式表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一般不是初等函数.3、分段函数：若函数在其定义域内的不同部分上，分别用不同的表达式表示，这类函数称为分段函数.如：符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1sgn x x x x 是分段函数且是有界函数和奇函数.又如： x x x x x x x y sgn .0,,0,=⎩⎨⎧<-≥==是分段函数.注释：分段函数一般不是初等函数，但若)(x f 是初等函数，则⎩⎨⎧<-≥==.0)(),(,0)(),()()(2x f x f x f x f x f x f 是初等函数. 又如：取整函数[]x y =，即“不超过x 的最大整数”是分段函数. 又如：定义在R 上的狄利克雷（Dirichlet ）函数⎩⎨⎧=.,0,1)(无理数有理数x ，x x D 是分段函数，且是有界的，)(x D 是周期函数，但没有最小的正周期，任何有理数都是它的周期，并且)(x D 还是偶函数.4、初等函数的几个特例设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数，则（1）)(x f 是初等函数，因为=)(x f []2)(x f ；（2）最大值函数max )(=x ϕ{})(),(x g x f 和最小值函数{})(),(min )(x g x f x =ψ都是初等函数，这是因为{}[])()()()(21)(),(max )(x g x f x g x f x g x f x -++==ϕ {}[])()()()(21)(),(min )(x g x f x g x f x g x f x --+==ψ （3）幂指函数)()]([x g x f y = (0)(>x f )是初等函数，因为)(ln )()](ln[)()()]([x f x g x f x g e e x f x g ==.1.2 极限一、数列极限的定义 1、数列极限的概念设}{n x 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时，有ε<-a x n ，则称数列}{n x 收敛于a ，而a 称为数列}{n x 的极限，记作：a x n n =∞→lim ，或a x n →（∞→n ）.若数列}{n x 没有极限，则称数列}{n x 不收敛，或称}{n x 为发散数列. 若0lim =∞→n n x ，则称}{n x 为无穷小数列.定理 数列}{n x 收敛于a 的充要条件是：}{a x n -为无穷小数列. 2、有界数列的概念对于数列}{n x ，如果存在正数M ，使得对于一切的n x 都有不等式M x n ≤||成立，则称数列}{n x 是有界的；如果这样的正数M 不存在，则称数列}{n x 是无界的.注释：（1）若数列}{n x 收敛，则数列有界；（2）有界数列}{n x 不一定收敛，如：n n a )1(-=有界，但不收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件；（3）C C n =∞→lim （常数）；01lim=∞→p n n （0>p ）；0lim =∞→nn q （1<q ）； （4）等差数列的求和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n 2)1(1-+=. （5）等比数列的前n 项和公式qq a S n n --=1)1(1.3、单调数列的概念对于数列}{n x ，如果满足条件 ≤≤≤≤≤+121n n x x x x ，则称数列}{n x 为单调增加数列；如果满足条件 ≥≥≥≥≥+121n n x x x x ，则称数列}{n x 为单调减少数列.单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列. 定理（单调有界准则） 单调有界数列必有极限.二、函数极限1、∞→x 时，函数)(x f 的极限 （1）概念定义 如果当∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记作：A x f x =∞→)(lim 或A x f →)(（∞→x ）.注释：（1）∞→x 是指x 的绝对值无限增大，它包含以下两种情况：x 取正值并无限增大，记作：+∞→x ；x 取负值且其绝对值无限增大，记作：-∞→x .（2）如果+∞→x 和-∞→x 两种情况都存在且函数的极限值相等时，则可合并写成∞→x . 定义 如果当+∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或A x f →)(（+∞→x ）.如果当-∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或A x f →)(（-∞→x ）.（2）函数)(x f 在∞→x 时极限存在的充要条件定理 极限A x f x =∞→)(lim 存在的充要条件是A x f x =+∞→)(lim 且A x f x =-∞→)(lim .如：由于2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ，所以x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→≠，故极限x x arctan lim ∞→不存在；又如：由于0lim =-∞→x x e ，+∞=+∞→x x e lim 即不存在，故极限xx e ∞→lim 不存在.2、0x x →时，函数)(x f 的极限 （1）函数)(x f 在0x x →时的极限概念定义 设函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有定义，如果当0x x →时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作：A x f x x =→)(lim 0或Ax f →)(（0x x →）.注释：0x x →表示x 趋近于0x ，含以下两种情况：（1）x 从大于0x 的一侧（即右侧）趋近于0x ，记作：+→0x x ； （2）x 从大于0x 的一侧（即右侧）趋近于0x ，记作：-→0x x .（2）函数左极限与右极限的概念定义 设函数)(x f 在0x 的某个左侧邻域),(00x x δ-（0>δ）内有定义，如果当x 从0x 的左侧趋近于0x （记作：-→0x x ）时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当-→0x x 时的极限，记作：A x f x x =-→)(lim 0或A x f =-)(0或A x f =-)0(0.设函数)(x f 在0x 的某个右侧邻域),(00δ+x x （0>δ）内有定义，如果当x 从0x 的右侧趋近于0x （记作：+→0x x ）时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当+→0x x 时的极限，记作：A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)(0或A x f =+)0(0.（3）函数)(x f 在0x x →时极限存在的充要条件定理 极限A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件是A x f x x =-→)(lim 0且A x f x x =+→)(lim 0.注释：该定理主要用来判定分段函数在分段点处极限是否存在的重要定理. （4）几个常用极限01lim=∞→x x ，C C x x =→0lim （常数），0sin lim 0=→x x ，1cos lim 0=→x x ，00lim x x x x =→. （5）初等函数的极限基本初等函数在定义域内任一点0x 的极限等于该点的函数值；初等函数在定义区间内任一点0x 的极限等于该点的函数值.3、函数极限的性质（1）唯一性：若极限)(lim 0x f x x →存在，则它的极限必唯一；（2）局部有界性：若)(li m 0x f x x →存在，则0>∃δ和0>M ，当δ<-<00x x 时，有M x f ≤)(；（3）保序性：设A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，（Ⅰ）若B A >，则0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有)()(x g x f >； （Ⅱ）若当δ<-<00x x 时，有)()(x g x f >，则B A ≥.（4）保号性：若0)(lim 0>=→A x f x x （或<0），则必0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）若0)(>x f （或0)(<x f ），且A x f x x =→)(lim 0，则0≥A （或0≤A ）.注释：①上述的变化趋势0x x →，可以换成-→0x x ，+→0x x ，∞→x ，-∞→x ，+∞→x②若)0(0)(<>或x f ,且A x f x x =→)(lim 0，则0>A )0(<或是错误的，如)0(0)(2≠>=x x x f ，但0)(lim 0=→x f x1.3 极限的运算法则若)(lim x f ，)(lim x g 都存在，则（1）[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±；（2）[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=，特别地)(lim )(lim x f C x Cf =； （3）)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f =，其中0)(lim ≠x g ； （4）)]([lim )]([lim x g f x g f =； （5）[],)(lim )(lim )(lim )(x g x g x f x f =其中0)(lim >x f 且不等于1，特别地[]αα)(lim )](lim[x f x f =（α为实数）. 注释：①法则（1）（2）可以推广到有限个函数.②0x x →时有理分式极限的求法设)(x R 是有理分式，01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R n n n n n n n n m n ++++++++==---- ，其中0≠n a ，0≠n b .（1）若0)(0≠x Q m ，则)()()()(lim 0000x R x Q x P x R m n x x ==→；（2）若0)(0=x Q m ，而0)(0≠x P n ，则∞=→)(lim 0x R x x ；（3）若0)(0=x Q m 且0)(0=x P n ，则)(x P n 与)(x Q m 一定有公因子)(0x x -，将)(x P n 与)(x Q m 因式分解，约去公因式后再计算极限.③∞→x 时有理分式极限的求法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞=>=∞→.,.,.,0)(lim 时当时当时当n m n m b an m x R n n x 其中0≠n a ，0≠n b . ④无理分式极限的求法：先分子或分母有理化，在计算极限 ⑤“∞-∞”型有理分式的求法：先通分，再求极限.1.4 极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则夹逼定理：如果对于0x 的去心邻域内的一切x 都有)()()(x h x f x g ≤≤，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0，则有A x f x x =→)(lim 0.二、两个重要极限 1、1sin lim0=→xx x ，1sin lim 0=→x x x ，一般的1sin lim0=∆∆→∆，∆表示任一函数)(x u ，即1)()(sin lim 0)(=→x u x u x u ；2、e xxx =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim ，一般的e =∆+∆∞→∆)11(lim ，e =∆+∆→∆10)1(lim ，∆表示任一函数)(x u ，即e x u x u x u =+∞→)()())(11(li m ，e x u x u x u =+→)(1)())(1(lim .1.5 无穷小量与无穷大量、无穷小的比较一、无穷小量1、无穷小量的概念若0)(lim 0=→x f x x （或0)(lim =∞→x f x ），则称)(x f 是0x x →（或∞→x ）时的无穷小量，简称无穷小；2、极限与无穷小量的关系α+=⇔=∞→→A x f A x f x x x )()(lim )(0，其中α是0x x →时的无穷小量.|)(|)(lim )(0A x f A x f x x x -⇔=∞→→是0x x →（或∞→x ）时的无穷小量.3、无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量，（2）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。

第一章 极限与连续函数、极限、连续是《微积分》中最重要的基本概念 函数是《微积分》的主要研究对象。

极限方法是《微积分》研究变量的最基本方法。

连续是函数的主要特性之一。

一、本章基本要求 第一节 函数1.弄清常量、变量的概念及表示法；理解函数的概念及表示法。

2.会求已知函数在某一点的函数值。

会求函数的定义域。

3.理解分段函数的概念。

会求分段函数在某一点的值及分段函数的定义域。

会做简单函数的图像。

4.了解反函数的概念。

弄清反函数与直接函数的关系。

会求已知函数的反函数。

5.了解函数的主要性质。

如：奇偶性、有界性、周期性、单调性。

会判断已知函数的奇偶性、有界性等。

并熟悉其图形特征。

6.理解基本初等函数的概念。

掌握六类基本初等函数的表示、定义域、值域、图象、性质。

《微积分》所研究的函数均是以这六类基本初等函数为基本的。

7.理解复合函数、初等函数、简单函数的概念。

熟练地掌握把一个复合函数分解成基本初等函数或由基本初等函数经四则运算后得到的函数。

分解得到的函数不能多也不能少。

会根据几个中间变量写出复合函数。

会判断一个函数是不是初等函数。

第二节 数列的极限1.了解数列及数列极限、收敛、发散、有界的概念。

2.弄清有极限、有界、收敛三者的关系。

3.会根据数列的通项判断数列的敛散性。

第三节 函数的极限1.了解∞→x ,+∞→x ,-∞→x ,0x x →,+→0x x ,-→0x x 各表示什么。

2.了解∞→x 及0x x →时，函数的极限及表示法。

会根据已知函数的图形观察其极限是否存在。

⇔=∞→A x f x )(lim =-∞→)(lim x f x =+∞→)(lim x f x A3.了解左极限与右极限的概念及表示法。

会根据函数在某一点处极限存在的充要条件⇔=→A x f x x )(lim 0=-→)(lim 0x f x x A x f x x =+→)(lim 0来判断分段函数在分段点处的极限是否存在。

第一章 极限与连续一、知识剖析1、知识网络x ⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩→∞函数的定义域、对应关系、值域表格法函数的概念函数的表示法图像法公式法（解析式法）奇偶性单调性函数函数的性质有界性周期性反函数基本初等函数：5种函数，注意其图像与性质。

初等函数复合函数由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和复合得到的函数数列的极限极限描述性概念时，函数的极限（单向极限与双向极限与函数极限010=1x x a q x ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪⎪-⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩极限）时，函数的极限（左右极限与双向极限）无穷递缩等比数列的和：S 无穷小与无穷大的概念无穷小的比较用等价无穷小求函数极限无穷小与无穷大无穷小与无穷大的关系无穷小与函数极限的关系等价无穷小代换极限的计算方法：（见概念理解与方法掌握3.6）函数增量的概念用增量法定义函数在点连续的概念用函数极限与函数值连续⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩的关系定义初等函数在它的定义区间内连续第一类间断点间断点的定义及分类第二类间断点最值定理闭区间上连续函数的性质介值定理零点存在定理 2、知识重点与学习要求2.1理解函数的概念，掌握函数定义域的求法；掌握基本初等函数的图像和性质；理解复合函数的概念，掌握其分解方法；了解分段函数。

2.2理解极限的基本概念：数列极限、∞→x 时函数的极限、单向极限、0x x →时函数的极限、左右极限。

2.3掌握求极限的方法：四则运算法、“00型”极限求法、 “∞∞型” 极限求法、用两个重要极限求极限的方法。

2.4理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法；掌握无穷小的性质，能用无穷小的性质求函数极限；了解用等价无穷小代换求极限的方法。