高中数学必修一知识讲解,巩固练习(复习补习,期末复习资料)：23【提高】幂函数及图象变换

1 幂函数及图象变换 【学习目标】 1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题．

3．掌握初等函数图象变换的常用方法． 【要点梳理】 要点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数. 要点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：2423,1,2yxyxyx等都不是幂函数.

要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：

(1)xy；(2)21xy；(3)2xy；(4)1xy；(5)3xy．

要点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；

(2)0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸； (3)0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．

(3)如函数()afxkx是幂函数，求()fx的表达式，就应由定义知必有1k，即()afxx．

()yxR()yxR 2 4.幂函数值大小的比较 (1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． (2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、初等函数图象变换 基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲） 由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数． 如：2()fxx的图象变换，22(1),1,yxyx222,||yxyx （1）平移变换 y=f(x)→y=f(x＋a) 图象左（0a）、右（0a）平移

y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（b0）、下（b0）平移

（2）对称变换 y=f(x) →y=f(－x), 图象关于y轴对称

y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于x轴对称

y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称

y=f(x)→1()yfx 图象关于直线y=x对称

（3）翻折变换： y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分

关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数） y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象

关于x轴对称 要点诠释： （1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。 （2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。 【典型例题】 类型一、求函数解析式

例1.（2017秋 湖南长沙期末）已知幂函数223()kkfxx（k∈N*）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）的解析式． 【思路点拨】利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N*，求出k的值，写出函数的解析式．

【答案】4()fxx

【解析】幂函数223()kkfxx（k∈N*）的图象关于y轴对称， 所以，2230kk，解得－1＜k＜3， 因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数223()kkfxx（k∈N*）在区间（0，+∞）为减函数， ∴k=1， 函数的解析式为：4()fxx． 【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 3

举一反三： 【变式1】已知幂函数()yfx的图象过点22,2，则()fx= ．

【答案】12x 【解析】设()fxx，则由图象过点22,2，可得222，即1222 ，所以12，即12()fxx．

类型二、幂函数的图象

例2.给定一组函数的解析式：①34yx；②23yx；③32yx；④23yx；⑤32yx；⑥13yx；⑦13yx，如右图的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内． 【答案】⑥④③②⑦①⑤ 【解析】根据幂函数的图象特征确定相应的图象． 由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知0，而第一个图象关于原点对称，即为奇函数；第二个图象关于y

轴对称，即为偶函数；第三个图象在y轴左侧无图象，即在,0上无意义，因而这三个图象应分别填⑥④③．

由第四、五、六个图象在第一象限的图象特征可知01，而第四个图象关于y轴对称，即为偶函数；第五

个图象关于原点对称，即为奇函数；第六个图象在y轴左侧无图象，即函数在,0上无意义，因而这三个图象应分别填②⑦①． 最后一个图象对应的幂指数大于1，故填⑤． 【总结升华】确定这类图象对应的函数解析式的顺序是：先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定

幂指数的取值区间；再根据图象在y轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定nm中分母“m”的奇偶性；当图象在y轴左侧有图象时，再研究其图象关于y轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数nm中分子“n”的奇偶性．类似地，可作出幂函数yx的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在y轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 举一反三：

【变式1】幂函数yx在第一象限内的图象如图所示，已知分别取-1，1,1,22四个值，则相应图象依次为： ． 【答案】1432,,,CCCC

【变式2】 已知幂函数*(,)pqyxpqN的图象如图所示，则（ ） 4

A.,pq均为奇数，且0pq B.q为偶数，p为奇数，且0pq C. q为奇数，p为偶数，且0pq D. q为奇数，p为偶数，且0pq 【答案】D．由函数图象关于y轴对称知，函数为偶函数，故p为偶数，q为奇数．由函数图象在第一象限为减函数知0pq． 类型三、幂函数的性质 例3．有幂函数(0)yx若干个，每个函数至少具有下面三条性质之一： （1）是奇函数；（2）是()，∞∞内的增函数；（3）函数的图象经过原点．又已知同时具有性质（1）的共有15个，具有性质（2）的共有12个，具有性质（3）的共有18个，试问，这些幂函数共有几个？其中幂指数小于零的有几个？ 【答案】21；3 【解析】充分考虑幂函数的性质，合理运用几何的理论解题． 由幂函数的性质知，在()，∞∞内的增函数一定是奇函数，且图象一定过原点．又若一个函数是奇函数，且其图象又经过原点，则这个函数一定是在()，∞∞上的增函数．设这些幂函数中分别具备（1）（2）（3）的函数分别构成集合A、B、C，而幂函数小于零的构成集合D，依题意得()cardA=15，()cardB=12, ()cardC=18.又,BABC，ACB,BAC,所以ACB,则()()()()()cardABCcardACcardAcardCcardAC=15+18-12=21，即共有幂函数21

个．又幂指数小于零的幂函数一定不经过原点．反之亦然，故其中幂指数小于零的函数有21-18=3（个）． 【总结升华】本题把幂函数知识与集合知识综合在一起，构思新颖，需充分考虑幂函数的性质，合理运用集合理论解题．幂函数的性质与的不同取值相对应，本题中AC的道理一定要体会清楚，幂函数中有些函数具备这三个性质中1个，有的具备2个，甚至3个，这与的取值范围有关，因此一定要利用图象的位置、形状掌握这些性质． 例4.比较下列各组数的大小.

(1) 523.14与52； (2)35(2)与35(3)，（3）22534.1,3.8和35(1.9). 【答案】(1)>；(2)<；(3)< <．

【解析】(1) 由于幂函数52yx(0x)单调递减且3.14，∴55223.14. (2)由于35yx这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x) 因此，3355(2)(2)，3355(3)(3)，而35yx(x>0)单调递减，且23， ∴ 33335555(2)(3)(2)(3).即3355(2)(3). （3）22223553354.111,03.811,(1.9)0， 322535(1.9)3.84.1 【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断. (2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的. (3)题中，引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 举一反三：

【变式1】比较0.50.8，0.50.9，0.50.9的大小.