第一讲 随机事件与概率考试要求1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型1．试验，样本空间与事件.2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数中有利事件数A A P =)(3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积=)(A P【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个；（2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回.【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于；（2） 两数之和小于1且其积小于163. 一、 事件的关系与概率的性质1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ⇔ Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ⇔ Φ=AB ,Ω=B A Y（3） A 与B 相互独立⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）.⇔ P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ⇔(|)(|)1P B A P B A += （0<P （A ）<1）.⇔P （B|A ） =P （B|A ） （ 0 < P （A ） < 1 ）注: 若（0<P （B ）<1）,则,A B 独立⇔ P （A|B ）=P （A ） （P （B ）>0）⇔ 1)|()|(=+B A P B A P （0<P （B ）<1）. ⇔ P （A |B ）=P （A |B ） （0<P （B ）<1） ⇔ P （A |B ）=P （A |B ） （0<P （B ）<1）（4） A, B, C 两两独立 ⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）;P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）.（5） A, B, C 相互独立 ⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）;P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）; P （ABC ）=P （A ）P （B ）P （C ）.2. 重要公式 （1） )(1)(A P A P -=（2）)()()(AB P A P B A P -=-（3） )()()()(AB P B P A P B A P -+=Y)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y（4） 若A 1, A 2,…,A n 两两互斥, 则∑===ni i ni iA P AP 11)()(Y .（5） 若A 21,A , …, A n 相互独立, 则 )(1)(11in i n i iA P A P ∏==-=Y )](1[11ini A P ∏=--=.∏===ni i n i i A P A P 11)()(I .（6） 条件概率公式: )()()|(A P AB P A B P =（P （A ）>0）【例3】 已知（A ＋B ）（B A +）＋B A B A +++＝C, 且P （ C ）＝31, 试求P （B ）. 【例4】 设两两相互独立的三事件A, B, C 满足条件: ABC ＝Φ, P （A ）＝P （B ）＝P （C ）<21,且已知9()16P A B C =U U , 则P （A ）＝ .【例5】 设三个事件A 、B 、C 满足P （AB ）＝P （ABC ）, 且0<P （C ）<1, 则 【 】（A ）P （A U B|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （B ）P （A U B|C ）＝P （A U B ）. （C ）P （A U B|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （D ）P （A U B|C ）＝P （A U B ）. 【例6】 设事件A, B, C 满足条件: P （AB ）＝P （AC ）＝P （BC ）18=, P （ABC ）＝116, 则事件A, B, C 中至多一个发生的概率为 .【例7】 设事件A, B 满足 P （B| A ）＝1则【 】（A ） A 为必然事件. （B ） P （B|A ）=0.（C ） A B ⊃. （D ） A B ⊂.【例8】 设A, B, C 为三个相互独立的事件, 且0<P （C ）<1, 则不独立的事件为 【 】 （A ）B A +与C . （B ） AC 与C（C ）B A -与C （D ） AB 与C【例9】 设A ，B 为任意两个事件，试证P （A ）P （B ）－P （AB ） ≤ P （A －B ） P （B －A ） ≤41. 三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式 1． 乘法公式：).|()|()|()()().|()()|()()(1212131212121212121-===n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A P A P A A P ΛΛΛ2． 全概率公式：11()(|)(),,,.i i i j i i i P B P B A P A A A i j A ∞∞====Φ≠=Ω∑U 3．Bayes 公式：11(|)()(|),,,.(|)()j j j i j i i iii P B A P A P A B A i j A P B A P A ∞∞====Φ≠=Ω∑U A 4．二项概率公式:()(1),0,1,2,,.k kn k n n P k C P P k n -=-=L ,【例10】 10件产品中有4件次品, 6件正品, 现从中任取2件, 若已知其中有一件为次品,试求另一件也为次品的概率.【例11】设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回.试求下列事件的概率. （1） 第三次取得次品; （2） 第三次才取得次品;（3） 已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品; （4） 不超过三次取到次品;【例12】 甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为和, 试在下列两种情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率.（1）在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次; （ 2）甲, 乙两人独立地各射击一次.【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份. 随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率p;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q .第二讲 随机变量及其分布考试要求1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（()()F x P X x =≤） 的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率.2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布及其应用.3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布的概率密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩5. 会求随机变量函数的分布. 一、分布函数1．随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量. 2．分布函数：∞+-∞=＜＜),≤ ()(x x X P x FF （x ）为分布函数 ⇔（1） 0≤F （x ） ≤1（2） F （x ）单调不减（3） 右连续F （x+0）=F （x ） （4）1)(,0)(=+∞=-∞F F3．离散型随机变量与连续型随机变量（1） 离散型随机变量∑∞=====1i 10,≥,,,2,1,)(i i i i p p n i p x X P ΛΛ分布函数为阶梯跳跃函数.（2） 连续型随机变量⎰∞-=xtt f x F d )( )(f （x ）为概率密度 ⇔ （1） f （x ）≥0, （2） ⎰+∞∞- f （x ）1d =x⎰=≤≤=<<bax f b X a P b X a P )()()(4．几点注意【 例1 】 设随机变量X 的分布函数为0,1,57(),11,16161, 1.x F x x x x <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩则2(1)P X== .【 例2 】 设随机变量X 的密度函数为 f （x ）, 且 f （－x ） = f （x ）, 记()X F x 和()X F x -分别是X 和X -的分布函数, 则对任意实数x 有 【 】 （A ）()()X X F x F x -=. （B ）()()X X F x F x -=-.（C ）()1()X X F x F x -=-.（D ）()2()1X X F x F x -=-.【 例3 】 设 随机变量X 服从参数为0λ>的指数分布, 试求随机变量 Y= min { X, 2 } 的分布函数【 例4 】设某个系统由 6 个相同的元件经两两串联再并联而成, 且各元件工作状态相互独立 每个元件正常工作时间服从参数为 0λ>的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T 的概率分布.【 例5】设随机变量X的概率密度为⎩⎨⎧<-=.,0,1|||,|1)(其他x x x f 试求（1）X 的分布函数)(x F ; （2）概率)412(<<-X P .二、 常见的一维分布（1） 0-1分布：1,0,)1()(1 =-==-k p p k XP k k .（2） 二项分布n k p p C k X P p n B k n k k n ,,1,0,)1()(:),(Λ=-==- .（3） Poisson 分布)(λP ：Λ,2,1,0,0＞,e !)(===-k k k XP k λλλ.（4） 均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧-=.,＜＜1)(:),(其他０，， b x a a b x f b a U（5） 正态分布N （μ，σ2）：0,,eπ21)(222)(+∞<<∞->=--μσσσμ x x f（6） 指数分布⎩⎨⎧=-. ,0＞0,,e )(:)(其他x x f E x λλλ ＞0λ.（7） 几何分布.2110,)1()(:)(1Λ,,k ,＜p＜p p k XP p G k =-==- （8） 超几何分布H （N,M,n ）: },min{,,1,0,)(M n k C C C k X P nNkn M N k M Λ===-- . 【例6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p （0<p<1）, 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【 】 （A ） 2)1(3p p -.（B ） 2)1(6p p -.（C ） 22)1(3p p-. （D ） 22)1(6p p-.【例7】 设X ～Ｎ （μ, σ2）, 则 P （ X ≤1＋μ） 【 】 （A ） 随μ的增大而增大 . （B ） 随μ的增大而减小. （C ） 随σ的增大而不变 . （D ） 随σ的增大而减小. 【例8】 设X ～Ｎ （μ, σ2）, ()F x 为其分布函数，0μ<，则对于任意实数a ，有 【 】（A ） ()() 1.F a F a -+> （B ） ()() 1.F a F a -+= （C ） ()() 1.F a F a -+< （D ） 1()().2F a F a μμ-++=【例9】 甲袋中有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各任取一球交换放入另一袋中，试求交换n 次后，黑球仍在甲袋中的概率.三、 随机变量函数的分布： 1. 离散的情形2. 连续的情形3. 一般的情形 【例10】 设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=.,0,20,41,01,21)(其他x x x f X令),(,2y x F X Y=为二维随机变量（X, Y ）的分布函数.（Ⅰ） 求Y 的概率密度)(y f Y ;（Ⅱ）)4,21(-F . 第三讲 多维随机变量及其分布考试要求1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、 各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布（1）一般二维随机变量 F （x, y ）=P{ X x, Y y }, x（−, +）, y （−, +）的性质 F （x, y ）为联合分布函数 ⇔ 1） 0 ≤F （x, y ）≤1 , x（−, +）,, y（−, +）;2） F （−, y ）= F （x, −）=0, F （+,+）=1;3） F （x, y ）关于x, y 均为单调不减函数； 4） F （x, y ）关于x, y 均分别右连续.（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律 P{X = x i , Y = y j } = p i j , i, j =1, 2 ,, p i j0,1=∑∑ijji p.边缘分布律 p i = P{X = x i }=∑jji p, i =1, 2 , ,pj= P{ Y = y j }=∑iji p, j =1, 2 , ,条件分布律 P{X = x i |Y = y j } =jj i p p •, P{ Y = y j | X = x i } =•i j i p p .二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度f （x, y ）为联合概率密度 ⇔ 1f （x, y ）≥0,21=⎰⎰∞+∞-∞+∞- ),(dxdy y x f .设（ X, Y ）~ f （x, y ）则分布函数: ⎰⎰∞-∞-=xydxdy y x f y x F ),(),(;边缘概率密度:⎰∞+∞-= ),()(dy y x f x f X , ⎰∞+∞-= ),()(dx y x f x f Y .条件概率密度:)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =, )(),()|(|x f y x f x y f X X Y =.⎰⎰=∈Ddxdy y x f D Y X P ),(}),{(.),(),(yx y x F y x f ∂∂∂=22. 随机变量的独立性和相关性X 和Y 相互独立 F （x, y ）= F X （x ）F Y （y ）;p i j = p ipj（离散型）f （x, y ）= f X （x ）f Y （y ） （连续型）【注】1 X 与Y 独立, f （x ）, g （x ）为连续函数 f （X ）与g （Y ）也独立.2若X 1, , X m , Y 1, , Y n 相互独立, f , g 分别为m 元与 n 元连续函数f （X 1, , X m ）与g （Y 1,, Y n ）也独立.3常数与任何随机变量独立.3. 常见的二维分布（1）二维均匀分布 （X, Y ）~ U （D ）, D 为一平面区域. 联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,.),(,)(),(其他01D y x D S y x f （2）二维正态分布 （X, Y ）~ N （μ1 , μ2, 12 ,22, ）, − <μ1, μ2 < +,1>0,2> 0, | | <1. 联合概率密度为221121ρσπσϕ-=),(y x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------22222121212122121σμσσμμρσμρ)())(()()(y y x x e性质:（ a ） X ~ N （μ1,12 ）, Y ~ N （μ2,22 ）（ b ） X 与Y 相互独立 X Y=0 , 即 X 与Y 不相关.（ c ） C 1X+C 2Y ~ N （C 1 μ1+ C 2 μ2, C 1212 + C 2222+2C 1C 2 12）.（ d ） X 关于Y=y 的条件分布为正态分布: )](),([22122111ρσμσσρμ--+y N 【 例1 】 设A ，B 为事件，且P （A ）＝41, P （B|A ）＝21, P （A|B ）＝12令 X ＝⎩⎨⎧否则发生若,0,1A , Y ＝⎩⎨⎧否则发生若,0B ,1（1） 试求（X, Y ）的联合分布律； （2）计算Cov （ X, Y ）； （3） 计算 22(2,43)Cov XY +.【 例2 】设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X, Y ）联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.YX1y2y 3y⋅==i i p x X P }{1x812x81【 例3 】设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为313221PX 记{}{}Y X V Y X U,m in ,,m ax ==.（I ）求（U, V ）的概率分布;（II ）求（U, V ）的协方差Cov （U, V ）.【详解】（I ）易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且{}{}})1,m in ,1,(m ax )1,1(=====Y X Y X P V U P)1,1(===Y X P 94)1()1(====Y P X P , {}{}0})2,m in ,1,(m ax )2,1(======Y X Y X P V U P , {}{}})1,m in ,2,(m ax )1,2(=====Y X Y X P V U P)2,1()1,2(==+===Y X P Y X P )2()1()1()2(==+===Y P X P Y P X P 94=, {}{}})2,m in ,2,(m ax )2,2(=====Y X Y X P V U P)2()2()2,2(======Y P XP Y X P 91=, 故（U, V ）的概率分布为:（II ） 9122941209411)(⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=UV E 916=, 而 914952941)(=⨯+⨯=U E , 910912981)(=⨯+⨯=V E . 故 814910914916)()()(),(=⨯-=-=V E U E UV E V U Cov . 【 例4】 设随机变量X 在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在)10(<<=x x X 的条件下,随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布, 求（Ⅰ）随机变量X 和Y 的联合概率密度;（Ⅱ）Y 的概率密度; （Ⅲ）概率}1{>+Y XP .二、 二维（或两个）随机变量函数的分布 1．分布的可加性（1）若X~B （m, p ）, Y~B （n, p ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ B （m+n, p ）. （2）若X~P （λ1）, Y~P （λ2）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ P （λ1+λ2）.（3）若X~N （211,μσ）, Y~P （222,μσ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ N （221212,μμσσ++）.一般地，若X i ~N （2,i i μσ）, i =1, 2, …, n, 且X 1，X 2，…，X n 相互独立，则Y=C 1X 1+C 2X 2+…+C n X n +C 仍服从正态分布，且此正态分布为2211(,),n ni i i i i i N C C Cμσ==+∑∑ 其中C 1，…，C n 为不全为零的常数.2. 两个随机变量函数的分布. 【例5】 设X 与Y 相互独立, 且~(1),~(2),X P Y P 则{max(,)0}______;P X Y ≠={min(,)0}__________.P X Y ≠=【 例6】 设X 与Y 相互独立, 其密度函数分别为:1,01,()X x f x <<⎧=⎨⎩0,其他. ,0,()y Y e y f x -⎧>=⎨⎩0,其他.求Z ＝2X ＋Y 的概率密度.【 例7】设二维随机变量（X, Y ）的概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它.（I ）求{}Y X P 2>；（II ）求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z .【详解】（I ）{}Y X P2>⎰⎰>=yx dxdy y x f 2),(⎰⎰--=12210)2(ydx y x dy 247=. （II ）方法一： 先求Z 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=zy x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()(当z<0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ⎰⎰=1),()(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰---=yz zdx y x dy 00)2(3231z z -=；当21<≤z 时, ⎰⎰-=2),(1)(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰-----=111)2(1yz z dx y x dy3)2(311z --=； 当2≥z时, 1)(=z F Z .故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z =)(z F Z '⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z方法二：⎰∞+∞--=dx x z x f z f Z ),()(，⎩⎨⎧<-<<<---=-.,0,10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f ⎩⎨⎧+<<<<-=.,0,1,10,2其他x z x x z 当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ;当01z <<时, ⎰-=z Z dx z z f 0)2()()2(z z -=；当21<≤z 时, ⎰--=11)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z【例8】 设随机变量X 与Y 相互独立, X 有密度函数f （x ）, Y 的分布律为 ()i i P Y a p ==, i =1,2. 试求Z ＝X ＋Y 的概率分布.第四讲 数字特征与极限定理考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数字特征.2．会根据随机变量X 的概率分布求其函数)(X g 的数学期望)(X Eg ；会根据随机变量X 和Y 的联合概率分布求其函数),(Y X g 的数学期望),(Y X Eg .3．了解切比雪夫不等式.4．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）5．了解棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维—林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率 一、 数学期望与方差（标准差） 1. 定义（计算公式）离散型{}i i p x X P ==, ∑=iii px X E )(连续型)(~x f X , xx xf X E d )()(⎰+∞∞-=方差：[]222)()())(()(X E X E X E X E X D -=-=标准差：)(X D ,2. 期望的性质：1° )())((,)(X E X E E C C E == 2° )()()(2121Y E C X E C Y C X C E +=+ 3° )()()(Y E X E XY E ，Y X =则独立与若4° [])()(≤)(222Y E X E XY E3. 方差的性质：1° 0))((,0))((,0)(===X D D X E D C D 2°)()()(Y D X D Y X D Y X +=±相互独立，则与3° )()(2121X D C C X C D =+ 4° 一般有 ),Cov(2)()()(Y X Y D X D Y XD ±+=±)()(2)()(Y D X D Y D X D ρ±+=5°2()()C D X E X <-, )(X E C ≠【例1】设试验成功的概率为43, 失败的概率为41, 独立重复试验直到成功两次为止. 试求试验次数的数学期望. 【例2】 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从中任取一片去试开房门, 直到打开为止. 试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差: （1）试开过的钥匙即被除去; （2）试开过的钥匙重新放回.【例3】 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,0,2cos 21)(其他πx x x f 对X 独立地重复观察4次, 用Y 表示观察值大于3π的次数, 求2Y 的数学期望.【例4】 设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼, 电梯在中途只下不上, 每个乘客在哪一层（2-11层）下是等可能的, 且乘客之间相互独立, 试求电梯须停次数的数学期望. 二、随机变量函数的期望（或方差） 1、一维的情形 )(X g Y =离散型：{}i i P Xx p == ， ∑=ii ipx g Y E )()(连续型：~()X f x x x f x g Y E d )()()(⎰+∞∞-=2、二维的情形 ),(Y X g Z =离散型{}iji i p y Y x X P Y X ===,~),(,∑∑=jij jiipy x g Z E ),()(连续型),(~),(y x f Y X , y x y x f y x g Z E d d ),(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-=【例5】 设X 与Y 独立且均服从N （0，1），求Z ＝22Y X + 的数学期望与方差.【例6】设两个随机变量X 与Y 相互独立且均服从N （0，21）, 试求Z ＝｜X －Y ｜的数学期望与方差.三 、协方差，相关系数与随机变量的矩 1、重要公式与概念：协方差 []))()((()Cov(Y E Y X E X E X,Y --=相关系数 )()()Cov(Y D X D X,Y XY =ρ)(k X E k 阶原点矩[]kX E X E k ))((- 阶中心矩2、性质： 1°),(Cov ),(Cov X Y Y X =2° ),(Cov ),(Cov Y X ab bY aX = 3° ),(Cov ),(Cov ),(Cov 2121Y X Y X Y X X +=+4° |(,)|1X Y ρ≤5° 1)(1),(=+=⇔=b aX Y P Y X ρ )＞0(a 1)(1),(=+=⇔-=b aX Y P Y X ρ )＜0(a 3、下面5个条件互为充要条件：（1）0),(=Y X ρ（2）0)Cov(=X,Y （3）)()()(Y E X E XY E = （4）)()()(Y D X D Y X D +=+ （5）)()()(Y D X D Y X D +=- 【例7】设)2(,,,21>n X X X n Λ为独立同分布的随机变量, 且均服从)1,0(N , 记∑==ni iX n X 11,.,,2,1,n i X X Y i i Λ=-= 求:（I ） i Y 的方差n iY D i ,,2,1),(Λ=；（II ） 1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ; （III ） }.0{1≤+n Y Y P四、极限定理1. 切比雪夫不等式{}{}()()|()|,|()|<1-22D X D X P XE X P X E X εεεε-≥≤-≥或2. 大数定律3. Poisson 定理4. 中心极限定理列维—林德伯格定理: 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立同分布, 且2(),(),i i E X D X μσ== 1,2,,,i n =L L， 则对任意正数x ，有2-2lim dntixnX nP x tμ-∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑⎰棣莫弗—拉普拉斯定理: 设~(,),nB n pη（即X1，X2，…，X n，…相互独立, 同服从0一1分布）则有22lim dtxnP x t--∞→∞⎧⎫⎪≤=⎬⎪⎭⎰.【例8】银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为.问银行于该日应准备多少现金才能以%的把握满足客户的兑换.【分析】若X为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为1000X，设银行该日应准备现金x元.为使银行能以%的把握满足客户的兑换，则 P（1000X≤x）≥.【详解】设X为该日到银行领取本息的总人数，则X~B（500，）所需支付现金为1000X，为使银行能以%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金x元，则 P（1000 X≤x）≥.由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知：(1000)()1000xP X x P X≤=≤5000.4xP⎛⎫-⨯⎪=≤=≤0.999(3.1).ΦΦ≈≥=即3.1,≥得 x≥ .因此银行于该日应准备234000元现金才能以%的把握满足客户的兑换.第五讲数理统计考试要求1. 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其中样本方差定义为.)(11212XXnSini--=∑=2. 了解2χ分布、t分布和F分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算.3. 了解正态总体的常用抽样分布.4. 理解经验分布函数的概念和性质, 会根据样本值求经验分布函数.5. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.6. 掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然的估计法.7. 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.8. 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.9. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的 两类错误.10. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 一、样本与抽样分布1. 总体、个体与简单随机样本:2. 常用统计量:1° 样本均值 i ni X nX ∑==112° 样本方差 212)(11X X n S i ni --=∑=3° 样本标准差: S =4° 样本k 阶原点矩 11,1,2,n kk i i A X k n ===∑L5° 样本k 阶中心矩 11(),1,2,n kk i i B X X k n ==-=∑L3．分位数 4. 重要抽样分布（1）分布2χ （2） t 分布 （3） F 分布5. 正态总体的常用抽样分布:22,,,(,),n X X X N μσL 1设为来自正态总体的样本11nii X X n ==∑,2211()1ni i S X X n ==--∑, 则 （1）2~,~(0,1).X X N N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）222221(1)1()~(1).ni i n S X X n χσσ=-=--∑（3）22211()~().ni i X n μχσ=-∑（4） ~(1).X t n - （5）X 与2S 相互独立, 且 μ=)(X E , 22)(σ=S E , nX D 2)(σ=.【例1】 设总体2~(,),X N μσ设12,,,n X X X L 是来自总体X 的一个样本, 且22111,()nni nii i X X S XX n====-∑∑，求21()n E X S .【例2】 设总体2~(,),X N μσ 设12,,,n X X X L 是取自总体X 的一个样本, 且221111,()1nni i i i X X S X X nn ====--∑∑，则 2()_________D S=.【例3】设随机变量~()(1),X t n n >, 则 21~________Y X=【例4】 设总体X 服从正态分布)2,0(2N , 而1521,,,X X X Λ是来自总体X 的简单随机样本, 求随机变量)(221521121021X X X X Y ++++=ΛΛ 的分布. 【例5】 设总体2~(,),X N μσ 设121,,,,n n X X X X +L 是来自总体X 的一个样本, 且*221111,()()nni i i i X X S X X nn====-∑∑，试求统计量的分布. 二、参数估计1. 矩估计2. 最大似然估计3. 区间估计4. 估计量的评选标准 【例6】设总体12~(,)X U θθ，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的样本，试求12,θθ的矩估计和最大似然估计.【例7】设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<=.,0,21,1,10,),(其他x x x f θθθ其中θ是未知参数)10(<<θ, n X X X ,,2,1Λ为来自总体X 的简单随机样本, 记N 为样本值n x x x ,,2,1Λ中小于1的个数, 求：（1）θ的矩估计；（2） θ的最大似然估计.【例8】设总体X 的概率密度为36(),0,()0,xx x f x θθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他. n X X X ,,,21Λ为来自X 的简单随机样本，（1） 求θ的矩估计量ˆθ； （2） 判断θ的无偏性; （3） 判断θ的一致性. 三、假设检验1. 假设检验的基本思想：对总体分布中的未知参数作出某种假设，根据样本在假设为真的前提下构造一个小概率事件，基于“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生而对假设作出拒绝或接受.2. 单个正态总体均值和方差的假设检验.3. 假设检验两类错误：第一类错误：原假设0H 为真，但拒绝了0H .第二类错误；原假设0H 为假，但接受到了0H .。
高中数学第十章概率考点大全笔记单选题1、我们通常所说的ABO 血型系统是由A ，B ，O 三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA ，AO 为A 型血，BB ，BO 为B 型血，AB 为AB 型血，OO 为O 型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO ，AB ，则孩子的基因型等可能的出现AA ，AB ，AO ，BO 四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB 型，不考虑基因突变，则小明是A 型血的概率为（ ）A ．116B ．18C ．14D ．12答案：C分析：根据给定条件求出父亲所有可能血型的概率，再分情况求解小明是A 型血的概率作答.因小明的爷爷、奶奶的血型均为AB 型，则小明父亲的血型可能是AA ，AB ，BB ，它们对应的概率分别为14,12,14， 当小明父亲的血型是AA 时，因其母亲的血型为AB ，则小明的血型可能是AA ，AB ，它们的概率均为12，此时小明是A 型血的概率为14×12=18，当小明父亲的血型是AB 时，因其母亲的血型为AB ，则小明的血型是AA 的概率为14，此时小明是A 型血的概率为12×14=18，当小明父亲的血型是BB 时，因其母亲的血型为AB ，则小明的血型不可能是AA ， 所以小明是A 型血的概率为18+18=14，即C 正确. 故选：C2、若随机事件A,B 满足P (AB )=16，P (A )=23，P (B )=14，则事件A 与B 的关系是（ ） A ．互斥B ．相互独立C ．互为对立D ．互斥且独立 答案：B分析：利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可 解：因为P (A )=23， P (B )=14，又因为P (AB )=16≠0，所以有P (AB )=P (A )P (B )，所以事件A 与B 相互独立，不互斥也不对立故选：B.3、下列说法正确的是（）A．任何事件的概率总是在(0，1]之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定答案：C分析：由概率和频率的有关概念求出结果.A：任何事件的概率总是在[0，1]之间，故A错误；B：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故B错误；C：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故C正确；D：概率是客观的，在试验前能确定，故D错误．故选：C．4、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球答案：C分析：根据互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确；对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确.故选：C．5、在一次试验中，随机事件A，B满足P(A)=P(B)=2，则（）3A．事件A，B一定互斥B．事件A，B一定不互斥C．事件A，B一定互相独立D．事件A，B一定不互相独立答案：B分析：根据互斥事件和独立事件的概率的定义进行判断即可>1，与0≤P(A+B)≤1矛盾，所以P(A+B)≠若事件A，B为互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)=43P(A)+P(B)，所以事件A，B一定不互斥，所以B正确，A错误，由题意无法判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，所以不能判断事件A，B是否互相独立，所以CD错误，故选：B6、抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（）A．至多一枚硬币正面朝上B．只有一枚硬币正面朝上C．两枚硬币反面朝上D．两枚硬币正面朝上答案：C分析：由对立事件的概念直接判断即可.由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选：C.7、以下现象中不是随机现象的是（）．A．在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现B．明天下雨C．连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点D．平面四边形的内角和是360°答案：D分析：根据随机现象的定义进行判断即可.因为平面四边形的内角和是360°是一个确定的事实，而其他三个现象都是随机出现的， 所以选项D 不符合题意， 故选：D8、七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm 的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（ ）A ．12B ．15C ．25D ．310 答案：D分析：先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.如图所示，△ADO ，△ABO ，△GHO ，△BEF ，△MCF 的面积分别为S △ADO =S △ABO =14×4×4=4，S △GHO =S △BEF =14×14×4×4=1，S △MCF =14×12×4×4=2．将△ADO ，△ABO ，△GHO ，△BEF ，△MCF 分别记为S 1，S 2，，S 4，S 5，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间Ω={(S 1,S 2),(S 1,S 3),(S 1,S 4),(S 1,S 5),(S 2,S 3),(S 2,S 4),(S 2,S 5),(S 3,S 4),(S 3,S 5),(S 4,S 5)}，共有10个样本点．记事件N 表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件N 包含的样本点为(S 1,S 2)，(S 1,S 5)，(S 2,S 5)，共3个，所以P (N )=310． 故选：D ．3S多选题9、“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为P 1=0.9；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，且这n 个人研究项目M 的结果相互独立.设这个n 人团队解决项目M 的概率为P 2，若P 2≥P 1，则n 的可能取值是（ ） A ．2B ．3 C ．4D ．5 答案：CD分析：根据相互独立事件的概率乘法公式求出P 2，然后解指数不等式即可求出n 的可能取值. 依题意，这n 个人组成的团队不能解决项目M 的概率为P =(1−12)n =(12)n,∴这个n 人团队解决项目M 的概率为P 2=1−(12)n， ∵P 2≥P 1,∴P 2=1−(12)n ≥0.9,∴(12)n≤0.1, ∴log 12(12)n≥log 120.1=log 210>log 28=3,∴n ≥4.故选：CD10、某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲､乙､丙､丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.根据表中数据,下列结论正确的是A ．顾客购买乙商品的概率最大B ．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2 C ．顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率约为0.3D ．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3 答案：BCD解析：根据概率的概念,结合所给数据,逐项判断,即可求得答案.对于A,由于购买甲商品的顾客有685位,购买乙商品的顾客有515位,故A 错误; 对于B, ∵从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙, ∴顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2,故B 正确;对于C,∵ 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时的买了甲､丙､丁,另有200位顾客同时购买了甲､乙､丙,其他顾客最多购买了2种商品,∴ 顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001000=0.3,故C 正确;对于D,∵ 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有183位顾客仅购买1种商品, ∴ 顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.183<0.2,故D 正确. 故选:BCD.小提示：本题考查了概率在实际中的应用,解题关键是掌握概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 11、有一道数学难题，学生甲解出的概率为12，学生乙解出的概率为13，学生丙解出的概率为14.若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（ ） A ．恰有一人解出的概率为1124 B ．没有人能解出的概率为124C ．至多一人解出的概率为1724 D ．至少两个人解出的概率为2324 答案：AC分析：利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式，求各选项对应事件的概率即可.A ：恰有一人解出的概率为12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14=1124，正确； B ：没有人能解出的概率为(1−12)×(1−13)×(1−14)=14，错误；C ：由A 、B 知：至多一人解出的概率为1124+14=1724，正确；D ：至少两个人解出的概率为12×13×(1−14)+(1−12)×13×14+12×(1−13)×14+12×13×14=724，错误； 故选：AC12、从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13 C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12 答案：ACD分析：根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D. 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，从“乙袋中摸出一个红球”为事件A 2， 则P (A 1)=13，P (A 2)=12，对于A 选项，2个球都是红球为A 1A 2，其概率为13×12=16，故A 选项正确，对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为1−16=56，故B 选项错误， 对于C 选项，2个球至少有一个红球的概率为1−P(A 1)P(A 2)=1−23×12=23，故C 选项正确， 对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为13×12+23×12=12，故D 选项正确． 故选：ACD ．13、对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A,B,C ，其中n (Ω),n (A ),n (B ),n (C ),n (A ∪B ),n (A ∪C )分别表示样本空间Ω，事件A,B,C ，事件A ∪B ，事件A ∪C 包含的样本点个数，已知n (Ω)=24，n (A )=12，n (B )=4，n (C )=8，n (A ∪B )=n (A ∪C )=16，则（ ） A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 相互独立 C ．事件A 与C 互斥D ．事件A 与C 相互独立答案：AD分析：利用互斥事件、相互独立事件的定义直接求解.记n(AB)表示事件AB包含的样本点∵n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(AB)，∴n(AB)=12+4−16=0，即事件A与B互斥，故A正确；∵P(AB)=n(AB)n(Ω)=0，P(A)=n(A)n(Ω)=1224=12，P(B)=n(B)n(Ω)=424=16∴P(AB)≠P(A)P(B)，事件A与B不相互独立，故B不正确；记n(AC)表示事件AC包含的样本点个数，∵n(A∪C)=n(A)+n(C)−n(AC)，∴n(AC)=12+8−16=4，即事件A与C不互斥，故C不正确；∵P(AC)=n(AC)n(Ω)=424=16，P(A)=12，P(C)=n(C)n(Ω)=824=13，∴P(AC)=P(A)P(C)，事件A与C相互独立，故D正确.故选：AD．填空题14、从长度为3，4，5，7，9的五条线段中任取三条，则取出的三条线段能构成一个三角形的样本空间是___________.答案：{(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9)}分析：根据三角形三边的关系用列举法即可求解从长度为3，4，5，7，9的五条线段中任取三条，则取出的三条线段能构成一个三角形的样本空间是{(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9)}所以答案是：{(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9)}15、古代《冰糖胡芦》算法题:一个小摊上摆了两种冰糖胡芦，一种是有5个山楂的；另一种是有2个山楂、3个小桔子的．若小摊的冰糖胡芦上有山楂共340个，小桔子共210个，现从小摊上随机选取一串冰糖葫芦，则这串冰糖胡芦是有2个山楂、3个小桔子的概率为__________．答案：711分析：设5个山楂的冰糖胡芦有x串，2个山楂、3个小桔子的冰糖胡芦有y串，根据已知条件可得出关于x、y的方程组，解出这两个未知数的值，利用古典概型的概率公式可求得结果. 设5个山楂的冰糖胡芦有x 串，2个山楂、3个小桔子的冰糖胡芦有y 串， 则{5x +2y =3403y =210，解得x =40，y =70，基本事件总数n =40+70=110，这串冰糖胡芦是有2个山楂、3个小桔子包含的基本事件个数为70， 这串冰糖胡芦是有2个山楂、3个小桔子的概率为P =711．所以答案是：711.16、台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是________． 答案：0.902解析：根据题意，设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A ，B ，C ，不准确分别记为A,B,C ，则至少两颗预报准确的事件有AB C ，A B C ，A BC ，ABC ，分别求出这四个事件的概率，求和即可得解. 设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A ，B ，C ，不准确分别记为A,B,C ， 则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，P (A )＝0.2，P (B )＝0.3，P (C )＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB C ，A B C ，A BC ，ABC ，这四个事件两两互斥且独立． 所以至少两颗预报准确的概率为P ＝P (A ∩B ∩C )＋P (A ∩B ∩C )＋P (A ∩B ∩C )＋P (A ∩B ∩C )＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9 ＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902. 所以答案是：0.902. 解答题17、2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨．我市某小区为了防止疫情在小区出现，严防外来人员进入小区，切实保障居民正常生活，设置“特殊值班岗”．现有包含甲、乙在内的4名志愿者参与该工作，每人安排一天，每4天一轮．在一轮的“特殊值班岗”安排中，求：(1)甲、乙两人相邻值班的概率；(2)甲或乙被安排在前2天值班的概率．答案：(1)12(2)56分析：（1）利用列举法求解即可；（2）利用列举法求解即可.(1)由题意，设4名志愿者为甲，乙，丙，丁，4天一轮的值班安排所有可能的结果是：（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙，丁，乙），（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，甲，丙，丁），（乙，甲丁，丙），（乙，丙，甲，丁），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，甲，丙），（乙，丁，丙，甲），（丙，甲，乙，丁），（丙，甲，丁，乙），（丙，乙，甲，丁），（丙，乙，丁，甲），（丙，丁，乙，甲），（丙，丁，甲，乙），（丁，甲，乙，丙），（丁，甲，丙，乙），（丁，乙，甲，丙），（丁，乙，丙，甲），（丁，丙，乙，甲），（丁，丙，甲，乙），共24个样本点设甲乙相邻为事件A，则事件A包含：（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（乙，甲，丙，丁），（乙，甲，丁，丙），（丙，甲，乙，丁），（丙，乙，甲，丁），（丙，丁，乙，甲），（丙，丁，甲，乙），（丁，甲，乙，丙），（丁，乙，甲，丙），（丁，丙，乙，甲），（丁，丙，甲，乙），共12个样本点，故p(A)=1224=12(2)设甲或乙被安排在前两天值班的为事件B．则事件B包含：（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙，丁，乙），（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，甲，丙，丁），（乙，甲，丁，丙），（乙，丙，甲，丁），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，甲，丙），（乙，丁，丙，甲），（丙，甲，乙，丁），（丙，甲，丁，乙），（丙，乙，甲，丁），（丙，乙，丁，甲），（丁，甲，乙，丙），（丁，甲，丙，乙），（丁，乙，甲，丙），（丁，乙，丙，甲），共20个样本点，故p(B)=2024=56.18、人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0−25dB（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某校500名同学参加了听力测试，从中随机抽取了50名同学的测试值作为样本，制成如下频率分布直方图：（1）从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率；（2）已知样本中听力非常优秀的学生有4人，估计总体中听力为优秀的学生人数；（3）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4．测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为a1，a2，a3，a4（其中集合{a1,a2,a3,a4}={1,2,3,4}）．记Y=|1−a1|+|2−a2|+|3−a3|+|4−a4|，可用Y描述被测试者的听力偏离程度，求Y≤2的概率．答案：（1）0.2；（2）60；（3）16．分析：（1）由频率直方图得到(0,10]内的频率，由频率即为对应区间的概率即可求区间(0,10]内的概率；（2）由（1），结合已知可得样本中听力为优秀的学生人数，由样本中各组人数的比例关系即可估计总体中听力为优秀的学生人数.（3）由题设，列出所有Y≤2情况下a1，a2，a3，a4的组合数量，并写出所有情况的组合数量，应用古典概型求概率即可.（1）根据频率分布直方图知，样本中测试值在区间(0,10]内的频率为1−(0.06+0.08+0.02)×5=1−0.8=0.2，以频率为概率，从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率为0.2．（2）由（1）知：样本中听力为优秀的学生人数为0.2×50−4=6，∴估计总体中听力为优秀的学生人数为500×650=60．（3）当a1=1时，序号a1，a2，a3，a4的情况为6种：分别记为(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，同理，当a1=2,3,4时，序号a1，a2，a3，a4的情况也分别为6种，∴序号a1，a2，a3，a4所有的情况总数为24种．当Y=0时，a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，当Y=|1−a1|+|2−a2|+|3−a3|+|4−a4|=2时，a1，a2，a3，a4的取值为a1=1，a2=2，a3=4，a4=3，或a1=1，a2=3，a3=2，a4=4，或a1=2，a2=1，a3=3，a4=4，∴Y≤2时，序号a1，a2，a3，a4对应的情况为4种，即P(Y≤2)=424=16．小提示：关键点点睛：（1）应用频率确定指定样本区间中的人员被抽到的概率.（2）根据样本中指定区间人数的所占比例，估计总体中对应区间的人数. （3）应用列举法求古典概型的概率.。
10.3 频率与概率(精讲)思维导图常见考法考法一频率与概率的概念区分【例1】(2021·全国高一课时练习)下列说法正确的有( )①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；③任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1；④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，∴③错误．若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误∴说法正确的有两个，故选C．【举一反三】1．(2021·辽宁大连市)关于频率和概率，下列说法正确的是( )①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为23；②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.A．②④B．①④C．①②D．②③【答案】A【解析】①某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为23，不能说概率，故错误；②进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5,故正确；③只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故错误；④出现点数大于2的次数大约为4000次，正确.故选：A2．(2020·全国高一课时练习)下列说法错误的是( )A．任一事件的概率总在[]0,1内B．不可能事件的概率一定为0C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定【答案】D【解析】任一事件的概率总在[]0,1内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．故选：D．3．(2021·全国高一课时练习)下列关于概率的说法正确的是( )A．频率就是概率B．任何事件的概率都是在(0，1)之间C．概率是客观存在的，与试验次数无关D．概率是随机的，与试验次数有关【答案】C【解析】解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，一般来说，随机事件A在每次实验中是否发生时不能预料的，但在大量重复的实验后，随着实验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]的某个常数上，这个常数就是事件A的概率，故可得：概率是客观存在的，与试验次数无关，故选：C.考法二概率的计算【例2】(2021·全国高一课时练习)今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表(单位：人)如表：月份性别一二三总计男婴22 19 23 64女婴18 20 21 59总计40 39 44 123则今年第一季度该医院男婴的出生频率是( )A．44123B．40123C．59123D．64123【答案】D【解析】根据题意：第一季度的男婴数为64，婴儿总数为123，故该医院生男婴的出生频率为64123.故选：D.【举一反三】1．(2021·全国高一)将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：投篮次数10 20 30 40 50 60 70 80 90 100A 投中次数7 15 23 30 38 45 53 60 68 75 投中频率0.7000.7500.7670.7500.7600.7500.7570.7500.7560.750B 投中次数8 14 23 32 35 43 52 61 70 80 投中频率0.8000.7000.7670.8000.7000.7170.7430.7630.7780.800下面有三个推断：①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767；②随着投篮次数的增加，A 运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A 运动员投中的概率是0.750；③当投篮达到200次时，B 运动员投中次数一定为160次. 其中合理的是( ). A ．① B ．②C ．①③D ．②③【答案】B【解析】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；②随着投篮次数增加，A 运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理； ③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理； 故选：B.2．(2021·全国高一课时练习)某班学生在一次数学考试中的成绩分布如表分数段 [)0,80 [)80,90 [)90,100 [)100,110 [)110,120 [)120130, [)130140, [)140150, 人数 256812642那么分数在[)100,110中的频率约是(精确到0.01)( ) A ．0.18 B ．0.47C ．0.50D ．0.38【答案】A【解析】某班总人数25681264245+++++++=, 成绩在[)100,110中的有8人,其频率为80.1845≈. 故选:A考法三 生活中的概率【例3】(2020·全国高一课时练习)下面有三个游戏，其中不公平的游戏是( )取球方式结果游戏1有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜游戏2有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜.游戏3有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜.A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 【答案】D【解析】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是12，取出的2个球不同色的概率也是12，故游戏1公平；对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是12，故游戏2公平；对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是13，取出的2个球不同色的概率是23，故此游戏不公平，乙胜的概率大.故选D.【举一反三】1．(2021·全国高一课时练习)(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是( ) A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜【答案】ACD【解析】选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;选项B中,张明获胜的概率是12,而李华获胜的概率是14,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.故选：ACD2．(2020·全国高一课时练习)今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____. 【答案】0.4【解析】由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B ， 则韦恩图如下：A B ⋂中有30人，()U C AB 中有10人，又不买猪肉的人有30位，∴U B C A ⋂中有20人，∴只买猪肉的人数为：10010203040---=， ∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为40100=0.4， 故答案为；0.43．(2021·全国高一课时练习)某校为庆祝中华人民共和国建国70周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表： 分数段 频数 频率6070x ≤<0.15 7080x ≤< m0.458090x ≤<60n90100x ≤<请根据以上图表提供的信息，解答下列问题： (1)求上表中的数据m 、n 的值；(2)通过计算，补全频数分布直方图；(3)比赛成绩的中位数落在哪个分数段？(4)如果比赛成绩在80分以上(含80分)的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？【答案】(1)90m=，0.3n=；(2)图见解析；(3)7080分；(4)25.【解析】(1)总人数302000.15==(人)，2000.4590m∴=⨯=，600.3200n==；(2)由(1)的计算知70至80分段的人数为90人，90至100分段的人数为20030906020---=人，补全条形图如下图所示：(3)比赛成绩在60~70的人数为30100<，比赛成绩在60~80的人数为3090120100+=>，因此，比赛成绩的中位数落在70~80分；(4)恰好抽中获奖选手的概率为：602022005+=.考法四随机模拟【例4】(2021·全国高一课时练习)用计算机随机模拟掷骰子的试验,估计出现2点的概率,则下列步骤中不正确的是( )A．用计算机的随机函数RANDBETWEEN (1,7)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x,如果2x=,我们认为出现2点.B．我们通常用计数器n记录做了多少次掷骰子试验,用计数器m记录其中有多少次出现2点,置0n=, 0m=.C．每做一次试验1=+n n,若出现2点,则m的值加1,即1m m=+,否则m的值保持不变.D．程序结束,出现2点的频率mn作为数率的近似值.【答案】A【解析】计算器随机函数RANDI(1,7)或计算机随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生的是1到7之间的整数(包括1,7),共7个整数.故选: A. 【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)用随机模拟方法得到的频率( ) A ．大于概率 B ．小于概率C ．等于概率D ．是概率的近似值【答案】D 【解析】当实验数据越多频率就越接近概率∴用随机模拟方法得到的频率,数据是有限的,是接近概率.故选:D.2．(2020·陕西西安市·高一期末)利用计算机产生0~1之间的均匀随机数x ，则事件“730x -≥”发生的概率为______. 【答案】47【解析】事件“730x -≥”，即事件“37x ≥”， 而x 是[0,1]之间的随机数，故事件发生的概率为：47，故答案为：47。
高中数学第十章概率知识点梳理单选题1、抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数是1或2”，事件B =“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（ ） A ．A ∪B B ．A ∩B C ．A ⊆B D ．A =B 答案：B解析：根据事件A 和事件B ，计算A ∪B ，A ∩B ，根据结果即可得到符合要求的答案. 由题意可得：A ={1,2}，B ={3,4}， ∴A ∪B ={1,2,3,4}，A ∩B ={2}. 故选B.小提示：本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题.2、若P(AB)=19，P(A)=23，P(B)=13，则事件A 与B 的关系是（ ）A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立 答案：C分析：结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案. ∵P(A)=1−P(A)=1−23=13，∴P(AB)=P(A)P(B)=19≠0，∴事件A 与B 相互独立、事件A 与B 不互斥，故不对立. 故选：C3、有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）． A ．至多有1次中靶B ．2次都中靶 C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶 答案：C分析：根据对立事件的定义判断即可.对立事件的定义是：A，B两件事A，B不能同时发生，但必须有一件发生，则A，B是对立事件，事件：至少有一次中靶包括恰有一次中靶和二次都中靶，所以对立事件是二次都不中靶.故选：C.4、种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为（）A．pq B．p+qC．p+q−pq D．p+q−2pq答案：D分析：根据题意，结合独立事件和互斥事件概率计算公式，即可求解.由题意，两株不同的花卉的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为P=p(1−q)+(1−p)q=p+q−2pq.故选：D.5、抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（）A．至多一枚硬币正面朝上B．只有一枚硬币正面朝上C．两枚硬币反面朝上D．两枚硬币正面朝上答案：C分析：由对立事件的概念直接判断即可.由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选：C.6、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（）A．249B．649C．17D．27答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况，其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.7、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.8、若随机事件A，B互斥，且P(A)=2−a，P(B)=3a−4，则实数a的取值范围为（）A．(43,32]B．(1,32]C．(43,32)D．(12,43)答案：A分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.由题意，知{0<P(A)<1 0<P(B)<1P(A)+P(B)≤1，即{0<2−a<10<3a−4<12a−2≤1，解得43<a≤32，所以实数a的取值范围为(43,32].故选：A.多选题9、某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲､乙､丙､丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2 C．顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率约为0.3D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3答案：BCD解析：根据概率的概念,结合所给数据,逐项判断,即可求得答案.对于A,由于购买甲商品的顾客有685位,购买乙商品的顾客有515位,故A错误;对于B, ∵从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,∴顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2,故B正确;对于C,∵从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时的买了甲､丙､丁,另有200位顾客同时购买了甲､乙､丙,其他顾客最多购买了2种商品,∴顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001000=0.3,故C正确;对于D,∵从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有183位顾客仅购买1种商品,∴顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.183<0.2,故D正确.故选:BCD.小提示：本题考查了概率在实际中的应用,解题关键是掌握概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.10、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1、A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A ．P(B)的值不能确定，因为它与A 1、A 2、A 3中究竟哪一个发生有关 B ．P(B|A 1)=511C ．事件B 与事件A 1相互独立D ．A 1、A 2、A 3是两两互斥的事件 答案：BD分析：P(B)的值与A 1、A 2、A 3都有关，可以计算，可判断A ；由条件概率的计算公式计算可判断B ；事件B 与A 1的发生有关系可判断C ；A 1、A 2、A 3不可能同时发生，是互斥事件可判断D.A 选项，P(B)=P(BA 1)+P(BA 2)+P(BA 3)=510×511+210×411+310×411=922，所以A 错误； B 选项，P(B |A 1)=510×51112=511，所以B 正确；C 选项，事件B 与A 1的发生有关系，所以C 错误；D 选项，A 1、A 2、A 3不可能同时发生，是互斥事件，所以D 正确. 故选：BD.11、下列说法错误的是（ ）A ．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C ．随机试验的频率与概率相等D ．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 答案：ABC分析：根据频率与概率的概念分析可得答案.对于A ，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，是指每场比赛，甲胜的可能性为35，则比赛5场，甲可能胜3场、2场、1场、0场，故A 错误；对于B ，治愈率为10%，是指每个人治愈的可能性是10%，不是说前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈，故B 错误；对于C ，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故C 错误； 对于D ，天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%，故D 正确. 故选：ABC12、下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A ．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是29答案：AC分析：根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为(1−13)2×13=427,故A 正确；对于B,用A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则P(A)=15,P(B)=13,P(C)=14,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为45×23×34=25,所以此密码被破译的概率为1−25=35,故B 不正确；对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)=812=23,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)=612=12,故取到同色球的概率为23×12+13×12=12,故C 正确；对于D,易得P(A ∩B)=P(B ∩A),即P(A)⋅P(B)=P(B)P(A), 即P(A)[1−P(B)]=P(B)[1−P(A)],∴P(A)=P(B),又P(A ∩B)=19,∴P(A)=P(B)=13,∴P(A)=23,故D 错误故选AC小提示：本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键 13、若甲、乙、丙三个人站成一排，则下列是互斥事件的有（ ） A ．“甲站排头”与“乙站排头” B ．“甲站排头”与“乙不站排尾”C ．“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”D ．“甲站排头”与“乙站排尾” 答案：AC分析：把“甲乙丙三个人站成一排”按照“排头、排中，排尾”进行分类，结合互斥事件的概念，即可求解. 按照站排头可分为三种情况：甲在排头、乙在排头、丙在排头，所以A 正确，B 错误；“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”等价于“甲站排中”与“乙站排中”是互斥的，所以C 正确； “甲站排头”包括“乙站排尾”，所以D 错误. 故选：AC. 填空题14、假设P (A )=0.5,P (B )=0.6，且事件A 与B 相互独立，则P (A +B )=________. 答案：0.8##45分析：先算出P (AB )，再利用P (A +B )=P (A )+P (B )−P (AB )求解即可.P (AB )=P (A )⋅P (B )=0.3，则P (A +B )=P (A )+P (B )−P (AB )=0.5+0.6−0.3=0.8. 所以答案是：0.8.15、已知事件A ，B 相互独立，且P (A )=13，P (AB )=14，则P (B )=______．答案：##0.75分析：利用独立事件乘法公式有P (AB )=P(A)P(B)，根据已知即可求P (B ). 由题设P (AB )=P(A)P(B)=13P(B)=14，则P (B )=34.34所以答案是：16、将一枚骰子先后抛两次，则向上的点数之积为12的概率为__________.（结果用最简分数表示） 答案：19分析：将一枚骰子先后抛两次，先计算所有可能的情况数，再分析其中向上的点数之积为12的情况数，进而求得概率即可由题意，将一枚骰子先后抛两次，所有可能的情况有6×6=36种，其中向上的点数之积为12的情况有2×6,3×4,4×3,6×2共4种情况，故向上的点数之积为12的概率为436=19所以答案是：19解答题17、小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：代替但调研时发现：投资A ，B 这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率，A ，B 两个项目的利润情况互不影响. （1）求x ，y 的值，并分别求投资A ，B 项目不亏损的概率；（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并阐述你的理由.答案：（1）x =0.55，y =0.05，90%，95%；（2）建议投资B 项目，理由见解析.分析：（1）计算出投资项目A 的平均利润率、投资项目B 的平均利润率，根据投资A ，B 这两个项目的平均利润率相同，可得x 、y ，再计算投资A 、B 项目不亏损的概率；（2）考察角度一：由（1）得，投资B 项目不亏损的概率比较大，故建议投资B 项目. 考察角度二：计算出投资A 项目利润率的方差、投资B 项目利润率的方差，比较大小可得答案. （1）投资项目A 的平均利润率为10%×50%+5%×40%−5%×10%=0.065，34投资项目B 的平均利润率为10%×40%+5%x −5%y =10%×40%+5%[x −(60%−x )] =10%×40%+5%(2x −60%)，因为投资A ，B 这两个项目的平均利润率相同， 所以10%×40%+5%(2x −60%)=0.065， 解得x =0.55，y =0.05，所以投资A 项目不亏损的概率为50%+40%=90%， 投资B 项目不亏损的概率为40%＋55%=95%； （2）考察角度一：由（1）得，投资B 项目不亏损的概率比较大，故建议投资B 项目. 考察角度二：投资A 项目利润率的方差为，(10%−6.5%)2×50%+（5%−6.5%）2×40%+（−5%−6.5%）2×10%=2.025×10−3，投资B 项目利润率的方差为，(10%−6.5%)2×40%+(5%−6.5%)2×55%+(−5%−6.5%)2×5%=1.275×10−3，所以投资A 项目利润率的方差大于投资B 项目利润率的方差， 即投资B 项目的利润比较稳定，为此建议投资B 项目.18、某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级A ，B ，C 的概率分别是，18，332.（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0元的概率. 答案：（1）18；（2）532.分析：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评为等级A ，B ，C ，D ”.由题意，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，然后利用互斥事件的概率加法公求解即可；34（2）设事件A i，B i，C i，D i表示“第i单被评为等级A，B，C，D”，i=1,2.则“两单共获得的奖励为0元”即事件(A2B2)∪(A1C2)∪(A2C1)，且事件A2B2，A1C2，A2C1互斥，然后分别求出对应的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解即可解：（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评为等级A，B，C，D”.由题意，事件A，B，C，D两两互斥，所以P(D)=1−34−18−332=132.又C∪D=“延迟送达且被罚款”，所以P(C∪D)=P(C)+P(D)=18.因此“延迟送达且被罚款”的概率为18.（2）设事件A i，B i，C i，D i表示“第i单被评为等级A，B，C，D”，i=1,2. 则“两单共获得的奖励为0元”即事件(A2B2)∪(A1C2)∪(A2C1)，且事件A2B2，A1C2，A2C1互斥，又P(A2B2)=18×18=164又P(A1C2)=P(A2C1)=34×332=9128所以P=P[(A2B2)∪(A1C2)∪(A2C1)]=P(A2B2)+P(A1C2)+P(A2C1)=18×18+34×332×2=532。
