数字chebyshev滤波器的设计(matlab)
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武汉理工大学《信号分析与处理》课程设计说明书 数字Chebyshev滤波器的设计
初始条件： 1. Matlab6.5以上版本软件； 2. 课程设计辅导资料：“Matlab语言基础及使用入门”、“信号与系统”、“数字信号处理原理与实现”、“Matlab及在电子信息课程中的应用”等； 3. 先修课程：信号与系统、数字信号处理、Matlab应用实践及信号处理类课程等。
要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求） 1. 课程设计时间：1周； 2. 课程设计内容：数字Chebyshev滤波器的设计，具体包括：基本数字Chebyshev滤波器的设计，数字高通、带通滤波器的设计，以及相关设计方法的应用等； 3. 本课程设计统一技术要求：研读辅导资料对应章节，对选定的设计题目进行理论分析，针对具体设计部分的原理分析、建模、必要的推导和可行性分析，画出程序设计框图，编写程序代码（含注释），上机调试运行程序，记录实验结果（含计算结果和图表），并对实验结果进行分析和总结，按要求进行实验演示和答辩等； 4. 课程设计说明书按学校“课程设计工作规范”中的“统一书写格式”撰写，具体包括： ① 目录； ② 与设计题目相关的理论分析、归纳和总结； ③ 与设计内容相关的原理分析、建模、推导、可行性分析； ④ 程序设计框图、程序代码（含注释）、程序运行结果和图表、实验结果分析和总结； ⑤ 课程设计的心得体会（至少500字）； ⑥ 参考文献（不少于5篇）； ⑦ 其它必要内容等。
时间安排： 1周（第18周）
附——具体设计内容： 1. 设计一个切比雪夫Ⅱ型低通滤波器，指标如下： 通带边界频率：2.0P，通带最大衰减：dBRP1 阻带截止频率：4.0S，阻带最小衰减：dBRS80 2. 设计一个高通Chebyshow型数字滤波器，要求达到的指标是：wp=100Hz, ws=80Hz,Fs=300Hz, rp=1db,rs=45db. 3. 设计一个带通切比雪夫数字滤波器，通带为100Hz～200Hz，过渡带宽均为50Hz，通带波纹小于1dB，
阻带衰减30Hz，采样频率1000HzsF＝。 武汉理工大学《信号分析与处理》课程设计说明书 1设计方法
1.1 冲击响应不变法原理（Impulse invariance） 冲击响应不变法的设计原理是使数字滤波器的单位抽样响应序列h（n），模仿模拟滤波器的冲击响应g（t）。 设系统传递函数为G（s）的模拟滤波器的单位冲击响应g（t），并将冲击响应g（t）进行等间隔采样，使得数字滤波器的单位抽样响应h（t）刚好等于g（t）的采样值，即： （1-1） 其中Ts为采样周期。 因为G(s)是模拟滤波器的系统传递函数，故他是该系统冲击响应函数g（t）的拉普拉斯变换；又设H（z）是数字滤波器的系统传递函数，从而可的它是数字滤波器的单位抽样响应函数h（n）的Z变换。模拟信号的拉普拉斯变换与其采样序列Z变换的关系为：
（1-2） 上式的物理意义为首先将模拟滤波器的系统函数G（s）作周期的延拓，再经过es
sT
z
的映射变换，从而得到数字滤波器的系统函数H（z）。假设s平面上，s在j轴上取值，z在Z平面内的单位圆周ej上取值，可以得到数字滤波器的频率响应)(ejH和模拟滤波器的频率响应)(jG间的关系为
（1-3） 其中ST 假设模拟滤波器的系统函数G（s）只有单阶极点，且M分分式表示：
（1-4） 其拉普拉斯变换脉冲响应g（t）为： g（t）= stNkKeA1，t≥0 0 ， t＜0 （1-5）
NkkKssAsG1)(
)(1)(ksjjkjGTsHe
)(1)(ksSezjsGTzHst
0)()()()()(nssstnThnTttgeztgnh武汉理工大学《信号分析与处理》课程设计说明书 对g（t）进行等间隔采样，可以得到数字滤波器的单位取样响应函数h（n）为： 当n≥0时，h(n)=snTNKKeA1；当n＜0时，h(n)=0 （1-6） 然后对h(n)进行Z变换，就可以得到数字滤波器的系统传递函数H（z）：
（1-7） 按照冲击响应不变法的原理，通过模拟滤波器的系统传递函数G（s），可以直接球的数字滤波器的系统函数H（z）
2切比雪夫（chebyshev）滤波器 2.1切比雪夫滤波器简介 切比雪夫滤波器（又译车比雪夫滤波器）是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。
这种滤波器来自切比雪夫多项式，因此得名，用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼提·列波维其·切比雪夫
2.2 切比雪夫滤波器原理 巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止 处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次N很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式来逼近所希望的 。切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起伏的，所以在同样的通常内衰减要求下，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。
切比雪夫滤波器的振幅平方函数为
NkTsknnTsNnNkknnzeAzeAznhzHkk11011)()(武汉理工大学《信号分析与处理》课程设计说明书 （2-1） 式中 Ωc—有效通带截止频率 —与通带波纹有关的参量， 大,波纹大 0< <1 VN（x）—N阶切比雪夫多项式
（2-2） |x|≤1时,|VN(x)|≤1 |x|>1时, |x|↗, VN(x)↗ 切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示,通带内， 的变化范围为
1(max) → (min) 时，|x|>1,随 ↗， →0 (迅速趋于零) 当 =0时， （2-3） N为偶数，cos2( )=1，得到min， ， （2-4） N为奇数，cos2( ，得到max，
（2-5）
切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图1所示。 武汉理工大学《信号分析与处理》课程设计说明书 图1 切比雪夫滤波器的振幅平方特性 2.3 Chebyshev有关参数的确定 2.3.1 通带截止频率 预先给定 2.3.2 ε的确定 与通带波纹有关的参数,通带波纹表示成
（2-6）
所以, , 给定通带波纹值 分贝数后，可求得 。 武汉理工大学《信号分析与处理》课程设计说明书 2.3.3 阶数N
由阻带的边界条件确定。 、A2为事先给定的边界条件,即在阻带中的频率点处 ,要求滤波器频响衰减到1/A2以上。
（2-7）
（2-8） （2-9） （2-10） 滤波器阶数N对滤波特性有极大的影响，N越大，逼近特性越好，但是相应的结构也越复杂。一般情况下N等于通带内最大和最小个数的总和。N的数值可根据阻带衰减来确定。
3切比雪肤低通滤波器的设计 3.1 matlab函数说明 1. cheb2ord.m 求切比雪夫Ⅱ型滤波器的阶次。 2．Cheb2ap.m 用来设计原型切比雪夫Ⅱ型模拟滤波器。 3．Cheby2.m 直接设计切比雪夫Ⅱ型滤波器。此函数设计N阶切比雪夫Ⅱ型滤波器，通带波动为RpdB。在长度为N+1的矢量b和a中返回滤波器系数。 以上3个文件的调用格式和对应的巴特沃兹滤波器的文件类似。 4．impinvar.m 用冲激响应不变法实现到及s到z的转换。 武汉理工大学《信号分析与处理》课程设计说明书 5. zp2tf.m 将零极点模型转化成传递函数的模型。 6. zp2ss.m 表达式从零极点增益形式转换成状态方程形式。 7. lp2hp.m 实现低通到高通滤波器类型的转换。 8. Bilinear.m 采用双线性变换法，从模拟高通到数字高通。
3.2 Matlab程序及运行 3.2.1 matlab程序及仿真图 一、 设计一个切比雪夫Ⅱ型低通滤波器 wp=0.2*pi; %通带边界频率； ws=0.4*pi; %阻带截止频率； rp=1; %通带最大衰减； rs=80; %阻带最小衰减；
Fs=1000 %假设抽样脉冲1000hz [N,Wn]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,'s'); %Chebyshev II型滤波器参数计算（模拟域）； [Z,P,K]=cheby2(N,rs,Wn,'s'); %构造Chebyshev II型滤波器（零极点模型）； [H,W]=zp2tf(Z,P,K); %将零极点模型转化成传递函数的模型； figure(1); freqs(H,W); %在Figure1上显示滤波器的幅频响应及相频响应； [P,Q]=freqs(H,W); %返回滤波器的冲击响应的复数形式； figure(2); plot(Q*Fs/(2*pi),abs(P));grid; %在Figure2上显示幅频特性曲线； xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值');
