2016年高考数学全国二卷(理科)完美版2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i=++-在复平面内对应的点在第四象限，z m m则实数m的取值范围是（A）()-，（C）()+（D）1,∞31-，（B）()13()3-，∞-（2）已知集合{1,23}，，则A B==+-<∈ZA=,，{|(1)(2)0}B x x x x（A）{}1（B）{12}，（C）{}-，，，，，，，（D）{10123}0123（3）已知向量(1,)(3,2)，=，且()a m b=-+⊥，则m=a b b（A）8-（B）6-（C）6 （D）8（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15- （D ）725-（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),nnx y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4nm （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b -=的左，右焦点，点M在E 上，1MF 与x轴垂直，sin2113MF F ∠=,则E 的离心率为（A） （B ）32（C（D ）2（12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()mm xy ，，则()1miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答． （13）ABC△的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．（14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 （16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）nS 为等差数列{}na 的前n 项和，且11a =，728S=．记[]lg nnb a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}nb 的前1000项和．（18）（本小题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置10OD '=.（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.（20）（本小题满分12分） 已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性，并证明当x >时，(2)e 20;x x x -++>(II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在正方形ABCD ，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .(I) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(II)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，10AB =l 的斜率．（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集.（I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．。
【4份】2016江苏高考数学（理科）大二轮总复习与增分策略专题二函数与导数目录专题二函数与导数 (1)第1讲函数的图象与性质 (1)二轮专题强化练 (6)专题二函数与导数 (6)第1讲函数的图象与性质 (6)学生用书答案精析 (8)二轮专题强化练答案精析 (13)第2讲函数的应用 (17)二轮专题强化练 (21)第2讲函数的应用 (21)学生用书答案精析 (24)二轮专题强化练答案精析 (29)第3讲导数及其应用 (32)二轮专题强化练 (37)第3讲导数及其应用 (37)学生用书答案精析 (39)二轮专题强化练答案精析 (46)第4讲导数的热点问题 (51)二轮专题强化练 (57)第4讲导数的热点问题 (57)学生用书答案精析 (59)二轮专题强化练答案精析 (65)专题二函数与导数第1讲函数的图象与性质1．(2015·天津改编)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为________．2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象中可能正确的是______________．3．(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________________________________________________________________________. 4．(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________________________________________________________．1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.热点一 函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.例1 (1)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． (2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练1 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对于任意x ∈R ，恒有f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝2x －1，则f (2 017)＝________.(2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是________．热点二 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2 (1)函数y ＝x2－2sin x 的图象可能是下列中的________．(2)(2015·北京改编)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________．思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．跟踪演练2 (1)(2015·安徽改编)函数f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2的图象如图所示，则abc ________0(填“>”或“<”)．(2)已知函数y ＝f (x )是奇函数，且函数f (x ＋1)在[－1，＋∞)上是增函数，不等式f (a 2＋2a )≤f (a ＋2)，则实数a 的取值范围是________．热点三 基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2015·山东改编)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________．(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练3 (1)(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是下列中的________．(2)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x ∈(－∞，0)时，不等式f (x )＋xf ′(x )<0恒成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2f (ln 2)，c ＝－2f (－2)，则a ，b ，c 的大小关系是________.1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为下列________(填序号)．2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋4)．当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )；当0≤x <2时，f (x )＝2x －1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)的值为________．3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________．4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．提醒：完成作业 专题二 第1讲二轮专题强化练 专题二 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质A 组 专题通关1．函数y ＝ln(1＋1x)＋1－x 2的定义域为________．2．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x ≥2，2x ，x <1的值域为____________________．4．(2014·课标全国Ⅱ改编)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.5．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________________________________________________________________________. 6．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝______.8．(2015·福建)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ， x ≤7，a x －7， x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．11．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？B 组 能力提高12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系为________________________________________________． 13．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．14．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．15．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________． ①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x ；③f (x )＝tan x2；④f (x )＝4x 3＋x .学生用书答案精析专题二 函数与导数第1讲 函数的图象与性质高考真题体验 1．c ＜a ＜b【详细分析】由f (x )＝2|x－m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1 ＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b . 2．②【详细分析】由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.①中，y ＝3－x＝(13)x ，显然图象错误；②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符．故图象②可能正确． 3．9【详细分析】因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.4．(－1,3)【详细分析】∵f (x )是偶函数， ∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示， 由f (x －1)>0， 得－2<x －1<2， 即－1<x <3. 热点分类突破例1 (1)－14 (2)[12，2]【详细分析】(1)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得 f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )， 得函数y ＝f (x )的一个周期为2， 故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0， f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14. 所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. (2)由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )．∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增． ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1， ∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.跟踪演练1 (1)12 (2)(13，23)【详细分析】(1)f (x －1)＝f (x ＋1)， 则f (x )的周期为2，f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－(2－1－1)＝12.(2)偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x －1)<f (13)⇔f (|2x －1|)<f (13)，进而转化为不等式|2x －1|<13，解这个不等式即得x 的取值范围是(13，23)．例2 (1)③ (2){x |－1＜x ≤1}【详细分析】(1)由f (－x )＝－f (x )，知函数 f (x )为奇函数，所以排除①； 又f ′(x )＝12－2cos x ，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos 2π＝－32<0，所以x ＝2π应在函数的减区间上． 所以③可能是y ＝x2－2sin x 的图象．(2)令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 跟踪演练2 (1)> (2)[－2,1]【详细分析】(1)函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，∴c <0. 令x ＝0，得f (0)＝bc2，又由图象知f (0)>0，∴b >0.令f (x )＝0，得x ＝－ba，结合图象知－ba>0，∴a <0.故abc >0.(2)因为函数f (x ＋1)在[－1，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．因为函数y ＝f (x )是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，即函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，如图所示．因为f (a 2＋2a )≤f (a ＋2)，所以a 2＋2a ≤a ＋2，即a 2＋a －2≤0， 解得－2≤a ≤1，所以实数a 的取值范围是[－2,1]． 例3 (1)b <a <c (2)(－1,0)∪(1，＋∞)【详细分析】(1)根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y ＝1.5x 在R 上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b ＜a ＜c . (2)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，∵log 2a >log 12a ，∴a >1.当a <0时，∵log 12(－a )>log 2(－a )，∴0<－a <1， ∴－1<a <0.跟踪演练3 (1)④ (2)c >a >b【详细分析】(1)方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，③不对；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，①不对．由于y ＝x a 递增较慢，正确的图象为④.方法二 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除①；②中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错，④正确；③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．(2)构造函数g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，所以函数y ＝g (x )在(－∞，0)上单调递减．因为函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，所以y ＝f (x )是奇函数，由此可知函数y ＝g (x )是偶函数．根据偶函数的性质，可知函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又a ＝g (20.2)，b ＝g (ln 2)，c ＝g (－2)＝g (2)，由于ln 2<20.2<2，所以c >a >b . 高考押题精练 1．①【详细分析】据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e －ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象． 2．1 260【详细分析】因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数f (x )的周期为4. 当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )； 当0≤x <2时，f (x )＝2x －1.所以f (1)＝20＝1， f (2)＝f (－2)＝log 22＝1， f (3)＝f (－1)＝log 21＝0， f (4)＝f (0)＝2－1＝12.所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋1＋0＋12＝52，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝504×52＝1 260.3．－1【详细分析】由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )有最小值－1，无最大值．4．(－2,0)∪(0,2)【详细分析】因为x >0时， h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数， 且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)， 所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．二轮专题强化练答案精析专题二 函数与导数第1讲 函数的图象与性质1．(0,1]【详细分析】要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0,1]． 2．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤014(x －2)2－1，x >0 【详细分析】当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，∴y ＝14(x －2)2－1.3．(0,2)∪[52，＋∞)【详细分析】当x ≥2时，f (x )＝x ＋1x ，所以f ′(x )＝1－1x 2≥1－14＝34>0，所以函数f (x )＝x ＋1x 在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (2)＝52；当x <1时，f (x )＝2x ，所以0<2x <2，所以函数f (x )的值域为(0,2)∪[52，＋∞)．4．3【详细分析】因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 5.124【详细分析】由于1<log 23<2，则f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)＝(12)23log 3＋＝(12)3×(12)2log 3＝18×22log 3－＝18×221log 3＝18×13＝124. 6．{x |－7<x <3}【详细分析】令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解集，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}． 7．e【详细分析】f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13e ln 3＋1＝e.8．1【详细分析】∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴x ＝1， ∴a ＝1，f (x )＝2|x －1|，∴f (x )的增区间为[1，＋∞)，∵[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m ≥1.∴m 的最小值为1. 9．(13，611]【详细分析】∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ， x ≤7，a x －7， x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.10．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.∴k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． 11．解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60； 当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x ≤600.(2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x ≤600. 当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大， 此时y ＝20×100＝2 000； 当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050， ∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050. 显然6 050>2 000.∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元． 12．f (－25)<f (80)<f (11)【详细分析】因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，即函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4) ＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，且f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，则f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)． 13．(4，＋∞)【详细分析】∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4. 14．{a |a ≤2}【详细分析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2. 15．②③④【详细分析】由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中，f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x5＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．第2讲 函数的应用1．(2014·北京改编)已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是________．①(0,1)；②(1,2)；③(2,4)；④(4，＋∞)．2．(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 3．(2015·四川)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．4．(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l .(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.热点一 函数的零点1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．例1 (1)(2015·黄冈中学期中)函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在区间为________．①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,10)．(2)已知函数f (x )＝e x ＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝ln x －1的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________________________________________________________．思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．跟踪演练1 (1)函数f (x )＝x 2－2x 在x ∈R 上的零点的个数是________．(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为________． 热点二 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例2 (1)对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是________． (2)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是______________________． 思维升华 (1)f (x )＝g (x )根的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；(2)关于x 的方程f (x )－m ＝0有解，m 的范围就是函数y ＝f (x )的值域．跟踪演练2 (1)(2015·连云港模拟)若函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点，则实数m 的取值范围是________．(2)(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．热点三 函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2 (0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．跟踪演练3 (1)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是________万元．(2)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元.1．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为________．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．3．已知函数f (x )＝5x ＋x －2，g (x )＝log 5x ＋x －2的零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________． 4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.提醒：完成作业 专题二 第2讲二轮专题强化练 第2讲 函数的应用A 组 专题通关1．已知函数f (x )＝(14)x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数是________．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －2，x <0，x －1，x ≥0的所有零点的和等于________．3．若函数f (x )＝x 2＋2a |x |＋4a 2－3的零点有且只有一个，则实数a 等于________．4．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >m ，x 2＋4x ＋2， x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是________．5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，－1≤x ≤1，log 2(－|x －2|＋2)，1<x ≤3.若关于x 的方程f (x )－ax ＝0有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是__________________．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业________年后需要更新设备． 8．我们把形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________.9．已知函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m 的取值范围．10．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？B 组 能力提高11．已知f (x )是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.如果函数g (x )＝f (x )－(x ＋m )有两个零点，则实数m 的值为________________________________． 12．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个．14．(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．学生用书答案精析第2讲 函数的应用高考真题体验 1．③【详细分析】由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (1)＝6－0＝6>0，f (2)＝3－1＝2>0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝－12<0，由零点存在性定理，可知函数f (x )在区间(2,4)上必存在零点． 2．(0，12)【详细分析】作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12.3．24【详细分析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3×e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝18×192＝24. 4．(1)1 900 (2)100【详细分析】(1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002v ·121v ＋18＝76 00022＋18＝1 900. 当且仅当v ＝11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时． (2)当l ＝5时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤76 0002v ·100v ＋18＝76 00020＋18＝2 000. 当且仅当v ＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时． 比(1)中的最大车流量增加100 辆/时． 热点分类突破 例1 (1)③ (2)a <b <c【详细分析】(1)∵f (2)＝lg 2－12<0，f (3)＝lg 3－13>0，∴f (2)f (3)<0，f (x )的零点在区间(2,3)内．(2)由f (a )＝e a ＋a ＝0，得a ＝－e a <0；b 是函数y ＝ln x 和y ＝－x 图象交点的横坐标，画图可知0<b <1；由h (x )＝ln c －1＝0知c ＝e ， 所以a <b <c .跟踪演练1 (1)3 (2)－7【详细分析】(1)注意到f (－1)×f (0)＝12×(－1)<0，因此函数f (x )在(－1,0)上必有零点，又f (2)＝f (4)＝0，因此函数f (x )的零点个数是3.(2)由题意知g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2(x ＋2)＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的图象如图所示：由图形可知函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为－3，若设C 的横坐标为t (0<t <1)，则点A 的横坐标为－4－t ，所以方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为－3＋(－4－t )＋t ＝－7. 例2 (1)[－2,1) (2)(－∞，2ln 2－2]【详细分析】(1)解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3，所以，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点．如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.(2)f ′(x )＝e x －2，当x ∈(－∞，ln 2)时，f ′(x )<0；当x ∈(ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (ln 2)＝2－2ln 2＋a . 由于f (a 2)＝e a2>0，所以f (x )有零点当且仅当2－2ln 2＋a ≤0，所以a ≤2ln 2－2.跟踪演练2 (1)(－∞，0] (2)(0,2)【详细分析】(1)m ＝－log 2x (x ≥1)存在零点，则m 的范围即为函数y ＝－log 2x (x ≥1)的值域，∴m ≤0.(2)将函数f (x )＝|2x －2|－b 的零点个数问题转化为函数y ＝|2x －2|的图象与直线y ＝b 的交点个数问题，数形结合求解． 由f (x )＝|2x －2|－b ＝0， 得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示．则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 例3 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x . ∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10 (0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(2)①当0<x ≤10时， 由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0； 当x ∈(9,10)时，W ′<0， ∴当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知：当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大． 跟踪演练3 (1)320 (2)4 050【详细分析】(1)设该公司的年收入为x 万元(x >280)，则有280×p %＋(x －280)(p ＋2)%x ＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故该公司的年收入为320万元．(2)设每辆车的月租金为x (x >3 000)元，则租赁公司月收益为y ＝(100－x －3 00050)(x －150)－x －3 00050×50，整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050. ∴当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 高考押题精练 1．5【详细分析】令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h (52)>g (52)，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个， 所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.2．(0,1)【详细分析】画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0<m <1， 即m ∈(0,1)． 3．2【详细分析】令f (x )＝0，g (x )＝0，得5x ＝－x ＋2，log 5x ＝－x ＋2.作出函数y ＝5x ，y ＝log 5x ，y ＝－x ＋2的图象，如图所示，因为函数f (x )＝5x ＋x －2，g (x )＝log 5x ＋x －2的零点分别为x 1，x 2，所以x 1是函数y ＝5x 的图象与直线y ＝－x ＋2交点A 的横坐标，x 2是函数y ＝log 5x 的图象与直线y ＝－x ＋2交点B 的横坐标．因为y ＝5x 与y ＝log 5x 的图象关于y ＝x 对称，直线y ＝－x ＋2也关于y ＝x 对称，且直线y ＝－x ＋2与它们都只有一个交点，故这两个交点关于y ＝x 对称．又线段AB 的中点是y ＝x 与y ＝－x ＋2的交点，即(1,1)，所以x 1＋x 2＝2. 4．20【详细分析】如图，过A 作AH ⊥BC 交于点H ，交DE 于点F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x ，则S ＝x (40－x )≤(402)2，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号，所以满足题意的边长x 为20 m.二轮专题强化练答案精析第2讲 函数的应用1．3【详细分析】f (x )在[0,2π]上的零点个数就是函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点有3个．2．0【详细分析】令(12)x －2＝0，解得x ＝－1，令x －1＝0，解得x ＝1，所以函数f (x )存在两个零点1和－1，其和为0. 3.32【详细分析】令|x |＝t ，原函数的零点有且只有一个，即方程t 2＋2at ＋4a 2－3＝0只有一个0根或一个0根、一个负根，∴4a 2－3＝0，解得a ＝32或－32，经检验，a ＝32满足题意． 4．[－1,2)【详细分析】直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >m ，x 2＋4x ＋2， x ≤m 的图象恰有三个公共点，即方程x 2＋4x ＋2＝x (x ≤m )与x ＝2(x >m )共有三个根． ∵x 2＋4x ＋2＝x 的解为x 1＝－2，x 2＝－1， ∴－1≤m <2时满足条件． 5．(16，8－215)【详细分析】f (x )是周期为4的周期函数．做出y ＝f (x )和y ＝ax 的图象，由图可知，要使方程f (x )－ax ＝0有5个不同实根，即y ＝f (x )和y ＝ax 的图象有5个交点．由图可知，当x ∈(3,5)时，f (x )＝－(x －4)2＋1，此时若y ＝ax 与其相切，则a ＝8－215；又方程 f (x )＝ax 在(5,6)无解，得a >16，故正实数a 的取值范围是(16，8－215)．6．(0,1]【详细分析】当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0， 得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点， 则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点， 令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1， 所以实数a 的取值范围是0<a ≤1. 7．10【详细分析】由题意可知x 年的维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用y ＝100＋0.5x ＋x (x ＋1)x ＝x ＋100x ＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号，所以该企业10年后需要更新设备．8．4【详细分析】由题意知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1).在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．9．解 依题意，得 ①⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－2)2－4m >0，f (0)<0或②⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝(－2)2－4m >0，f (0)>0或 ③⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝(－2)2－4m ＝0. 显然①无解；解②，得m <0；解③，得m ＝1，经验证，满足题意．又当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，它显然有一个为正实数的零点． 综上所述，m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}．10．解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则 y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab .依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a2.又140<2a <420，即70<a <210.①当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；②当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值．故当70<a <140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大； 当140<a <210时，公司应裁员a2人，经济效益取到最大．11．2k 或2k －14(k ∈Z )【详细分析】令g (x )＝0，得f (x )＝x ＋m .因为函数f (x )＝x 2在[0,1]上的两个端点分别为(0,0)，(1,1)，所以过这两点的直线为y ＝x .当直线y ＝x ＋m 与f (x )＝x 2(x ∈[0,1])的图象相切时，与f (x )在x ∈(1,2]上的图象相交，也就是两个交点，此时g (x )有两个零点，可求得此时的切线方程为y ＝x －14.根据周期为2，得m ＝2k 或2k －14(k ∈Z )．12．m >1【详细分析】函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根．∵1x ＋2＝m |x |⇔1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足0<1m<1，故m >1.。
