高中数学 第3课时 含有绝对值的不等式的证明教案 新人教A版选修4-5

的最小值.
1 x 2
2
≥2
上面解法错在哪?
均值不等式可以用来求最值(积定和小，和 定积大),但特别要注意条件的满足： 一正、 二定、 三相等.
四：三个正数的算术—几何平均不等式
类比基本不等式得
abc 3 定理 3：如果 a、b、c R ，那么 ≥ abc ， 3 当且仅当 a b c 时，等号成立.
解:设AM=y米
200 - x 2 因而 4 xy x 2 200 y 4x
D
A
Q
P
C
B M N
于是S 4200x2 210 4xy 80 2 y2 0 x 10 2
E
F
课堂练习: 1.判断下列命题是否正确: (1) a b, c b a c ( ×) (2) a b c a c b ( ) √ (3) a b ac 2 bc 2 ( × (4) a b, c d ac bd × ) ) ( a b √ (5) 2 2 a b ( ) (6) a 2 b 2 a b × ) ( c c √ (7) a b a 2 b 2 × ) ( (8) a b a 2 b 2 ( )
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2 x) 的最大值. 2 2 x2 ( x 3) 的最小值. ⑵求函数 y x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. 2 x 2 解: ⑵∵ x 3 ,∴ x 3 0 2 x2 2( x 2 9) 18 18 2x 6 ∴y x 3 x 3 x 3 18 = 2( x 3) 12 ≥24 x 3 18 当且仅当 2( x 3) 即 x 6 时取等号. x 3 2 x2 ( x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. ∴函数 y x 3

注：一正、二定、三等。
例 3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方 --------------形的面积最大;
(2)在所有面积相同的矩形中,正方 ---------------形的周长最短.
例3答案
例4
例 3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方 --------------形的面积最大; (2)在所有面积相同的矩形中,正方 ---------------形的周长最短. 设矩形周长为L,面积为S,一边长为x,一边长为y, 周长L=2x+2y
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ⑵求函数 y ( x 3) 的最小值. x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. 2 x 2 解: ⑵∵ x 3 ,∴ x 3 0 2 x 2 2( x 2 9) 18 18 2x 6 ∴y x 3 x 3 x 3 18 12 ≥24 = 2( x 3) x 3 18 当且仅当 2( x 3) 即 x 6 时取等号. x3 2 x2 ( x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. ∴函数 y x 3
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ⑵求函数 y ( x 3) 的最小值. x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. x2 2
解: ⑶∵ y
2
x2 3 x2 2

x2 2 1 x2 2
x 2
算术平均数
C
几何平均数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
几何解释
ab
A a O D b B
可以用来求最值(积定和小，和定积大)
定理：设 x , y , z 都是正数，则有 ⑴若 xy S （定值） ，则当 x y 时， x y 有最小值 2 s .

(1)(几何法)利用绝对值的几何意义求解.只要找到使|x-a|+|x-b|=c
成立的 x 值,依据“大于取两边,小于取中间”的法则写出不等式的解集
即可.
(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号,以 a,b 为分界点,将实数
集分为三个区间,在每个区间上 x-a,x-b 的符号都是确定的,从而去掉绝
对值符号.
∴x-8≥3,或 x-8≤-3.∴x≥11,或 x≤5.
∴原不等式的解集为{x|x≥11 或 x≤5}.
本题题型已成为“公式”型的问题,即解不等式时,套用|ax+b|≥c 型
的转化方法,进而解之,而数形结合是从函数图象的角度解释不等式,从
中可找到适合的 x.
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问题
(wèntí)导
学
KETANG HEZUO TANJIU
预习(yùxí)
导引
预习交流
如何用分段讨论法解含绝对值的不等式?
提示:用分段讨论法解含绝对值的不等式时,先求出使每一个绝对
值符号内的多项式等于零的未知数的值(称为零点),再将这些值依次在
数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号
内的多项式在每一个区间上的符号,去掉绝对值符号,使之转化为不含
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
3
2
(3)当 x≥1 时,|x+2|+|x-1|<4⇔x+2+x-1<4⇔2x<3⇔x< ,即
≥ 1,
3
的解集为 1, .
2
| + 2| + |-1| < 4

庖丁巧解牛知识·巧学一、绝对值三角不等式1.定理1 如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a>0、b>0时，或a<0，b<0时，等号都是成立的，即有|a+b|=|a|+|b|.除此之外，就是|a+b|<|a|+|b|了.如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a，b，则定理1的形式仍旧成立.即有|a+b|≤|a|+|b|成立，当且仅当向量a,b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|成立.联想发散根据定理1，我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有：（1）如果a，b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.（2）|a1+a2+a3+…+a n|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|(n∈N*).2.绝对值三角不等式所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b，且向量a,b不共线时，所成立的不等式|a+b|<|a|+|b|.绝对值三角不等式即向量不等式|a+b|<|a|+|b|的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边(如下图所示).记忆要诀由于绝对值三角不等式其形式与定理1是完全类似的，所以只要记住定理1，那么这个绝对值三角不等式也就记住了.3.定理2 如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立.对于定理2，同学们不但要记住它的形式，还应注意它的特点，尤其要注意它的不等号左边没有字母b，只有右边才有.学法一得要注意|a-c|可以变形为|(a-b)+(b-c)|，熟悉这种变形，那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了.二、绝对值不等式的解法要熟记简单绝对值不等式的解法，它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：一般地，如果a>0，则有：|x|<a⇔-a<x<a，因此，不等式|x|<a的解集是(-a,a)；|x|>a⇔x<-a或x>a，因此，不等式|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞).1.|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，只要将ax+b看成一个整体，然后套用|x|<a或|x|>a的不等式的解法即可.2.|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：（1）利用绝对值的几何意义；（2）分区间讨论法；（3）构造函数利用函数的图象求解.求解这类绝对值不等式时，可根据题目的不同而适时选用不同的方法求解.误区警示解绝对值不等式切勿盲目地套用某一类解法，一定要注意不等式的形式，要针对不同的形式对号入座采取相应的方法来求解.典题·热题知识点一： 与定理1、2相关的绝对值不等式的判断与证明例1 若|x-a|<m,|y-a|<n ，则下列不等式一定成立的是（ ）A.|x-y|<2mB.|x-y|<2nC.|x-y|<n-mD.|x-y|<n+m思路分析：注意观察比较|x-y|与|x-a|，|y-a|之间的关系，不难发现通过适当变形就可运用定理1及已知条件来巧妙求解此题了,具体解题过程为：|x-y|=|x-a-(y-a)|≤|x -a|+|y-a|<m+n,故选D.答案：D巧解提示对某些式子进行适当的变形，以便创造条件利用某些定理、公式来解题，这是一种常用的技巧，如此题求解过程中的|x-y|=|x-a-(y-a)|就是变形，而变形的基础是必须要熟悉公式. 例2 已知a 、b 、c 、d 都是实数，且a 2+b 2=m 2，c 2+d 2=n 2（m>0,n>0)，求证：|ac+bd|≤222n m +. 思路分析：证明此题时，可将ac 、bd 分别看成整体，那么就可以套用定理1来证明了. 证明：∵a 、b 、c 、d ∈R ,∴|a c+bd|≤|ac|+|bd|≤222222d b c a +++ =222222222r R d c b a +=+++, ∴|ac+bd|≤222R r +. 误区警示如果利用ab≤222b a +来证明此题，就容易出现似是而非的证法，而利用较严格的公式|ab|≤222b a +来证明就不易出错了.因此同学们要注意公式的适时选用. 知识点二： 绝对值不等式的解法例3 解关于x 的不等式|2x-1|<2m-1(m ∈R ).思路分析：要注意对2m-1的正负情况进行讨论.解：若2m-1≤0，即m≤21，则|2x-1|<2m-1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m-1>0，即m>21，则-(2m-1)<2x-1<2m-1，所以1-m<x<m. 由上可得：当m≤21时，原不等式的解集为∅， 当m>21时，原不等式的解集为：{x|1-m<x<m}. 方法归纳对于不等号右侧是含有参数的式子的这类绝对值不等式，在求解时一定要通过对参数式子的正、负、零三种情况的讨论来求解.例4 解不等式3≤|x -2|<4.思路分析：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解.解：原不等式等价于⎩⎨⎧<-≥-)2.(4|2|)1(,3|2|x x 由（1）得x-2≤-3或x-2≥3，∴x≤-1，或x≥5.由（2）得-4<x-2<4，∴-2<x<6.如上图所示，原不等式的解集为{x|-2<x≤-1或5≤x<6}.误区警示有些同学求解这类问题时，为了图省事，往往不爱通过画图来寻找解集，总爱耍点小聪明，这是造成求解出错的主要原因.例5 解不等式|x+7|-|x-2|≤3.思路分析：解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据求解不等式的结构，选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号，故可用绝对值的几何意义来求解，或用分区间讨论法求解，还可构造函数利用函数图象求解.图1解：［方法一］ |x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应的点的距离与到2对应的点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x=-1（如图1所示）.从图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1，即x ∈(-∞,-1］.［方法二］ 令x+7=0，x-2=0得x=-7，x=2.①当x<-7时，不等式变为-x-7+x-2≤3，∴-9≤3成立,∴x<-7.图2②当-7≤x≤2时，不等式变为x+7+x-2≤3，即2x≤-2，∴x≤-1，③当x>2时，不等式变为x+7-x+2≤3，即9≤3不成立，∴x ∈∅.∴原不等式的解集为(-∞,-1］.［方法三］ 将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-3≤0，构造函数y=|x+7|-|x-2|-3，即y=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+-<-.2,6;27,22;7,12x x x x .作出函数的图象（如图2），从图可知，当x≤-1时，有y≤0，即|x+7|-|x-2|-3≤0，所以，原不等式的解集为(-∞,-1］.巧妙变式针对此题，我们可以进行各种不同的题目变式.如：可以将两个绝对值里面的运算符号改变、可以将两个绝对值之间的运算符号改变、可以将“≤”改变为“≥”，还可以将不等号右边的数改成字母等等.变式后题目的求解还是用上述的几种解法.问题·探究误区陷阱探究问题1 对此题“写出不等式|2x-1|<3的解集并化简”，某同学的错解如下：不等式|2x-1|<3的解集是{x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∪{x|2x-1>-3}={x|x<2}∪{x|x>-1}={x|-1<x<2}.探究过程:这位同学解得的结果是正确的，但解法不对.解法中有两处错误，但却歪打正着得出了正确的结果.首先是把绝对值不等式的解法搞错了.这位同学写的求解过程中的两个集合{x|2x-1<3}与{x|2x-1>-3}的中间不应当用并的符号“∪”，而应改为“∩”.这两个集合是应该取交集的.另外，按照这位同学错写的两集合“并”来运算时又解错了.{x|x<2}∪{x|x>-1}的结果应为{x|-∞<x<+∞}，而不是{x|-1<x<2}.探究结论:如果按照这位同学的思路求解，可以修改为：不等式|2x-1|<3的解集是： {x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∩{x|2x -1>-3}={x|x<2}∩{x|x>-1}={x|-1<x<2}.不过，更简单的解法应是：不等式|2x-1|<3的解集是：{x||2x-1|<3}={x|-3<2x-1<3}={x|-1<x<2}.思维发散探究问题2 已知a 、b 、c 是实数，函数f(x)=ax 2+bx+c ，g(x)=ax+b ，当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1，试探究当x ∈［-1,1］时，|g(x)|≤2.探究过程:这是一个通过关联二次函数、一次函数考查不等式的变换能力的问题，因此在证明中要注意合理应用绝对值不等式的性质定理，由于g(x)是一次函数，可将|g(x)|≤2转化为g(-1)与g(1)与2的关系加以证明，也可挖掘g(x)与f(x)的隐含关系，构造函数模型，寻求整体突破.探究结论:［方法一］ 当a>0时g(x)=ax+b 在［-1,1］上是增函数，∴g(-1)≤g(x)≤g(1)，∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1，∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2，g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2，当a<0时，g(x)=ax+b 在［-1,1］上是减函数， ∴g(1)≤g(x)≤g(-1)，∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1，∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2，g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2，∴|g(x)|≤2.当a=0时，g(x)=b ，f(x)=bx+c ，∵-1≤x≤1，∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上所述,当x ∈［-1,1］时，|g(x)|≤2.［方法二］ ∵x=4)1()1(22--+x x ， ∴g(x)=ax+b=a ［(21+x )2-(21-x )2］+b(21+x -21-x ) =a ［(21+x )2+b(21+x )+c ］-［a(21-x )2+b(21-x )+c ］ =f(21+x )-f(21-x ). 当-1≤x≤1时，有0≤21+x ≤1，-1≤21-x ≤0， ∴|g(x)|=|f(21+x )-f(21-x )|≤|f(21+x )|+|f(21-x )|≤2，∴|g(x)|≤2.。