三角函数知识点总结 高中数学

高考三角函数

第 1 页 共 14 页 1.特殊角的三角函数值：

sin00= 0

cos00= 1

tan00= 0 sin300=21

cos300=23

tan300=33 sin045=22

cos045=22

tan045=1 sin600=23

cos600=21

tan600=3 sin900=1

cos900=0

tan900无意义

2．角度制与弧度制的互化：,23600 ,1800

00 300 045 600 900

0120 0135 0150 1800 2700 3600

0

6 4

3 2 32 43 65 

23 2

3.弧长及扇形面积公式

弧长公式：rl.

扇形面积公式:S=rl.21

----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径

4.任意角的三角函数

设是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）,

r=22yx

(1)正弦sin=ry

余弦cos=rx 正切tan=xy

(2)各象限的符号：

sin cos tan

5.同角三角函数的基本关系：

（1）平方关系：sin2+ cos2=1。（2）商数关系：cossin=tan

（zkk,2） x y

+O

— — +

x y

O — +

+

— + y

O

— +

+ — 高考三角函数

第 2 页 共 14 页 6.诱导公式：

1sin2sink，cos2cosk，tan2tankk．

2sinsin，coscos，tantan．

3sinsin，coscos，tantan．

4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

5sincos2，cossin2．

6sincos2，cossin2．

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

高考三角函数

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高考三角函数

第 4 页 共 14 页 8、三角函数公式：

降幂公式： 升幂公式 ：

1+cos=2cos22 cos222cos1

1-cos=2sin22 sin222cos1

9．正弦定理 ：

2sinsinsinabcRABC.

余弦定理：

2222cosabcbcA;

2222cosbcacaB;

2222coscababC.

三角形面积定理.111sinsinsin222SabCbcAcaB.

1．直角三角形中各元素间的关系：

如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；

（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）

sinA＝cosB＝ca，cosA＝sinB＝cb，tanA＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。

（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 两角和与差的三角函数关系

sin()=sin·coscos·sin

cos()=cos·cossin·sin

tantan1tantan)tan(

倍角公式

sin2=2sin·cos

cos2=cos2-sin2

=2cos2-1

=1-2sin2

2tan1tan22tan 高考三角函数

第 5 页 共 14 页 RCcBbAa2sinsinsin。

（R为外接圆半径）

（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。

3．三角形的面积公式：

（1）△＝21aha＝21bhb＝21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；

（2）△＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB；

4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形

解斜三角形的主要依据是：

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。

（1）角与角关系：A+B+C = π；

（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c <

a，c－a > b；

（3）边与角关系：

正弦定理 RCcBbAa2sinsinsin（R为外接圆半径）；

余弦定理

c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 =

b2+c2－2bccosA；

它们的变形形式有：a = 2R sinA，baBAsinsin，bcacbA2cos222。

5．三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

（1）角的变换

因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA；

四．【典例解析】

题型1：正、余弦定理

（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC中，ABa，ACb，0ab，154ABCS，3,5ab，则BAC （ ）

A.． 30 B ．150 C．0150 D． 30或0150

答案 C

例1．（1）在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形；

（2）在ABC中，已知20acm，28bcm，040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm）。 高考三角函数

第 6 页 共 14 页 解析：（1）根据三角形内角和定理，

0180()CAB000180(32.081.8)066.2；

根据正弦定理，

00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；

根据正弦定理，

00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA

（2）根据正弦定理，

0sin28sin40sin0.8999.20bABa

因为00＜B＜0180，所以064B，或0116.B

①当064B时， 00000180()180(4064)76CAB，

00sin20sin7630().sinsin40aCccmA

②当0116B时，

00000180()180(40116)24CAB，00sin20sin2413().sinsin40aCccmA

点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器

例2．（1）在ABC中，已知23a，62c，060B，求b及A；

（2）在ABC中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形

解析：（1）∵2222cosbacacB

=22(23)(62)223(62)cos045

=212(62)43(31)

=8

∴22.b

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

解法一：∵cos222222(22)(62)(23)1,22222(62)bcaAbc ∴060.A

解法二：∵sin023sinsin45,22aABb 高考三角函数

第 7 页 共 14 页 又∵62＞2.41.43.8,23＜21.83.6,∴a＜c，即00＜A＜090,

∴060.A

（2）由余弦定理的推论得：

cos2222bcaAbc22287.8161.7134.6287.8161.70.5543,

05620A；

cos2222cabBca222134.6161.787.82134.6161.7 0.8398,

03253B；

0000180()180(56203253)CAB09047.

点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。

题型2：三角形面积

例3．在ABC中，sincosAA22，AC2，AB3，求Atan的值和ABC的面积。

解法一：先解三角方程，求出角A的值。

.21)45cos(,22)45cos(2cossinAAAA

又0180A, 4560,105.AA

13tantan(4560)2313A,

.46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinA

SACABAABC1212232643426sin()。

解法二：由sincosAA计算它的对偶关系式sincosAA的值。

sincosAA22 ①